06级数学物理方法期末考试试卷（A 卷）参考答案和评分标准
一、填空题（每小题5分，共40分。） 1、
sin h T
ωπω
2、通过振动方程求出通解，该通解中含有任意函数，然后通过初始条件来确定函数的形式，就得到达朗贝尔公式[]11(,)()()()d 2
2x at x at
u x t x at x at a
??φξξ+-=
++-+
?
。对于无限长弦振动问题，只需将初
始位移()x ?和初始速度()x φ的函数形式代入达朗贝尔公式，就可得到满足初始条件的解。
3、222
,
()
(1,2,)()
()sin
n n n π
λβαπ?α?βα
?
=
?-?=?
-?Φ=?-?
本征值本征函数
4、0
(,)(,)()d t f x t f x t ρρτδττ=
-?
5、22000
0,(0,)|0,|,|0t xx x x x l t u a u x l a D u u u u ===?-=<<=?
==??=?
6、(1)
00
(,,)()(cos )(cos sin )l l m
l
l l m m m l u r A r
B r
P C m D m θ?θ??∞
∞
-+===
++∑∑
7、
00
cos u ρ?ρ
8、0,(0)0,()()0X X m
X X l X l S λλρ''+=???'=-=??，或 20,
(0)0,()()0X X m a
X X l X l YS λ''+=???'''=+=?
?
， 物理问题：一根长为l 的均匀杆，上端0x =处固定在电梯天花板，杆身竖直，下端x l =处挂着
一个质量为m 的物体。初始时电梯静止，随后电梯以重力加速度g 下降，求解杆的纵振动。杆的自身重力忽略不计。 二、（20分）
解：设(,)u x t 分离变量形式的解
(,)()()u x t T t X x =
代入泛定方程及边界条件，得
20()()0()()0|0,|0
x x l T t a T t X x X x X X λλ=='?+=?
''+=??'
'==? 求解()X x 为本征值问题，其解为
22
2
,(0,1,2,)()cos
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
将本征值代入()T t 的方程并求解，得
222
2
()e
n a t l
n n T t C π-
=
所以，有
222
2
(,)e
cos
n a t
l
n n n x u x t C l
ππ∞
-
==
∑
由初始条件，得
010
2cos
cos
cos
n
n n x x
x C
u u l
l
l
πππ∞
==+∑，可得10C u =，21C u =，0n C =
最终解得
2
2
22
22
4012(,)e
cos
e
cos
a a t
t
l
l
x
x u x t u u l
l
ππππ--
=+
分离变量 试探解；()X x 的方程；边界条件；()T t 的方程 (4分) 本征值问题 n λ；()n X x ；n 的取值 (4分) 非本征值问题解()n T t
(3分) 一般解 (3分) 定系数 (4分) 解式 (2分)
三、（20分）
解法一：傅里叶级数法
利用傅里叶级数法求解，相应齐次方程本征值问题的解
22
2
,(1,2,3,)()sin
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
按照本征函数系{sin
}n x l
π将所求的解展开为
1
(,)()sin
n n n x u x t T t l
π∞
==
∑
代入泛定方程，有
2
2
2
022[1(1)]
sin n
n n f n a T T t l
n πωπ
--''+
=
代入边界条件，有
00|0,
|0n t n t T T =='==
求解得
02
2
2
2
22[1(1)]
()(sin
sin )(/)
n
n f l n at n a T t t n a n n a l l
l
ππωωππωπ--=
?
-
-
最终得
02
222222
1
2[1(1)]
(,)(sin
sin )sin
(/)
n
n f l n at n a n x u x t t n
a n a l l
l
l
πππωωπωπ∞
=--=
-
??-∑
或02
222222
(21)(21)sin
sin 4(21)(,)sin (21)(21)/k k at k a
t
f l
k x l l u x t a
l k k a l ππωωππωπ∞
=++-
+=
??+-+??
∑
相应其次方程本征值问题的解
(4分) 未知解按本征函数族展开
(2分) 代入方程和初始条件，得到()n T t 的方程及初始条件
(6分) ()n T t 的求解
(6分) 解式
(2分)
解法二：冲量定理法
利用冲量定理法求解，0
(,)(,;)d t u x t v x t ττ=
?
，其中(,;)v x t τ满足
200,|0,
|0,|0,sin .tt xx x x l t t t v a v v v v v τ
τωτ====?-=?
==??==?
设(,;)v x t τ分离变量形式的解
(,;)(;)()v x t T t X x ττ=
本征值问题的解为
22
2
,(1,2,)()sin
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
非本征值问题
2
2
2
20n n n T a T l
π''+
=
解为
()
()
(;)()cos
()sin
n n n n a t n a t T t A B l
l
πτπττττ--=+
则
1
()()(,;)()cos ()sin sin n n n n a t n a t n x v x t A B l l l πτπτπτττ∞
=--??=
+????∑ 代入初始条件，得
0n A =, 02[1(1)]
()sin n
n f l B n a
n τωτππ
--=
?
于是有
02
2
1
2[1(1)]
()
(,;)sin sin
sin
n
n f l n a t n x v x t n a
l
l
πτπτωτπ∞
=---=
∑
则
02
2
102
2
22222
1
2[1(1)]
()
(,)(,;)d sin sin
d sin
sin
sin 2[1(1)]
sin /n
t t n n
n f l n a t n x u x t v x t n a
l
l
n at n a
t
f l n x l l n a
n a l l
πτπττωττπππωωππωπ∞
=∞
=---=
=
?---=
?
?-∑
?
?
∑
冲量定理表述
(4分) (,;)v x t τ的求解
(12分) u 的解
(4分)
解法三：特解法
选择适当的(,)v x t ，使其满足非齐次方程和齐次边界条件，即
2
00sin |0,|0
tt xx x x l v a v f t
v v ω==?-=??
==?? 取(,)v x t 的分离变量形式
(,)()sin v x t X x t ω=
代入(,)v x t 的方程和边界条件，得
2022
()()(0)0,()0f X x X x a a X X l ω
?''+=-??
?==?
求解得
2
()cos
sin
f x
x
X x A B a
a
ωωω
=+-
代入边界条件
2
(0)0f X A ω
=-
=，0
2
()cos
sin
0f l
l
X l A B a
a
ωωω
=+-
=，
得
2
f A ω
=
，0
2
(1cos
)sin
f l
l
B a
a
ωωω
=
-
则
02(,)cos sin sin f x x v x t A B t a a ωωωω?
?=+- ??
?
令
(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+
则(,)w x t 的定解问题为
2
000020,(0)
|0,|0,
|0,|cos sin tt xx x x l t t t w a w x l w w f x x w w A B a a ωωωω====-=<<==?
?==-+- ?
?
?
(,)w x t 的通解为
1
(,)cos
sin
sin
n
n n n at n at n x
w x t A
B l
l l
πππ∞
=??=
+ ??
?∑ 代入初始条件定系数，得
0n A =
020*******
22
cos sin sin d (1)(cos sin )2[(1)1]/l
n n
n f l x x n x B A B x n a
l a a l
a n l l A B A f l l l a a n a l n a l n ωωωππωπωωωπωπωπ-?
?=
?
+- ???????-+-????---????
=??+??-??
????
? 又
2
f A ω
=
，0
2
cos
sin
f l
l
A B a
a
ωωω
+=
所以，有
200022222222222222
22[(1)1]/[(1)1][1(1)]
///n n n
n f f f l l
a n l B n a l n a l n l n a n a l
ωωππωωπωππωπ??-------=???+?=???--?? 因此，有
02
2
2
2
2
2
2
1
2[1(1)]
(,)sin
sin
/n
n f l
n at n x w x t n a n a l
l
l
ωπππωπ∞
=--=
?
-∑
综合起来，有
002
2
2
2
2
2
2
2
1
2[1(1)]
(,)cos sin sin sin
sin
/n
n f f l
x x n at n x u x t A B t a a n a n a l
l
l
ωωωππωωπωπ∞
=--?
?
=+-+?
?-?
?
∑
若进一步将(,)v x t 按函数族sin
n x l π??
???
?
展开，即 02
1
(,)cos sin sin sin
sin n
n f x x n x v x t A B t C
t a a l
ωωπωωω∞
=?
?
=+-= ??
?
∑
其中展开系数
00222222
022
[1(1)]cos sin sin d /n
l
n f f x x n x C A B x l a a l n n a l
ωωπωπωπ---?
?=+-=? ?-??? 则
02
2
22222
1
sin
sin 2[1(1)]
(,)sin /n
n na t na t
f l n x l l u x t n a
n a l l
ππ
ωωππωπ∞
=-
--=
?
?-∑
特解法表述
(2分) (,)v x t 的求解 (8分) (,)w x t 的求解
(8分) u 的解
(2分)
四、（20分）
解：这里()2p x x =-，()1q x λ=-，易得0x =是方程的常点。 设
()k
k
k y x a
x ∞
==
∑
则
2
2
2
()(1)(2)(1)k k
k
k k k y x k k a
x
k k a
x ∞
∞
-+==''=
-=
++∑∑
0()k
k
k xy x a
kx ∞
='=∑ 0
(1)()(1)k
k
k y x a
x λλ∞
=-=
-∑
代入方程，合并同幂项，令各幂次的系数为零，得递推公式：
221(2)(1)
k k k a a k k λ++-=
++
即
20121a a λ-=
?，4205(1)(5)
434!a a a λλλ---=
=
?，…，20(1)(5)(43)
(2)!
k k a a k λλλ-?---=
31332
a a λ-=
?，5317(3)(7)
54
5!
a a a λλλ---=
=
?，…，211(3)(7)(41)
(21)!
k k a a k λλλ+-?---=
+
得
2001(1)(5)(43)
()1(2)!
k
k k y x a x
k λλλ∞
=?
?-?---=+
????∑
21
111
(3)(7)(41)
()(21)!
k k k y x a x x
k λλλ∞
+=?
?-?---=+
??+?
?
∑
级数解0()y x 和1()y x 的收敛半径分别为
22022(21)lim
lim
143k k k k a k k R a k λ-→∞
→∞
?-===--
21121
(21)2lim
lim
141k k k k a k k R a k λ
-→∞
→∞
++?===--
43k λ=-，1,2,3,k = 时，0y 退化为多项式 41k λ=-，1,2,3,k = 时，1y 退化为多项式
判断常点及解的一般形式 (4分) 递推公式
(4分) 2k a 、21k a +
(5分) 0y 、1y 及其收敛半径
(2分) 退化为多项式
(5分)
05级数学物理方法期末考试试卷（A 卷）参考答案和评分标准
一、填空题（每小题6分，共30分。）
1、2
,
(0,1,2,)()cos sin m m X x A m x B m x
λ?==?
=+? 本征值本征函数
2、0，
0()I
x x δρ
-
3、()x at ?+
4、22
00
00,(0,/)|0,|0,|2(/2),|0
tt xx x x x x l t t t u a u x l a Y S u u u x l u ε====?-=<<=?
==??=--=?
5、22
()t u a u u
a D β-?==
二、（20分）求解热传导方程定解问题
2
000,(0)
|0,|0,2|cos
.
t xx x x x x l t u a u x l u u x u l π===-=<<===
解：设(,)u x t 分离变量形式的解
(,)()()u x t T t X x =
代入泛定方程及边界条件，得
20()()0
()()0|0,|0
x x l T t a T t X x X x X X λλ=='?+=?
''+=??'
'==? 求解()X x 为本征值问题，其解为
22
2
,(0,1,2,)()cos
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
将本征值代入()T t 的方程并求解，得
2
2
2
2
()e
n a t l
n n T t C π-
=
所以，有
222
2
(,)e
cos
n a t
l
n n n x u x t C l
ππ∞
-
==
∑
由初始条件，得
2n n C δ=，00A =，00B =
最终解得
22
2
42(,)e cos
a t
l
x u x t l
ππ-
=
分离变量 ()X x 的方程; 边界条件; ()T t 的方程 (3分) 本征值问题 n λ; ()n X x ; n 的取值 (5分) 非本征值问题解()n T t (3分) 一般解 (3分) 定系数 (3分) 解式 (3分)
三、（20分）在圆形区域内求解0u ?=，使之满足边界条件0
0|sin u u ρρ?==。
解：取极坐标系，定解问题为
0200110(0)
,sin ,(,)(,2)u u u u u u u u ρρρ??ρρρρρρρ?ρ?ρ?π==?
++=<
==??
=+???
有限
设(,)u ρ?分离变量形式的解
(,)()()u R ρ?ρ?=Φ
代入拉普拉斯方程及周期性条件，得
20,()()0,
()(2)R R R ρρλ?λ???π'''?+-=?
''Φ+Φ=??Φ=Φ+?
求解()?Φ为本征值问题，其解为
2
,
(0,1,2,)
cos sin ,
(0)().
(0)
m n m m A m B m m A m λ????==?+≠??
Φ=?
?=??
本征值本征函数
将本征值代入()R ρ的方程并求解，得
,(0)
()ln .(0)m m m C D m R C D m ρρρρ-?+≠=?
+=?
所以，有
001
1
(,)ln (cos sin )(cos sin )m
m
m m m m m m u C D A m B m C m D m ρ?ρρ
??ρ
??∞
∞
-===++
++
+∑∑
根据0ρ=的边界条件，有
00D =，0m m C D ==，
根据0ρρ=的边界条件，有
00001
(,)(cos sin )sin m
m m m u C A m B m u ρ?ρ
???∞
==+
+=∑
得
00C =，0m A =，0
10
u B ρ=
，0
1m B m =≠
最终得
(,)sin u x t u ρ?ρ=
定解问题
(4分)
分离变量()?Φ的方程; 自然周期性条件; ()R ρ的方程 (3分) 本征值问题m λ; ()m ?Φ; m 的取值 (3分) 特解()m R ρ (4分) 一般解 (2分) 定系数 (2分) 解式 (2分)
四、（20分）长为l 的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力0sin cos x
f t l
πω，初始位移
为sin
x
l
π，初始速度为零，求解杆的纵振动。
解：该定解问题为
2
0000sin cos ,(0)
|0,
|0,|sin ,|0.
tt
xx x x l t t t f x u a u t x l S l
u u x u u l πωρπ====?-=<
==???==??
解法一：傅里叶级数法
相应齐次方程本征值问题的解
22
2
,(1,2,3,)()sin
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
按照本征函数系{sin
}n x l
π将所求的解展开为
1(,)()sin
n n n x u x t T t l
π∞
==
∑
代入泛定方程，有
2
2
2
12cos n n n f n a T T t l
S
πδωρ''+
=
代入边界条件，有
010|,
|0n t n n t T T δ=='==
求解得
12
2
2
2
1
()(cos cos )cos
/f at
at
T t t S a l
l
l
ππωρωπ=
?
-+-+
0,
1n T n =≠
最终得
02222
1(,)(cos cos )cos sin /f at at x
u x t t S a l l l l πππωρωπ??=?-+??-+??
定解问题
(4分) 按本征函数组的展开
(4分) ()n T t 的方程及初始条件 (6分) ()n T t 的求解
(4分) 解式
(2分) 解法
二：冲量定理法
令
(,)(,)(,)I
II
u x t u x t u x t =+
2000
0sin cos ,(0)
|0,
|0,|0,|0.I I
tt xx I I
x x l I I t t t f x u a u t x l S l u u u u πωρ====?-=<
20000,(0)|0,
|0,|sin ,|0.
II II tt xx II II
x x l II II t t t u a u x l u u x u u l π====?
?-=<
利用冲量定理法求解I u ，0
(,)(,;)d t I u x t v x t ττ=
?
，其中(,;)v x t τ满足
2000,|0,
|0,|0,sin cos .tt xx x x l t t t v a v v v f x v v S l ττ
πωτρ====?
?-=??
==???==??
设(,;)v x t τ分离变量形式的解
(,;)(;)()v x t T t X x ττ=
本征值问题的解为
22
2
,(1,2,)()sin
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
非本征值问题
22
2
2
0n n n T a
T l
π''+=
解为
()
()
(;)()cos
()sin
n n n n a t n a t T t A B l
l
πτπττττ--=+
则
装
1()()(,;)()cos ()sin sin n n n n a t n a t n x v x t A B l l l πτπτπτττ∞
=--?
?=
+???
?∑ 代入初始条件，得
0n A =, 0
1()cos f l
B a S
τωτπρ=
?
0,1n B n =≠
则
()
(,;)cos sin
sin
f l
a t x
v x t a S
l
l
πτπτωτπρ-=
?
2222
()
(,)(,;)d cos sin
sin
d (cos
cos )
sin /t t
I
f l
a t x
u x t v x t a S
l
l a t
t f x l S
a l l
πτπττωττ
πρπωπρωπ-=
=?
-=
-?
?
用分离变量法求解II u ，得
(,)sin
cos
II
x
a t u x t l
l
ππ=
综上所述，有
02222
1(,)(,)(,)(cos cos )cos sin /I II
f at at x u x t u x t u x t t S a l l l l πππωρωπ??=+=?-+??-+??
分解成两个定解问题
(4分) I
u 求解：
冲量定理表述 (2分)
(,;)v x t τ的求解
(4分) I
u 的解 (4分) II u 求解
(4分) 解式 (2分)
五、（10分）长为a 的柔软均质轻绳，一端固定在以ω匀速转动的竖直轴上。由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。设初始位移为/x a ，初始速度为零，求解此弦相对于水平线的横振动。该定解问题为
()2
22000102
|0,
||/,
|0
tt x x a t t t u u a x x x u u u x a u ω
====????
-
-=??????====有限，
① 将上述定解问题中的泛定方程分离变数。 ② 在①的基础上，写出相应的本征值问题并求解。
（提示：l 阶勒让德方程为2d d (1)(1)0
d d y x l l y x x ??
-++=????
或2
2
2
d d (1)
2(1)0
d d y y x x
l l y x
x
-
-++=）
③ 在②的基础上，求出该定解问题的解。
解：
① 设()()u X x T t =
代入泛定方程，有
()2
22
102
X T X T a x x x ω
????''-?
-=??????
两端除以21
2
X T ω并移项，得
()222
d d /2
d d T X a x T x x ω''
??=
-????
方程两边分别是关于时间t 和空间x 的函数，要使等号成立要求两边等于某个常数λ-，即
()222
d d /2
d d T X a x T x x λω''
??=
-=-????
于是分离出两个方程
()222102d d 0d d T T X a x X x x ωλλ?
''+=??
?
???-+=??????
②
相应的本征值问题为
()220d d 0d d |0,|x x a X a x X x x X X λ==???
-+=??????
?==?
有限
设x ax '=，则方程化为
()2d d 10d d X x X x x λ??
'-+=??''??
记(1)l l λ=+，则上述方程与勒让德方程完全相同。 利用级数解法可求得勒让德方程的解
0011y a y a y =+
其中
2
4
02()(1)
(2)()(1)(3)
()12!
4!(22)(24)()(1)(3)(21)
(2)!
k
l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k -?+--?++''=+
+
+
-----?+++-'
+
+
3
5
121
(1)(2)
(3)(1)(2)(4)
()3!
5!
(21)(23)(1)(2)(4)(2)
(21)!
k l l l l l l y x x x x k l k l l l l l k x k +-?+--?++'''=+
+
+
-----?+++'
+
++
考虑边界条件0|0x u ==，有00a =，即
11y a y =
考虑自然边界条件|x l u ==有限，则1y 截断为多项式，即21,
0,1,2,l k k =+= ，且
1()()l
y x P x ''∝。因此，本征值问题的解为 (1),
(21,
0,1,2,)()(/)
l l l l k k X x P x a λ=+?=+=?
=? 本征值
本征函数
③ 将本征值(1)l l λ=+代入非本征值问题
2
102
T T ωλ''+
=
得
()cos sin l l l l l T t A t B t ωω''=+
其中ωω'=。 特征解为
()cos sin (/)l l l l l l u A t B t P x a ωω''=+
通解为
()21
2
12121210
(,)cos sin (/)k k k k k k u x t A
t B t P x a ωω∞
+++++=''=
+∑ 代入初始条件，有
21210
(/)/k k k A P x a x a ∞
++==∑
，2
121210
(/)0k k k k B P x a ω∞
+++='=∑ 则系数
11A =，210,
0k A k +=≠210k B +=
于是，有
(,)cos x u x t t a
ω=
①
(3分) ② (5分) ③ (2分)
03级数学物理方法期末考试试卷（A 卷）参考答案和评分标准
一、解：
设(,)u x t 分离变量形式的解
(,)()()u x t T t X x =
代入泛定方程及边界条件，得
20()()0()()0
|0,|0
x x x x l T t a T t X x X x X X λλ==''?+=?
''+=??
==? 求解()X x 为本征值问题，其解为
22
2
,(0,1,2,)()cos
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
将本征值代入()T t 的方程并求解，得
0cos
sin ,0(),
n n n n at n at A B n T t l l
A B t n ππ?
+≠?=??+=?
所以，有
001
(,)cos
sin
cos
n
n n an t an t n x
u x t A B t A
B l
l l
πππ∞
=??=++
+ ??
?∑ 由初始条件，得
002
u A =
，02
2
2[(1)1]n
n u A n π
=
--，00B =，0n B =
最终解得
00
2
2
4(21)(21)()cos
cos
2
(21)k u u k a t
k x
u t k l
l
πππ
∞
=++=
-
+∑
分离变量 ()X x 的方程; 边界条件; ()T t 的方程 (6分) 本征值问题 n λ; ()n X x ; n 的取值 (6分) 特解()n T t ; 0()T t (4分) 一般解 (2分)
定系数 (5分) 解式 (2分)
二、解：
这里()0p x =，()q x x =-，易得00x =是方程的常点。 设
()k
k
k y x a
x ∞
==
∑
则
2
2
2
()(1)(2)(1)k k
k
k k k y x k k a
x
k k a
x ∞∞
-+==''=
-=
++∑∑
1
1
1
()k k
k
k k k xy x a
x
a
x ∞
∞
+-===
=
∑∑
代入方程，合并同幂项，令各幂次的系数为零，得递推公式：
211(2)(1)
k k a a k k +-=
++
即
20a =，50a =，…，320k a +=.
30132a a =
?，63014656!
a a a =
=
?，…，3014(32)
(3)!
k k a a k ?-=
41143
a a =
?，74115276
7!
a a a ?=
=
?，…，31125(31)(31)!
k k a a k +?-=
+
得
300114(32)
()1(3)!k
k k y x a x
k ∞
=?
??-=+
????∑
31
111
25(31)()(31)!
k k k y x a x x
k ∞
+=?
??-=+
??+?
?
∑
级数解0()y x 和1()y x 的收敛半径分别为
3033lim
lim (33)(32)k k k k a R k k a →∞
→∞
+==++=∞
31134
lim
lim (34)(33)k k k k a R k k a +→∞
→∞
+==++=∞
判断常点
(3分) 级数解的一般形式 (2分) 递推公式
(6分) 32k a +、3k a 、31k a + (6分) 0y 、0y
(6分) 收敛半径 (2分)
三、解：
该定解问题为
20000
0()sin ,|0,
|0,|0,0.tt xx x x l t t t u a u f x x t u u u u δω====?-=-?
==??==?
应用冲量定理法，0
(,)(,;)d t u x t v x t ττ=
?
，其中(,;)v x t τ满足
20000,|0,
|0,|0,()sin .tt xx x x l t t t v a v v v v v f x x τ
τδωτ====?-=?
==??==-?
设(,;)v x t τ分离变量形式的解
(,;)(;)()v x t T t X x ττ=
本征值问题的解为
22
2
,(1,2,)()sin
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
非本征值问题
22
2
2
0n n n T a
T l
π''+=
解为
()
()
(;)()cos
()sin
n n n n a t n a t T t A B l
l
πτπττττ--=+
则
1()()(,;)()cos ()sin sin n n n n a t n a t n x v x t A B l l l πτπτπτττ∞
=--?
?=
+???
?∑ 代入初始条件，得
0n A =, 0
0000
22()()sin sin
d sin sin
l n n x n x B f x x x f n a
l
n a
l
ππτδωτωτππ=
-=
?
5
则
0100
22222
1
()(,)(,;)d ()sin
d sin sin
sin 2sin
sin /t t
n n n n a t n x u x t v x t B l l an t an t
f n x n x l l an l
a n l l
πτπττττππ
ωωπππ
ωπ∞
=∞
=-??
=
=
???
?
-=
-∑?
?∑
冲量定理法应用正确
(10分)
(,;)v x t τ求解正确
(15分) 解式正确 (5分)
四、解：
取极坐标系，定解问题为
121220110()
sin ,0(,)(,2)u u u u u u u u ρρρ??ρρρρρρρρρ?ρ?ρ?π==?++=<
==??
=+???
设(,)u ρ?分离变量形式的解
(,)()()u R ρ?ρ?=Φ
代入拉普拉斯方程及周期性条件，得
20,()()0,
()(2)R R R ρρλ?λ???π'''?+-=?
''Φ+Φ=??Φ=Φ+?
求解()?Φ为本征值问题，其解为
2
,
(0,1,2,)
cos sin ,
(0)().
(0)
m n m m A m B m m A m λ????==?+≠??
Φ=?
?=??
本征值本征函数
将本征值代入()R ρ的方程并求解，得
,(0)
()ln .
(0)m m m C D m R C D m ρρρρ-?+≠=?
+=? 所以，有
001
1
(,)ln (cos sin )(cos sin )m
m
m m m m m m u C D A m B m C m D m ρ?ρρ
??ρ
??∞
∞
-===++
++
+∑∑
代入1ρρ=和2ρρ=的边界条件定系数，有
10011
1
0112002
2
2
1
1
(,)ln (cos sin )(cos sin )sin (,)ln (cos sin )(cos sin )0
m
m m m m m m m m m m m m m m m u C D A m B m C m D m u u C D A m B m C m D m ρ?ρρ
??ρ
???
ρ?ρρ
??ρ
??∞
∞
-==∞
∞
-==?
=+++++=???
?=++
++
+=??
∑∑∑∑
得
000C D ==，0
1n n n n A B C D n ====≠，121
1111
1
21
10B D u B D ρρρρ--?+=??+=?? 即
1012
2
12
u B ρρρ=
-，2
12012
21
2
u D ρρρρ
=-
-
最终得
12
2022
122(,)sin u x t u ρρρρ?ρρρρ??
=
- ?-??
定解问题
(4分) 分离变量()?Φ的方程; 自然周期性条件; ()R ρ的方程 (3分) 本征值问题m λ; ()m ?Φ; m 的取值 (3分) 特解()m R ρ (4分) 一般解 (2分) 定系数 (7分) 解式 (2分)
五、解：
该定解问题为
122020100
12()0,|0,
|0,(0)|0,
|0,(0)2|sin sin .
t xx yy x x l y y l t u a u u u u y l u u x l x y u u l l ππ=====?-+=?
==<
==<
?=??
设(,,)u x y t 分离变量形式的解
(,)()()()u x t T t X x Y y =
代入泛定方程及边界条件，得
122121020()()()0,()()0,|0,|0,
()()0,|0,|0.
x x l y y y y l T t a T t X x X x X X Y y Y y Y Y λλλλ===='?++=?
''+=??
==??''
+=?
?==?
求解()X x 和求解()Y y 均为本征值问题，其解为
22
1,2
,(1,2,)()sin
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数，22
2,2
,(1,2,)()sin
m m m l
m m x X x l
πλπ?
=
??
=?
?=??
本征值本征函数
将本征值代入()T t 的方程并求解，得
2
2
2
2
2
2
221
2
(
),,()e
a n a m t
l l n m n m T t C ππ-+=
所以，有
2
2
2
222
22
1
2
(),,1
1
2
(,)e
sin
sin
a n a m t
l l n m n m n x m y u x t C l l ππππ∞
-+
==
∑
由初始条件，得
1,20,,
1,2n m C u C n m ==≠≠
最终得
22
2
2
2
1
2
4(
)01
2
2(,)e
sin
sin
a t
l l x
y u x t u l l π
πππ-+
=
定解问题
(4分)
分离变量 ()X x 的方程; ()Y y 的方程; 边界条件 (5分) 本征值问题 (4分) 特解,()n m T t
(4分) 一般解 (4分) 定系数 (2分) 解式 (2分)
六、解：
设(,)u x t 分离变量形式的解
(,)()()u x t T t X x =
代入泛定方程及边界条件，得
20()()()0,()()0,
|0,|0.
x x x x l T t a T t X x X x X X λβλ==''?+-=?
''+=??
==? 求解()X x 为本征值问题，其解为
22
2
,(1,2,)()sin
n n n l
n n x X x l
πλπ?
=
??=?
?=??
本征值本征函数
将本征值代入()T t 的方程并求解，得
2
2
2
2()()e
a n t
l
n n T t C πβ--=
所以，有
222
2
(
)1
(,)e
sin
a n t
l
n n n x u x t C l
πβπ∞
--==
∑
由初始条件，得
10C u =，0
1n C n =≠
最终得
2
2
2()0(,)e
sin
a t
l
x
u x t u l
πβπ--=
分离变量 ()X x 的方程; 边界条件; ()T t 的方程 (6分) 本征值问题 (5分) 特解()n T t ; (6分) 一般解 (3分)
定系数 (3分) 解式
(2分)