第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续．
我们已讨论了一维随机变量函数 的分布，现在我们进一步讨论: 题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X 1, X 2, …,X n 的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Y i =g i (X 1, X 2, …,X n ), i =1,2,…,m 的联合分布?
一、离散型分布的情形 例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数.: ) ()(r Y X P r Z P =+=={X +Y =r } {X =1, X +Y =r } ∪{X =2, X +Y =r } ∪{X =r , X +Y =r }…… 且诸{X =i , X +Y =r },i =1,2, …,r 互不相容
例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数. : ) ()(r Y X P r Z P =+==∑=-===r i i r Y P i X P 0 ) ()(=a 0b r +a 1b r -1+…+a r b 0∑=-===r i i r Y i X P 0 ) ,(由独立性此即离散 卷积公式r =0,1,2, …
依题意 ∑=-====r i i r Y P i X P r Z P 0) (()(）例2若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布, 证明Z =X +Y 服从参数为21,λλ21λλ+的泊松分布. 由卷积公式 i =0,1,2,…j =0,1,2,…!)(i e i X P i 11λλ-==!)(j e j Y P j 22λλ-==
学科分类号：___________ 学院 本科学生毕业设计 题目名称：浅析函数连续与一致连续性的判定学生姓名：学号： 系部：数学与应用数学系 专业年级：应用数学专业 指导教师： 2008年5 月9 日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1前言 (2) 2函数 (2) 2.1 函数连续性的定义 (2) 2.2 函数在区间上的连续性判定 (3) 2.3 判断函数的连续性常用方法 (4) 2.4 初等函数的连续性 (6) 3 函数的一致连续性 (7) 3.1 函数一致连续性定义 (7) 3.2 函数在任意区间上的一致连续性的判定 (8) 3.3 两种常用的判别方法 (9) 3.4 函数一致连续性的几个条件 (11) 4 函数连续与一致连续性的关系 (14) 5 总结 (16) 参考文献： (17) 致谢 (17)
浅析函数连续与一致连续性的判定 摘要:本文首先从连续函数的定义和连续性定理出发,给出了各种区间上函数连续的条件,并且总结了判断函数连续性的常用方法。然后给出了一致连续函数的定义及相关定理。从G﹒康托尔定理出发,给出了两个关于一致连续性的十分重要的判别方法,并说明了使用一致连续性的充要条件来讨论函数在区间上的一致连续性的方法。最后我们从两者的概念出发,深刻地揭示了它们之间的内在联系,更加深入地理解和掌握函数的连续性与一致连续性。 关键词:初等函数；区间；连续;一致连续;非一致连续 Simply analyze the judgment of function’ continuity and consistent continuity Abstract:Firstly, this article is proceed from the definition of conditions of continuous function and continuity theorem, providing with kinds of function continuously in intervals, and also it summarized the conventional methods of judge function continuity. Then it gives out the definition and some relevant theorems of consistent function. With the G.. cantor theorem, it gives two vital important discriminate methods with were concerned with consistent continuity and it illustrated abundant conditions of using consistent continuity functions in interval. Finally, starting from these two conceptions, it reveals their inner relation profoundly and it makes us understand master continuity and consistent continuity of function more penetrate. Key words: elementary function; interval; continuous; consistent continuous; no consistent continuous
Matlab 的数值积分问题 （１）求和命令sum 调用格式. 如果x 是向量,则sum(x) 给出x 的各个元素的累加和;如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例3.1 调用命令sum 求向量x 的各个元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; sum(x) 得到 ans=55 例3.2 调用命令sum 求矩阵x 的各列元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x) 得到 ans=12 15 18 2．定积分的概念. 定积分是一个积分和的极限. 例如取x e x f =)(,求定积分?10dx e x 的近似值。 积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间, x=linspace(0,1,21); 选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值. y=exp(x); 取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来. y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 s1=1.6757 s1可作为定积分?10dx e x 的近似值。 若选取右端点: y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 s2=1.7616 s2也可以作为定积分?10dx e x 的近似值。 下面我们画出图象. plot(x,y);hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')
end 如果选取右端点,则可画出图象. for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],'b') hold on end plot(x,y,'r') 在上边的语句中,for … end 是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill 命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充. 可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算。 syms k n s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n); limit(s,n,inf) 得结果 ans=exp(1)-1 3．计算定积分 例3.6 计算?10dx e x . 解:输入命令: syms x; int(exp(x),0,1) 得结果 ans=exp(1)-1. 这与我们上面的运算结果是一致的. ⒈ 由给定数据进行梯形求积 假设已经建立起向量T N T N y y y y x x x x ],,,[,],,,[2121 ==，则可用以下语句进行梯形求积： sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 MATLAB 提供的trapz()函数也可直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为 S=trapz(x,y) [例1-6-17] 试用梯形法求出),0(π∈x 区间内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积分值。 [求解] >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]; x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 >> S1=trapz(x1,y) [例1-6-18] 用定步长方法求解积分?2 /30)15cos(πdx x 。 [求解] 鉴于求解区域内被积函数有很强的振荡，可先用下述语句绘制被积函数的曲线。 >> x=[0:0.01:3*pi/2,3*pi/2]; y=cos(15*x); plot(x,y) 采用不同的步距，可分别得到积分近似结果。 >> syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % 求理论值 >> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]
函数一致连续的若干方法 学生姓名：钱建英 学号:20115031297 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：段光爽 职称：讲师 摘 要 函数在区间上的一致连续性是学习数学分析课程中的重要理论之一，本 文主要讲述了函数在有限区间与无线区间上一直连续的若干方法并举例说明 关键词 函数；一致连续；极限； Several methods of uniformly continuous function Abstract The function uniform in interval is one of the most of important theories in the mathematics analysis course .this paper describes several methods function on a finite interval with a wireless range has been continuous and illustrated. Key words : function consistent-continuity limit. 0 前言 一致连续是在数学分析中频繁用到的概念，是数学分析中经常涉及的问题，并且一致连续性问题是数学分析中的主要理论，函数一致连续与处处连续有着本质的区别：处处连续是局部概念而一致连续是函数和区间共同决定的，是整体的概念.目前数学分析课本上的判别法大多是利用函数一致连续的定义，没有提出一些直观的判别法.对于初等函数一致连续的问题并没有系统的总结，函数非一致连续也是利用定义，没有直观判别. 函数一致连续性的判定是学习数学分析的重点和难点，因此寻找函数一致连续性的较为直观的判定方法非常重要，对于今后的学习以及数学分析教学有帮助，学习函数一致连续性时有更加直观的感觉，建立感性认识，将一致连续与其他知识联系起来，开阔分析问题的思路，为其他问题的解决奠定基础，本文给出了一些判定方法. 1有限区间上函数一致连续 1.1 一致连续性定义 设f 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0>ε，存在()0>=εδδ，使的对任何的I x x ∈''',,只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f . 则称函数f 在区间I 上一致连续. f 在I 上一致连续意味着：任意的两点x x ''',,不论这两点在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可得到()()ε<''-'x f x f .
8.5 场论简介 8.5.1 向量场的散度 1．沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 对于曲面积分 ??∑ ++Rdxdy Qdzdx Pdydz 在怎样的条件下与曲面∑无关而只取决于∑ 的边界曲线？这问题相当于在怎样的条件下，沿任意闭曲面的曲面积分为零？ 对空间区域G ，如果G 内任一闭曲面所围成的区域全属于G ，则称G 是空间二维单连通区域；如果G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面，则称G 是空间一维单连通区域. 定理2 设G 是空间二二维单连通区域，),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P 、、在G 内具有一阶连续偏导数，则曲面积分 ??∑ ++Rdxdy Qdzdx Pdydz 在G 内与所取曲面∑无关而只取决于∑的边界曲线（或沿G 内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是 0=??+??+??z R y Q x P （4） 在G 内恒成立. 证 类似于第三节第二目的证明. 2. 通量与散度 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 k j i v ),,(),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x ++= 给出，其中R Q P 、、假定具有一阶连续偏导数，∑是速度场中的一片有向曲面，又 k j i n γβαcos cos cos ++= 是∑在点),,(z y x 处的单位法向量，则由第五节第一目知道，单位时间内流体经过∑流向指定侧的流体总质量Φ可用曲面积分来表示： ????????∑ ∑ ∑ ∑ =?=++=++=ΦdS v dS dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz n n v )cos cos cos (γβα 其中γβαcos cos cos R Q P v n ++=?=n v 表示流体的速度向量v 在有向曲面∑的法向量上的投影.如果∑是高斯公式（1）中闭区域Ω的边界曲面的外测，那么公式（1）的右侧可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量.由于假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开Ω的同时，Ω内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体
第五章多元分布基础 前面所介绍的统计分析分法（除方差分析、回归分析），大多是适用于一个变量的总 体，一般称为一元统计分析方法。但在许多实际问题如在工农业生产（提高产品质量、降低成本、提高农作物产量及改进品种等），国民经济和科学研究领域（经济管理、金融、气象、地质、生物、医学、航天技术等）中，常常要处理多个变量的观测数据，即要研究多维随机变量的分布、数字特征及变量间的关系。如果仍用一元统计方法分别对每一个变量进行分析，这样往往忽视了各方面之间存在的相关性，一般来说会丢失很多信息，分析的结果不能客观全面地反映情况.如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律性的数学方法，那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的数学方法。 多元统计分析方法是以概率论、线性代数及一元统计方法为基础的数理统计学的一个分支。随着计算机的发展，特别是统计软件的应用，多元统计分析方法才被广泛的应用到解决实际问题中，本身也得到了迅猛的发展。 5.1多元分布 一、多元分布的概念 1. 分布函数 定义5.1.1设)',,,(21p X X X =X 是一随机向量，它的（多元）分布函数是 )(x F =),,,(21p x x x F =),,(11p p x x P ≤≤X X （5.1.1） 式中，),,,(' 21p x x x x =p R ∈，并记成X ～),,,(21p x x x F 多元分布函数的性质： Ⅰ),,,(21p x x x F 是每个变量x i （i =1,…, p ）的非降右连续函数； Ⅱ1),,,(021≤≤p x x x F ； Ⅲ=-∞),,,(2p x x F ==-∞ ),,,(1p x x F ),,,(21-∞ x x F =0； Ⅳ1),,,(=∞∞∞ F 。 本章主要对连续型的多元分布进行讨论，离散型的的多元分布常用的有如：多项式分布、多元超几何分布。 2.两个常用的离散性多元分布 （1）多项分布 （2）多元超几何分布 3．多元分布密度函数
函数一致连续性的判别 一.函数一致连续性的定义 1.函数一致连续性的概念 定义：设函数) (x f 在区间I 有定义，若δ δε <-∈?>?>?212,1:,0,0x x I x x 有 , )()(21ε<-x f x f 称函数) (x f 在I 上一致连续。 例1.证明：函数) 0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。 证 ：,0>?ε由于' '' ')''()(x x a x f x f -=-，取δ= a ε ，则对任何) ,(,'''+∞-∞∈ x x ， 只要 δ <-' '' x x ，就有 ε <-)()(' ''x f x f ，故函数 ) 0()(≠+=a b ax x f 在) ,(+∞-∞上一致连续。 例2. 证明：函数 x x f 1)(= 在区间[]1,a （其中10<?ε由于' ''2 ' ''' ' ''' '' ' 111)''()(x x a x x x x x x x f x f -≤ -= - = -，取ε δ 2 a =， 则对任意[],1,,'''a x x ∈当δ <-' ''x x 时，就有 ε <-)()(' '' x f x f ，故函数 x x f 1)(= 在区间[]1,a （其中10<?>?>=?δδε10,021 n ，取1 1' += n x ，(]1,01'',1 1' ∈= += n x n x ，虽 然有 ,1) 1(111 12 ' '' δ<< +<- += -n n n n n x x 但 2 11)1()(0' '' = >=-+<-εn n x x f ，故函数 x x f 1)(= 在区间(]1,0上非一致连 续。 例3.（1）叙述 ) (x f 于区间I 一致连续的定义;(2)设 ) (x f ，)(x g 都于区间I 一致 连续且有界，证明：)()()(x g x f x F =也于I 一致连续。 解： （1）若δ δε <-∈?>?>?212,1:,0,0x x I x x 有 , )()(21ε<-x f x f 称函数 ) (x f 在
多元函数求最值
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多元函数求最值问题 一.【问题背景】 多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。 二.【常见的方法】 导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等 主要思想方法：数形结合、化归思想等 三.【范例】 例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则21 3x y x y ++-的最小值为 。 方法一 因为422x y +≥，所以 ()2121 4( )()[(3)()]332333322 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当221,322x y =-=-取等号，故 21 3x y x y ++-的最小值3224+ 【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数， 再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。 方法二 利用不等式()2 22a b a b p q p q +++≥ ，引证： 记向量( ,),(,)a b x y p q p q ==r u r ，因为() 222x y x y ??r u r r u r ≤ 所以 ()2 2 2 a b a b p q p q +++≥，则 () () 2 2121 32x y x y x y +++-+≥ 3224+≥ 【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使 复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥
这里D 为半圆22y ax x =-x 轴围成的区域，其面积为22 a π． [例6.3.12] 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有连续导数，计算 2221()[()1]L y f xy x I dx y f xy dy y y +=+-? 其中L 是从点1 (2,)2A 到点1(2,)2 B 的直线段． 分析：由于被积函数中含有抽象函数，用第一种方法无法求出，所以应选第二种方法． 解：记21()(,)y f xy P x y y +=，2 2(,)[()1]x Q x y y f xy y =- 则 21()()P Q f xy xyf xy y y x ??'=-++=??，（0y ≠） 添加方程为1xy =的曲线弧?BA ，则?L BA +为闭曲线（如图所示），于是 ?? ??( )L BA BA BA BA D Q P I dxdy x y +??=-=--=-??? ????? 2 231122 2 (1)115 [()((1))]24f x xf x dx xdx x x =- + --=-=-??． 评注：此题添加的线段也可以选择平行于坐标轴的折线． Ⅰ 曲线积分是否与路径无关 若(,)P x y ，(,)Q x y 在区域D 内连续或有连续一阶偏导数，判断曲线积分L Pdx Qdy +? 在D 内是否与路径无关常有下列方法： 法一：如存在D 内一条简单闭曲线C ，使 0C Pdx Qdy +≠??，则曲线积分与路径有关； 法二：如存在D 内存在一点00(,)M x y ，使得 M M P Q y x ??≠ ??，则曲线积分与路径有关； 法三：如D 是单连域，且在D 内恒有 Q P x y ??=??，则曲线积分与路径无关； 法四：如存在(,)u x y ，使得在D 内恒有du Pdx Qdy =+，则曲线积分与路径无关； 法五：设存在单连域U ，使得0M U ∈且0\D U M =，而且存在D 内的一条包含0M 点的简单闭曲线C ，使 0C Pdx Qdy +=??，则曲线积分与路径无关．
11.多元函数微分学 1.全微分：多元函数可微指该函数在该点存在向量使得 向量b成为函数该点的导数，
多元函数求最值问题 一.【问题背景】 多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。 二.【常见的方法】 导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等 主要思想方法：数形结合、化归思想等 三.【范例】 例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则21 3x y x y ++-的最小值为 。 方法一 因为422x y +≥，所以 ( )2121 4( )()[(3)()]3323333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当1,3x y ==-取等号，故 213x y x y ++- 的最小值34 + 【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数， 再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。 方法二 利用不等式()2 22a b a b p q p q +++≥ ，引证： 记向量x y == ，因为() 222x y x y ?? ≤ 所以 ()2 2 2 a b a b p q p q +++≥ ，则 ) () 2 12132x y x y x y ++-+ ≥ 【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使 复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥