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第四章：不定积分
学习要求：
1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质
2.掌握不定积分的换元积分法
3.掌握不定积分的分步积分法
4.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分。
不定积分的基本公式和定理
1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
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第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
第四章 不定积分 知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)
思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?
第四章 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２）?x x dx 2 ３）dx x ?-2 )2( ４）dx x x ?+2 2 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(? + ８）dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3)23( ２） ? -3 32x dx ３）dt t t ? sin ４）? ) ln(ln ln x x x dx
５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2 ? ８）dx x x ?-4 3 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122x dx 12）dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ?sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,222 a dx x a x ５）? +3 2 ) 1(x dx ６） ?+ x dx 21 ７） ?-+ 2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）? xdx x ln 2 ４）dx x e x ? -2 sin 2
《高等数学》单元自测题答案 第四章 不定积分 一、填空题： 1、2ln 2 22 x x ； 2、2 2 ； 3、C x +-2 2 )1(21 ； 4、C x ++1tan 2； 5、C x x ++3 3 1ln 31． 二、选择题： 1、C ； 2 、C ； 3、B ． 三、计算下列不定积分： 1、解 ?? ??+- = +-+= += +x x x x x x x x x x de e de e e de e e dx e e )111(111112 C e e e d e de x x x x x ++-=++- = ??)1ln()1(11 。 2、解 ? ?? +- += +-dx x x dx x x dx x x x 2 2 2 1arctan 11arctan C x x x xd x x d +- += - ++= ??2 2 2 2 )(arctan 2 1)1ln(2 1arctan arctan 1)1(2 1。 3、解 令t x sin =，则tdt dx cos =，且 ??? ? -+-= +=-+= -+dt t t t t dt t t t tdt x dx )cos 1)(cos 1() cos 1(cos cos 1cos sin 11cos 112 2 ? ? ? ?? -- = - = -= dt t t t t d dt t t dt t t dt t t t 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 1sin sin sin cos sin cos sin cos cos C x x x x C t t t ++-+ - =+++-=arcsin 11cot sin 12。 4、解 令12-= x t ，则)1(2 12 += t x ，tdt dx =，且 ?? ?? +- = +-+= += +-dt t dt t t dt t t dx x )1 11(1 111 1 121 C x x C t t +-+--=++-=)121ln(12|1|ln 。 5、解 ????? - =- ==dx x e x e x d e x e de x dx x e x x x x x x 2 1 2cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin )2 c o s 2c o s (212s i n 2c o s 21 2 s i n ??- -=- =x d e x e x e de x x e x x x x x ?-- =dx x e x e x e x x x 2sin 4 12 cos 212 sin 所以，C x e x e dx x e x x x +- = ?)2 cos 2 12 sin (542 sin 。
第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()() ()??'=' dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）?=dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。
第四章 不定积分 【考试要求】 1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，理解原函数存在定理，掌握不定积分的性质。 2．熟记基本不定积分公式。 3．掌握不定积分的第一类换元法(“凑”微分法)，第二类换元法(限于三角换元与一些简单的根式换元)。 4．掌握不定积分的分部积分法。 5．会求一些简单的有理函数的不定积分。 【考试内容】 一、原函数与不定积分的概念 1．原函数的定义 如果在区间 I 上，可导函数 ()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ） 在区间I 上的原函数． 例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数． 2．原函数存在定理 如果函数 ()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一 x I ∈都有()()F x f x '=． 简单地说就是，连续函数一定有原函数． 3．不定积分的定义 在区间I 上，函数 ()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区
间I 上的不定积分，记作 ()f x dx ?．其中记号? 称为积分号， ()f x 称为被积函数， ()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量． 如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积 分，即 ()()f x dx F x C =+?，因而不定积分()f x dx ?可以表示()f x 的任意一个 原函数． 函数 ()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线． 4．不定积分的性质 （1）设函数 ()f x 及()g x 的原函数存在，则 [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±???． （2）设函数 ()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则 ()()kf x dx k f x dx =??． 5．不定积分与导数的关系 （1）由于 ()f x dx ?是()f x 的原函数，故 ()()d f x dx f x dx ? ?=? ?? 或 ()()d f x dx f x dx ??=??? ． （2）由于()F x 是()F x '的原函数，故 ()()F x dx F x C '=+? 或 ()()dF x F x C =+? ． 二、基本积分公式 1． kdx kx C =+? （k 是常数）
东华理工学院高等数学课程建设组 第四章 不定积分 教学目的： 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。 2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F ′(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )′=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=′, 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F ′(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )?F (x )=C (C 为某个常数).
第四章不定积分 '、不定积分的概念和性质 1 ?原函数：若F (x) = f (x)，则称F (x)为f (x)的一个原函数. 2.不定积分：若 F (x)二 f (x)，则 f (x)dx = F (x) ? C ? 3 .不定积分的基本性质： (1) [ f(x)dx]" = f(x)或 d f (x)dx = f (x)dx ； (2) F (x)dx=F(x) C 或 dF(x) =F(x) C . 例1 (1 )若xln x 是f (x)的一个原函数，求 f (x)； (2) 若F(x)是 叱 的一个原函数，求dF(x 2 )； x (3) 若e ?是f (x)的一个原函数，求 e x f (x)dx ； 1 1 (4) 若 f (x) e x dx =e x C ，求 f (x); (5) 求■ f (x 3 )dJ ； (6) 若 f(x)二 e*，求 f (lnx) dx . x 解(1)因为 f (x) =(xln x)" = ln x 1，所以 f (x)J . x sin x (2)因为F (x)-——，所以 x (3)因为 f(x) =(e?)〔则 f (x) = ，所以 e x f (x)dx 二 e x e?dx 二 dx 二 x C . f (x) g x . 2 dF(x 2) =[F (x 2) 2x]d^Sin ^x - x 2 2xdx 二 2sin x 2 dx . (4) 1 因为 f(x)e x = 1 e 1 1 —e x ，所以
■ f(x 3)dJ = f (x 3 ). f (ln x) dx 二 f (In x)d(ln x)二 f (In x) C = e " x c =丄 C . x x (5) (6)
第四单元 不定积分 一、填空题 1、? dx x x =___________。 2、?x x dx 2=_____________。 3、?+-dx x x )23(2=_____________。 4、 ?-dx x x x sin cos 2cos =___________。 5、?+x dx 2cos 1=____________。 6、dt t t ?sin =___________。 7、?xdx x sin =___________。 8、?xdx arctan =__________。 9、=+?dx x x 2sin 12sin ____________。 10、? =''dx x f x )(____________。 11、?=++dx x x 1)3(1________________。 12、 ?=++__________522x x dx 。 二、单项选择 1、对于不定积分 ()dx x f ?，下列等式中（ ）是正确的. （A ）()()x f dx x f d =?； （B ） ()()x f dx x f ='?； （C ） ()()x f x df =? ； （D ） ()()x f dx x f dx d =?。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ?等于（ ） （A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。
3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ） （A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ； （C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。 4、若?+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ） （A ）c x +35 56；（B ）c x +35 59；（C ）c x +3 ；（D ）c x +。 5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=?dx x xf )(（ ） （A ）c x x ++)ln 41 21 (2；（B ）c x x ++)ln 21 41(2； （C ）c x x +-)ln 21 41(2；（D ）c x x +-)ln 41 21(2。 6、设c x dx x f +=?2)(，则=-?dx x xf )1(2（ ） （A ）c x +--22)1(2；（B ）c x +-22)1(2； （C ）c x +--22)1(21 ；（D ）c x +-22)1(21 。 ７、=+-?dx e e x x 11 （ ） （A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ； （C ）c e x x ++-|1|ln 2； （D ）c x e x +--|1|ln 2。 ８、若)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）x sin 1+； （B ）x sin 1-； （C ）x cos 1+； （D ）x cos 1-。 ９、)(),()('x f x f x F =为可导函数，且1)0(=f ，又2)()(x x xf x F +=，则)(x f =（ ） （A ）12--x ； （B ）12+-x ； （C ）12+-x ； （D ）12--x 。 10、=?-??dx x x x 23223（ ） （A ）C x x +?-)23(23ln 23； （B ）C x x x +?--1)23 (23； （C ）C x +?--)23 (2ln 3ln 2 3； （D ）C x x +?--)23 (2ln 3ln 23。
第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =， 求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0), x x x =>所以ln x 是 1 x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论： 若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个． 假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个
4第四章不定积分答 案
不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一、填空题 1.一阶导数?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 2.不定积分?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 3．?Skip Record If...?的原函数是?Skip Record If...?则?Skip Record If...? （?Skip Record If...?） 4．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?），?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） ?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 5．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 6．过点?Skip Record If...?且在横坐标为?Skip Record If...?的点处的切线斜率为?Skip Record If...?的曲线方程为（?Skip Record If...?） 7．设?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 8．设?Skip Record If...?的一个原函数为?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 9．?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 二、计算题：求下列不定积分： 1．?Skip Record If...?=?Skip Record If...? 2．?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 3．?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 4．?Skip Record If...?=?Skip Record If...? 5. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 6. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 7. ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? 8. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 9．?Skip Record If...??Skip Record If...? 10. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 11. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 12. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 三、求?Skip Record If...??Skip Record If...?的一个适合?Skip Record If...?的原函数。 解：?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 换元积分法 填空题： 1．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 2．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 3．若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 4．若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（ ?Skip Record If...?） 计算题：计算下列不定积分 1．?Skip Record If...? =?Skip Record If...?