当前位置：文档之家› 高等数学第四章不定积分课后习题详解

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分

内容概要

课后习题全解

习题41

1、求下列不定积分:

知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。

思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分！★(1)

思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。

解:

★(2)

思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:1

14111

33322

()2

4dx x x dx x dx x dx x x C -

-=-=-=-+????

★(3)

思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:

★(4)

思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:

★★(5)

思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。

解:4223

2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x

++=+=++++??? ★★(6)

思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。解:

注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解

为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。

★(7)

思路:分项积分。解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x

x x --=-+-?

????34134（-

+-）2

★(8)

思路:分项积分。解:

2231(

323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?

? ★★(9)

思路:？瞧到,直接积分。

解:

★★(10)

思路:裂项分项积分。解:

222222

111111

()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x

x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)

解:

★★(12)

思路:初中数学中有同底数幂得乘法: 指数不变,底数相乘。显然。解:

★★(13)

思路:应用三角恒等式“”。解:

★★(14)

思路:被积函数 ,积分没困难。解:

★★(15)

思路:若被积函数为弦函数得偶次方时,一般地先降幂,再积分。解:

★★(16)

思路:应用弦函数得升降幂公式,先升幂再积分。解:

★(17)

思路:不难,关键知道“”。解:

★(18)

思路:同上题方法,应用“”,分项积分。

解:

222222

cos2cos sin11 cos sin cos sin sin cos x x x

dx dx dx x x x x x x x

==-

????

★★(19)

思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。

解:

★★(20)

思路:注意到被积函数,则积分易得。

解:

★2、设,求。

知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数得关系。

思路分析:直接利用不定积分得性质1:即可。

解:等式两边对求导数得:

★3、设得导函数为,求得原函数全体。

知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数得关系。思路分析:连续两次求不定积分即可。

解:由题意可知,

所以得原函数全体为:。

★4、证明函数与都就是得原函数

知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数得关系。

思路分析:只需验证即可。

解:,而

★5、一曲线通过点,且在任意点处得切线得斜率都等于该点得横坐标得倒数,求此曲线得方程。

知识点:属于第12章最简单得一阶线性微分方程得初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数得

关系。

思路分析:求得曲线方程得一般式,然后将点得坐标带入方程确定具体得方程即可。解:设曲线方程为,由题意可知:,;

又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线得方程为

★★6、一物体由静止开始运动,经秒后得速度就是,问:

（1）在秒后物体离开出发点得距离就是多少？（2）物体走完米需要多少时间？

知识点:属于最简单得一阶线性微分方程得初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数得关系。思路分析:求得物体得位移方程得一般式,然后将条件带入方程即可。解:设物体得位移方程为:,

则由速度与位移得关系可得:, 又因为物体就是由静止开始运动得,。 (1) 秒后物体离开出发点得距离为:米; (2)令秒。

习题42

★1、填空就是下列等式成立。

知识点:练习简单得凑微分。

思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。解:234111

(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212

dx d x xdx d x x dx d x =

-=--=-

2222

111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255

112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =

==--===+

2、求下列不定积分。

知识点:(凑微分)第一换元积分法得练习。

思路分析:审题瞧瞧就是否需要凑微分。直白得讲,凑微分其实就就是瞧瞧积分表达式中,有没有成块得形式

作为一个整体变量,这种能够马上观察出来得功夫来自对微积分基本公式得熟练掌握。此外第二类换元法中得倒代换法对特定得题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍！

★(1)

思路:凑微分。解:

★(2)

思路:凑微分。解:

★(3)

思路:凑微分。解:

★(4)

思路:凑微分。

解:1233

111

(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+? ★(5)

思路:凑微分。

解:11

(sin )sin ()()cos x

x x

b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a

-=-=--+???

★★(6)

思路:如果您能瞧到,凑出易解。解:

★(7)

思路:凑微分。解:

★★(8)

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。解:

(ln ||)(ln |ln |)

ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???

★★(9)

思路:本题关键就是能够瞧到就是什么,就是什么呢？就就是！这有一定难度！

解:tan tan ln |C ==-+?

★★(10)

思路:凑微分。解:

方法一:倍角公式。

2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx xd x x x C x x x ===-+???

方法二:将被积函数凑出得函数与得导数。

22cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+????

方法三: 三角公式,然后凑微分。

22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x +==+=-+??????

★★(11)

思路:凑微分:。解:

★(12)

思路:凑微分。解:

★★(13)

思路:由凑微分易解。解

12222

11(23)(23)66x d x C -=-=---=?

★★(14)

思路:凑微分。

解:2

cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω

★★(15)

思路:凑微分。

解:33444

444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x

x x x ===--=--+----???? ★(16)

思路:凑微分。解:

★★(17)

思路:经过两步凑微分即可。解

10111010C ===+

★★(18)

思路:分项后分别凑微分即可。解:

★★(19)

思路:裂项分项后分别凑微分即可。

解:

1)1).C

=-+=+?

★(20)

思路:分项后分别凑微分即可。

解:

222

1454111

4(45)

(45)5(45)2545(45)

xdx x

dx d x x x x x

=-=------

???

（）（）

1141141

(45)(45)ln|45|.

254525252545

(45)

d x d x x C

x x

=---=-++ --

★(21)

思路:分项后分别凑微分即可。

解:

222

100100100100100

(11)(1)(1)1

(2)

(1)(1)(1)(1)(1)

x dx x dx x x

dx x x x x x

-+--

==++

-----

???

★★(22)

思路:裂项分项后分别凑微分即可。

解:2 8444444

111111

()()

1(1)(1)1111 xdx xdx

xdx dx x x x x x x x

==-=-

--+-+-+

????

222

22422

222

11111111

[()][(1)(1)] 428

11111

ln||arctan.

484

()11

dx d x d x

x x x x x

dx x C

x x

=--=--+

-++-+

-=-+

???

★(23)

思路:凑微分。。

解:3222

cos cos cos cos sin(1sin)sin

xdx x xdx xd x x d x

=?==-

????

★★(24)

思路:降幂后分项凑微分。解:2

1cos 2()11

cos ()cos 2()2()2

24t t dt dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω+++=

=+++?

???

★★★(25)

思路:积化与差后分项凑微分。解:111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102x xdx x x dx xd x xdx =

-=-?

???

★★★(26)

思路:积化与差后分项凑微分。解:111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424x xdx x x dx xd x xd x =

-=-?

???

★★★(27)

思路:凑微分。

解:3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-????

★★(28)

思路:凑微分。解:

★★(29)

思路:凑微分。解:

★★★★(30)

思路:=

=。

解:

(arctan ==?

★★★★(31)

思路:被积函数中间变量为,故须在微分中凑出,即被积函数中凑出,

22ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x

dx dx xdx d x x x x x x x

===

ln tan (ln tan )((ln tan ))2

xd x d x ==

解:2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x dx dx d x xd x x x x x x

===????

★★★★(32)

思路: 解:

★★★★(33)

解:方法一:

思路:将被积函数得分子分母同时除以 ,则凑微分易得。

11()(1)ln |1|1111x x x x

x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----????

方法二:

思路:分项后凑微分

方法三:

思路: 将被积函数得分子分母同时乘以 ,裂项后凑微分。

111ln (1)1(1)(1)11x x x x x

x x x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ??===+=--??-----??

?????

★★★★(34)

解:方法一: 思路:分项后凑积分。

6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ??

+-===-

?++++??

????

方法二:思路:利用第二类换元法得倒代换。令,则。

66626

666611(4)1(41)()12424(4)14144114

ln(14)ln(1).

2424dx t d t d t dt x x t t t t

t C C x

+∴=?-=-=-++++=-++=-++???? ★★★★(35)

解:方法一: 思路:分项后凑积分。

8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)

1dx x x x x x dx

dx dx x x x x x x x -+-++==+----????

方法二: 思路: 利用第二类换元法得倒代换。令,则。

88642

822222

11()(1)1(1)11

1dx t t dt dt t t t dt x x t t t t

∴=?-=-=-++++----???? 642642

2753751111(1)(

)(1)()2111

11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C

t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定积分。

知识点:(真正得换元,主要就是三角换元)第二种换元积分法得练习。

思路分析:题目特征就是被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式？三角函数中,下列二恒等式起到

了重要得作用。

2222sin cos 1;

sec tan 1.x x x x +=-=

为保证替换函数得单调性,通常将交得范围加以限制,以确保函数单调。不妨将角得范围统统限制在锐角范围

内,得出新变量得表达式,再形式化地换回原变量即可。

★★★(1)

思路:令,先进行三角换元,分项后,再用三角函数得升降幂公式。解:令,则。

22cos sec 1cos 1cos 222cos 2

tdt dt dt t t

dt t t d t t t ∴==-=-=-++?

????

(或)

(万能公式,又时,)

★★★(2)

思路:令,三角换元。解:令,则。

223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3

3tan 33arccos .

t dx t tdt tdt t dt

x t t t C C x ∴===-=-+=+????

(时,)

★★★(3)

思路:令,三角换元。解:令,则。

sec

cos sin

sec

tdt dt

tdt t C C

∴====+=+

???

★★★(4)

思路:令,三角换元。

解:令,则。

33222

sec11

cos in

sec sec

a tdt dt

tdt s t C

a t a t a a

∴====+

???

★★★★(5)

思路:先令,进行第一次换元;然后令,进行第二次换元。

解:,令得:

,令,则

11tan11tan1

sec sec

22tan sec2tan

111

(csc sec)ln sec tan ln csc cot

222

11111

ln ln.

2222

t t

tdt tdt

t t t

t t dt t t t t C

u C x C

∴===

=+=++-+

=++=+

(与课本后答案不同)

★★★(6)

思路:三角换元,关键配方要正确。

解:,令,则。

1cos21

9cos99(sin2)

224

arcsin.

t t

tdt dt t C

∴===++

★★4、求一个函数,满足,且。

思路:求出得不定积分,由条件确定出常数得值即可。解:

令,又,可知,

★★★5、设,求证:,并求。

思路:由目标式子可以瞧出应将被积函数分开成,进而写成:

,分项积分即可。

证明:222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-????

2122544253142421

tan tan tan .1111

5tan tan tan tan 442

1111

tan tan tan tan tan ln cos .4242

n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=

--===-=-+=-+=--+???时，

习题43

1、求下列不定积分:

知识点:基本得分部积分法得练习。

思路分析:严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后得越优先纳入到微分号下凑微分。”得原则进行

分部积分得练习。

★(1)

思路:被积函数得形式瞧作,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数优先纳入到微分号下,凑微分后仍为。解

1arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+

-??

★★(2)

思路:同上题。

解:22

22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x

dx x x dx x x +=+-=+-++???

222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .

x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++??? ★(3)

思路:同上题。

解:222

(1)

arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++???1

★★(4)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:22221111sin sin ()sin cos 22222222

x x x x x x x

dx d e e e dx ----=-=-+?

??Q

★★(5)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:32

332

111

arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x dx x

==-+???

3322

223221111111arctan arctan (1)33313661111

arctan ln(1).366

x x x xdx dx x x x d x x x

x x x x C =-+=-++++=-+++???

★(6)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:cos 2sin

2sin 2sin 2sin 4sin 2

222222

x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-?

★★(7)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-?????

2211

(tan )tan tan tan ln cos .22

xd x xdx x x xdx x x x x x C =-=--=+-+???

★★(8)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:22

1ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x

=-??=-=-+??

★★(9)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:

★★(10)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:22

2222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x

=-=-+?=-+????

222211121122

ln 2ln ()ln ln 2ln ln x xd x x dx x x C x x x x x x x x

=-+-=--+=---+??

★★(11)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:1

cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x

=+?=+??

cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln (cos ln sin ln ).

x x x x x x dx x x x x xdx

xdx x x C =+-?=+-∴=++???

★★(12)

思路:详见第(10) 小题解答中间,解答略。

★★(13)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:

★★(14)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:

★★(15)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:32

4241111(ln )(ln )()(ln )2ln 4

44x x dx x d x x x x x dx x

-???

? 423424424442434244421111

(ln )ln (ln )ln 42481111111

(ln )ln (ln )ln 48848811111

(ln )ln (2ln ln ).483284x x x xdx x x xdx x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x C x x x C =

-=-=-+?=-+=-++=-++???? ★★(16)

思路: 将积分表达式写成,将瞧作一个整体变量积分即可。解:ln ln 111

ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x ==-??=-????

★★★ (17)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244x x xdx x xdx xd x x x xdx =

=-=-+????

1111

cos 2cos 22cos 2sin 2.4848

x x xd x x x x C =-+=-++?

★★(18)

思路:先将降幂得,然后分项积分;第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:22

22221111

cos

(cos )cos 22222

x x dx x x x dx x dx x xdx =+=+?

??? 32323232

11111

sin sin 2sin 62622

1111sin cos sin cos cos 6262x x d x x x x x xdx x x x xd x x x x x x xdx =

+=+-=++=++-????

★★(19)

思路:分项后对第一个积分分部积分。解:2

11(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222

x xdx x xdx xdx x d x x -=

-=-+?

??? 2222211111

cos 22cos 2cos 2cos 2sin 22222211111

cos 2cos 2sin 2sin 2cos 222222

1111

cos 2sin 2cos 2cos 2224211313cos 2sin 2cos 2(sin 2)cos 2sin 2.

224222

x x x xdx x x x xd x

x x x x x xdx x x x x x x x C

x x x x x C x x x x C =-++=-++=-+-+=-++++=-+++=--++???

★★★(20)

思路:首先换元,后分部积分。解:令,则

22222223333323323663666632).

t t t t t t t t t t t t t e t dt e t dt t de t e te dt t e tde t e e t e dt t e e t e C C C ∴====-=-=-+=-++=-+=+??????? ★★★(21)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:

222(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.

x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+?★★★(22)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:方法一:

2sin sin 2sin 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 2x x x

e x e xdx

e xdx xde e x e xdx e x xde

=-==-=-?????Q

方法二:

21cos 21111

sin cos 2cos 222222

x x x x x x x e xdx e dx e dx e xdx e e xdx -==-=-????? cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2x x x x x x e xdx xde e x e xdx e x xde ==+=+????Q

★★★(23)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:

令,则

2221

44444arctan 11t dt dt dt t t C t t C

∴==-=--++=-???

所以原积分。

★★★(24)

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

高数不定积分例题

不定积分例题例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1．求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2．已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3．设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4．计算 3。 5。计算。 6．计算 71 (2) dx x x +?。 7。计算。 8．计算 21 13sin dx x +?。 9。计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10．计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11．计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12．设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13．设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14．计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15．计算x 。 16．计算 1sin 22sin dx x x +?。 17．计算ln t tdt α ? 。 18．计算()ln n x dx ?。《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2．设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3．计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4．已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝。

高等数学不定积分习题

第四章不定积分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________?。二．是非判断题 1．若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4．若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有。（A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.

高等数学定积分应用

第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节定积分的元素法 1课时第二节定积分在几何学上的应用 3课时第三节定积分在物理学上的应用 2课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积解由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

(完整版)定积分测试题

题号一二三四总分统分人分数得分一、选择（8小题，共26分）得分阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（）（A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空（2小题，共5分）得分阅卷人

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全内容概要课后习题全解习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。解： (8)★思路:分项积分。解： (9)★★思路:？看到，直接积分。解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解： () 17★思路:不难，关键知道“”。：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。解：、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为，由题意可知：，；又点在曲线上，适合方程，有，所以曲线的方程为、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

高等数学积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ．＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高等数学微积分复习题

第五章一元函数积分学 1．基本要求（1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。（2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。（3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次线性微分方程的通解公式。（4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。（5）会用微积分基本公式求解定积分。（6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。（7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。（8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析（1）本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布尼茨公式；定积分的应用。（2）本章难点：求不定积分，定积分的应用。重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

定积分测试题

题号一二三四总分统分人分数得分一、选择（8小题，共26分）得分阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（）（A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。解： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。

48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec

15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-1

1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-，故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分内容概要

课后习题全解习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

高等数学定积分及其应用复习题

第五、六章定积分及其应用（１）一．判断题（）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积．（）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则? =x a dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数. （）4． ? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(,??=dx x f k dx x kf )()(都对. （）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使 )()()(a b f dx x f b a -=? ξ． ( ). 二．填空题 1．设?= x x tdt x f 2 ln )(，则=')2 1(f . 2．?=x tdt dx d 1sin , dx d ?b a x 2 s i n dx = . 3．若),1(2) (0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 4．1 1xdx -? ＝ . 5． ? +21 42 )1 (dx x x ＝ , ?-10241dx x ＝ . 三．计算题 1． ? -e e dx x 1 ln 2．dx x x ?-π 53sin sin 3．设???? ?>-≤=1 , 11, )(2 x x x x x f ，求 ? 20 )(dx x f ． 4．dt t dx d x x ?+32411 5．20 0arctan lim x tdt x x ?→ 四．对任意x ，试求使 ? -+=x a x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ．五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明

高等数学不定积分练习题

作业习题求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。

作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222

文档之家

高等数学 第四章不定积分课后习题详解

高数不定积分例题

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

高等数学不定积分习题

高等数学定积分应用

(完整版)定积分测试题

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学积分公式大全

定积分及微积分基本定理练习题及答案

高等数学微积分复习题

定积分测试题

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

高等数学定积分复习题

高等数学第四章不定积分课后习题详解

高等数学 定积分及其应用复习题

高等数学不定积分练习题

高等数学第四章不定积分课后习题详解

高等数学定积分及其应用复习题