《二次根式》同步练习题一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列二次根式是最简二次根式的为( )
A.23a B.8x2 C.y3 D.b 4
2.下列二次根式中,可与12进行合并的二次根式为( )
A. 6
B.32
C.18
D.75 3.(宁夏中考)下列计算正确的是( )
A.a+b=ab B.(-a2)2=-a4
C.(a-2)2=a2-4 D.a÷b=a
b
(a≥0,b>0)
4.化简3-3(1-3)的结果是( )
A.3 B.-3 C. 3 D.-3
5.设m=32,n=23,则m,n的大小关系为( )
A.m>n B.m=n
C.m<n D.不能确定
6.已知x+y=3+22,x-y=3-22,则x2-y2的值为( )
A.4 2 B.6 C.1 D.3-22
7.如果最简二次根式3a-8与17-2a可以合并,那么使4a-2x有意义的x的取值范围是( )
A.x≤10 B.x≥10 C.x<10 D.x>10
8.甲、乙两人计算a+1-2a+a2的值,当a=5时得到不同的答案,甲的解答是a+1-2a+a2=a+(1-a)2=a+1-a=1;乙的解答是a+1-2a+a2=a+(a-1)2=a +a-1=2a-1=9.下列判断正确的是( )
A.甲、乙都对B.甲、乙都错
C.甲对,乙错D.甲错,乙对
9.若a3+3a2=-a a+3,则a的取值范围是( )
A.-3≤a≤0 B.a≤0
C.a<0 D.a≥-3
10.已知一个等腰三角形的两条边长a,b满足|a-23|+b-52=0,则这个三角形的周长为( )
A.43+5 2 B.23+52
C.23+10 2 D.43+52或23+102
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(常德中考)使代数式2x-6有意义的x的取值范围是____________.
12.(金华中考)能够说明“x2=x不成立”的x的值是____________(写出一个即可).
13.(南京中考)比较大小:5-3____________5-2
2
.(填“>”“<”或“=”)
14.若m,n都是无理数,且m+n=2,则m,n的值可以是m=____________,n=____________.(填一组即可)
15.在实数范围内分解因式:4m2-7=____________.
16.当x≤0时,化简|1-x|-x 2的结果是__________. 三、解答题(共52分) 17.(8分)计算: (1)75×
63÷12
;
(2)a(a +2)-a 2b ÷ b.
18.(10分)先化简,再求值:2(a +
3)(a -3)-a(a -6)+6,其中a =2-1.
19.(10分)(雅安中考)先化简,再求值:x 2+y 2-2xy x -y ÷(x y -y x
),其中x =2+1,y =2-1.
20.(12分)若实数a ,b ,c 满足|a -2|+b -2=c -3+3-c.
(1)求a ,b ,c ;
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的周长.
21.(12分)在如图8×10方格内取A ,B ,C ,D 四个格点,使AB =BC =2CD =4.P 是线段BC 上的动点,连接AP ,DP.
(1)设BP =a ,CP =b ,用含字母a ,b 的代数式分别表示线段AP ,DP 的长;
(2)设k =AP +DP ,k 是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
答案:1.A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.D 9.A 10.C
11.x≥3 12.答案不唯一,如:-1 13.< 14.1+ 2 1- 2 15.(2m +7)(2m -7) 16.1
17.(1)原式=53×63
×2=10. (2)原式=a +2a -a =2 a.
18.原式=a 2+6a.当a =2-1时,原式=42-3.
19.原式=(x -y )2x -y ÷x 2-y 2xy =(x -y )2x -y ·xy (x +y )(x -y )=xy x +y
.当x =2+1,y =2-1时,原式=(2+1)(2-1)(2+1)+(2-1)=122=24
. 20.(1)由题意,得c -3≥0,3-c≥0,即c =3.∴|a-2|+b -2=0.∴a-2=0,b -2=0,即a =2,b =2.
(2)当a 是腰长,b 是底边时,等腰三角形的周长为2+2+2=22+2;当b 是腰长,a
是底边时,等腰三角形的周长为2+2+2=2+4.综上,这个等腰三角形的周长为22+2或2+4.
21.(1)AP=a2+16,DP=b2+4.
(2)k有最小值.作点A关于BC的对称点A′,连接A′D,AP,交BC于点P,过A′作A′E⊥DC于点E.∴AP=A′P.∴k=AP+DP=A′P+DP=A′E2+DE2=16+36=52=213.
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二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。
2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类: 1、按实数的定义分类: 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类: 实数 【名师提醒:1、正确理解实数的分类。如: 2 π 是 数,不是 数, 7 22 是 数,不是 数。2、0既不是 数,也不是 数,但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴:规定了 、 、 的直线叫做数轴, 和数轴上的点是一一对应的,数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数:只有 不同的两个数叫做互为相反数,a 的相反数是 ,0的相反数是 ,a 、b 互为相反数? 3、倒数:实数a 的倒数是 , 没有倒数,a 、b 互为倒数? 4、绝对值:在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离,所以一个数的绝对值是 数,我们学过的非负数有三个: 、 、 。 【名师提醒:a+b 的相反数是 ,a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数,相反数等于本身的数是 ,倒数等于本身的数是 ,绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法:把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字: 一般的,将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数,这时,从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 (a >0) (a <0) 0 (a=0)
整式 一、专练选择题 1.下列运算中,正确的是() A.x3+x3=x6 B.x3·x9=x27 C.(x2)3=x5 D.x x2=x-1 2.计算结果正确的是() A. B. C. D. 3.下列各式能用平方差公式计算的是() A. B. C. D. 4.计算(a-3)2的结果是() A. a2+9 B. a2+6a+9 C. a2-6a+9 D. a2-9 5.如图,4块完全相同的长方形围成一个正方形. 图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示,由此能验证的等式是() A. B. C. D. 6.下列四个式子: ①4x2y5÷ xy=xy4;②16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c;③9x8y2÷3x2y=3x6y;④(12m3+8m2-4m)÷(-2m)=-6m2+4m-2.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.下列等式成立的是() A. 2﹣1=﹣2 B. (a2) 3=a5 C. a6÷a3=a2 D. ﹣2(x﹣1)=﹣2x+2 8.计算(x+1)(x+2)的结果为() A. x2+2 B. x2+3x+2 C. x2+3x+3 D. x2+2x+2 9.若3×9m×27m=321,则m的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10.下列各式中,结果为x3-2x2y+xy2的是( ) A.x(x+y)(x-y) B.x(x2+2xy+y2) C.x(x+y)2 D.x(x-y)2 11.一个长方体的长、宽、高分别为5x-3,4x和2x,则它的体积等于( ) A.(5x-3)·4x·2x=20x3-12x2 B.·4x·2x=4x2 C.(5x-3)·4x·2x=40x3-24x2 D.(5x-3)·4x=20x2-12x 12.下面是小林做的4道作业题:(1)2ab+3ab=5ab;(2)2ab﹣3ab=﹣ab;(3)2ab﹣3ab=6ab;(4)2ab÷3ab= .做对一题得2分,则他共得到() A. 2分 B. 4分 C. 6 分 D. 8分二、专项练习填空题 13.计算:=________. 14.计算: =________ 15.已知,,则的值是________ 16.如果(x+1)(x+m)的乘积中不含x的一次项,则m的值为________ 17.若x2﹣mx﹣15=(x+3)(x+n),则n m的值为________.
武汉市中考数学几何综合题专题汇编(2) 1、(2013?绍兴)矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,P ,Q 是对角线BD 上不重合的两点,点P 关于直线AD ,AB 的对称点分别是点E 、F ,点Q 关于直线BC 、CD 的对称点分别是点G 、H .若由点E 、F 、G 、H 构成的四边形恰好为菱形,求PQ 的长。 2、(2013陕西压轴题)问题探究 (1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2)如图②,M 是正方形ABCD 内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M ),使它们将正方形ABCD 的面积四等分,并说明理由. 问题解决 (3)如图③,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB+CD=BC ,点P 是AD 的中点,如果AB=a ,CD=b ,且a b ,那么在边BC 上是否存在一点Q ,使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在,求出BQ 的长;若不存在,说明理由. 图① 图② A B C D M B 图③ A C D P (第25题图)
3、(2013?温州压轴题)如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于点A (6,0),B (0.8),点C 的坐标为(0,m ),过点C 作CE ⊥AB 于点E ,点D 为x 轴上的一动点,连接CD ,DE ,以CD ,DE 为边作?CDEF . (1)当0<m <8时,求CE 的长(用含m 的代数式表示); (2)当m=3时,是否存在点D ,使?CDEF 的顶点F 恰好落在y 轴上?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点D 在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得?CDEF 为矩形,请求出所有满足条件的m 的值. 4、(13年北京)在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(?<600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。 (1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,点D、点E、点F分别是AC,AB,BC边的中点,连接DE、EF,得到四边形EDCF,它的面积记作S;点D1、点E1、点F1分别是EF,EB,FB边的中点,连接D1E1、E1F1,得到四 边形E1D1F F 1,它的面积记作S 1,照此规律作下去,则Sn = . 2.如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中,作内接正方形A1B1C1D1;在等腰直角三角形OA1B1中,作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2中,作内接正方形A3B3C3D3;……;依次作下去,则第n个正方形A n B n C n D n 的边长是( )(A)(B)(C)(D) 3.如图,在直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点 (n,0)……直线l n⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1,l2,l3,……l n 分别交于点B1,B2,B3,……B n。如果△OA1B1的面积记为S1,四边形A1A2B2B1的 面积记作S2,四边形A2A3B3B2的面积记作S3,……四边形A n-1A n B n B n-1的面积记作 S n,那么S2011=_______________________。 5.如图,点A1、A2、A3、…在平面直角坐标系x轴上,点B1、B2、 B3、…在直线y= 3 3 x+1上,△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均 为等边三角形,则A2014的横坐标 . 1 3 1 - n n 3 1 1 3 1 + n2 3 1 + n 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 5 4 y=x A2 A3 B3 B2 B1 S1 S2 S3 A1 y=2x (第3题) 1/ 2
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算