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变换光学及其应用
作者:梁昂昂
来源:《科学与财富》2018年第20期
摘要:长期以来,变换光学做为普通光学的技术性升级给人以“高冷”的印象。但是,2006年隐身斗篷被发明出来,变换光学的技术应用让人眼前一亮。并且经过多年的技术沉淀,变换光学已经成为多种科学器件得以实现应用价值的核心技术。本文以多方位视角,对变换光学的理论概念、分析方法、器件应用做出系统性的说明,以期帮助相关学者对变换光学有一个全面、清晰的认识。
关键词:变换光学;隐身斗篷;分析方法;器件应用;
引言
随着科技的发展,原始激光光束已经无法满足其在科技领域的实际应用需求,人們在工作中要解决激光变换传输的问题,如光的扩散、准直、波形、聚焦等。变换光学的出现很好的帮助激光应用突破了变换传输的技术性问题,在世界科技领域引起了众多学者的重视。早在1989年,我国学术界就已经开展了有关变换光学专项研究的工作,为我国的各大科技事业的
进步,提供了不可替代的理论支持。所以,开展变换光学的学术研究,对变换光学的普及与后续科研有着重要的科学意义。
一、变换光学理论简述
从学术理论上来讲,变换光学是研究小角度散发光波通过特定的光学技术改变传输方式的一门学科;从物理原理上来讲,换光学就是利用超材料改变光学粒子空间坐标,进而构建出新的传输光束,当然这要在特定的电磁辐射带宽内进行。由此可见,超材料是变换光学的实现物
科技论文写作大作业小波变换图像去噪综述 院系: 班级: 学号: 姓名:
摘要小波图象去噪已经成为目前图象去噪的主要方法之一.在对目前小波去噪文献进行理解和综合的基础上,首先通过对小波去噪问题的描述,揭示了小波去噪的数学背景和滤波特性;接着分别阐述了目前常用的3类小波去噪方法,并从小波去噪中常用的小波系数模型、各种小波变换的使用、小波去噪和图象压缩之间的联系、不同噪声场合下的小波去噪等几个方面,对小波图象去噪进行了综述;最后,基于对小波去噪问题的理解,提出了对小波去噪方法的一些展望 关键词:小波去噪小波萎缩小波变换图象压缩 1.前言 在信号数据采集及传输时,不仅能采集或接收到与所研究的问题相关的有效信号,同时也会观测到各种类型的噪声。在实际应用中,为降低噪声的影响,不仅应研究信号采集的方式方法及仪器的选择,更重要的是对已采集或接收的信号寻找最佳的降噪处理方法。对于信号去噪方法的研究可谓是信号处理中一个永恒的话题。传统的去噪方法是将被噪声污染的信号通过一个滤波器,滤除掉噪声频率成分。但对于瞬间信号、宽带噪声信号、非平稳信号等,采用传统方法具有一定的局限性。其次还有傅里叶(Fourier)变换也是信号处理中的重要手段。这是因为信号处理中牵涉到的绝大部分都是语音或其它一维信号,这些信号可以近似的认为是一个高斯过程,同时由于信号的平稳性假设,傅立叶交换是一个很好的信号分析工具。但也有其不足之处,给实际应用带来了困难。 小波变换是继Fourier变换后的一重大突破,它是一种窗口面积恒定、窗口形状可变(时间域窗口和频率域窗口均可改变)的时频局域化分析方法,它具有这样的特性;在低频段具有较高的频率分辨率及较低的时间分辨率,在高频段具有较高的时间分辨率及较低的频率分辨率,实现了时频窗口的自适应变化,具有时频分析局域性。小波变换的一个重要应用就是图像信号去噪。将小波变换用于信号去噪,它能在去噪的同时而不损坏信号的突变部分。在过去的十多年,小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注。本文阐述小波图像去噪方法的原理,概括目前的小波图像去噪的主要方法,最后对小波图像去噪方法的发展和应用进行展望。 2小波图像去噪的原理 所谓小波变化,即:
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号,长期以来,因非平稳信号处理的理论不健全,只好将其作为平稳信号来处理,其处理结果当然不满意。近年来,随着科学技术的发展和进步,国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上,其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中,戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来,这些方法既可以处理平稳信号过程,也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语,并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形,其振幅正负相间变化,平均值为零,是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解(变换)或重构(反变换)时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率,同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的,小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的,只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数,而小波分析中的基函数是小波,是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质,较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾,对于信号的低频成分采用宽时窗,对高频成分采用窄时窗。因而,小波分析特别适合处理非平稳时变信号,在语音分析和图象处理中有广泛的应用,在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
题1:设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析,101()0x x φ≤=??其它,请利用Haar 尺度关系式将信号 ()(4)2(41)2(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---分解为10,0 ,w w v 分量。 题2:简述信号分解和重构的Mallat 算法(要求写出算法步骤并列出分解重构公式。) 题3:设{},,,φφψψ构成双正交多分辨分析: (1) 写出双正交条件; (2) 写出4个双尺度方程(尺度系数分别为 ,,,k k k k h h g g ); (3) 写出尺度系数间的对应关系。 题4:设{} ,j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的正交多分辨率分析,k p 是尺度系数,证明: (1)202k l k l k Z p p δ-∈=∑ (2)2||2k k Z p ∈=∑ (3)2k k Z p ∈=∑ 题5:令 2C H =,),(),,(),1,0(212332123 21-=--==e e e , H v v v ∈=?),(21 验证},,{321e e e 是一紧框架,指出其框架界并求出其对偶框架. 题6:列出二维可分离小波的4个变换基。 题3: 0()k h k p =已知为低通分解滤波器,
11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6:列出二维可分离小波的4个变换基。 题8:要得到“好”的小波,除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外,还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 (1) 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件: (2) 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩,要求0()h n 满足等式: (3) 在长度为4的滤波器0()h n 设计中,将下面等式补充完整: 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩
我希望能简单介绍一下小波变换,它和傅立叶变换的比较,以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明,均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度,我会尽量用简单,但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的,但我尽量少用公式,多用图。另外,我不是一个好的翻译者,所以对于某些实在翻译不清楚的术语,我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚,这是不可能的事,我只能尽力去围绕要点展开,比如小波变换相对傅立叶变换的好处,这些好处的原因是什么,小波变换的几个根本性质是什么,背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后,就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换,我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换,我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理,不管是压缩也好,滤波也好,图形处理也好,本质都是变换。变换的是什么东西呢?是基,也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义,那么简单说,在线性代数里,basis是指空间里一系列线性独立的向量,而这个空间里的任何其他向量,都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢?比如说吧,傅立叶展开的本质,就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来,要这样表示的原因,是因为傅立叶变换的本质,是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像,里面的图像拉伸,反转,等等一系列操作,都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基,那我们自然就容易想到,这个basis的选取非常重要,因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis,什么样的basis比较好,很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话,那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号,这样即使把别的向量给砍了,信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换,最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了,因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n,a是eigenvalue )。总的来说,抛开具体的应用不谈,所有的basis,我们都希望它们有一个共同的特点,那就是,容易计算,用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好,现在我们对变换有了基本的认识,知道他们其实就是在搞基。当然,搞基也是分形式的,不同的变换,搞基的妙处各有不同。接下来先看看,傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的,他发现,这个basis不仅仅存在与vector space,还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space,可以是有限的,可以是无限的,只不过在这个空间里,vector就是function了,而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里,你有vector v可以写成vector basis的线性组合,那在function space里,function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合,也有norm。你的vector basis可以是正交的,我的function basis也可以是正交的(比如sin(t)和sin(2t))。唯一不同的是,我的function basis是无穷尽的,因为我的function space的维度是无穷的。好,具体来说,那就是现在我们有一个函数,f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式,像这样 again,这是一个无限循环的函数。其中的1,cosx, sinx, cos2x …..这些,就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一,就是它们这帮子function basis是正交的,这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢?我们说两个vector正交,那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢?function basis怎么求内积呢? 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话,应符合:
小波分析复习题 1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。 答:三者之间的异同见表 2、小波变换堪称“数学显微镜”,为什么? 答:这主要因为小波变换具有以下特点: 1)具有多分辨率,也叫多尺度的特点,可以由粗及精地逐步观察信号; 2)也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波; 如果)(t ?的傅里叶变换是)(ωψ,则)(a t ?的傅里叶变换为)(||a a ω ψ,因此这组滤波 器具有品质因数恒定,即相对带宽(带宽与中心频率之比)恒定的特点。a 越大相当于频率越低。 3)适当的选择基本小波,使)(t ?在时域上位有限支撑,)(ωψ在频域上也比较集中,便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力,因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 4)如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ,则)(λt x 的CWT 是),( λ τ λλa WT x ;0>λ 此定理表明:当信号)(t x 作某一倍数伸缩时,其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的 伸缩,但是不发生失真变形。 基于上述特性,小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。 3、在小波变换的应用过程中,小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在,请列举一些选择原则。 答:选择原则列举如下:(也即需满足的一些条件和特性) 1)容许条件
当?∞ +∞-∞<=ωω ωψ?d c 2 ) (时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ,?c 便是对 )(t ?提出的容许条件,若∞→?c ,)(t x 不存在,由容许条件可以推论出:能用作基本小 波)(t ?的函数至少必须满足0)(0==ωωψ,也就是说)(ωψ必须具有带通性质,且基本小波 )(t ?必须是正负交替的振荡波形,使得其平均值为零。 2)能量的比例性 小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。 3)正规性条件 为了在频域上有较好局域性,要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。这就要求)(t ?的 前n 阶原点矩为0,且n 值越大越好。也就是要求? =0)(dt t t p ?,n p ~1:,且n 值越大越好, 此要求的相应频域表示是:)(ωψ在0=ω处有高阶零点,且阶次越高越好(一阶零点就是容许条件),即)()(01 ωψω ωψ+=n ,0)(00≠=ωωψ,n 越大越好。 4)重建核和重建核方程 重建核方程说明小波变换的冗余性,即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。 重建核方程:τττττ?? ?∞ +∞ ∞-=0 00200),,,(),(),(a a K a WT a da a WT x x ; 重建核:><== ?)(),(1)()(1),,,(0000* 00t t c dt t t c a a K a a a a ττ? ττ??????ττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种,请用 框图分别简述之,并说明分别适合于什么情况下应用。 答: 1)基于调频Z 变换 ),(2a j a n j e A e W ππ--== 运算说明: a .原始数据及初始化:原始数据是)(k ?(1~0-=N k )和a 值,初始化计算包括 a j e A π-=和a n j e W π2-=。 --- 1)(2N k r )2(am N π 12~2--N N 对应于:1~0-=N r