过去10年来，小波变换在图像压缩领域取得了巨大的成功。它在处理具有点状奇异性的一维信号时远胜于傅立叶分析，在应用中，大多数的二维小波变换使用的可分离滤波器组是一维小波变换在行和列方向的张量积。由于小波基函数仅能表示水平、垂直、对角三个方向，因此在表示高维奇异信号如图像的几何边界等就显得无能为力。因此小波变换在捕捉0维奇异性或处理分片光滑区域时是最优工具，但是在处理高维信号时就不是最优的。
小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维，由一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”地表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。
实现函数的稀疏表示是信号处理、计算机视觉等很多领域中一个非常核心的问题。对于模型(7)(焦李成谭山图像的多尺度几何分析：回顾和展望)，正交基所能达到的最优逼近误差应该具有s
M-的衰减级[D L Donoho: Sparse component analysis and optimal atomic decomposition[j]. Constructive Approximation, 1998, 17:353-382]，然而小波变换的非线性逼近误差只能达到1
M-的衰减级。其中重要的原因是二维可分离小波基只具有有限的方向，即水平、垂直、对角，方向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像本身的几何正则性。据生理学家对人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型，一种“最优”的图像表示法应具有如下特征：(1)多分辨：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即“带通”性；(2)局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的；(3)方向性：其“基”应该具有“方向”性，不仅仅局限于二维可分离小波的3个方向。
上图表示了分别用傅立叶分析、二维可分离小波变换以及Bandelet变换来逼近图像中奇异曲线的过程。由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程，最终表现为用“点”
来逼近线的过程。在尺度j ，小波支撑区间的边长近似为2j -，幅值超过2j -的小波系数的个数至少为(2)j O 阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的小波系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。Bandelets 变换能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称这种基具有“各向异性”。
2000年，E Le Pennec 和St éphane Mallat 在文献[4]中提出Bandelet 变换。Bandelet 变换是一种基于边缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向。Pennec 和Mallat 认为：在图像处理任务中，若是能够预先知道图像的几何正则性，
Bandelets 的优点：基函数具有各向异性(anisotropy)和多方向性(multi-directional, M-DIR)等良好特性，能有效处理高维函数。 Bandelets 和第二代Bandelets 是新的基于边缘的几何多尺度分析工具，能捕获图像中的几何正则性，并自适应地给出最优表示。第一代Bandelets 由于要对原始图像重采样，并要把任意几何方向弯曲至水平或垂直方向，从而借助二维可分离标准小波变换来处理，实现复杂度较高，对于含2N 个像素的图像，计算复杂度为
222((log ))N O N ；第二代Bandelets 巧妙地借助多尺度分析和几何方向分析，既保留了第一代
Bandelets 的优点，计算复杂度为32()O N ；近乎线性。
二维可分离小波变换可把图像中的能量集中在少量的小波系数上，但对图像中奇异点附近产生的大系数却无能为力。现代图像处理技术希望挖掘并充分利用图像内在的几何正则性，bandelets 和第二代bandelets 是在离散小波域对含有几何正则性的数字图像给出最优表示的多尺度几何分析新工具，它旨在利用图像自身的几何正则性并去除标准小波变换所不可避免的各向异性几何冗余，并对所要表示的函数自适应地给出最优表示。
自然图像由于光学散射等效应在边缘造成不连续性，这种沿着边缘的模糊效应可以建模
为模糊核h 和原函数的卷积f f
h =* ，这里f C α∈ 称为C α几何正则函数，对此类函数，第二代bandelets 能自适应给出最优表示：
20,M M f f CM α-?>-≤
其中M f 是由M 个参数得到的原函数的逼近重构，C 是不依赖于模糊核h 的常数。在图像处
理的实际应用中，几何正则性一般要从离散图像信息中估计出来。为了使这个问题更易于处理，bandelets 引入几何矢量流，用来刻画图像空间结构灰度值变化的局部正则方向。
第一代bandelets 先采用类似于Donoho 构造Wedgelet 基函数时采用的四叉树(quadtree)剖分，对原始图像作二进连续剖分，终止准则为每个剖分子块中只含唯一的一个边界，并把相应的子区域分别表示为水平区域、垂直区域、正则(或光滑)区域或角点区域，再通过弯曲
(warping)算子的作用把相应区域内对应于实际几何方向的边界弯曲至水平或垂直方向，最后再借助二维可分离标准小波来处理这种水平和垂直奇异性。此外bandelets的实现中还需要进行重采样操作，为避免二进剖分时带来块状效应，在块与块相接的边界处又引入仿射函数并采用改进的提升程序。
信号的表示方法：
在设计信号编码系统时，我们考虑如下三个信号表示策略：(1)信号表示要匹配于输入信号；
(2)信号表示要匹配于编码任务；(3)信号表示要匹配于用户。第一点表明信号表示系统要能够有效地适应于输入信号的特性，不能要完成信号的稀疏表示，而且能够对变换的信号进行完全重建。第二点表明信号表示系统的复杂度要适应于当前的编码任务，通常是在实现复杂度与性能之间的折中。第三点表示重建信号要适应于人眼视觉系统。
多描述编码(Multiple description coding, MDC)方法是一种典型的抗误码技术，它能够有效地获得最佳的服务质量。多描述图像编码通常将一幅图像划分成几个描述，然后独立地编码各个描述，这些被编码的图像描述根据其到达接收端的实际情况做联合解码或独立解码。多描述编码方法最重要的一个特点是：当任何一个或几个描述被接收就能重建一个视觉上可接受的图像。而在目前比较流行的分层或可伸缩编码中，只有当基本层被可靠接收时才可以解码完整的图像，如果在任意一层的码流遭到损坏，则导致后续码流的不可使用。因此，多描述编码比可伸缩编码在抗误码方面具有更多的优势。
多描述的概念最早出现在20世纪70年代末期，由Bell实验室在解决电话信道中语音编码问题时提出，90年代末期将其应用到图像编码中。在近十年中，各种各样的图像多描述方法得到了广泛研究和发展，主要包括空间下采样方法[]、相关变换方法[]、标量及矢量量化方法、运动补偿方法等。
早期的空间下采样方法是直接在空域对图像进行下采样实现多描述方案的，这种方法难以有效去除相邻像素间的相关性，因而编码效率较低。在变换域中，多描述标量量化(Multiple description scalar quantizer, MDSQ)、多描述相关变换编码(Multiple description transform coding, MDTC)方法是最具代表性的方法，但MDSQ中的索引分配和MDTC中的相关变换的设计有很复杂，且不能与现有的图像编码标准兼容，同时整个的编码性能也不如所料的那样能很多地平衡边缘和中央信道的编码效率。
本文提出一种基于方向提升小波变换的多描述图像编码方法，基本思想是在空域将一幅图像按梅花形下采样为两个描述，然后利用方向提升小波变换对每个描述进行独立编码。为解决空域多描述技术编码效率低的问题，利用方向提升小波变换来进一步有效消除相邻像素间的冗余，借此提高编码性能。提升小波方向的选择满足了率失真优化模型。另外再结合插值恢复技术和数据融合算法来提高边缘和中央信道的图像质量。该方法在实现高压缩效率的同时具备了抗误码功能，是一种简单有效且实用的方法。
Chuo-Ling Chang and Bernd Girod, Direction-adaptive discrete wavelet transform for image compression. IEEE Trans. On Image Processing. 2007,16(5): 1289-1302.
摘要：
基于方向提升，提出了一种方向自适应DWT(DA-DWT)，可以局部地使滤波方向适应于图像内容。由于自适应变换，对于尖锐图像特征区域的能量聚集有所提高。基于各向异性统计图像模型的数学分析也在本文中给出，以量化采用方向滤波所能达到的理论增益。分析
表明，提出的DA-DWT方法比其它基于提升的方法更加有效。实验结果表明：与传统小波变换相比较，PSNR增益可提高2.5dB。且重建图像结构有较好的主观图像质量。
引言：
二维离散小波变换(DWT)是过去十年来最重要的图像压缩技术。通常，可分离的2-D DWT是由1-D变换在行和列方向上张成的。因此，高通小波滤波器的消失距仅仅存在于这两个方向上。这种可分离变换不能够提供对具有方向特征的图像信号的高效表示，例如图像中不是平行于行或列方向上的边缘和线等等，因为它扩散了这些特征的能量到其它子带。早期的使变换方向适应于图像内容的自适应小波变换在文献[4]中提出。首先将图像分块，每一块通过可逆重采样滤波器进行弯曲(shear)，使得弯曲块内的图像边缘对应于垂直或水平方向；之后，传统二维可分离小波变换应用于弯曲块上，因此小波基函数可提供沿着图像边缘方向的消失距。在最近的工作中所提出的方向波(directionlets)也具有这一特点，它使小波滤波方向和下采样网格适应于图像特征方向，但是没有重采样操作[5]。这两种方法具有相同的局限性：首先，对每一图像块的独立处理不能利用相邻块边界之间的相关性，而且会导致重建时的分块效应；第二，图像分解尺度的可扩展性受到限制，因为下采样低通图像不再位于一规则的正交网格中。
Bandelets方法[6-7]没有上述限制。首先对图像执行2-D DWT，之后有一个bandeletization 的过程以进一步去除高频子带系数之间的方向相关性。低通图像同传统的2-D DWT是一样的，因为分块操作是在小波域进行的，所以消除了分块效应。但是，这种方法本质上是对小波系数的后处理，小波变换本身的缺点并没有消除。
实现滤波可以跨越块边界且能够保持规则下采样网格的局部自适应方向小波变换，一个重要的技术手段是提升。（提升方法[8，9]研究小波的时（空）域构造问题，通过预测、更新等手段，使小波完全可以在时域内构造，无须利用傅立叶分析理论，因此更加灵活。）使用提升，有几种方法被提出使变换可以局部适应于滤波器系数[10-12]，或滤波方向[11，13，14]，同时保证滤波过程没有垂直于图像边缘。这些方法通过假设无损压缩[11]或编码端量化噪声知识，或限制方向选择过程可以在解码端可靠地重复[13]。因此编码增益受限于上述假设。与传统2-D DWT相比，虽然主观评价有所提高，但客观评价性能并无明显提高。
还有一些通过提升来自适应选择滤波方向的方法，这些方法将方向选择明确地通知解码器[15，16]。在这类方法里面，我们独立设计了一种方法：结合方向提升与梅花形下采样[17]；该方法可以扩展以适应传统的正交下采样情形，也可以合并方向提升与bandeletization过程到一个统一的框架[18]。由于方向滤波的存在，可以提供图像以高效的表示，上述方法更好地适应于图像特征，并已在富含纹理的图像压缩应用中展现了明显的客观和主观评价性能的提高。
在本论文中，我们计划采用基于方向提升的方向自适应DWT(DA-DWT)，DA-DWT区别于其它基于提升的方向滤波方法在于：DA-DWT中的方向滤波器对图像中的形状特征提供了更高效的表示。而且，它只需要较少的计算量，压缩性能不敏感于图像转置。
部分参考文献：
[1]M. Antonini, M. Barlaud, P. Mathieu, and I. Daubechies, ―Image coding using wavelet transform,‖ IEEE Trans. Image Process., vol. 1,no. 2, pp. 205–220, Apr. 1992.
[2] A. Said and W. A. Pearlman, ―A new fast and efficient image codec based on set partitioning in hierarchical trees,‖ IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol., vol. 6, no. 3, pp. 243–250, Jun. 1996.
[3] D. S. Taubman and M. W. Marcellin, JPEG2000: Image Compression Fundamentals, Standards and Practice. Norwell, MA: Kluwer, 2002.
[4] D. Taubman and A. Zakhor, ―Orientation adaptive subband coding of images,‖ IEEE Trans. Image Process., vol. 3, no. 4, pp.
421–437, Jul.1994.
[5] V. Velisavljevic, B. Beferull-Lozano, M. Vetterli, and P. L. Dragotti, ―Directionlets: Anisotropic multi-directional representation with separable filtering,‖ IEEE Trans. Image Process., vol. 15, no. 7, pp.1916–1933, Jul. 2006.
[6] G. Peyre and S. Mallat, ―Surface compression with geometric bandelets,‖ACM Trans. Graph., vol. 24, Aug. 2005.
[7] ——, ―Discrete bandelets with geometric orthogonal filters,‖ in Proc.IEEE Int. Conf. Image Processing, Genova, Italy, 2005, pp. I-65–I-68.
[8] W. Sweldens, ―The lifting scheme:Aconstruction of second generationwavelets,‖ SIAM J. Math. Anal., vol. 29, no. 2, pp.
511–546, 1998.
[9] I. Daubechies and W. Sweldens, ―Factoring wavelet transforms into lifting steps,‖ J. Fourier Anal. Appl., vol. 4, no. 3, pp. 245–267, 1998.
[10] O. N. Gerek and A. E. Cetin, ―Adaptive polyphase subband decomposition structures for image compression,‖ IEEE Trans. Image Process.,vol. 9, no. 10, pp. 1649–1660, Oct. 2000.
[11] N. V. Boulgouris, D. Tzovaras, and M. G. Strint zis, ―Lossless image compression based on optimal prediction, adaptive lifting and conditional arithmetic coding,‖ IEEE Trans. Image Process., vol. 10, no. 1,pp. 1–14, Jan. 2001.
[12] R. L. Claypoole, G. M. Davis, W. Sweldens, and R. G. Baraniuk, ―Nonlinea r wavelet transforms for image coding via lifting,‖ IEEE Trans.Image Process., vol. 12, no. 12, pp. 1449–1459, Dec. 2003.
[13] D. Taubman, ―Adaptive, non-separable lifting transforms for image compression,‖ in Proc. IEEE Int. Conf. Image Processing,Kobe, Japan, Oct. 1999, vol. 3, pp. 772–776.
[14] O. N. Gerek and A. E. Cetin, ―A 2-D orientation-adaptive prediction filter in lifting structures for image coding,‖ IEEE Trans. Image Process., vol. 15, no. 1, pp. 106–111, Jan. 2006.
[15] W. Ding, F. Wu, and S. Li, ―Lifting-based wavelet transform with directionally spatial prediction,‖ presented at the Picture Coding Symp., San Francisco, CA, Dec. 2004.
[16] D. Wang, L. Zhang, A. Vincent, and F. Speranza, ―Curved wavelet transform for image coding,‖ IEEE Trans. Image Process., vol. 15, no.8, pp. 2413–2421, Aug. 2006.
[17] C.-L. Chang, A. Maleki, and B. Girod, ―Adaptive wavelet transform for image compression via directional quincunx lifting,‖ in Proc. IEEE Workshop on Multimedia Signal Processing, Shanghai, China, Oct. 2005.
[18] C.-L. Chang and B. Girod, ―Direction-adaptive discrete wavelet transform via directional lifting and bandeletization,‖ presented at the IEEE Int. Conf. Image Processing, Atlanta, GA, Oct. 2006.
[19] R. Calderbank, I. Daubechies, W. Sweldens, and B.-L. Yeo, ―Wavelet transforms that map integers to integers,‖ Appl. Comput. Harmon.Anal., vol. 5, no. 3, pp. 332–369, 1998.
[20] A. Gouze, M. Antonini, M. Barlaud, and B. Macq, ―Design of signal-adapted multidimensional lifting scheme for lossy coding,‖IEEE Trans. Image Process., vol. 13, no. 12, pp. 1589–1603, Dec. 2004.
Weisheng Dong, Guangming Shi and Jizheng Xu, Adaptive nonseparable interpolation for image compression with directional wavelet transform, IEEE Signal Process. Letters, 2008, 15:233-236. 部分翻译：
摘要：自适应方向提升(adaptive directional lifting-based: ADL)小波变换使滤波方向适应于图像的局部特性。本文提出一种新的二维不可分离自适应插值滤波器，以取代在分数像素精度方向预测中所使用的传统插值滤波器。这种自适应滤波器在每个分数像素方向计算以最小化预测误差能量。对减小预测误差与编码插值滤波器的额外花费之间的折中进行了讨论。对典型自然图像的测试表明，与ADL相比，可以提高编码增益至0.98dB；与JPEG2000相比，可提高编码增益至2.4dB。
引言：DWT是目前图像压缩的重要技术。通常，在编码中使用的2-D DWT是一种可分离的变换，它是由1-D变换在行和列方向上张成的。这种可分离变换的最大缺点在于：
无法提供对图像中不是行列方向上边缘和纹理的高效表示，将在高通子带产生大量的信号能量。在低比特率编码图像重建时，表现为在边缘附近的振铃效应。
提升结构是在小波变换中广泛使用的有效实现方式。使用提升结构，几种能够使滤波方向适应于边缘和纹理方向的自适应小波变换在文献[3，4]中提出。这种限制方向选择的方法在设计时考虑到选择的方向应能够在解码端可靠地重复，不需要明确地通知解码器有关滤波的方向。但是，这样导致方向滤波精度的降低，与传统2-D DWT相比，在图像的客观质量评价方面并没有明显的提高。
近来，使用提升结构自适应选择滤波方向的方法被提出[5-8]。与上面提到的受限方向滤波方法相比，这些方法中的滤波方向可以通过最小化预测误差能量和显式通知解码器来精确地确定。这些方法在主客观图像质量评价方面能够取得明显的提高，特别是对于纹理图像。分数像素方向分辨率，如1/4像素[5]和1/2像素[6]，是通过插值来得到的。在[5][6]中，截断sinc插值滤波器被用于插值得到分数位置处的像素值，实现分数像素预测。但是，由于混叠效应的影响，图像中出现模糊细节以及边缘附近的瑕疵等情况下，截断的sinc滤波器就并非插值方法的最优选择。此时，放下预测技术变得低效，编码效率因此降低。
在本文中，一种类似于视频编码中的自适应插值滤波器[10，11]：2-D自适应滤波器被提出并被无缝地整合进方向小波变换中以实现分数像素预测。由于它对局部图像特征的适应性，方向预测的性能得到提高，尤其是边缘和纹理区域。整个编码的性能也因此而提高。
参考文献：
[1] D. Taubman and M. Marcellin, JPEG2000: Image Compression Fundamentals, Standards, and Practice. Norwell, MA: Kluwer, 2001.
[2] I. Daubechies and W. Sweldens, ―Factoring wavelet transforms into lifting steps,‖J. Fourier Anal. Appl., vol. 4, no. 3, pp. 245–267, 1998.
[3] D. Taubman,―Adaptive, non-separable lifting transform for image compression,‖ in Proc. IEEE Int. Conf. Image Processing, Kobe, Japan, Oct. 1999, vol. 3, pp. 772–776.
[4] O. N. Gerek and A. E. Cetin, ―A 2-D orientation-adaptive prediction ?lter in lifting structures for image coding,‖IEEE Trans. Image Process., vol. 15, no. 1, pp. 106–111, Jan. 2006.
[5] W. Ding, F. Wu, X.Wu, S. Li, and H. Li, ―Adaptive directional lifting-based wavelet transform for image coding,‖IEEE Trans. Image Process., vol. 16, no. 2, pp. 416–427, Feb. 2007.
[6] C.-L. Chang, A. Maleki, and B. Girod, ―Adaptive wavelet transform for image compression via directional quincunx lifting,‖ in Proc. IEEE Workshop Multimedia Signal Processing, Shanghai, China, Oct. 2005. [7] C. -. Chang and B. Girod, ―Direction-adaptive discrete wavelet transform via directional lifting and bandeletization,‖ in Proc. IEEE Int. Conf. Image Processing 2006, Atlanta, GA, Oct. 2006.
[8] D. Wang, L. Zhang, and A. Vincent,―Curved wavelet transform for image coding,‖IEEE Trans. Image Process., vol. 15, no. 8, pp. 2413–2421, Aug. 2006.
[9] M. A. Rodriguez-Florido, J. Ruiz-Alzola, and C. F. Westin, ―Artifact reduction in sinc interpolation using adaptive ?ltering,‖ in Proc. IEEE Int. Conf. Image Processing, Thessaloniki, Greece, Oct. 2001, vol. 3, pp. 884–887.
[10] T. Wedi and H. G. Musmann,―Motion-and aliasing-compensated prediction for hybrid video coding,‖IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol., vol. 13, no. 7, pp. 577–586, Jul. 2003.
[11] Y. Vatis and J. Ostermann, ―Locally adaptive non-separable interpolation ?lter for H.264/A VC,‖ in Proc. IEEE Int. Conf. Image Processing 2006, Atlanta, GA, Oct. 2006。
V. Chappelier and C. Guillemot. Oriented wavelet transform for image compression and denoising. IEEE Trans. Image Process., 2006, 15(10): 2892–2903.
摘要：在本文中，基于小波和提升框架，介绍了一种新的变换应用于图像处理。一维小波的提升步骤是沿着定义在梅花形下采样网格上面的局部方向而进行的。为最大化能量聚集，自适应选择预测误差最小的方向。通过在低频子带上的迭代分解实现细粒度的多尺度分析。在图像压缩时，使用四叉树编码多分辨率方向图。在方向图和小波系数编码之间的比特分配是在率失真意义上进行优化。对图像去噪来说，使用Markov模型从噪声图像中提取方向。只要方向图足够均匀，传统小波的优良特性如正则性和正交性就可以保持。完全重建可以通过可逆提升机制实现。研究了小波系数之间的互信息并且同可分离小波变换得到的结果进行比较。
Weisheng Dong, Guangming Shi, and Jizheng Xu. Signal-adaptive directional lifting scheme for image compression.
摘要：本文提出了一种新的自适应提升机制，不仅能局部地使滤波方向适应于图像的特征方向，而且提升滤波器可以适应于图像的统计特性。提出的方法细化了ADL方法，合并方向提升和自适应提升滤波器成为一个统一的框架。图像首先分割为具有近似方向特征的纹理和边缘区域。设计了提升滤波器，预测步骤的设计是为了最小化预测误差，更新步骤的设计是为了最小化重建误差。
Y. Liu and K. N. Ngan. Weighted adaptive lifting-based wavelet transform for image coding. IEEE Trans. Image Process., 2008, 17(4): 500–511.
摘要：本文提出了一种新的加权自适应提升(weighted adaptive lifting:WAL)小波变换方法。WAL方法的设计是用来解决在ADL方法中存在的问题，如：预测与更新步的不匹配、插值仅仅对水平或垂直方向有利以及对于整幅图像不变的插值滤波器系数等。提出方法的主要贡献在于两部分：其一是改进的加权提升，尽可能地保持了预测和更新步的一致性，同时保留了提升机制的完全重建。其二是方向自适应插值，提高了插值图像的方向属性并且自适应于每幅图像的统计特性。实验结果表明：W AL方法所取得的率失真性能高于传统提升小波方法至3.06dB(PSNR)，与ADL方法相比有最高1.22dB的提高。图像的主观评价质量也有了显著提高。
W. Ding, F. Wu, X.Wu, S. Li, and H. Li. Adaptive directional lifting-based wavelet transform for image coding. IEEE Trans. Image Process., 2007, 16(2): 416–427.
摘要：本文提出一种新的2-D小波变换机制：自适应方向提升(ADL)。在实际应用中，ADL 不再沿着水平和垂直方向进行提升，在一个局部窗内，基于提升的预测沿着高像素相关的方向进行。因此，在局部窗内，它能够更好地适应于图像的方向特征。ADL变换是通过1-D 小波来实现的。ADL预测和更新信号可以在分数像素精度级以取得高的方向分辨率，同时仍然保持完全重建。为了提高ADL的性能，一种率失真优化的方向分割机制被采用以形成并编码适应于图像特征的分级图像划分。实验结果表明：基于ADL的图像编码技术在重建图像视觉质量上超过JPEG2000，对于纹理丰富的图像，有最高2.0dB的PSNR提高。
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）：
摘要 近年来，对图像分割的研究一直是图像技术研究的焦点。图像分割是一种很重要的图像分析技术，它的目的是把图像分为具有各种特性的区域并把感兴趣的部分提取出来。它融合了多个学科的成果，并且成功应用于工业、农业、医学、军事等领域，得到了广泛的应用。 图像分割是一个经典的问题，实现方法有很多种，但是至今仍没有一种通用的解决方法。经过研究发现，区分真正的噪声和边缘是图像分割的难题之一，然而小波变换则可以解决这一问题，小波变换是一种时--频两域的分析工具。本文则基于小波变换对图像分割技术进行研究，主要介绍了小波阈值分割方法。文中通过直方图、建立模型等手段对这两种方法做出具体的讨论，并利用Matlab分别对两种方法进行仿真，并得到了有效的结果。根据仿真结果我们可以看出不同分割方法的不同分割效果，从而更好地理解这些方法。 关键词：图像分割；小波变换；阈值；
Abstract In recent years, the study of image segmentation has been the focus of imaging technology. Image segmentation is an important image analysis, its purpose is to take the various characteristics part out of the image. It combines the results of multiple disciplines, and successfully applied to such fields as industry, agriculture, medicine, military, and a wide range of applications. There are many ways to achieve image segmentation, but could not find a common solution. After the study found that the distinction between real noise and the edge of one of the difficult problem of image segmentation, wavelet transform can solve this problem, wavelet transform is a time - frequency domain analysis tools. In this paper, image segmentation technique based on wavelet transform to study the two wavelet segmentation method, the wavelet thresholding segmentation method. Histogram, the establishment of model and other means to make a specific discussion of these two approaches, and use the Matlab simulation, and the effective results of the two methods, respectively. According to the results of the simulation we can see the different segmentation results of different segmentation methods, in order to better understand these methods. Key words：Image; Wavelet transform; Threshold
小波变换 一、小波变换的基本原理及性质 1、小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A 、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B 、在有限时间范围内平均值为0。 2、小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。 小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足 3、信号的信息表示 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）。 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT 。 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱 信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法 ) ()(ωψ??x ∞ <=?∞ ∞-ωω ωψ?d C 2 ) (0 )()0(==?∞ ∞ -dx x ?ψ
平稳信号 非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号。 信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义。 时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析。 4、为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT 方法，与STFT 方法比较具有更为明显的优势。 ) ,,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n t t t x x x f t t t x x x f [][][] ??? ????∞<-=====?+∞ ∞-)(),()()(),()()(21 22121t x E t t R t x t x E t t R m dx x xf t x E x x x ττ时间幅度 小波变换 时间 尺度
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
绪 论 机械故障诊断技术作为一门新兴的科学，自从二十世纪六七十年代以来已经取得了突飞猛进的发展，尤其是计算机技术的应用，使其达到了智能化阶段。现在，机械故障诊断技术在工业生产中起着越来越重要的作用，生产实践已经证明开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。 我国的故障诊断技术在理论研究方面，紧跟国外发展的脚步，在实践应用上还是基本落后于国外的发展。在我国，故障诊断的研究与生产实际联系不是很紧密，研究人员往往缺乏现场故障诊断的经验，研制的系统与实际情况相差甚远，往往是从高等院校和科研部门开始，再进行到个别行业，而国外的发展则是从现场发现问题进而反映到高等院校或科研部门，使得研究有的放矢[1]。 要求机械设备不出故障是不现实的，因为不存在绝对安全可靠的机械设备。因此，为了预防故障和减少损失，必须对设备的运行状态进行监测，及时发现设备的异常状况，并对其发展趋势进行跟踪：对己经形成的或正在形成的故障进行分析诊断，判断故障的部位和产生的原因，并及早采取有效的措施，这样才能做到防患于未然。因此，设各状态监测与故障诊断先进技术的研究对于保证复杂机械设备的安全运行具有重要意义。 关键词：小波分析，故障诊断，小波基选取，奇异性 基于小波分析的机械故障检测 小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理 信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系： 设)(x g 为一光滑函数，且满足条件0g(x) lim ,1x)dx ( g x ==∞→+∞ ∞-?，不妨设)(x g 为高斯函数，即σσπ2221)(x e x g -= ，令 d x,/x)( dg x)(=ψ由于?+∞ ∞-=0x)dx (ψ，因此，可取函数x)(ψ
一、小波分析基本原理： 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。相关原理详见附件资料和系统设计书。 注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf 二、搜索到的小波分析源码简介 （仅谈大体印象，还待继续研读）： １、83421119WaveletVCppRes.rar 源码类型：VC++程序 功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。 说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序） 源码类型：fortran程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。 ３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份 功能是：气象应用。用小波分析方法对太平洋温度的南方涛动指数进行分析。 说明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序编写规范，思路清晰，但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ４、Morlet小波变换源程序.rar 源码类型：matlab程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。
基于小波变换的数字图像处理 摘要：本文先介绍了小波分析的基本理论，为图像处理模型的构建奠定了基础，在此基础上提出了小波分析在图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等图像处理方面的应用,最后在MATLAB环境下进行仿真，验证了小波变化在图像处理方面的优势。 关键词：小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像增强 引言 数字图像处理是利用计算机对科学研究和生产中出现的数字化可视化图像 信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了高度广泛的重视。数字化图像处理的今天，人们为图像建立数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分方程等。 小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展，小波分析在图像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。但短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行，所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。 本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等,本文重点在图像去噪，最后用Matlab进行了仿真[1]。
时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ?
第一章图像边缘的定义 引言 在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。 由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。 经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。 小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。
§1.1信号边缘特征 人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。从以上这几点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。 §1.2图像边缘的定义 边缘检测是图像处理中的重要内容。而边缘是图像中最基本的特征，也是指周围像素灰度有变化的那些像素的集合。主要表现为图像局部特征的不连续性，也就是通常说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿边缘走向的灰度变化剧烈，通常分为阶跃边缘和屋顶边缘两种类型。阶跃边缘在阶跃的两边的灰度值有明显的变化；屋顶边缘则位于灰度增加与减少的交界处。我们可以利用灰度的导数来刻画边缘点的变化，分别求阶跃边缘和屋顶边缘的一阶，二阶导数。如图可见，对于边缘点A，阶跃边缘的一阶导数在A点到最大值，二阶导数在A点过零点；屋顶边缘的一阶导数在A点过零点，二阶导数在A点有最大值。
第9章 小波变换基础 9.1 小波变换的定义 给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t a t b a -= ψψ （9.1.1） 式中b a ,均为常数，且0>a 。显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ，即 )()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为 dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-= ? *ψ ??==? * )(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数， b 是时移，a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波，或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和 伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则 ),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。 在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子 a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(a t ψ，当1 >a 时，若a 越大，则)(a t ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1 1 绪论 1.1概述 小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。 从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。 而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。 一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用 1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值 小波分析理论简介 （一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换 1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数 )(t f ，都可以用三角级数表示： )(t f = ∑∞ -∞=k ikt k e C = 20 a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞ =1 sin k k kt b (1) k C = π 21 ? -π 20 )(dt e t f ikt = * ikt e f , (2) k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3) 对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间： )(t f =2 0a + )sin cos (12 1∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 2 2cos 21 ω=∑-=1 0N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-== 1 02cos 2 N m m k N km x N a π ，=k 0，1，2，…,2N (5) ∑-== 1 2sin 2N m m k N km x N b π , =k 1,2,…, 2N -1 (6) ∑-=-= 1 )/2(1N m N km i m k e x N C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7) t N k k ?=π ω2 ，N T t =? (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）： ? ∞ ∞ --= dt e t f f t i ωω)()( =t i e f ω, （9） ωωπ ωd e f t f t i )(21 )(? ∞ ∞ -= (10) 小波变换的原理及m a t l a b仿真程序 基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参 数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。 时间序列-小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f (t)a )b ,a (W R 2 /1-f ? -=ψ （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数； )a b x ( -ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?， 3）基于小波理论的模型（Wavelet Based Model）小波分析方法是对一组已知的交通流时间序列v0i(将原始信号视为尺度0上的信号)和选定的尺度函数ψ(t)、小波函数φ(t)及其对应的分解系数序列{an}、{bn}、重构系数序列{pn}、{qn}，进行N 尺度的分解，得到一个基本时间序列信号vji和一组干扰信号wji(j=1,2,…,N)，然后利用其他预测方法(如ARMA)对分解后的近似信号、干扰信号进行预测，将分解信号及相应的预测结果利用重构算法(如Mallat 算法)得到原尺度的信号及其预测结果[18]。在小波分析中，多尺度方法对于高频扰功信号具有较强的适应能力，在强干扰作用下，该方法较之普通的时间序列方法具有更强的抗干扰能力，因此多尺度时间序列的方法更适用于短时交通流的预测。但是对信号进行二进小波分解时，每次分解都将使信号样本减少一半，进行分解后只能依据较少的样本数据来进行阶数和参数的估计，影响重构模型和预测精度。而且同时还需要利用其他时间序列方法，这本身就影响了预测精度，限制了它的应用,而且也没有考虑相邻路段的影响。 4）基于分形理论的模型(Fractal Based Model) 分形理论是描述复杂系统的一种强有力的工具。广义地，我们把形态、功能、信息等方面具有的自相似的研究对象统称为分形，把研究分形的性质及其应用的科学称为分形理论，分形几何揭示了系统的无标度性或自相似性，而分维是描写分形的定量参数，通常是一个分数。一般地，如果某个形体是由将整个形体缩小到1/β的βD个形体所构成,则称 D 为相似维数。由于短时交通系统存在自相似性，使得短时交通流量具有可预测性。短时交通流的分形预测方法的关键是分维，一般利用建立在H.Whitney 的拓扑嵌入理论及 F.Takens 证明的状态空间重构的理论之上的G-P 算法进行计算。就是利用观测到的交通流时间序列vi(t-k)(k=1,2,…,P)，确定原交通流系统的嵌入空间维数m和时滞参数τ,从而在m维上建立一个与原交通流系统拓扑结构相同的动力学系统。对于m 维欧氏空间上的动力学系统v。=f(v)(其中v=(v1,v2,…,vn)是系统的状态向量，也可以看做系统相空间上的一个点)，随着时间的推延，其相空间上的轨迹可能渐进地趋向于其上的某个子集A(A是系统的吸引子)，这样对系统特性的研究也就转化为对吸引子的研究。 利用分形理论进行交通流量预测，存在很大的适应性和有效性。但是利用分形方法进行预测有一个基本前提，即：当前的交通流演化过程与过去出现的交通流的变化过程具有自相似性。因此分形预测只能在无标度区间内作尺度变换，一用matlab小波分析的实例
小波分析考试题及答案
小波变换去噪基础地的知识整理
小波分析理论简介
小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习
小波分析-经典解读
基于小波理论
相关主题
文本预览