利用小波变换实现彩色图像增强
专业：通信工程姓名：李厚福指导教师：王建华
摘要：中国有句谚语“百闻不如一见”，可见视觉信息的重要性。图像是人们获得信息和传递信息的最重要的媒体，人类视觉信息的获取和传播的最主要载体也是图像，因此图像的增强处理受到越来越多的人们关注。而图像在获取或传输过程中，由于各种原因，可能对图像造成破坏，使图像失真，为了满足人们的视觉效果，必须对这些降质的图像进行处理，满足实际需要，使用不同的方法进行图像增强处理，尽可能对图像进行还原。
图像增强技术是数字图像处理的一个重要分支，其方法有很多，主要可以分为空间域增强和频率域增强两大类。但是传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。小波变换是多尺度多分辨率的分解方式，可以将噪声和信号在不同尺度上分开，根据噪声分布的规律就可以达到图像增强的目的。本文对小波变换理论、小波阈值滤波和增强的方法，小波阈值滤波及增强中的阈值函数和阈值的选取做了理论上的研究，重点研究利用小波变换对图像进行增强处理。关键词：小波变换，图像增强，噪声，信号
第一章绪论
1.1课题研究的意义
图像是人们获取信息和传递信息的最重要的媒体，人类视觉信息的获取和传播的主要载体也是图像。对于生活中的指纹识别，视频监控，生活拍照，医学拍照等无不与图像有着紧密的关系。所以图像增强的目的是改善图像的视觉效果，这对人们的生活有着重要的意义。
图像增强作为基本的图像处理技术，其目的是要改善图像的视觉效果。针对给定图像的应用场合，通过处理设法有选择的突出便于人或机器分析有用的信息，将原来模糊的图像变得清晰，抑制一些没有的信息，得以改善图像质量，丰富信息量，加强图像判读和识别效果，以提高图像的使用价值。
图像增强有很多种方法，传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。对于其性质随实践是稳定不变的信号，傅立叶变换是理想的工具。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波变换。小波变换是傅立叶变换的发展与延拓，它对不同频率成分在时域上的取样步长具有调节性，高频则小，低频则大。具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。小波变换解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，运用到图像增强方面有很重要的现实意义。
1.2 国内外研究现状与发展
图像增强的方法有很多种，主要分为两类：空间域增强和变换域增强。空间域增强算法是对图像的空间点对应的像素进行直接的处理，大部分应用灰度映射变换函数操作。频域增强算法是得首先通过变换函数将图像的像素值变换到另外一种变换域内，第二步对变换后的值进行处理，最后通过反变换重建图像，结果得到增强的图像。
小波变换是当前数学中一个迅速发展的新领域，理论深刻，应用十分广泛。小波变换的概念是由法国地球物理学家J.Morlet在1984年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式。小波变换的数学基础是19世纪的傅里叶变换，随后理论物理学家A.Crossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1985年著名法国数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
第二章图像增强的基本原理和方法
2.1 传统的图像增强方法
2.1.1灰度变换
1、线性灰度拉伸
在图像获取的过程中，由于曝光不均匀（不足或过度），或者因为成像仪器的输出太窄，容易使图像的像素值集中在一个狭窄的区域，造成分辨率低，图像显示为太暗或是太亮，不能满足人类的视觉效果，为了改善这类图像的主观质量，可以将图像的灰度进行线性拉伸。假设原图像f(x,y)的灰度取值范围为[a, b]，现要求将变换后图像的灰度取值范围扩展到[c, d]，一般[c, d]包含[a, b]，则可采用下面的简单线性变换函数来实现：
???????≤<<≤+-?--<≤=Mf
y x f b d b y x f a c a y x f a b c d a y x f c y x g ),(),()),((),(0),( （2.1） Mf 表示f (x,y)的最大值，这样就扩大了降质图像的取值范围，改善了图像的视觉效果。
2、分段线性灰度变换
在一些特定的应用领域，有时需要对图像中感兴趣的目标或者某些灰度区间增强，对那些不感兴趣的灰度区域进行抑制，则可采用分段线性法。下面是一个三段线性变换的例子。 ?????????≤<+---≤≤+---<≤=Mf
y x f b d b y x f b mf d mg b y x f a c a y x f a
b c d a y x f y x f a c y x g ),(]),([),(]),([),(0)
,()(),( （2.2） 上式(2.2)的符号的意义跟式(2.1)的意义是一致的，实现了对灰度区间[a, b]进行线性拉伸，而对灰度区间[0, a]和[b, Mf]进行了抑制，通过对(2.2)式的不同的参数调整，改变线段的斜率，可以实现对任一灰度区间进行拉伸或抑制，从而凸显出图像中感兴趣的区域。
2.1.2直方图均衡化 直方图均衡化处理的“中心思想”是把原始图像的灰度直方图从比较集中的某个灰度区间变成在全部灰度范围内的均匀分布，就是对图像进行非线性拉伸，重新分配图像像素值，使一定灰度范围内的像素数量大致相同。就是把给定图像的直方图分布改变成“均匀”分布直方图分布。这样就增加了象素灰度值的动态范围从而可达到增强图像整体对比度的效果。
具体的实现过程为：首先假设原图像的灰度级是连续的，并将灰度级归
一化到区间[0 1]，通过一个变换T 将原图像的像素s 变换为r ，得到新图像。要求T 为单调递增。且0≤T(r)≤1，0≤r ≤1。逆变换为：r = T -1(s )。 设变换后图像的概率分布为Pr(r)，原图像的概率分布为Ps(s)，根据概率 理论公式有：
)()()(1s T r ds dr
r P s P r s -== （2.3）
考虑变换
ωωd P r t s r
r ?==0)()( （2.4） 上式为r 的累积概率分布，利用T 的定义求s 对r 的导数为：
)(r P dr
ds r = （2.5） 将（2.5）代入（2.3）得出
1)
(1)()(==r P r P s P r r s （2.6） 式（2.6）说明Ps(s)为均匀分布。
离散化处理：首先求出原图像的概率函数n
n r P k r =)( ，n k 表示第k 级灰度值像素的总数，n 表示总体图像的像素值的个数。上面的变换可以写成：
∑∑=====k i r r k
i i k k i P n n r T s 0)(0)( （2.7）
最后按照计算出来的映射关系，把原图的原始灰度值映射到经过均衡化的新灰度级上，从而实现图像的增强。
优缺点这种方法对于背景和前景都太亮或者太暗的图像非常有用，这种方法尤其是可以带来X 光图像中更好的骨骼结构显示以及曝光过度或者曝光不足照片中更好的细节。这种方法的一个主要优势是它是一个相当直观的技术并
且是可逆操作，如果已知均衡化函数，那么就可以恢复原始的直方图，并且计算量也不大。
这种方法的一个缺点是它对处理的数据不加选择，它可能会增加背景杂讯的对比度并且降低有用信号的对比度；变换后图像的灰度级减少，某些细节消失；某些图像，如直方图有高峰，经处理后对比度不自然的过分增强。
2.1.3 灰度级校正
在图像的获取过程中，由于天气，摄像仪器的精度，光学系统等各种原因造成曝光不均匀，使图像表现为较暗或较亮。对于这种类型降质的图像可以使用灰度级拉伸，把原图像的灰度级进行重新分布，获得满足视觉效果的图像。可以按照下面的方法实现：
将原来的图像表示为f(x,y)，亮度不均匀降质图像用g(x,y)表示，用函数 e(x, y)。表示乘性误差，用(2.8) 式表示降质过程：
x
f
e
y
y
g (2.8)
x
x
*)
(y
,
)
,
(
(
,
)
从(2.8)式可以看出，如果能够知道乘性误差函数e(x, y)，原始图像f (x,y)可以由降质图像g(x,y)来复原。但函数e(x, y)一般是事先不知道的，需要想办法根据图像获取系统的特性来计算或估计。下面通过一个简单的例
子来介绍怎样推出e(x,y)。假设输入这个图像降质系统的原图像为常数，即f c (x,y) = C ，那么可获得其输出的降质图像为g c (x,y)。根据式(2.8)可得：
),(*),(y x f y x e g c c = (2.9)
由此即可获得，e(x, y)为：
c
y x g y x f y x g y x e c c c ),(),(),(),(== (2.10) 再将式(2.10)代入式(2.8)即可由降质图像g(x,y)，求出原始图像f(x,y)：
c y x g y x g y x e y x g y x f c ?==)
,(),(),(),(),( (2.11) 应用灰度级校正的方法有两个问题应该要注意：
（1）图像在数字化时，各像素灰度级都是离散的，上述交换用到的是连续变换，因此校正后的图像各像素值不一定刚好在这些规定的离散值上，因此必须对校正后的图像像素值按照一定的规则进行量化。
（2）按（2.11）式对降质图像进行每一点灰度级校正所获得的输出图像，有可能部分像素值超出了显示的范围，一般输出设备的显示范围为0到255，如果要真实地输出，必须要采用别的办法来修正，比如：对于小于0的值按0输出，对于大于255的值按照255计算，保证输出正确的图像。
2.1.4图像去噪增强
图像降噪是图像处理的常用技术，比如线性滤波方法中空间域线性滤波
的邻域平均法是传统的图像去噪主要方法，空间域线性滤波主要是根据图像
的特点及噪声的类型，对图像的空间点的像素值做直接操作。
邻域平均法是一种局部空间域处理的算法，是对图像用各种平滑函数进
行卷积操作，从而实现对噪声的去除。设一幅图像),(y x f 为N N ?的矩阵，平
滑后的图像为),(y x g ，它的每个像素的灰度级由包含在),(y x 的预定邻域的几个像素的灰度级平均值所决定，即用下式得到平均的图像。
∑∈=S j i j i f M y x g ),(),(1
),( （2.12）
式中的S N y x ,1,2,1,0,-= 是),(y x 点邻域中心点的坐标的集合[不包括点),(y x ] ，M 是S 内坐标点的总数。
图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别是在边沿和细节处。
第三章 小波变换的基本理论
3.1 小波变换的理论基础和傅里叶变换的比较
1、小波变换的理论基础
小波变换是一种信号的时间-尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时间域和频率域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口面积不变但窗口形状可以改变，即时间窗和频率窗的大小都可以改变的时频局部化分析方法。在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，正是这种特性使小波变换具有对信号的子适应性。
2、小波变换和傅里叶变换的比较
傅立叶变换传广泛应用于信号处理，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。它对很多信号分析非常有用，因为它能给出信号里包含的各种频率成分，
但它有着明显的缺点：变换之后会使信号失去时间信息，不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化，所以它只能较好地应用于平稳信号，只能提供信号的全局信息，缺少信号的局部信息。Gabor引入局部傅里叶变换，通过一个滑动窗，可以实现时频分析，这种方法虽具有局部化分析能力，但对于一个固定窗函数，它的分辨率也是固定的，只能应用于平稳信号的分析，对非平稳信号就无法分析。小波变换产生于传统傅立叶分析和短时傅立叶分析，能体现信号的局部信息，而且可以调整时间分辨率和频率分辨率的尺度，对非平稳信号的分析取得了较好的效果。
小波变换的理论基础来源于是傅立叶分析，与傅立叶变换紧密联系在一起，傅立叶变换是小波基的构造的主要理论依据，二者是相辅相成的，小波变换是对傅里叶变换的发展与提升。两者之间主要有如下差别：
(1)傅立叶变换以{e jwt}为正交基，然后把能量有限信号)(t f分解到正交基
对应的空间上去；小波变换以W
j-(j=1,2,...,J)和V
j-
所构成的空间，再把
能量有限信号)(t f分解到W
j-(j=1,2,...,J)和V
j-
构成的空间上。
(2)傅立叶变换的公式是固定的；小波分析中的小波函数具有多样性，在实际应用中，用不同的小波函数处理同一个问题时，其处理结果有时会大相庭径。因此怎么选择小波函数处理实际问题时小波变换在应用中的一个难题，现有的方法是通过反复经验，通过对实验结果的比较，选择效果好小波函数。
(3) 傅立叶变换在频域中，尤其是作用到一些较平稳的信号，取得了较好局部化效果，傅立叶变换中的ω
ωd
f)
(?表示频率为ω的谐波分量的振幅，)(t f
的全局特性决定了ω
ωd
f)
(?。
(4)小波分析中的尺度a 相当于傅立叶变换中ω，a 值越大对应ω的值越小。
(5) STFT 的变换系数),(τωS 取决于区间 [τ-δ,τ+δ] 的信号，δ是由窗函数g(t)唯一确定，顾时间宽度固定为2δ。小波变换的变换系数W f (a,b)取决于区间[b-a ?ψ,b+a ?ψ]的信号情况，其时间宽度为2a ?ψ，该时间宽度由尺度a 决定，随a 变化而变化的，因此小波变换和傅里叶变换相比更具有灵活性。
3.2 小波变换基本理论
3.2.1 一维连续小波变换
在Fourier 变换F()()jx f t e dx ω+∞
--∞=?中，用小波基函数)(x ψ做平移和伸缩变换，得到函数)(a b x -ψ，用)(a b x -ψ代替傅里叶变换的基函数jx e 的伸缩函数x j e ω，得到的新变换就称为连续小波变换，具体定义如下：
函数)()(2R L x ∈ψ 称为小波函数（又叫基本小波或母小波），如果满足允许条件:
?∞
+∞-∞<=ωωωψ?d C |||)(?|2 （3.1 ） 其中)(?ωψ
为)(ωψ的Fourier 变换，则连续小波变换定义为： ?+∞
∞--=dx a
b x x f a b a f W )(*)(||1
),(ψψ （3.2） 式中：R b a ∈,且a ≠0 ,a 为缩放因子（对应于频率信息）；b 为平移参数(对应于时空信息)；*()x ψ 表示)(x ψ 的复共轭。允许条件在)()(2R L x ∈ψ下可以等价地表示为:
?+∞
∞-=0)(dt t ψ （3.3）
小波变换结果是为各种小波系数，这些系数由尺度和位移函数组成。
3.2.2 一维离散小波变换 ??-=2
)(),(1
)(,2R b a dadb x b a f W a C x f ψψψ （3.4） 令a=a 1，b=b 1，则
?=
R b a dt t t f b a f W )()(),(11,21ψψ ???+∞+∞∞-=R b a b a dt t dbda t b a f W a C )(])(),(1[111,,02ψψψψ dbda dt t t C b a f W a b a b a R ])()(1)[,(111,,02ψψψψ???+∞+∞
∞
-= ??+∞∞-+∞=dbda b b a a k b a f W a
),,,(),(11120ψψ（3.5） 式中 ，dt t t C b b a a k b a R b a )()(1),,,(1,1,11ψψψψ?=
称之为再生核.显然，当)(,t b a ψ与)(1,1t b a ψ正交时，0),,,(11=b b a a k ψ,即这时),(b a f W ψ对)1,1(b a f W ψ “没有贡献”
。 小波的尺度当j=0时，取00b a b j =，下面小波函数可以实现离散化且不丢失信
息:
),()()(002/0,Z k j kb t a a t j j k j ∈-=--ψω （3.6） 根据以上的讨论，离散小波变换的定义如下:
设)()(2,R L t b a ∈ψ，a 0>0是常数，)()(02/0,k t a a t j j k j -=--ψψ ),(Z k j ∈,则称 ?=R
k j a dt t t f k j f W )()(),(,ψ （3.7）
为)(t f 的离散小波变换.特别地，取a 0=2，则称以离散小波函数