福建省厦门市2011届高三高中毕业班适应性(数学理)扫描版

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2011年5月厦门市高中毕业班适应性考试

第 5 页 共 11 页 数学（理科）试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算． 每题5分，满分50分．

1～5 ADCBC 6～10 DBCBA

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算． 每题4分，满分20分．

11．5 12．3aa 13．23 14．322 15．113

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．本题主要考查三角函数图象性质、图象的平移、定积分运算等基础知识；考查运算求解能力及数形结合思想． 满分13分．

解：(Ⅰ)由函数图象及函数模型()sin()fxAx知2A； -------------1分

由171266T，得2T，由22得1； -----------3分

由2sin1得6． --------------------------------------5分

∴所求函数解析式为()2sin()6yfxx． --------------------------------------6分

（Ⅱ）将()2sin()6yfxx图象向左平移6个单位长度，

得到函数xxgysin2)(的图象， -----------------------------------------------------8分

∵dxxg)(xdxsin2|cos2x ---------------------------------------------10分

cos2cos23cos22， ------------------------------11分

∴21cos，又0， 解得3． ----------------------------------13分

17．本题主要考查椭圆、圆与直线等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力及探究能力；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想．满分13分．

解：(Ⅰ)由题意，1Py时，直线CD方程为2yx，直线BP方程为124yx,

--------------2分

由方程组2124yxyx 解得16565xy， -----------------------------------3分

216516+4562=2516+259=1， ∴166 , 55点（）在椭圆上，

∴直线 CD 与BP的交点在椭圆上． ----------------------------------------5分

第 6 页 共 11 页 （Ⅱ）∵2216,4,ab∴212c，∴23c，∴焦点1F-230（，），2F230（，）． -----------6分

设12(4,),(4,)PyQy，12PFQF，

120PFQF

1122(234,),(234,),PFyQFy

----------------8分

121212160PFQFyy， 124yy ，

线段PQ为直径的圆圆心是PQ的中点（4，221yy），半径为2||21yyr，

圆的方程为22212124+()(),22yyyyxy -----------------------10分

222212121211816()()()0,44xxyyyyyyyy

221212816()0,xxyyyyyy

2212816()40,xxyyyy

------------------------------------------12分

令0y，得28120xx ∴ 20xy 或 60xy ，

以线段PQ为直径的圆恒过定点(2,0),(6,0)． -----------------------------------13分

18．本题主要考查统计、概率、随机变量的分布列及数学期望等基础知识；考查运算求解能力，分析与解决问题能力及应用意识；考查函数最值思想，必然与或然思想，分类与整合思想．满分13分．

解：（Ⅰ）由题意知，同一年龄段中回答问题一与回答问题二的人数是相同的，

∴ 300.60.8b 且15120.4a ---------------------------------------2分

解得：12a , 40b． ---------------------------------------4分

（Ⅱ）又由表知：15100.5c 可得 34c． ---------------------------------------5分

∴42岁大人回答问题一、二的正确率分别为34,55，

13岁孩子回答问题一、二的正确率分别为31,42． -------------------------------6分

（ⅰ）当大人回答第一个问题，小孩回答第二个问题时，记这个家庭所获奖品价值为元，

则的可取值为 0，20，30，50 ．其分布列为

第 7 页 共 11 页 x

z G

B D C A

E F

y  0 20 30 50

p 2.0 3.0 2.0 3.0

-------------------------------------8分

∴273.0502.0303.0202.00E ． -------------------------------------9分

（ⅱ）当小孩回答第一个问题，大人回答第二个问题时，记这个家庭所获奖品价值为元，

则的可取值为 0，20，30，50．其分布列为

 0 20 30 50

p 05.0 15.0 2.0 6.0

-------------------------------------------------11分

∴396.0502.03015.02005.00E ．----------------------------------12分

答：这个家庭获得礼物价值的数学期望最大是39元． -------------------------------------13分

19．本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、空间距离公式等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力、应用向量知识解决数学问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

解： (Ⅰ) 直线EF与直线BC的位置关系是 异面 ； -------------------------2分

（Ⅱ）解法一：取EF中点G，连接AF、AG，则由已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，

得：AB⊥面ACD， -------------------------------------------------3分

从而：EA⊥AF

------------------------------------------------4分

∴ EF是Rt△EAF的斜边，∴AG=EG=GF=1,

即：当E、F分别在棱AB、天花板ACD上运动时，AG的长为定值１．-------------------------6分

解法二：分别以AC、AD、AB为x、y、z轴建系，如图，设G(x,y,z), --------3分

则E(0,0,2z)、F(2x,2y,0),

由2)2()2()2(2EF222zyx， -------4分

即有1AG222zyx为定值． --------------------------------------------------6分

（Ⅲ）分别以AC、AD、AB为x、y、z轴建系，如图，设G(x,y,33), --------------7分

由（Ⅱ）有133222）（yx，

从而3222yx，而点G到另两个墙面的

第 8 页 共 11 页 距离之和为xy. 由xyyx222，

∴222)()(2yxyx，即43xy

当且仅当33xy时取等号 ---------------------------10分

此时），（），（），，，（2,03BC,3,03CD333333AG

设面BCD的法向量为），（cba,n，由00BCnCDn得），（3,22n -------------11分

设直线AG与平面BCD所成角为，有517|,cos|sinAGn.51517

即：直线AG与平面BCD所成角的余弦值为.51517------------------------------------13分

注：“.3334时取等号，当且仅当yxyx”的证明若采用柯西不等式、三角换元、直线和圆的关系等方法求解，同样给分．

20．本题主要考查函数与导数，函数图象与性质，数列等基础知识；考查学生抽象概括能力，推理论证能力，创新能力；考查函数与方程思想，有限与无限思想，分类与整合思想．满分14分．

解：(Ⅰ) 10,'()xfxax，'(1)1fa，切点是(1,1)a，

所以切线方程为(1)(1)(1)yaax，即(1)yax． ------------------3分

（Ⅱ）（法一）10,'()axxfxx，

○1当0a时， (0,)x，'()0fx，()fx单调递增，

显然当1x时，()0fx，()0fx不恒成立． --------------------------------------4分

○2当0a时， 1(0,)xa，'()0fx，()fx单调递增，

1(,)xa，'()0fx，()fx单调递减， -----------------------------------------6分

max11()()()ln()0fxfxfaa极大值，1a，

所以不等式()0fx恒成立时，a的取值范围(,1] -------------------------------8分