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福建省厦门市2011届高三高中毕业班适应性(数学理)扫描版

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2011年5月厦门市高中毕业班适应性考试

数学(理科)试卷参考答案及评分标准

一、选择题:本题考查基础知识和基本运算. 每题5分,满分50分.

1~5 ADCBC 6~10 DBCBA

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算. 每题4分,满分20分.

11.5 12.3a a =? 13.

23

π 14.322 15.

113

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.本题主要考查三角函数图象性质、图象的平移、定积分运算等基础知识;考查运算求解

能力及数形结合思想. 满分13分. 解:(Ⅰ)由函数图象及函数模型()sin()f x A x ω?=+知2A =; -------------1分

由1

7126

6

T πππ=

-

=,得2T π=,由

22π

πω

=得1ω=; -----------3分

由2sin 1?=-得6

π?=-. --------------------------------------5分

∴所求函数解析式为()2sin ()6

y f x x π==-. --------------------------------------6分

(Ⅱ)将()2sin ()6

y f x x π==-

图象向左平移6

π

个单位长度,

得到函数x x g y sin 2)(==的图象, -----------------------------------------------------8分 ∵?

πα

dx x g )(?=

π

α

xdx sin 2π

α|cos 2x -= ---------------------------------------------10分

απcos 2cos 2+-=3cos 22=+=α, ------------------------------11分

∴2

1cos =

α,又πα<<0, 解得3

πα=

. ----------------------------------13分

17.本题主要考查椭圆、圆与直线等基础知识,考查运算求解能力,推理论证能力及探究能力;考查函数与方程思想,数形结合思想,化归与转化思想.满分13分. 解:(Ⅰ)由题意,1P y =时,直线CD 方程为2y x =-,直线BP 方程为124

y x =-+,

--------------2分

由方程组2124

y x y x =-???=-+?? 解得165

65x y ?=???

?=??, -----------------------------------3分 2

16516

??

??? +

4

562

??? ??=

25

16+

25

9=1, ∴166 ,

5

5

点(

)在椭圆上,

∴直线 CD 与BP 的交点在椭圆上. ----------------------------------------5分

(Ⅱ)∵22

16,4,a b ==∴212c =,∴3c =,∴焦点1

F 230(,),2

F 3(,). -----------6分 设12(4,),(4,)P y Q y ,12P F Q F ⊥,

120P F Q F ?=

1122(34,),34,),

P F y Q F y =--=--

----------------8分

121212160P F Q F y y ?=-++=

124y y =- ,

线段PQ 为直径的圆圆心是P Q 的中点(4,

2

2

1y y +),半径为2

|

|21y y r -=

圆的方程为()

2

2

2

12

12

4+()(

),

2

2

y y y y x y +---

= -----------------------10分

2

2

2

2

12121211816()()()0,4

4

x x y y y y y y y y -++-++

+-

-=

2

2

1212816()0,x x y y y y y y -++-++=

2

2

12816()40,

x x y y y y -++-+-=

------------------------------------------12分

令0y =,得2

8120x x -+= ∴ 20x y =??=? 或 60x y =??=? ,

以线段P Q 为直径的圆恒过定点(2,0),(6,0). -----------------------------------13分 18.本题主要考查统计、概率、随机变量的分布列及数学期望等基础知识;考查运算求解能力,

分析与解决问题能力及应用意识;考查函数最值思想,必然与或然思想,分类与整合思想.满分13分.

解:(Ⅰ)由题意知,同一年龄段中回答问题一与回答问题二的人数是相同的,

300.6

0.8b =

15120.4

a

=

---------------------------------------2分

解得:12a =

, 40=b . ---------------------------------------4分

(Ⅱ)又由表知:

15100.5

c

= 可得 34

c =

. ---------------------------------------5分

∴42岁大人回答问题一、二的正确率分别为34

,55

13岁孩子回答问题一、二的正确率分别为

31

,42

. -------------------------------6分 (ⅰ)当大人回答第一个问题,小孩回答第二个问题时,记这个家庭所获奖品价值为ξ元,

则ξ的可取值为 0,20,30,50 .其分布列为

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-------------------------------------8分

273.0502.0303.0202.00=?+?+?+?=ξE . -------------------------------------9分

(ⅱ)当小孩回答第一个问题,大人回答第二个问题时,记这个家庭所获奖品价值为η元,

则η的可取值为 0,20,30,50.其分布列为

η 0 20 30 50 p

05.0

15.0

2.0

6.0

-------------------------------------------------11分

396.0502.03015.02005.00=?+?+?+?=ηE .----------------------------------12分

答:这个家庭获得礼物价值的数学期望最大是39元. -------------------------------------13分 19.本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、空间距离公式等基础知识,考查空间想象能

力、运算求解能力、推理论证能力、应用向量知识解决数学问题的能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.

解: (Ⅰ) 直线EF 与直线BC 的位置关系是 异面 ; -------------------------2分 (Ⅱ)解法一:取EF 中点G ,连接AF 、AG ,则由已知墙面交线AB 、AC 、AD 两两垂直,

得:AB ⊥面ACD , -------------------------------------------------3分 从而:EA ⊥AF ------------------------------------------------4分 ∴ EF 是Rt △EAF 的斜边,∴AG=EG=GF=1,

即:当E 、F 分别在棱AB 、天花板ACD 上运动时,AG 的长为定值1.-------------------------6分

解法二:分别以AC 、AD 、AB 为x 、y 、z 轴建系,如图,设G(x,y,z), --------3分

则E(0,0,2z)、F(2x ,2y ,0), 由2)

2()2()2(2EF 2

2

2

=++∴=z y x ,

-------4分

即有1AG 2

22=++=z

y x 为定值. --------------------------------------------------6分

(Ⅲ)分别以AC 、AD 、AB 为x 、y 、z 轴建系,如图,设G(x ,y ,3

3), --------------7分

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由(Ⅱ)有13

32

2

2=+

+(y x ,

从而3

22

2=+y

x ,而点G 到另两个墙面的

距离之和为x y +. 由xy y x 22

2≥+,

∴2

22)()(2y x y x +≥+,即43

x y +≤

当且仅当33x y ==

---------------------------10分

此时),(),(),,

(2,03BC ,3,03CD 3

33

3

3

3AG -=-==

设面BCD 的法向量为),(c b a ,n =,由?????=?=?0

BC n CD n 得),(3,22n = -------------11分

设直线AG 与平面BCD 所成角为θ,有51

7|,cos |sin =

><=AG n θ.51

517=

即:直线AG 与平面BCD 所成角的余弦值为

.51

517------------------------------------13分

注:“.3

33

4时取等号,当且仅当=

=≤

+y x y x

”的证明若采用柯西不等式、三角换

元、直线和圆的关系等方法求解,同样给分.

20.本题主要考查函数与导数,函数图象与性质,数列等基础知识;考查学生抽象概括能力,推理论证能力,创新能力;考查函数与方程思想,有限与无限思想,分类与整合思想.满分14分. 解:(Ⅰ) 10,

'()x f x a x

>=

+ ,'(1)1f a ∴=+,切点是(1,1)a +,

所以切线方程为(1)(1)(1)y a a x -+=+-,即(1)y a x =+. ------------------3分

(Ⅱ)(法一)10,

'()a x x f x x

+>=

1当0a ≥时, (0,)x ∈+∞,'()0f x >,()f x 单调递增,

显然当1x >时,()0f x >,()0f x ≤不恒成立. --------------------------------------4分 ○

2当0a <时, 1(0,)x a

∈-,'()0f x >,()f x 单调递增,

1(,)x a

∈-

+∞,'()0f x <,()f x 单调递减, -----------------------------------------6分

m ax 11()()()ln ()0f x f x f a a

∴==-

=-

≤极大值,1a ∴≤-,

所以不等式()0f x ≤恒成立时,a 的取值范围(,1]-∞- -------------------------------8分

(法二)0,x > 所以不等式()0f x ≤恒成立,等价于ln 1

ln 1,x a x x a x

--≤--≤

即,

令ln 1

()x h x x

--=

,则2

2

2

1ln 1ln '()x x h x x

x

x

-=-

+

=

当(0,1)x ∈时,'()0h x <,()h x 单调递减,

当(1,)x ∈+∞时,'()0h x >,()h x 单调递增.---------------------------------------------6分

m in ()()(1)1h x h x h ∴===-极小值,1a ∴≤-.

所以不等式()0f x ≤恒成立时,a 的取值范围(,1]-∞-. ---------------------------------8分 (Ⅲ)

121n n a a +=+ ,11

1(1)2

n n a a +∴-=-,

1

1

11

1

2,

1()

,

()

12

2

n n n n a a a --=∴-=∴=+ ,1

1ln [1]2n n b n -??

∴=?+ ?

??

, --------10分

由(2)知,当1a =-时,ln 10x x -+≤恒成立,即ln 1x x ≤-,当且仅当1x =取等号.

11

11

1111ln 111122b --??

??

????

∴=?+

????????????? ,

21

21

2112ln 121122b --??

??

??

??=?+

??????????

?

?

?

…1

1

11ln 11122n n n b n n --??

??

??

??

=?+

?????????????

, ----------------------------12分

11

21

1

11111121111222n n T n ---??

??

??

??

??

??

+-++?

+-?????? ?

? ??????????????

??

?

?

?

11

21

1

11112...222n n ---??

????

=?+?++? ?

?

?

??

??

??

令011

11112...222n n S n -??????

=?+?++? ? ? ?

??????,

则1

2

1

1

111112...(1)22222n n

n S n n -??????

??

=?+?++-?+? ? ? ? ???????

??

1

1

11()

1

1111112...()2(2)()1222222212

n

n n

n n n S n n n --????????∴

=+++-?=-?=-+? ? ? ? ???????

??-,

114(2)()2n n S n -∴=-+?,12

42

n n n T -+∴<-. ---------------------------------------14分

21.(1)本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力及化归与转化思想. 解: (Ⅰ) 法一:设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在A 的作用下变为),(y x ''

则1

33a x x a y x b

y b x y y '-??-+??????== ????'+????????3x x a y

y b x y '=-+???

'=+?

--------------------------3 分 代入23x y ''-=得:

3)32()2(=-++-y a x b 其与32=-y x 完全一样得?

??=-=???

?-=-=--14

13222a b a b 则矩阵114

3A -??

=

?-??

------------------------------------------------------5分 法二:在直线32=-y x 上任取两点(2、1)和(3、3), --------------------------1分

则1223123a a b b -??-+????= ???+????

??,即得点)32,2(+-b a , 13333339a a b

b -??-+????= ???+????

??,即得点)93,33(+-b a , --------------------------------3 分 将)32,2(+-b a 和)93,33(+-b a 分别代入32=-y x 得

2(2)(23)312(33)(39)34a b a a b b -+-+==?????-+-+==-?? 则矩阵1

14

3A -??

=

?-??

. ----------5 分 (Ⅱ)因为11143

-=-,所以矩阵M 的逆矩阵为1

3141A

--??

= ?-??

. ---------------------7分 (2)本题考查直线与圆的极坐标与参数方程,极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想及数形结合思想.

解:(Ⅰ)曲线1C 的极坐标方程为222s )2

2

2

ρθθ+

=

,

∴曲线1C 的直角坐标方程为0x y a +-=. ----------------------------------3分 (Ⅱ)曲线2C 的直角坐标方程为2

2

(1)(1)1(10)x y y +++=-≤≤,为半圆弧,

如下图所示,曲线1C 为一族平行于直线0x y +=的直线,

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当直线1C 过点P 1112

a

---=得22a =-±

舍去22a =--

,则22a =-+

当直线1C 过点A 、B 两点时,1a =-, ------------------------------------------------6分 ∴由图可知,当122a -≤<-+时,曲线1C 与曲线2C 有两个公共点.

-----------------------7分

(3)本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识,考查推理论证能力及运算求解能力.

解:(Ⅰ)当2a =时,要使函数)(x f 有意义,

有不等式1550x x -+-->成立,------------------① --------------------------------1分 当1x ≤时,不等式①等价于210x -+>,即1

2x <

,∴1

2

x <

;-------------------2分

当15x <≤时,不等式①等价于10->,即x ∈?,∴x ∈?; ------------------3分

当5x >时,不等式①等价于2110x ->,即112

x >,∴112

x >

; -----------------4分

综上函数)(x f 的定义域为1

11(,)(

,)22

-∞?+∞. ---------------------------------------5分

(Ⅱ)∵函数)(x f 的定义域为R , ∴不等式150x x a -+-->恒成立, ∴只要(

)

m in

15

a x x <

-+-即可,又∵|1||5|4x x -+-≥(1x =或5x =时取等

号),即m in (|1||5|)4a x x <-+-=,∴4a <. ∴a 的取值范围是(,4)-∞.---------7分