2011年5月厦门市高中毕业班适应性考试

数学（理科）试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算． 每题5分，满分50分．

1～5 ADCBC 6～10 DBCBA

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算． 每题4分，满分20分．

11．5 12．3a a =? 13．

23

π 14．322 15．

113

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题主要考查三角函数图象性质、图象的平移、定积分运算等基础知识；考查运算求解

能力及数形结合思想． 满分13分． 解：(Ⅰ)由函数图象及函数模型()sin()f x A x ω?=+知2A =； -------------1分

由1

7126

6

T πππ=

-

=，得2T π=，由

22π

πω

=得1ω=； -----------3分

由2sin 1?=-得6

π?=-． --------------------------------------5分

∴所求函数解析式为()2sin ()6

y f x x π==-． --------------------------------------6分

（Ⅱ）将()2sin ()6

y f x x π==-

图象向左平移6

π

个单位长度，

得到函数x x g y sin 2)(==的图象， -----------------------------------------------------8分 ∵?

πα

dx x g )(?=

π

α

xdx sin 2π

α|cos 2x -= ---------------------------------------------10分

απcos 2cos 2+-=3cos 22=+=α， ------------------------------11分

∴2

1cos =

α，又πα<<0， 解得3

πα=

． ----------------------------------13分

17．本题主要考查椭圆、圆与直线等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力及探究能力；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想．满分13分． 解：(Ⅰ)由题意，1P y =时，直线CD 方程为2y x =-，直线BP 方程为124

y x =-+,

--------------2分

由方程组2124

y x y x =-???=-+?? 解得165

65x y ?=???

?=??， -----------------------------------3分 2

16516

??

??? +

4

562

??? ??=

25

16+

25

9=1， ∴166 ,

5

5

点（

）在椭圆上，

∴直线 CD 与BP 的交点在椭圆上． ----------------------------------------5分

（Ⅱ）∵22

16,4,a b ==∴212c =，∴3c =，∴焦点1

F 230（，），2

F 3（，）． -----------6分 设12(4,),(4,)P y Q y ，12P F Q F ⊥，

120P F Q F ?=

1122(34,),34,),

P F y Q F y =--=--

----------------8分

121212160P F Q F y y ?=-++=

，

124y y =- ，

线段PQ 为直径的圆圆心是P Q 的中点（4，

2

2

1y y +），半径为2

|

|21y y r -=

，

圆的方程为()

2

2

2

12

12

4+()(

),

2

2

y y y y x y +---

= -----------------------10分

2

2

2

2

12121211816()()()0,4

4

x x y y y y y y y y -++-++

+-

-=

2

2

1212816()0,x x y y y y y y -++-++=

2

2

12816()40,

x x y y y y -++-+-=

------------------------------------------12分

令0y =，得2

8120x x -+= ∴ 20x y =??=? 或 60x y =??=? ，

以线段P Q 为直径的圆恒过定点(2,0),(6,0)． -----------------------------------13分 18．本题主要考查统计、概率、随机变量的分布列及数学期望等基础知识；考查运算求解能力，

分析与解决问题能力及应用意识；考查函数最值思想，必然与或然思想，分类与整合思想．满分13分．

解：（Ⅰ）由题意知，同一年龄段中回答问题一与回答问题二的人数是相同的，

∴

300.6

0.8b =

且

15120.4

a

=

---------------------------------------2分

解得：12a =

, 40=b ． ---------------------------------------4分

（Ⅱ）又由表知：

15100.5

c

= 可得 34

c =

． ---------------------------------------5分

∴42岁大人回答问题一、二的正确率分别为34

,55

，

13岁孩子回答问题一、二的正确率分别为

31

,42

． -------------------------------6分 （ⅰ）当大人回答第一个问题，小孩回答第二个问题时，记这个家庭所获奖品价值为ξ元，

则ξ的可取值为 0，20，30，50 ．其分布列为

-------------------------------------8分

∴

273.0502.0303.0202.00=?+?+?+?=ξE ． -------------------------------------9分

（ⅱ）当小孩回答第一个问题，大人回答第二个问题时，记这个家庭所获奖品价值为η元，

则η的可取值为 0，20，30，50．其分布列为

η 0 20 30 50 p

05.0

15.0

2.0

6.0

-------------------------------------------------11分

∴

396.0502.03015.02005.00=?+?+?+?=ηE ．----------------------------------12分

答：这个家庭获得礼物价值的数学期望最大是39元． -------------------------------------13分 19．本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、空间距离公式等基础知识，考查空间想象能

力、运算求解能力、推理论证能力、应用向量知识解决数学问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

解： (Ⅰ) 直线EF 与直线BC 的位置关系是 异面 ； -------------------------2分 （Ⅱ）解法一：取EF 中点G ，连接AF 、AG ，则由已知墙面交线AB 、AC 、AD 两两垂直，

得：AB ⊥面ACD ， -------------------------------------------------3分 从而：EA ⊥AF ------------------------------------------------4分 ∴ EF 是Rt △EAF 的斜边，∴AG=EG=GF=1,

即：当E 、F 分别在棱AB 、天花板ACD 上运动时，AG 的长为定值１．-------------------------6分

解法二：分别以AC 、AD 、AB 为x 、y 、z 轴建系，如图，设G(x,y,z), --------3分

则E(0,0,2z)、F(2x ,2y ,0), 由2)

2()2()2(2EF 2

2

2

=++∴=z y x ，

-------4分

即有1AG 2

22=++=z

y x 为定值． --------------------------------------------------6分

（Ⅲ）分别以AC 、AD 、AB 为x 、y 、z 轴建系，如图，设G(x ,y ,3

3), --------------7分

由（Ⅱ）有13

32

2

2=+

+（y x ，

从而3

22

2=+y

x ，而点G 到另两个墙面的

距离之和为x y +. 由xy y x 22

2≥+，

∴2

22)()(2y x y x +≥+，即43

x y +≤

当且仅当33x y ==

---------------------------10分

此时），（），（），，

，

（2,03BC ,3,03CD 3

33

3

3

3AG -=-==

设面BCD 的法向量为），（c b a ,n =，由?????=?=?0

BC n CD n 得），（3,22n = -------------11分

设直线AG 与平面BCD 所成角为θ，有51

7|,cos |sin =

><=AG n θ.51

517=

即：直线AG 与平面BCD 所成角的余弦值为

.51

517------------------------------------13分

注：“.3

33

4时取等号，当且仅当=

=≤

+y x y x

”的证明若采用柯西不等式、三角换

元、直线和圆的关系等方法求解，同样给分．

20．本题主要考查函数与导数，函数图象与性质，数列等基础知识；考查学生抽象概括能力，推理论证能力，创新能力；考查函数与方程思想，有限与无限思想，分类与整合思想．满分14分． 解：(Ⅰ) 10,

'()x f x a x

>=

+ ，'(1)1f a ∴=+，切点是(1,1)a +，

所以切线方程为(1)(1)(1)y a a x -+=+-，即(1)y a x =+． ------------------3分

（Ⅱ）（法一）10,

'()a x x f x x

+>=

，

○

1当0a ≥时， (0,)x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，

显然当1x >时，()0f x >，()0f x ≤不恒成立． --------------------------------------4分 ○

2当0a <时， 1(0,)x a

∈-，'()0f x >，()f x 单调递增，

1(,)x a

∈-

+∞，'()0f x <，()f x 单调递减， -----------------------------------------6分

m ax 11()()()ln ()0f x f x f a a

∴==-

=-

≤极大值，1a ∴≤-，

所以不等式()0f x ≤恒成立时，a 的取值范围(,1]-∞- -------------------------------8分

（法二）0,x > 所以不等式()0f x ≤恒成立，等价于ln 1

ln 1,x a x x a x

--≤--≤

即，

令ln 1

()x h x x

--=

，则2

2

2

1ln 1ln '()x x h x x

x

x

-=-

+

=

，

当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，

当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增．---------------------------------------------6分

m in ()()(1)1h x h x h ∴===-极小值，1a ∴≤-．

所以不等式()0f x ≤恒成立时，a 的取值范围(,1]-∞-. ---------------------------------8分 （Ⅲ）

121n n a a +=+ ，11

1(1)2

n n a a +∴-=-，

1

1

11

1

2,

1()

,

()

12

2

n n n n a a a --=∴-=∴=+ ，1

1ln [1]2n n b n -??

∴=?+ ?

??

， --------10分

由（2）知，当1a =-时，ln 10x x -+≤恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等号．

11

11

1111ln 111122b --??

??

????

∴=?+

????????????? ，

21

21

2112ln 121122b --??

??

??

??=?+

??????????

?

?

?

，

…1

1

11ln 11122n n n b n n --??

??

??

??

=?+

?????????????

， ----------------------------12分

11

21

1

11111121111222n n T n ---??

??

??

??

??

??

∴

+-++?

+-?????? ?

? ??????????????

??

?

?

?

11

21

1

11112...222n n ---??

????

=?+?++? ?

?

?

??

??

??

，

令011

11112...222n n S n -??????

=?+?++? ? ? ?

??????，

则1

2

1

1

111112...(1)22222n n

n S n n -??????

??

=?+?++-?+? ? ? ? ???????

??

，

1

1

11()

1

1111112...()2(2)()1222222212

n

n n

n n n S n n n --????????∴

=+++-?=-?=-+? ? ? ? ???????

??-，

114(2)()2n n S n -∴=-+?，12

42

n n n T -+∴<-． ---------------------------------------14分

21．（1）本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想． 解： (Ⅰ) 法一：设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在A 的作用下变为),(y x ''

则1

33a x x a y x b

y b x y y '-??-+??????== ????'+????????3x x a y

y b x y '=-+???

'=+?

--------------------------3 分 代入23x y ''-=得：

3)32()2(=-++-y a x b 其与32=-y x 完全一样得?

??=-=???

?-=-=--14

13222a b a b 则矩阵114

3A -??

=

?-??

------------------------------------------------------5分 法二：在直线32=-y x 上任取两点（2、1）和（3、3）， --------------------------1分

则1223123a a b b -??-+????= ???+????

??,即得点)32,2(+-b a , 13333339a a b

b -??-+????= ???+????

??,即得点)93,33(+-b a , --------------------------------3 分 将)32,2(+-b a 和)93,33(+-b a 分别代入32=-y x 得

2(2)(23)312(33)(39)34a b a a b b -+-+==?????-+-+==-?? 则矩阵1

14

3A -??

=

?-??

. ----------5 分 (Ⅱ)因为11143

-=-，所以矩阵M 的逆矩阵为1

3141A

--??

= ?-??

. ---------------------7分 （2）本题考查直线与圆的极坐标与参数方程，极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想及数形结合思想．

解：(Ⅰ)曲线1C 的极坐标方程为222s )2

2

2

ρθθ+

=

,

∴曲线1C 的直角坐标方程为0x y a +-=. ----------------------------------3分 (Ⅱ)曲线2C 的直角坐标方程为2

2

(1)(1)1(10)x y y +++=-≤≤,为半圆弧，

如下图所示，曲线1C 为一族平行于直线0x y +=的直线，

当直线1C 过点P 1112

a

---=得22a =-±

舍去22a =--

，则22a =-+

当直线1C 过点A 、B 两点时，1a =-， ------------------------------------------------6分 ∴由图可知，当122a -≤<-+时，曲线1C 与曲线2C 有两个公共点.

-----------------------7分

（3）本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识，考查推理论证能力及运算求解能力．

解：（Ⅰ）当2a =时，要使函数)(x f 有意义，

有不等式1550x x -+-->成立，------------------① --------------------------------1分 当1x ≤时，不等式①等价于210x -+>，即1

2x <

，∴1

2

x <

；-------------------2分

当15x <≤时，不等式①等价于10->，即x ∈?，∴x ∈?； ------------------3分

当5x >时，不等式①等价于2110x ->，即112

x >，∴112

x >

； -----------------4分

综上函数)(x f 的定义域为1

11(,)(

,)22

-∞?+∞． ---------------------------------------5分

（Ⅱ）∵函数)(x f 的定义域为R , ∴不等式150x x a -+-->恒成立， ∴只要(

)

m in

15

a x x <

-+-即可，又∵|1||5|4x x -+-≥（1x =或5x =时取等

号），即m in (|1||5|)4a x x <-+-=，∴4a <. ∴a 的取值范围是(,4)-∞．---------7分