第二十一章二次根式
21．1 二次根式
第一课时
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1
a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2
a≥0）”解决具体问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：已知反比例函数y=3
x
，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标
是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
B
A
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以
．
问题2：由勾股定理得
问题3：由方差的概念得
二、探索新知
，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根
a ≥0）?的式子叫做二
次根式，
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0 老师点评:（略）
例1、
1
x
（x>0）、
、1
x y
+（x ≥0，y?≥0）．
分析；第二，被开方数是正数
或0．
x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次
1x
、1x y +．
例2．当x
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x ≥13
当x ≥
1
3
三、巩固练习
教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展
例3．当x 1
1
x +在实数范围内有意义？
分析1
1
x +0和1
1
x +中的x+1≠0．
解：依题意，得230
10
x x +≥??+≠?
由①得：x ≥-
32
由②得：x ≠-1
当x ≥-
32且x ≠-111
x +在实数范围内有意义．
例4(1)已知，求
x
y
的值．(答案:2)
(2)+，求a 2004+b 2004的值．(答案:25
) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1a ≥0）的式子叫做二次根式，
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业
1．教材P 8复习巩固1、综合应用5． 2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计 一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A ． C D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A B ． D ．
1x
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A ．5
B ．
1
5
D ．以上皆不对 二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x 是多少时，
x
+x 2
在实数范围内有意义？
3=_______．
4.x有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b=b+4，求a、b的值．
21.1 二次根式(2)
第二课时
教学内容
1a≥0）是一个非负数；
2．2=a（a≥0）．
教学目标
a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
a≥0）是一个非负数，用具体
2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键
1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．
2a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导
2=a（a≥0）．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0a<0
老师点评（略）．
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
做一做：根据算术平方根的意义填空：
2
=_______；）2
=_______；2
=______；2
=_______；
）2=______；）2=_______；2
=_______．
是4是一个平方等于4的
）2
=4．
同理可得：2
=2，2
=9，2
=3，）2=13，）2=7
2
，）2
=0，所以
例1 计算
1．）2 2．（2
3．2 4．）2
分析2
=a （a ≥0）的结论解题．
解：2 =32
，（2 =3222=3225=45，
2=56
，）27
4=． 三、巩固练习
计算下列各式的值：
（2
）2 2 ）2
（）2
22-
四、应用拓展
例2 计算
1．2（x ≥0） 2．2 3．2
4． 2
分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2
≥0；（3）a 2
+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-222x 23+32=（2x-3）2
≥0．
所以上面的42
=a （a ≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0
2
=x+1
（2）∵a 2
≥02
=a
2
（3）∵a 2+2a+1=（a+1）
2
又∵（a+1）2
≥0，∴a 2
+2a+1≥0 2
+2a+1
（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-222x 23+32=（2x-3）
2
又∵（2x-3）2
≥0
∴4x 2
-12x+9≥02
=4x 2
-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2
-3 分析：(略)
五、归纳小结 本节课应掌握：
1a ≥0）是一个非负数；
2．2
=a （a ≥0）;反之:a=）2
（a ≥0）．
六、布置作业
1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题
1，二次根式的个数是（ ）．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题
1．（2
=________．
2_______数． 三、综合提高题 1．计算
（1）2
（2）-2
（3）（
1
2
）2 （4）（）2
(5)
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3）1
6
（4）x（x≥0）
3=0，求x y的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
21.1 二次根式(3)
第三课时
教学内容
a（a≥0）
教学目标
（a≥0）并利用它进行计算和化简．
（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键
1a（a≥0）．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0a才成立．
教学过程
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
1a≥0）的式子叫做二次根式；
2a≥0）是一个非负数；
3．2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
；
=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
110=2337
．
例1 化简
（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52
，
（4）（-3）2
=32
（a ≥0）?去化简．
解：（1（2
（3（4 三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展
例2 填空：当a ≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题．
（1，则a 可以是什么数？
（2，则a 可以是什么数？
（3，则a 可以是什么数？
分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应
变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）
│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1，所以a ≥0；
（2，所以a ≤0；
（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0，
，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3当x>2
分析：(略)
五、归纳小结
（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．
六、布置作业
1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．
2．选作课时作业设计．
第三课时作业设计
一、选择题
1的值是（）．
A．0 B．2
3
C．4
2
3
D．以上都不对
2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．
A
C．
二、填空题
1．=________．
2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│
21．2 二次根式的乘除
第一课时
教学内容
a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标
a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
a≥0，b≥0）并运用它进行计算；?
（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键
a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．
a≥0，b≥0）．
关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题．
1．填空
（1=______；
（2=________．
（3．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
3_____，3_____，3
2．利用计算器计算填空
（1，（2
（3（4
（5．
老师点评（纠正学生练习中的错误）
二、探索新知
（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．
老师点评：（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为
反过来
例1．计算
（1（2（3（4
分析：a≥0，b≥0）计算即可．
解：（1
（2
（3=
（4
例2 化简
（1（2（3
（4（5
（a≥0，b≥0）直接化简即可．
解：（134=12
（239=36
（3310=90
（4
（5
三、巩固练习
（1）计算（学生练习，老师点评）
①②3
(2) 化简
教材P11练习全部
四、应用拓展
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1=
（2
解：（1）不正确．
33=6
（2）不正确．
五、归纳小结本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）及其运用．
六、布置作业
1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
1，?那么此直角三角形斜边长是（）．
A．．．9cm D．27cm
2．化简）．
A．．
3=）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（）．
A．．
C．．
二、填空题
1．
2．自由落体的公式为S=1
2
gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高
度为720m，则下落的时间是_________．
三、综合提高题
1．一个底面为30cm330cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）
验证：=
==
（2）
验证：
==
同理可得：=
=，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．
21．2 二次根式的乘除(2)
第二课时
教学内容
a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
教学重难点关键
a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算
1
和化简．
2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
；
（1
；
（2
（3
；
（4．
3．利用计算器计算填空:
（1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________．
。
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．
（老师点评） 二、探索新知
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定：
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1．计算：（1
（2（3（4
分析：上面4（a ≥0，b>0）便可直接得出答案．
解：（1
=2
（2==
（3=
（4 例2．化简：
（1（2（3（4
（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（1=
（2
8 3
b
a =
（3=
（4=
三、巩固练习教材P14 练习1．
四、应用拓展
例3．=，且x为偶数，求（1+x的值．
分析：，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6 解：由题意得 90 60 x x -≥ ? ? -> ? ，即 9 6 x x ≤ ? ? > ? ∴6 ∵x为偶数 ∴x=8 ∴原式=（1+x =（1+x =（1+x ∴当x=8时，原式的值=6． 五、归纳小结 a≥0，b>0（a≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业 1．教材P15习题21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题 1的结果是（ ）． A ． 2 7 ． 2 7 C ．7 2．阅读下列运算过程： ==== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” （ ）． A ．2 B ．6 C ．13 D 二、填空题 1．分母有理化 2．已知x=3，y=4，z=5_______． 三、综合提高题 1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，?现用直径为 3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算 （12（m>0，n>0） （2）（a>0） 21.2 二次根式的乘除(3) 第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1．计算（1 ，（2 ，（3 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，?那么它们的传播半径的比是_________． 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书． 老师点评：不是． 2 == 例1． (1) 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． B A C 解：因为AB2=AC2+BC2 所以 13 2 ====6.5（cm） 因此AB的长为6.5cm． 三、巩固练习 教材P14练习2、3 四、应用拓展 例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： = -1， = ， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 + ） +1）的值． 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式= -1+ …… +1） = -1） +1） =2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业 1．教材P15习题21．2 3、7、10． 2．选用课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题 1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A （y>0） B y>0） C y>0） D ．以上都不对 2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A =3=±12 C 2 D ． 4 的结果是（ ） A ．- 3 B ． C ．． 二、填空题 1．（x ≥0） 2．_________． 三、综合提高题 1．已知a 若不正确，?请写出正确的解答过程： -a 21a （a-1 2．若x 、y 为实数，且
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