第1 章
计算机数学语言概述薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的
MATLAB求解》，清华大学出版社2004
CAI课件开发：薛定宇
高等应用数学问题的MATLAB 求解
本章主要内容
?数学问题计算机求解概述
?计算机数学语言概述
?关于本书及相关内容
?本章要点简介
?网络资源简介
1.1 数学问题计算机求解概述
?1.1.1为什么要学习计算机数学语言？
?1.1.2 数学问题的解析解与数值解
?1.1.3数学运算问题软件包发展概述
1.1.1 为什么要学习
计算机数学语言？
?数学问题求解
?手工推导
?借助计算机
?用数值分析技术，从底层编写起
?应用现成软件进行计算机求解?解析解与数值解
先考虑下面一些例子
【例1-1】高等数学问题：已知函数，如何求导及高阶导数？
思路：①由分式求导公式，得出
②逐次求导则可以得出
问题：求导过程很繁杂，容易出错
计算机求解结果
不是最简
基于计算机的化简结果
靠手工推导的方法难以准确得出
手工无从推导，计算机能，<1秒
【例1-2】代数方程求根
?古典方法
?一、二、三、四阶：直接方法
?五阶或以上Abel定理，认为无解
?现代数值方法
?林士谔-Bairstrow 算法，又称为劈因子法?具体实例
?双精度变量的数值方法
?代入方程后的误差
?精确解
【例1-3】矩阵行列式求解问题
?代数余子式
?1 个n 阶行列式可以表示成n 个n-1 阶行列式的
和，…
?可以将高阶矩阵行列式转换成1阶矩阵行列式?结论：任意矩阵行列式解析解存在
?问题：忽略了可计算性
?n=20, 银河机，3000年
?实例：Hilbert 矩阵，n=20
?传统数值分析结论：矩阵奇异
?双精度级别下的数值解-1.1004e-195
该矩阵行列式的精确结果
?近似值
?计算时间0.2 秒
【例1-4】非线性常微分方程组Van der Pol方程
?没有解析解
?传统数值方法
?计算步长选择
?计算时间
?变步长
?刚性方程专用方法
传统数学书上没有的微分方程解法?延迟微分方程例子
?分数阶微分方程
?解决方法：计算机数学语言＋算法
【例1-5】最优化问题
?求解方法：一般线性规划
?若找不到全局最优解，可以试遗传算法?若要求为整数－－整数规划
其他课程的关系
?其他数学分支
?积分变换、复变函数、偏微分方程、数据插值
与拟合、概率论与数理统计、数值分析
?其他相关课程
?电路、电子技术、电力电子技术、电机与拖动、
自动控制原理
1.1.2 数学问题的解析解与数值解
?数学家和其他科学技术工作者的区别
?数学家：理论严格证明、存在性
?工程技术人员：如何直接得出解
?解析解不能使用的场合
?不存在
?数学家解决方法，引入符号erf(a)
?工程技术人员更感兴趣积分的值数值解
?解析解不能使用的场合
?解析解不存在：无理数，无限不循环小数p
?数学家：尽量精确地取值，小日本60亿位
?工程技术人员：足够精确即可
?祖冲之3.1415926，阿基米德的~3.1418
?解析解存在但不实用或求解不可能
?高阶矩阵行列式
数值解应用场合
?在力学领域，常用有限元法求解偏微分方程；
?在航空、航天与自动控制领域，经常用到数值线性代数与常微分方程的数值解法等解决实际问题；?工程与非工程系统的计算机仿真中，核心问题的求解也需要用到各种差分方程、常微分方程的数值解法；
?在高科技的数字信号处理领域，离散的快速Fourier 变换(FFT) 已经成为其不可或缺的工具。?…………
1.1.3 数学运算问题软件包发展概述
?享有国际声望的软件包
?线性代数LINPACK
?矩阵特征值计算LINPACK
?NAG (Oxford: Numerical Algorithm Group)
?Press W H, Flannery B P, Teukolsky S A, and
Vitterling W T. Numerical recipes, the art of
scientific computing. Cambridge: Cambridge
University Press, 1986
小学数学课堂中错误资 源的有效利用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小学数学课堂中错误资源的有效利用摘要：数学学科具有严密的逻辑性，而小学生的思维却缺乏缜密性，因此，他们在数学学习的过程中，经常会出现一些“错误”，犯错误是孩子的“天性”，学生的“错误”往往蕴含着他们的独特想法和创新意识，变错误为资源，化腐朽为神奇，这是一种教学机智，教师要借助学生在课堂上出现的错误，唤醒他们沉睡的潜能，激活封存的记忆，开启幽闭的心智，放飞囚禁的情愫。 关键词：小学数学；课堂；有效利用 在小学数学教学中，我们的学生每天都在出错，可以说，错误伴随着学生一起成长。学习错误，对学生来说，是学习中的宝贵财富；对教师来说，也是教学中的宝贵资源。 一、认识与思考 也许大多数同仁都有这样的想法：希望自己所教的学生在上课时个个对答如流。其实，这种乌托邦式的理想课堂是不存在的！成人都未必永远不犯错误，何况学生。因为我们面对的是孩子，有着不同的知识背景、不同的情感体验、不同的表达方式和参差不齐的思维水平，出错在所难免。出错，是因为学生的数学思考还不成熟，“正确”正是从“错误”地辨别、筛选中逐步形成的；出错，是因为学习本身就是从问题开始，甚至是从错误开始的，“错误”往往是学生对既定思维地反判和修正。“正因为出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研
究、创新和超越。”学生是数学学习活动的主体，而学生“犯错”的过程就是一种尝试和创新的过程。学生出现这样或那样的错误，是其真实的思维呈现，反映出学生建构知识时存在的疑惑和障碍，其间，往往蕴藏着创新的精神和智慧的火花。面对学生的“错误”，有些老师谈“虎”色变。那是因为他们看到的只是错误的消极方面。正确，可能只是一种模仿；错误，却绝对是一种体验。放弃经历错误也就意味着放弃经历问题的复杂性和思辨性。过度的防错、避错，缺乏对差错的欣赏与容纳，就会大大减少学生扩展认知范围和提高认知能力。因此，当学生在课堂中产生错误时，老师不要一味地批评与呵责，而应该及时抓住这一宝贵的时机，巧妙引导，让学生经过思维地碰撞，感知获取知识的思维过程，进一步促进学生深入了解所学内容。 二、捕捉错误，生成有效的资源 在课堂教学中，教师总是希望学生按照自己设计好的教学程序进行学习，如果有哪位学生“出乎意料”了，教师便认为他“出错”了，硬是把他“拉回”已经设定好的“路线”上来。殊不知，学生的“意外”错误，教师若独具慧眼，把它作为一种教学资源，及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中，课堂将精彩纷呈。“从错误中学习”“从错误中成长发展”已成为当前特别值得提倡的教学策略。能否妥当处理、合理利用学生学习中的错误，体现着一个教师教学水平的高低
数学基础知识大全 常用的数量关系式 1.每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2.倍数×1倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5. 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 6. 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 7. 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 8.因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
小学数学图形计算公式 1.正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2.正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3.长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4.长方体(V:体积s:面积a:长b: 宽h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 三角形高=面积×2÷底h=2s÷a 三角形底=面积×2÷高a=2s÷h 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7.梯形(s：面积a：上底b：下底h：高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8.圆形(S:面积C:周长л d:直径r:半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×лs=лrr 9.圆柱体(v:体积h:高s：底面积r:底面半 径c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高
高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题 一、数学物理法 1．如右图所示，一位重600N 的演员，悬挂在绳上．若AO 绳与水平方向的夹角为 37?，BO 绳水平，则AO 、BO 两绳受到的力各为多大？若B 点位置往上移动，则BO 绳的 拉力如何变化？(孩子：你可能需要用到的三角函数有： 3375 sin ?=，4cos375?=，3374tan ?=，4 373cot ?=) 【答案】AO 绳的拉力为1000N ，BO 绳的拉力为800N ，OB 绳的拉力先减小后增大. 【解析】 试题分析：把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力，AO 绳上受到的拉力等于沿着AO 绳方向的分力，BO 绳上受到的拉力等于沿着BO 绳方向的分力．根据平衡条件进行分析即可求解． 把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力．如图甲所示 由平衡条件得：AO 绳上受到的拉力为21000sin 37 OA G F F N == = BO 绳上受到的拉力为1cot 37800OB F F G N === 若B 点上移，人的拉力大小和方向一定不变，利用力的分解方法作出力的平行四边形，如图乙所示： 由上图可判断出AO 绳上的拉力一直在减小、BO 绳上的拉力先减小后增大．
2．［选修模块3-5］如图所示，玻璃砖的折射率2 3 n = ，一细光束从玻璃砖左端以入射角i 射入，光线进入玻璃砖后在上表面恰好发生全反射．求光速在玻璃砖中传播的速度v 及入射角i ．(已知光在真空中传播速度c =3.0×108 m/s ，计算结果可用三角函数表示)． 【答案】83310/v m s =?；3 sin i = 【解析】 【分析】 【详解】 根据c n v = ，83310/v m s =? 全反射条件1 sin C n =，解得C=600，r =300， 根据sin sin i n r = ，3 sin 3 i = 3．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)． (1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1 sin 42 mg θ 【解析】 【分析】 （1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解． （2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】 木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则：
小学六年级数学下册典型错例.DOC 【错因分析】答案：扇形,折线,条形。 本题主要考察学生对三种常用统计图的理解情况。从回答情况看,学生没有理解三种统计图的特点和用途,不会根据实际情况灵活选择合适的统计图,因此导致出错。【思路点拨】条形统计图的特点是用直条长短表示各个数量的多少;折线统计图的特点是能清楚地表示数量增减变化的情况;扇形统计图的特点是表示各部分与总数的百分比,以及部分与部分之间的关系。 【易错题2】要统计牛奶中各种营养成份所占的百分比情况,你会选用（）。 ①条形统计图②折线统计图③扇形统计图④复式统计图 【错因分析】本题主要考察学生对扇形统计图的掌握情况。学生容易选择其他类型的统计图。 【思路点拨】应该选择③,扇形统计图能清楚地表示出部分与总体的百分比。 【易错题3】在一个花坛内种了三种花,种花的面积用扇形统计图统计如下,如果改用条形统计图来表示,各种花占地面积应该是（A）。
【错因分析】学生关注到了扇形统计图中玫瑰和百合表示的数量相等,月季的数量比玫瑰和百合多,但是没有根据扇形统计图的意义进行思考,从而没有形成三种花各占总数的百分之几的数学概念。 【思路点拨】理解“用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数量的百分之几”能够从扇形的大小中估计出部分数量占总数量的百分之几,还可以看出每一部分之间的关系。正确答案是D。 【易错题4】最近,某媒体发起了一项关于“背诵古诗文是否有用”的调查,下面是调查得到的统计图。 “背诵古诗文的作用”统计图 （１）不好判断的一项占受访总人数的（）％。 （２）选择哪一项的人数最多？选择哪一项的人数最少？ 【错因分析】学生在识图和计算的过程中,容易出错。
小学数学课堂教学中错误资源的有效利用的研究 结题报告 结合本校数学组提出的小课题“小学数学课堂教学中错误资源的有效利用的研究”，一年来，我校数学组教师积极参与本课题研究的各项活动，为本课题的研究与实施打下了坚实的基础。同时到今天为止我们的课题研究也圆满结束。下面将这一课题研究做一个 结题汇报： 一、我们的课题研究主要经历了这样几个阶段： 第一阶段：筹划阶段2011年9月1日——2011年9月15日确定课题、制定计划及具体方案、明确目的第二阶段：实践阶段2011年9月16日——2012年5月15日 课题交流、教学实践、定期小结 第三阶段：反思阶段2012年5月16日——2012年6月15日讨论研究、反思小结 第四阶段：总结阶段2012年6月16日——2012年7月5日总结成效、交流得失，撰写总结 二、研究目的和意义 （1）描绘教师捕捉与利用学生错误资源能力的形成轨迹,形成一定的课堂错误资源捕捉与利用的理论和实践。 （2）针对学生在数学学科的学习，对课堂教学中出现的不同错误，研究各种错误作为教学资源的利用率和利用的效果，提高课堂教学效果。 三、研究的思路和方法 （1）研究的思路：以课堂和学生作业为载体，从教师行为，学生行为两方面研究，总结错误的类型、特点及成因、构建策略。 （2）研究的方法：行动研究法、调查法、经验总结法 四、研究方法的主要特色与创新 行动研究法的主要特色与创新：为有效开展本课题的研究，广大教师能自觉积累素材，分析原因、充分挖掘错例中的教学资源，养成了研究学生、反思教学的习惯。改变了以往学生出错采取单独订正、集体讲评和个别面批等形式，而是充分重视了错例的价值。还原了学生真实的思维过程，促进教师有效开展“错因与课堂教学行为之间的关系”以及“针对学生错例改进教学策略”等活动。 调查法的主要特色与创新：在课题实施之前，广大教师针对学
2．年龄问题 三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4.植树问题 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
高考物理高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题 一、数学物理法 1．如图所示，一束平行紫光垂直射向半径为1m R =的横截面为扇形的玻璃砖薄片（其右侧涂有吸光物质），经折射后在屏幕S 上形成一亮区，已知屏幕S 至球心距离为 (21)m D =+，玻璃半球对紫光的折射率为2n =，不考虑光的干涉和衍射。求： (1)若某束光线在玻璃砖圆弧面入射角30θ=o ，其折射角α； (2)亮区右边界到P 点的距离d 。 【答案】(1)π 4 α=；(2)1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)据折射定律得 sin sin n α θ= 得 π4 α= (2)如图，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S 上的点E 到G 的距离d 就是所求宽度。 设紫光临界角为C ∠，由全反射的知识得 1sin C n ∠= 得
4 OAF △中 π 4 AOF AFO ∠=∠= π cos 4 R OF= GF D OF =- 得 1m GF= FGE △中 π 4 GFE GEF ∠=∠= d GE GF == 得 1m d= 2．如图所示，在x≤0的区域内存在方向竖直向上、电场强度大小为E的匀强电场，在x>0的区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。现一带正电的粒子从x轴上坐标为（-2l，0）的A点以速度v0沿x轴正方向进入电场，从y轴上坐标为（0，l）的B点进入磁场，带电粒子在x>0的区域内运动一段圆弧后，从y轴上的C点（未画出）离开磁场。已知磁场的磁感应强度大小为，不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)C点的坐标。 【答案】(1) 2 2 v q m lE =；(2)（0，-3t） 【解析】 【详解】 (1)带电粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向 2l v t = y轴方向
数学方法在物理学中的应用（一） 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。 1．利用三角函数求极值 y ＝acos θ＋bsin θ ＝ ( + ) 令sin φ＝，cos φ＝ 则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ)＝ sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且y max ＝。 【典例1】在倾角θ=30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=3 3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?
解得:F =α μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) = sin(+ ) 其中 sin = ，cos =，即 tan = 。 当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。 F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。 带入数据得 F min = 100 N,此时 = 30 。 【答案】 100 N 与斜面夹角为30 【名师点睛】 根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。 2．利用二次函数求极值 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2 ＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (其中a 、b 、c 为实常数)，
浅议小学数学教学错误资源的有效利用 发表时间：2012-01-17T11:15:05.577Z 来源：《中小学教育》2012年2月总第90期供稿作者：蒋兴伦[导读] 我们可以充分有效利用这些意外的错误资源,使课堂更加精彩。 蒋兴伦贵州省盘县平关镇中心小学553541 摘要：在小学数学课堂教学中,发现学生经常犯一些使教师始料未及的错误,有的教师视而不见,有的教师直接纠正,有的教师不知所措……这对于学生和老师来说都是一种损失。我们可以充分有效利用这些意外的错误资源,使课堂更加精彩。关键词：小学数学错误资源有效利用课堂教学是一个动态生成的过程，学生在学习过程中，错误的出现是一种不可能完全避免的很正常的现象，学生学习时必须有自己的探索尝试，尝试中就必定会有错误的发生。人非圣贤，孰能无过？错误是学生在自然状态下的真实反映,教师要以平和的心态对待错误的存在，要善于捕捉和运用教学中的各种“错误”资源，让“错误”促进学生的学习，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，有针对性地展开教学。由此可见，学生学习中的错误是非常宝贵的教学资源，蕴含着宝贵的“亮点”,所以,老师在课堂上不应该惧怕学生出错误。该怎样有效利用课堂中产生的“错误资源”呢? 一、给学生辩驳的时间和空间，化解错误。 例如学习了简便计算后，常有学生产生如下错误：3×5÷3×5=15÷15=1，52÷4×25=52÷100=0.52。针对这一错误，我没有立即作出判断，而是让全班同学一同讨论。等学生意见终趋统一时，又变换角度问学生：“如果要使1和0.52分别是上面两题的正确答案，那么我们该如何修正条件呢？”这样，把发生在个别学生身上的错误转化为大家的问题，推给全班同学去思考，给学生的思维开启了一片崭新的天地。 二、学会聆听，从学生的角度解读学生，精彩就会呈现。 在教学《两位数减两位数退位减法》中，出示例题“53-17”后，我要求学生独立计算并进行汇报。这时，大家畅所欲言，纷纷说出了许多种计算的方法，教师和同学对这些方法一一作了评价。这时，有一位平时不太爱说话的学生站起来说：“7-3=4，……”也许是有些紧张，他一时说不下去了。这时，下面的学生议论纷纷，7-3，倒过来减可以吗？肯定是错了。还有一些学生发出了叽叽喳喳的嘲笑声。我连忙示意全班同学静下来，并且说：“他还没有说完呢！我相信每个人都有自己的想法，慢慢来，请接着说。”这位学生又接着说：“7-3=4，50-4=46，46-10=36。”绝大多数学生将信将疑，我也一下子愣住了，”倒着减“的算法引起了同学们的好奇心。是把学生拉回到自己预设的程序中，还是顺着这个学生的思路，调整教学程序？“这种算法到底对不对？我们请他仔细地说一遍好吗？”这位学生解释说：“个位3减7不够减，用7减3等于4，就是说3减7不够，还差4，再从50里减去4得46，最后再减10得36。”这时，大家基本上形成了共识，认为这种算法是正确的。虽说不是很简单，但我仍然肯定了这位学生的创造性。我没有让学生的错误溜走，而是让学生的思维再现在大家面前，却发现这错误是如此美丽。在数学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。 三、充分利用了错误的闪光点，让学生的思维错误在矛盾中碰撞出智慧的火花。 如二年级学生学习完乘法后，我出了这样两个问题让学生解决: 1、有两瓶花，每瓶插8朵，一共插了多少朵？ 2、有两瓶花，一瓶插了8朵，另一瓶插了7朵，一共插了多少朵？ 让学生独立完成后，发现学生第2题错误率挺高，有四个错误算式：（1）8×7=56（朵）；（2）2×8=16（朵）；（3）2×7=14（朵）；（4）2+7+8=17（朵）。显然学生是受到解决乘法问题的思维定势的影响，没有真正理解加法与乘法的联系和区别，乱凑数列式。这种错误在我的预设之中，我马上组织学生进行学具操作，讨论交流，重新分析题意，找到出错原因，还达成了共识:以后做题要多读多想，不可胡乱凑数列式。本来到此可以说比较完美地完成了教学任务，但是我觉得这是训练学生思维的又一个良机。于是我指着黑板上的四个错误的算式，继续引导学生:这四个算式只要巧妙地改动一下，就能成为正确的列式，谁能办到？学生的探究欲望一下被激起了，小组间展开了热烈的讨论。建构主义认为，学生的错误不可能单独依靠正确的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程。 四、正确选择判断课堂中出现的错误，形成错误资源。 如:在教学整十数乘一位数20×3=60、30×5=150时，部分学生算成了20×3=63、30×5=155，主要原因是学生对于整十数乘一位数的算法理解不够，与两位数乘一位数的算法混淆了。这就是有价值的错误，应引起重视。应强调0和任何数相乘都得0，整十数乘一位数的结果应是几十或几百几十。而有个别学生出现20×3=80、30×5=120这样的错误属于个别现象，主要原因是乘法口诀不熟练或粗心大意，没有必要视为错误资源。 面对错误，要选择合理的评价。并不是所有的错误都能作为资源来利用。 总之，教材是实现课程目标，实施教学的重要资源，但不是唯一的资源，更多的资源则是在课堂中产生的。师生在丰富多彩的课堂教学实践活动中，不断地分析解决已有的问题，同时又不断地发现新的问题，这一过程并非总是一帆风顺的，有时也会产生认知上的错误。这些错误，就是一种非常重要的资源。珍视并合理开发课堂教学中的错误资源，是新课程赋予我们的使命，也是提升广大师生在课程实施过程中的主体地位的具体体现。
小学数学理论归纳（知识点整理） 第一章数和数的运算 (3) 一概念 (3) （一）整数 (3) （二）小数 (4) （三）分数 (5) 二方法 (6) （一）数的读法和写法 (6) （二）数的改写 (6) （三）数的互化 (7) （四）数的整除 (7) （五）约分和通分 (7) 三性质和规律 (8) （一）商不变的规律 (8) （二）小数的性质 (8) （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 (8) （四）分数的基本性质 (8) （五）分数与除法的关系 (8) 四运算的意义 (8) （一）整数四则运算 (8) （二）小数四则运算 (9) （三）分数四则运算 (9) （四）运算定律 (9) （五）运算法则 (10) （六）运算顺序 (10) 五应用 (10) （一）整数和小数的应用 (11) （二）分数和百分数的应用 (17) 第二章度量衡 (19) 一长度 (19) 二面积 (19)
三体积和容积 (19) 四质量 (19) 五时间 (19) 六货币 (20) 第三章代数初步知识 (20) 一、用字母表示数 (20) 二、简易方程 (21) 三、解方程 (21) 四、列方程解应用题 (21) 五比和比例 (22) 第四章几何的初步知识 (24) 一线和角 (24) 二平面图形 (24) 三立体图形 (26) -第五章简单的统计 (27) 一统计表 (27) 二统计图 (27)
第一章数和数的运算 一概念 （一）整数 ★整数的意义：自然数和0都是整数。 ★自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 ★计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 ★数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 ★数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a 。 ★如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。（因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数）★一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10 的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 ★一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 ★个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 ★一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 ★一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 ★一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 ★一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 ★能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 ★一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
物理解题常用的方法和技巧 1、正交分解法 在两个互相垂直的方向上，研究物体所受外力的大小及其对运动的影响，既好操作，又便于计算。 2、画图辅助分析问题的方法 分析物体的运动时，养成画v-t图和空间几何关系图的.习惯，有助于对问题进行全面而深刻的分析。 3、平均速度法 处理物体运动的问题时，借助平均速度公式，可以降二次方程为一次方程，以简化运算，极大提高运算速度和准确率。 4、巧用牛顿第二定律 牛顿第二定律是高中阶段最重要、最基本的规律，是高考中永恒不变的热点，至少应做到在以下三种情况中的熟练应用：重力场中竖直平面内光滑轨道内侧最高点临界条件，地球卫星匀速圆周运动的条件，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的条件。 5、回避电荷正负的方法 在电场中，电荷的正负很容易导致考生判断失误，在下列情景中可设法回避：比较两点电势高低时，无论场源电荷的正负，只需记住“沿电场线方向电势降低”;比较两点电势能多少时，无论检验电荷的正负，只需记住“电场力做正功电势能减少”。 6、“大内小外”
在电学实验中，选择电流表的内外接，待测电阻比电流表内阻大很多时，电流表内接;待测电阻比电压表内阻小很多时，电流表外接。 7、针对选择题常用的方法 ①特殊值验证法：对有一定取值范围的问题，选取几个特殊值进行讨论，由此推断可能的情况以做出选择。 ②选项代入或选项比较的方法：充分利用给定的选项，做出选择。 ③半定量的方法：做选择题尽量不进行大量的推导和运算，但是写出有关公式再进行分析，是避免因主观臆断而出现错误的不二法门，因此做选择题写出物理公式也是必不可少的。 二.物理基本性质 物理学是人们对自然界中物质的运动和转变的知识做出规律性的总结，这种运动和转变应有两种。一是早期人们通过感官视觉的延伸;二是近代人们通过发明创造供观察测量用的科学仪器，实验得出的结果，间接认识物质内部组成建立在的基础上。物理学从研究角度及观点不同，可大致分为微观与宏观两部分：宏观物理学不分析微粒群中的单个作用效果而直接考虑整体效果，是最早期就已经出现的;微观物理学的诞生，起源于宏观物理学无法很好地解释黑体辐射、光电效应、原子光谱等新的实验现象。它是宏观物理学的一个修正，并随着实验技术与理论物理的发展而逐渐完善。
专题2 物理中常用的数学特殊方法 考点1. 利用数学方法求极值 1.利用三角函数求极值 (1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=A 2 sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max =A 2 。 (2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过辅助角公式转化为y=√a 2+b 2sin (θ+φ),当 θ+φ=90°时,y 有最大值y max =√a 2+b 2。 2.利用二次函数求极值 二次函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 为常数,且a ≠0),当 x=-b 2a 时,y 有极值 y m =4ac -b 2 4a (a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值)。 3.利用均值不等式求极值 对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和 a+b 有极小值。 1.(2019年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B 的大小变化可能是( )。 A .始终变大 B .始终变小 C .先变大后变小 D .先变小后变大 2.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动,如图所示。此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。 A .它们做圆周运动的万有引力保持不变 B .它们做圆周运动的角速度不断变大 C .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大 D .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小 3.(2019年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出, 恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g ,下列说法正确的是( )。 A .小球打到斜面上的时间为 √3v 0 g B .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0成正比 C .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0的平方成正比 D .若高度h 一定,现小球以不同的初速度v 0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh 考点2.函数图象及应用 图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基本要素便可应对,具体为图 象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。 图象 函数形式 特例及物理意义 y=c 匀速直线运动的v-t 图象。“面积”表示位移 y=kx ①匀速直线运动的x-t 图象。斜率表示速度 ②初速度v 0=0的匀加速直线运动的v-t 图象。斜率表示加速度,“面积”表示位移
小学生数学计算常见错例分析及对策 毕节一小李菊 计算能力是一项基本的数学能力，是小学数学中最主要的内容之一，是贯穿小学数学教学全部内容的主线，新课程标准对小学每个阶段的计算都提出了具体的培养目标，然而在我们的实际教学中，无论老师如何强调，学生做错计算题的情况却屡见不鲜，在这样的形势下，如何培养学生良好的计算习惯，提高学生的计算能力，减少学生的计算错误率，是摆在小学数学教师面前的头等大事。 现在的学生做计算题是一种任务，不是错写、漏写，符号写错就是小数点点错，对计算中存在的一些问题感得无所谓，改正就可以了。其实提高学生计算能力是社会对学生生活的一种要求。因此，减少小学生计算错误，提高小学生的计算能力是现在甚至将来一段时间教学的重点也是一个难点。我通过对四年级学生作业错误题进行了分析。 一、错误分析 （一）知识性错误 1、对数学概念掌握得不好 如：1400÷70 =14÷7 =2 错误分析：学生对商的不变性质的认识比较模糊，对相似相近的数据常常感知失真，造成错误。这道题就是因为学生对“被除数和除数同时扩大或缩小相同倍数，商不变”感知粗糙，而导致错误。 2、对运算法则的模糊。
错误分析：第（1）题百分位数字相加，学生忘了向十分位进1；第（2）题是连续退位减法，学生忘了十分位再减1，因而导致错误。 （三）心理因素方面的原因产生的错误
任何计算都是在心理活动调节下进行的，学生解答计算题时出现的错误，大多不是计算过程的错误，而是学生心理上的问题所造成的。具体的表现形式有： 1、思维定势干扰 学生的思维定势有其积极的一面。但其负面影响也不可小觑。消极的思维定势具有习惯性、成见性、想当然等特性，会严重地干扰和抑制学习的顺利进行。如：在“120÷60、360÷40、240÷20”等题后夹一道“400－80”，很多学生往往错算成“400÷80=5”。 2、注意不稳定 学生听课时注意力不集中，作业时不专心，在计算过程中常出现抄题目丢0添0，抄错数字或符号等顾此失彼，丢三拉四的现象，出现误认、误写。 （四）计算习惯方面 不少计算错误，问题并不出在算理算法上。也不出在能力上，而是出在学习习惯上。学生在计算方面，常有以下一点不良的学习习惯： 1、心不在焉 这是在长期生活学习中养成的坏习惯。这类学生，总不善于把注意力集中在计算对象上，计算时不专心、粗枝大叶。反应在计算抄题目时不仔细，往往抄错数字、运算符号，或是做作业时粗心大意，遗漏某些计算环节，常使计算致错。 2、操作程序混乱 一些计算，方法很简单，却常常出错误。如连续进退位的多位数加减法，分析出差错学生的计算过程，往往发现一个明显的共性：进
计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去
高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析 一、数学物理法 1．如图所示，ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面，其中AE⊥BD，DB⊥CB，∠DAE=30°， ∠BAE=45°，∠DCB=60°，一束单色细光束从AD面入射，在棱镜中的折射光线如图中ab所示，ab与AD面的夹角α=60°．已知玻璃的折射率n=1.5，求：（结果可用反三角函数表示） （1）这束入射光线的入射角多大？ （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角． 【答案】（1）这束入射光线的入射角为48.6°； （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6° 【解析】 试题分析：（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，其中r=30°， 根据n=，得： sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75 故i=arcsin0.75=48.6° （2）光路如图所示： ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则： sinC===0.67 sin45°＞0.67，因此光线ab在AB面会发生全反射 光线在CD面的入射角r′=r=30° 根据n=，光线在CD面的出射光线与法线的夹角： i′="i=arcsin" 0.75=48.6° 2．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m＝0.2kg的小弹丸A获得动能，弹丸A再经过半径R0=0.1m的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为
p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作 质点． (1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少? (2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小． (3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)根据机械能守恒定律得： 2 1p 012 2E v mg R m = +? A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有： mv 1=2mv 2 200122gt R = x =v 2t 0 解得： E p =2J (2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得： 2 1N v F mg m R += 解得： F N =30N 由牛顿第三定律知： F 压=F N =30N (3)根据 2 p 1122 E mv mg R = +? mv 1=2mv 2 2R =1 2gt 2， x =v 2t
初中物理中常用的数学方法简介 江苏省南通市第三中学：江宁 数学计算是指人们根据利用已有的知识，对一定的现象、规律进行数学计算，发现各个量之间的数学关系，从深一层次去认识新的事物的方法。 数学计算是研究性学习中必备的手段，是初中物理研究性学习中进一步认识事物中最可靠的工具。通过数学计算，学生可以从定性认识事物发展到定量认识事物，使感性认识上升到理性认识，从而更准确地认识事物各个量之间的内在规律。 以下所列是初中物理中常用的一些数学方法： 1、代入法 “代入法”是指在研究物理问题中，已知因变量与自变量之间关系公式，将物理量直接代入公式进行计算的方法。学会利用公式直接进行计算是学生解决问题的基本能力之一，它可以促进学生掌握物理量之间的来龙去脉，熟悉物理量在日常生活中的应用。 例：质量为的水，温度从 60℃降至40℃，会放出______J 的热量。若将这部分热量全部被初温为10℃、质量为的酒精吸收，则酒精的温度将上升______℃。[酒精的比热容为×103 J ／（kg ·℃），水的比热容为 ×103 J ／（kg ·℃）] 解：物体升、降温时吸、放的热量计算公式为：Q=c ·m ·Δt 应用“代入法”进行解题时，可以根据公式用自变量求因变量，也可以根据公式用因变量求自变量，但要注意在计算过程中，物理单位必统一。 2、比例法 “比例法”是指用两个已知的物理量的比值来表示第三个物理量的方法。比值法可以充分体现出在两个物理量同时变化的条件下影响物理过程的真正因素。 例：现有两杯质量不同的液体酒精和水，若两者的质量之比为2∶3，求两种液体的体积比？（ρ酒 精 = ×103kg/m 3，ρ水= ×103kg/m 3） 解：6 58.0132=?=?==酒水水酒水 水酒酒 水酒ρρρρm m m m V V 另外，初中物理中的许多物理量是通过比值来介绍的，如：速度、密度、热值、电阻等等。是中学生在初中物理学习中学到的第一个数学方法。 3、近似法 “近似法”是指在数学计算过程中，当个别量的微小变化并不影响整体结果时，为了计算与分析的方便，将个别量进行一定程度的近似代换或取舍的方法。利用近似法可以降低复杂的数学计算，帮助学生用最根本的数据去认识事物的内在规律，从而抓住各种物理现象中最本质的特征。 例：一位同学从一楼跑到三楼用了10s 时间，他的功率大概是多少？ 解：根据生活经验，一位中学生的质量约为50kg ，一层楼的高度约为3m ，g 取10N/kg 。 事实上，只要在误差允许范围内，任何一种测量和计算都是对所求物理量的实际情况的一个近似。运用近似法可以帮助学生理解物理研究中绝对性与相对性的真正含义。 4、方程法 “方程法”是指在求解某个物理量时，根据因变量与自变量之间的因果对应关系，列出方程，通过求解方程从而求出物理量的方法。方程法可以减少学生的数学过程思维，解决问题简捷明了，方便于学生发现因变量与自变量的因果关系。 W s m kg N kg t Gh t W P 300106/1050=??===