线性练习参考答案
第一章 练习一 行列式定义、行列式性质
1、-15
2、
321
4
---= -14 ，1
1
21
2
3
000T
a b b c c c =123a b c
3、 16
4、0
5、D
6、 -2
7、利用对角线法则计算下列三阶行列式：
解 (1)-4 (2)3333abc a b c --- (3)())()(b c a c a b --- (4) -2()33y x +
8、解 1112131112131
11
1(1)11
1232
M M M A A A y
x
-+-=?+-?+?==,即235x y -=.
1112131
11
1
1212
A A A y
x
++==,即1y =,得4x =.所以22311212
1
4
D ==. 第一章 练习二 行列式的计算、克拉默法则
1、12,32,1x x ==，
2、(1)
4
1241202
105200
1
1
7
23
437c c c c --412101
20210
32140
1
---=43
4110122(1)
10
3
14
+--?--
=411012210314--231
13
2
c c c c ++
9910002171714-=0 (2)
1
1111111
11111
1
1
1
----12,3,4i
r r i +=1
1111111
2
11111
1
1
1
---1
2,3,4i r r i -=2
1000120010201
2
--- =-16
3、(1) 2
2
x y (2) 1
(1)
n
n n
x y ++-
4、解1
11
2
252
1
12
D -=-=-9 11112250
1
12
D -=-3=-,21112252
12
D ==6,31112222
1
D -=-
=0
31212312,
,
0.33D D D x x x D D D ∴
=
==
=-
=
=
5、(1) D=11
1
101
1
1
λ
λ=?1λ=， (2)1λ≠. 第一章 小结练习
1、4x
2、24
3、0
4、D
5、C
6、(1)
1
234412334122
3
4
1
=12341123
10
14121
3
4
1
13,2,1i i
r r i +-=1234011110
03110
13
1
-------=-160
(2)
1001100110
1
a b c d
---12
r ar +0
101100110
1
ab a b c d
+--- =21
(1)(1)+--10110
1
ab a c d
+-- 32
c dc +1110
1
ab a ad
c c
d +-+-=32
(1)(1)+--11
1ab ad cd
+-+=1abcd ab cd ad ++++
7、 n
n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++11113
2
1
3
2132
1321
=(1
1n
i i a =+∑)232323
2
3
1
111
11
1n n n n
a a a a a a a a a a a a +++
=1
1n
i i a =+∑
第一章 行列式自我检查题
一、BDBDB 二、1，b
a ，15，3-，2
221z y x ---
三、
1、D=
1
1
1
1
111111111111
--+---+---x x x x =
1
1
1
111111111-----+---x
x x x x x x
=x
1
1
1
1
111111111111
-----+---x x x
= x
4000
1
001001001x x x x =
2、＝
10D x
x x x 1000
10
000010
00110
---
=9
10
1
109
1
110
0010001
10
)
1(0
010001)
1(----+---++x
x x
x x
x
10
10
10
+=x
3、解：n D =
111
2
1221
1111110000
n
j j
n
n
a a a a a a a a a a =++
+-=
-∑
112122
1
1(1)(1)n
n
n n j i j
i
a a a a a a a a a ===++
=+
∑
∑
.
四、
1、证明 方法一:()f x 是x 的多项式,则()f x 在[0，1]上连续,在（0，1）内可导,且
12
1
13(0)2
240,(1)22403
2
4
3
3
3
f f ==== 由Rolle 定理,知存在(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=.
方法二:1
011212()2
240002248403
2
43
2
40
1
1
x x x x f x x x x
x x
++'=++=-+=+-+--,
得12
x =,即()0f x '=有小于1的正根.
2、证明：三条直线交于一点，即线性方程组
??
?
??=++=++=++032032032b ay cx a cy bx c by ax 有唯一解，设为),(00y x 。将方程组改写成 ??
?
??=++=++=++032032032bz ay cx az cy bx cz by ax ，则这三元齐次线性方程组有非零解为)1,,(00y x ，有克拉默的推论： 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
由此可得这三条直线交于一点的充分必要条件为0323232=b
a
c
a c b
c b a
又))((61
11
)(63232322
22ab ac bc c b a c b a b
a
c
a c
b
c b a b
a
c
a c
b c
b a
+++---++=++= 0])()())[((32
2
2
=-+-+-++-=c b c a b a c b a
因321,,l l l 是三条不同的直线，所以c b a ==不会成立，所以0=++c b a 。
第二章 练习一 矩阵的概念及其运算
1、10，
2、1
11
1??
?--??，222
2--?? ???
3、(1)????
? ??49635 (2)3692
461
2
3??
?
?
??? 4、????? ?
?----229
42017222132
、 ?????
?
?-092650
850
5、(1)3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++(2) ????
??
?
?
?---90
0340042102521
6、（1）????
??00
00，（2）?
???
?
??100010001 7、 (1)???? ?
?=3121
A , ???? ?
?=2101B ,则???? ?
?=6443
AB ???
?
?
?=8321
BA BA AB ≠∴ (2)由BA AB ≠，
故222222))(()(B AB A B BA AB A B A B A B A ++≠+++=++=+ (3) 同理22))((B A B A B A -≠-+ 8、证明 由已知：A A T = B B T =
充分性：BA AB =?T T A B AB =?()T
AB AB =,即AB 是对称矩阵.
必要性：()AB AB T
=?AB A B T T =?AB BA =.
第二章 练习二 矩阵的运算和逆矩阵
1、-32
2、?????
??
?
??215210
305151
00101 3、???
?
??---a c
b d b
c a
d 1 4、????????
? ?
?=-n a a a A
100112
11
5、解 1
1
1
00100200,(210)61
141
1A PBP
P --????
? ?===- ? ? ? ?---?
??
?
,
5A 5
1
1
PB P
PBP A --===.
6、由E A B AB B A E AB -=-?+=+2
2
))(()(E A E A B E A +-=-? 由?????
?
?-=-00
1010
100
E A 可逆,故有=+=E A B ????
?
?
?-20
1030
102 7、由1
1
2
1||||,02
1||--*
*
=
=?=?≠=
A
A
A A E A AA
A A 又可逆
2||)1(|||2
32
1|
|3)
2(|1
31
1
1
1
-=-=-=-
=-∴----*
-A
A A
A
A A
8、解：将,A B 矩阵分块
1
1
22200021100
200
3
301
,005200340
2
10
1A O B E A B O A O B -???? ?
?
-????
? ==== ?
? ? ???
??
? ?-????
1
1
11
12222A O B E A B A AB O A O
B O A B ??????
==
? ? ???????
而11202142023366A B --??????==
? ? ?--?????? 22523415182
10
16
7A B ??????==
? ? ?-??????
所以11
12242206
6020
015180
6
7A B A AB O
A B -??
?-?? ?==
?
??? ???
9、证明 由3A O =有33E A E -=，即2()()E A A E A E ++-= 故 1)(--A E 2E A A =++
10、2=A , 故1-A 存在,故*-=A A A
11
?????
? ?
?-----=17
16
213213012
第二章 练习三 矩阵的初等变换
1、1-A
2、（1）14
A =
，（2）()
1
4
0402200
2A
*
--??
?
= ? ??
?
，（3）11101111()0
22100
2A A A -*
-?
? ?- ? ?
== ? ? ??
?
， （4）1
1
20412044200
4A A
--????
?==- ?
???
??
?
，（5）1004100410
4A A *?
? ? ?
?=
? ? ? ??
?
，（6）31
116
A A -*
==
，
（7）原式11131342232A A A A A ----=-===，（8）()
1
4
0410
2200
2A
A A -*
-?? ?== ? ??
?
3、解 因为 T AB =????
??-01
1120????
?
??
???-101102
=??
?
???-1112 且 ????
??-=10
1
1
0112][T
I AB ???
???--→10
1
1
2130???
????
?--→32311
010
11 ????
?????
?-→32311
0313
101 所以1T )(-AB =????
????
??-323
1313
1 4、解（1）记(,)E i j 是由n 阶单位矩阵的的i 行和的j 行对换后得到的初等矩阵，则 B ＝E (i, j )A ，于是有|B|=|E(i, j )||A|=-|A|≠0,故B 可逆 （2）11111[(,)](,)(,)(,)AB A E i j A AA E i j E i j E i j -----====
5、A →113430
0122
000000
0--??
?
--
? ?
?
??
→????
??
?
?
?---00
0000002210032011 6、解 （1）????
?
?
?10
01000132
3513
123
????
? ?
?---10
1
01100120
0410123~
??????? ??---
-101
211
2102320
00
10023~??????? ?
?
-
--
-2102
1211
2922
7
10
00100
3~
??????? ?
?-
---
2102
1211
233267
10
00100
01~
故逆矩阵为??????
? ?
?----
210
21
211233267
7、????
? ?
?---20
1431
012 第二章 练习四 矩阵方程与矩阵的秩
１、２， 2、10 3、2 4、解：(1)?????
??---44311211
2013r r 2
1?~????? ?
?---44
3
120131211
????
?
?
?------56
4
05640
1211~12133r r r r 20
00
56401211
~23秩为?
??
?
??
----r r ， (2) 二阶子式
41
113-=-
5、1
()A B B E -=-=1102110200
2?? ? ? ?- ? ? ? ??
?
6、A=12122
30111
5
λ-?? ?- ?
?--?
?
1
2120
1230
7λ-??
?→-- ? ?-??
所以(1)当7λ≠时R(A)=3;(2) 当7λ=时R(A)=2.
7、()1
2012,1
122323
3
3
1A B ??
?=- ? ??
?
~初等行变换1
003160101900
1
2-??
?- ? ??
?，13
161
902X A B --??
?∴==- ? ???
．
8、解 *
*
()2()0R A R A A O =?=?=.
第二章 小结与练习
1、64 、3
2、8 2、313
3??
???
3、?
?????
? ?
?---21210
01000
00520021 4、?????
??-----104
0620
004，????
?
??-----106
420
004 5、???
?
??=101λ
k A k
6、
2
422
E A A
--， 7、D 8、B 9、C
10、解 并项： 1(2)A E X A *--= 左乘A ： (||2)A E A X E -=，计算： ||4A =
故： 11
1(42)(2)
2
X E A E A --=-=
-1101011410
1??
??=??????
11、????? ?
?--63
521
3
2111
μ
λ13
120
5
400
1
4λμ-??
?
→-- ? ?--?
?
，故1,5==μλ, 12、(提示：因AB=()(2)T T E H H E H H E -+== ，所以1A B -=) 13、证明： E E A A A A A A A =?==----1*11*1*)()( ()
()*
11
**,--=∴A
A A 且可逆
14、证明：(1) 用反证法证明．假设0≠*A ,得*A 可逆
又由0||=A 得O
E A AA ==*
?=?
-*O A A
1
两边右乘O A =*
这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时,有0=*A
(2) 由于*-=
A A
A 11
, 则E A AA =*
,取行列式得到: n
A A A =*
若0≠A 则1
-*
=n A
A ；若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立
故有1
-*
=n A
A
第二章 矩阵自我检查题
一、DCCCB
二、-64，-3， ???
?
??--11210
，O ，???????
?
??215
210
305151
00101 三、
1、由)(2B A AB +=，得A B E A 2)2(=- （1）
又12
1
011
1
012-=-=-E A ，所以E A 2-可逆，且????? ?
?-----=--111122112
)2(1
E A 因而由（1）得????
? ??-----=????? ??????? ?
?-----=-=-64
4
468
441041
011
10311
1122
112
2)2(21
A E A
B 2、解 ()1212
T
n n
b b A a a a b αβ
?? ? ?== ? ???
,则11
()n
k
k i i i A a b A -==∑.
3、因P 可逆，所以由Λ=P AP ，得1-Λ=P P A
因为110191019110928)()()()(----Λ-Λ=Λ-Λ=-=-=P P P P P P P P A A A A A A ?
???
?
??--=Λ-Λ=-1010
99
1
10
9
2222)(P
P 4、解 根据T AA E =有
|||||()|||||||||,||||0.||0,||0
T
T
A E A AA A E A A E A A A E A A E A A E +=+=+=+=++=>+=于是(1-)因为1-故
四、
1、证明： ()()()A B AB A E E A B E A E B E E +=?-+-=-?--=,所以A E -与
B E -均可逆.
()()()()A E B E E B E A E E BA A B --=?--=?=+,则AB BA =.
2、若,0=A 由*T A A =，E A AA =*
，在*T A A =两边左乘矩阵A ，得
O E A AA
AA T
===*，令??????
?
??=nn n n n n a a a a a a a a a A
2
1
22221
11211，由0=T AA ，观察T
AA （乘积后的表达式）矩阵的对角元素，有
n i a a a in i i ,2,1,02
2
22
1==+++ ，其中R a ij ∈
所以有n i a a a in i i ,2,1,021====，即O A =与题意“A 为n 阶非零矩阵”矛盾。
故 0A ≠.
第三章 练习一 消元法
1、X =(7，-5，7，15)
T
2、T αβ=1，04202106
3T
αβ
?? ?
=-- ? ??
?
. 3、=+B A 40 4、(A) 5、（D ） 6、（D ）7、（1）12313230x x x ?
=??
?
=-??
=???
（2）123422x x x x =-=-=-
8、（1）11,1k k R -??
?∈ ? ??? （2）12125334241
37,,4240
10
001k k k k R ??????- ? ? ? ? ? ?
? ? ?-
++∈ ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???????
第三章 练习二 向量组的线性相关性
1、k ≠3且k ≠-2；k=3或k= -2．
2、 解：1231
11111(,,)1
2301213
5r A t t ααα????
? ?==→ ?
? ? ?-?
???
, (1) 当5t ≠时, 123(,,)3R ααα=,向量组123,,ααα线性无关;
(2) 当5t =时, 123(,,)23R ααα=<,向量组123,,ααα线性相关;
(3) 当5t =时, 1231
11101(,,)0
1201200
00
0r
r A ααα-????
? ?
=→→ ?
?
? ??
???
,则121,2,
x x =??=-? 所以
31122122x x ααααα=+=-.
3、因1
21
3
1401
1
-=，所以线性相关；
因12
3
100100120010
(, , ) 2130011
2
10
0T T T
αα
α
???? ? ? ? ?=→ ? ?
? ?????
，12
3
(,
, ) 3 T T T R ααα
=
所以线性无关
4、证明提示：设有112233440k b k b k b k b +++=， 即有141122233344()()()()0k k a k k a k k a k k a +++++++=
当12341k k k k =-==-=时1234,,,a a a a 线性无关，故向量组1234,,,b b b b 线性相关。 5、设有123,,k k k R ∈，使得112223331()()()0k l k k m αααααα+++++=， 即131122233()()()0k l k k k k k m ααα+++++=，因123,,ααα线性无关， 所以13122
3000
k l k k k k k m +=??
+=??+=?，要使得122331,,l m αααααα+++线性无关，
上述方程只有零解，即01
1
10100
1
l
m l m
=+≠， 故当1lm ≠-时122331,,l m αααααα+++线性无关
第三章 练习三 向量组的秩
1、（1）（× ） （2）（ × ） 2．（C ） 3、（A ） 4、a= 20 ,b= 5 ．5、a = －1 6、该向量组的秩为2和一个极大线性无关组12,αα，3212ααα=-，42132ααα=-。 7、3λ=时，秩为2，3λ≠时，秩为3.
8、证明： ()()3,R R I =II =则123,,ααα线性无关,且1234,,,αααα线性相关, 故存在123,,λλλ,使得 4112233αλαλαλα=++. 要证12345(,,,)4R k ααααα-=,只需证12345,,,k ααααα-线性无关.
设有1234,,,x x x x ,使得
112233445()0x x x x k ααααα+++-=,
则
11412242334345()()()0x x x x x x kx λαλαλαα+++++-=.
因为()4R I I I
=,所以123
,,,αααα线性无关,则1142243344
0,0,
0,0.x x x x x x kx λλλ+=??
+=??+=??-=?因为
12310001000010
k k
λλλ=-≠-,
所以齐次线性方程组只有零解,即12345,,,k ααααα-线性无关,则
12345(,,,)4R k ααααα-=.
第三章 练习四 线性方程组解的结构
1、(C)
2、12s + 1k k k += +
3、202t p t p -=?=
4、1λ=-时有解，其通解12312321153226,,,010*********k k k k k k R -????????
? ? ? ?--- ? ? ? ?
? ? ? ?+++∈ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????
。
5、1231511(2,3,4,5)()(
,4,
,7)2
2
2
T
T
X ηξηη=+=++=
6、( 略 )
第三章 小结练习
1、（D ）
2、(B)
3、() 1,1,3,2ξ=---
4、0abc ≠，
5、秩为 2 ，极大无关组为12,αα
6、基础解系为21
12-??
? ? ? ???
7、=)(A R 2 . 8、（B ）
9、极大无关组1α，2α，3α，表示为4123234αααα=-+，512355αααα=+-。
10、（1）、基础解系：
10413
,440110??-?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????,通解：121210413,(,)440110X k k k k R ??
-?? ? ? ? ? ?
=+∈ ? ? ? ? ? ? ? ?????
（2）基础解系1110-?? ? ? ? ? ???，通解X=813
02-?? ? ? ? ? ???+k 1110-??
? ? ? ? ??
?，(k R ∈)
（3）基础解系9111,7002-???? ? ?- ? ? ? ? ? ? ? ?????,通解X=1200?? ?- ? ? ? ???
+1212
9111,(,)7002k k k k R -???? ? ?- ? ?+∈ ? ? ? ????? 11、解(1)当3λ≠时方程组有唯一解. 当λ=3时方程组有无穷多个解. (2)当方程组有无穷多个解时，其全部解51037,01k k R -????
? ?
-+∈ ? ? ? ?????。
12、121103 1+222412
k k ?
? ?
???? ?
? ?
?+ ? ? ?
? ?
- ????? ? ??
?
． 13、3t =-，
14、证明： 设11220s s x A x A x A ααα+++= ,即
1212(,,,)0s s x x A x ααα?? ?
?= ? ???
. 因为()m n R A n ?=,则12
12(,,,)0s s x x x ααα?? ?
?= ? ???
; 又12,,,s ααα 线性无关,则120s
x x x ?? ?
?= ? ???
,所以12,,,s
A A A ααα 线性无关.
第三章 线性方程组自我检查题
一、
,4
72-，3，3，2-
二、C ，B ，C ，D 三、
1、解 对系数矩阵A 施行初等行变换
=A ??????
?
?
?-----79
3
118133211151121
31
41
3r r r r r r ---???→??????
? ?
?-----814
4
0472047201511
32
42
2r r r r --???→1
151027400000
0--?? ?- ? ? ???
→1151027400000
0--?? ?- ? ? ???
??→3101270
122
000000
0?? ? ? ?- ? ? ? ??
?
得齐次线性方程组的基础解系 ?
???
???
??--=???????
?
??-=10
21,01272321ξξ 2、解 对增广矩阵()b A 施行初等行变换 ()????
??
?
??--------→??????? ??-=60
3
4
0251161610903400714231111
2313508114
525062
714231b A ????
??
?
?
?------→30
000
0251161610903400714231 可得()3)(4=≠=A R b A R ，故非齐次线性方程组无解。 3、解 1231231
10(,,)(,,)2
1130
2A A A αααααα??
?= ? ??
?,即 123123110(,,)(,,)21130
2A αααααα??
?= ? ??
?
,
则
123123123110
,,,,2
11,,3
2
A ααααααααα?=?=-. 因为123,,ααα线性无关,则123,,0ααα≠,所以1A =-. 4、（1）因为()1
11
1T
--是该方程组的一个解，代入方程组可得μλ=
所以该线性方程组的增广矩阵为 ()????
?
?
?--→????? ?
?----→?????
?
?++=11
3
1
00021210
011
11
242200021210
01114
42302112
011
λλλλλ
λ
λλλλλ
λ
λλb A ????
? ?
?--→00
2121011310011
λ
λ
λλ 当,021=-λ即2
1=
λ时，
()??????
? ?
?--→??????? ?
?→?????
?
?--→00
011310
212
110100
011310
012121100
2121011310
011
λ
λ
λ
λ
b A 得非齐次线性方程组的通解为
???????
? ??-+????????
??--+??
???
?? ??-=???????
??=00121101210131214
32
1c c x x x x x （12,c c 为任意常数）， 并且对应的齐次线性方程组的通解为
???????
?
??--+??
???
?? ??-=???????
??=101210131214
32
1
c c x x x x x （12,c c 为任意常数）。 当,021≠-λ即2
1≠λ时，
()????
?
?
?→????? ?
?→?????
?
?--→11
3
1
000110
011
00
1
1
011310
01100
2121011310
011λλλλλ
λ
λλb A
???????
? ?
?--→??????
?
?→???
?? ?
?→212
11
2121010
01001212
11
00110
01111
2
000110011
λ
λ
λ
λ
可得非齐次线性方程组的通解为 ???????
? ??-+???????? ??--=?
?
??
?
?
?
??=0212101212114
32
1c
x x x x x （c 为任意常数）， 并且对应的齐次线性方程组的通解为 ???????
? ??--=?
?
???
?
?
??=1212114
32
1
c x x x x x （c 为任意常数）。 （2）因为()1
11
1T
--是该方程组的一个解，代入方程组可得μλ=
所以该线性方程组的增广矩阵为 ()??????
?
?
?---→??????? ?
?---→??????? ?
?++-=00
212101140000110011
11
3
1
000212100011001114
42302112
00110
011λ
λ
λλλλλλλ
λ
λλb A 当,021=-λ即2
1=λ时，
()????????
?
??
-→???
?
????
?
?-→00
41411004141010414300100
0414110000110
0121211b A
得非齐次线性方程组的通解为
?
??????
?
? ??-+????????? ??---=????
?
?? ??=041414114141434321c x x x x x （c 为任意常数）
， 当,021≠-λ即2
1≠
λ时，
()????
??
?
?
?-→???????
??-→??????
?
?
?-→11
0001000001010001
11
001000011001100
1
1
0414110000110
011λ
λ
λ
λ
b A 得非齐次线性方程组的唯一解为 ?
?????? ?
?-=???????
??=10014
32
1
x x x x x 5、解
2
1231
11,,111
(3)1
1
1
λαααλλλλ+=
+=++,
(1)当0λ≠且3λ≠-时, β可由123,,ααα线性表示,且表达式惟一;
(2)当0λ=时,
12311101110(,,|)1110000011100
0r αααβ????
? ?=→
?
? ? ??
???
, 因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不惟一;
(3)当3λ=-时, 123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.
6、解 即讨论方程组12241
232
340,0,
0,0
x x x x x x x x x x +=??
-=??-+=??-+=?是否有非零解.
1100100101010101111000120
1
1
10
0r A ???? ? ?--
? ?=→ ? ?-- ? ?-????
, 因为()34R A =<,所以方程组有非零解,即方程组()I 与()II 有公共的非零解,且11
,021x k k -?? ? ?=≠ ? ???
为所有公共的非零解. 四、
1、证 显然123,,πππ过坐标原点, 它们至少相交于一直线?齐次线性方程组
0,
0,0x y z x y z x y z γβγαβα-++=??
-+=??+-=?
有非零解,则11
01
γβ
γ
αβα
--=-,即22221αβγαβγ+++=. 2、（1）证明：若211,ηηη-线性相关，则121ηηηk =-，………..(1) 因为1η，2η为非齐次线性方程组A x b =的两个不同解，所以0≠k 。 由（1）式可得12)1(ηηk -=，左乘矩阵A ，得
b k A k k A A b )1()1())1((112-=-=-==ηηη，即b k b )1(-=，
得0=k ，矛盾
因而向量组1η，12ηη-线性无关。
（2）证明：假设向量组ξ，1η，2η线性无关，则21,ηηξ-也线性无关（否则向量组ξ，
1η，2η线性相关，与假设矛盾，因为2121)(ηηηηξk k k -=-=）。
因为1η，2η为非齐次线性方程组A x b =的两个不同解，所以21ηη-为对应的齐次线性方程组0A x =的一个非零解。又ξ为对应的齐次线性方程组0A x =的一个非零解，所以
21,ηηξ-为齐次线性方程组0A x =的两个线性无关的解向量。
但因1)(-=n A R ，所以齐次线性方程组0A x =的基础解系只包含1)(=-A R n 个线性无关的解向量，则假设与题意矛盾。
故向量组ξ，1η，2η线性相关.
五、解（Ⅰ）设123,,βββ是非齐次方程组三个线性无关的解，令 112223,αββαββ=-=- 则12,αα是导出的齐次方程组的两个解。
由11220k k αα+=可得 1112223()()0k k k k βββ+-++-= 因为123,,βββ线性无关，所以必有 11220,0,0k k k k =-+=-= 即120,0k k ==由此得12,αα线性无关
因为导出组至少有两个线性无关的解，所以其基础解系至少包含两个解，故4()2r A -≥，
由此得()2r A ≤，另一方面，导出组的系数矩阵 1
1
1143
511
3
A a b
=- 存在2阶不等于零的子式
11104
3
=-≠
所以，()2r A ≥，综上所述，即得r(A)=2
（Ⅱ）因为非齐次方程组有解，故其增广矩阵与系数矩阵A 的秩相等，由（Ⅰ）得r(A)=2,故增广矩阵
1111143
5111
3
1a b
-??
?
?--??????
的秩也为2，用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形 11
1111
111143
511011531
3
10
425442a b
a
a b
a --????
?
???--→--???
?????--++-????
由此得 420,540a a b -=-++= 即2,3a b ==
工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
第一部分 C语言程序设计（共100分）答案 一、单项选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将正确答案代码填写在答题纸相应位置上。 1、（）是整型常量。 A A、0xff B、12e+2 C、(double)3 D、-2.3 2、已知各变量的类型说明如下：int k,a,b ; unsigned long w=5 ; double x=1.42 以下不符合C语言语法的表达式是（）A A、x%(-3) B、w+=-2 C、k=(a=2,b=3,a+b) D、a+=a-=(b=4)*(a=3) 3、'\0'&&'0'的值为（）A A、0 B、1 C、大于0 D、小于0 4、'x' 和 "x"各占（）字节 A A、1，2 B、1，1 C、2，1 D、2，2 5、以下for循环体的执行次数是 for (x=0,y=0;(y=123)&&x<4;x++); （）C A、执行3次 B、循环次数不定
C、执行4次 D、是无限循环 6、int a[10],*p=a; 则*(p+5)表示（）B A、元素a[5]的地址 B、元素a[5]的值 C、元素a[6]的地址 D、元素a[6]的值 7、若定义int a[3][4]，下列四种对a数组元素的引用中有可能出错的是（）D A、a[0][2*1] B、a[1][3] C、a[4-2][0] D、a[3][3] 8、设m,n,a,b,c,d均为0，执行(m=a= =b)||(n=c= =d)后，m,n的值是（）C A、0，0 B、0，1 C、1，0 D、1，1 9、设int a,i,j;则赋值语句 a+=a=(i=14)%(j=12)；执行后a的值为（）C A、2 B、0 C、4 D、不确定 10、float *p, 则p+1的含义是（）B A、p的值加1 B、p的值加上sizeof(float) C、p的值减去sizeof(float) D、p的值加2 11、设int a[12]; 则a[i] 的地址为（）C A、&(a+i) B、a[i] C、(a+i) D、*(a+i)
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
慈溪市2018年初中毕业生学业水平模拟考试 科学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷。试题卷共10页，有4个大题，33个小题。满分为180分，考试时间为120分钟。 2．请将学校、、班级、座位号、号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上。 3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷上用2B铅笔涂黑、涂满。将试题卷II的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题规定区域作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。 4．本卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Ca-40 Ba-137 5．本试卷g取10N/kg。 试题卷Ⅰ 一、选择题（本题共15小题，第1～10小题，每小题4分，第11～15小题，每小题3分， 共55分。请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分） 1．下图是《小蝌蚪找妈妈》水墨画邮票。下列关于图中生物的说法中正确的是 A．邮票中动物均用鳃呼吸 B．邮票中动物均属于恒温动物 C．邮票中虾、蟹属于软体动物 D．邮票中的鱼、乌龟、青蛙属于脊椎动物 2．下列各图所表达的相关科学容正确的是 A．过滤 B．称取氯化钠 C．光的折射 D．杠杆的力臂
3．某太空站的能量转化示意图如下图，下列有关说法错误的是 A．光电转换器中光能转化为电能 B．水电解系统中化学能转化为电能 C．在能量转化中水可以被循环利用 D．燃料电池系统可将化学能转化为电能 4．加热试管中的物质时，与防止试管炸裂无关的是 A.保持试管外壁干燥 B.试管夹夹在试管中部 C.先预热再对药品集中加热 D.加热固体时试管口略向下倾斜 5．下图是氢核聚变简图，请据图判断下列说法中正确的是 A．图中b核和c核的质子数不同 B．氢核聚变过程中元素种类不会改变 C．图中a和b分别代表不同种元素的原子核 D．原子弹主要是利用了核聚变释放出来的能量 6．下列有关生产实践的说法，错误的是 A.带土移植---减少根部损伤提高成活率 B.合理密植---充分利用太 C.移栽剪枝---降低蒸腾作用减少水分散失 D.树怕扒皮---导管受损减弱无机盐的运输 7．小科对新型LED灯带很好奇，取一段剖开后发现，灯带中的LED灯是串联后通过电源适配器接入照明电路（交流电）。取其中一只LED灯接在电池两端，灯不亮，对调电池正负极后灯亮了，用手试摸，点亮的灯几乎不发热。以下推断符合上述实验事实的是 A．LED灯主要是将电能转化为能 B．单只LED灯工作电压是220V C．灯带中一只LED灯断路后其他灯还能亮D．电源适配器将交流电转变为直流电8．从下列图片中不能获取的信息是 A．硅原子是由原子核和电子构成的 B．分子之间有间隔 C．水分子受热运动速率加快 D．构成物质的粒子有分子、原子和离子
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -=
一 一、判断题（每题1分，共15分） 1、人力资源是指一切具有为社会创造物质文化财富、为社会提供劳务和服务的人。（） 2、人力资源开发与管理工作主要涉及选人、育人、用人和留人四个方面。（） 3、任何工作岗位的员工选择都应遵循“最优原则”。（） 4、一线经理是人力资源管理工作的实施者和人事决策的制定者。（） 5、职位与职务是一一匹配的，也就是有多少职位就有多少职务，两者数量相等。（） 6、工作分析工作主要由人力资源管理的专业人员参与。（） 7、人力资源规划的任务就是确保组织需要的时候能获得一定数量的具有一定技能的员工。（） 8、人力资源规划的预测主要是人力资源的需求预测。（） 9、招聘岗位所需条件越高，劳动力市场的供给就越不足。（） 10、组织的发展战略和人事政策决定了组织对人力资源的需求状况。（） 11、在一个团体中，所有的人智商越高，则团队的战斗力就越强。（） 12、一个人的个性和气质决定了他应该从事什么样的工作。（） 13、人力资源开发需求分析既是发现员工潜能的过程，又是发现员工业绩问题的过程。（） 14、绩效管理系统的可接受性在很大程度上取决与组织成员对它公平性的认可。（） 15、薪酬管理最重要的作用就是要能够吸引、留住员工。（） 二、填空题（每题2分，共20分） 1、人力资源开发与管理的含义是指从其外在要素即，和内在要素即进行管理 2、日本人事管理的最大特点可以概括为。 3、影响职务分析的动态特征是，，。 4、心理测试从形式上可以划分为，，，
。 5、群体的形成方式可以分为和。 6、人才流动的原则有，，，。 7、影响报酬系统的内部因素有，，， ，。 8、人才流动的基本理论有，，， ，。 9、职业生涯的四个阶段分别是，，， 。 10、在岗培训可分为，，，。 三、简答题（每题5分，共20分） 1、工作分析的文件和具体内容。 2、培训开发的主要方法。 3、进行绩效评估的主要克服的误差。 4、内部招聘的主要方式并简述其作用。 四、问题分析题（15分） 如何对员工进行有效的激励？ 五．案例题（30分） 亨利的困惑 亨利已经在数据系统公司工作了5个年头。在这期间，他从普通编程员升到了资深的程序编制分析员。他对自己所服务的这家公司相当满意，很为工作中的创造性要求所激励。 一个周末的下午，亨利和他的朋友及同事迪安一起打高尔夫球。他了解到他所在的部门新雇了1位刚从大学毕业的程序编制分析员。尽管亨利是个好脾气的人，但当他听说这新来者的起薪仅比他现在的工资少30美元时，不禁发火了。亨利迷惑不解。他感到这里一定有问题。 下周一的早上，亨利找到了人事部主任埃德华，问他自己听说的事是不是真的?埃德华带有歉意地说，确有这么回事。但他试图解释公司的处境：“亨利，编程分析员的市场相当紧俏。为使公司能吸引合格的人员，我们不得不提供较高的
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷 2009年6月22日 1、 设?? ??? ?? ?? ???-=* 8030010000100001A ,则A ＝ 、 2、 A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+ 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分) 1、设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件就是[ ]、 (A) D n中有两行元素对应成比例; (B) D n中各行元素之与为零; (C) D n中有一行元素全为零; (D)以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解. 2.若向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则[ ]、 (A)α必可由β,γ,σ线性表示; (B) β必可由α,γ,σ线性表示; (C)σ必可由β,γ,α线性表示; (D)γ必可由β,α,σ线性表示、 ３.设3阶方阵A有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P＝(P1,P2,P3),则P－1AP＝[ ]、 (A) 100 010 000 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (B) 000 010 001 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (C) 000 010 001 ?? ?? ?? ?? ?? － ; (D) 100 000 001 ?? ?? ?? ?? ?? － . ４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ ]、 (A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、 ５.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A) =[ ]、 (A) 1; (B)2; (C)3; (D) 4. ６.实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件就是[ ]、 (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n、 三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分) 高三期中模拟测试卷1 第二部分英语知识运用(共两节，满分35分) 第一节单项填空(共15小题；每小题1分，满分15分) 从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 21. Frank studied _____English language in London for four years, so he gets ____ good knowledge of London. A. a; the B. / ; / C. / ; a D. the; a 22. Zunhua is one of the famous tourism destinations, _____ lies Dongling, a group of the Qing Imperial Tombs. A. 20 miles northwest of it B. 20 miles northwest of which C. northwest 20 miles to it D. northwest 20 miles of which 23. Through the reform, the economic situation of China ______ much better than it used to be. A. turned into B. turned off C. turned to D. turned out 24. She had experienced many hardships _______their journeys, but she was amazed at the sight of the beautiful scene. A. in view of B. in terms of C. in the case of D. in the course of 25. ---I wonder why he ______ so strangely these days. ---Recent pressure at study may account for his behavior. A. was acting B. acted C. is acting D. acts 26. It is global warming, rather than other factors, ___the extreme weather. A that have led to B which has caused C which are causing D. that has led to 27. By improving reading skills, you can read faster and understand more of ________you once thought impossible to understand. A. that B. what C. which D. whether 28. ---I’m going to Beijing next week. Do you have anything ______to your son? ---No，thanks. A. taken B. to take C. to be taken D. take 29. James Cook was a strict captain, but ______all the sailors on the ship showed respect for. A. that B. the one C. who D. one 30. Research findings show we spend about two hours dreaming every night, no matter what we during the day. A. may have done B. could do C. must have done D. would do 31. ____ the crisis of economy getting more and more serious, the government is searching for ways to improve people’s life. A. As B. With C. When D. If 32. Not only did the Great Wall of China serve as a defense in the north but also______ the power of the emperor. A. symbolize B. to symbolize C. symbolizing D. symbolized 33.---How do you find Johnson’s last party? ---Well, it couldn’t have been . In fact, I won’t go to his party next time. A. any better B. any worse C. so bad D. the best 34. He doesn't spend any more money on clothing than I do, but ______ he manages to look so stylish. A. therefore B. somehow C. furthermore D. otherwise 线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 （） （A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（） 2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则 111)(---=A B AB 。（） 2013-网络技术应用模拟卷—一86 B、诺顿软件 C、金山毒霸 D、Microsoft Word B、打印机 C、摄像机 D、照相机 B、使用资源管理器对文件进行管理 C、用媒体播放器播放音乐 D、整理手机中的电话号码簿 B、播放DVD视频 C、利用计算机资源管理器整理文件 D、利用EXCEL软件管理学生成绩 B、传奇.jpg C、my.avi D、your.txt B、avi2.gif C、大笑江湖.wma D、my.avi B、bmp1.pdf C、my.jpg D、midi.txt B、要保证作品主题明确 C、要保证作品主题观点鲜明 D、无需确定作品主题 B、一个工作簿默认的工作表数为5个工作表 C、同一个工作薄内不得有相同名称的两张工作表 D、一个工作簿最多可以有500个工作表 B、随着信息技术的发展，电子出版物最终会完全取代纸质出版物 C、信息技术是计算机技术和网络技术的简称 D、英文的使用是信息技术的一次革命 B、下载朋友发来的照片 C、在论坛上发表反动言论 D、在淘宝网上购物 B、在网站上挂木马 C、聊天时对网友反唇相讥，任意谩骂 D、破解正版软件，恶意注册使用 B、手工制造 C、CPU的升级换代 D、通过互联网收集资料 A、研究收集、识别、提取、存储、处理、检索、分析、利用信息的技术 B、研究获取、传递、存储、处理、显示分析信息的技术 C、研究收购、出售信息的技术 D、研究信息如何产生、获取、传递、变换、识别和利用的技术。 B、文本框一旦插入后，其中的文字方向就不能改变了。 C、文本框的边框粗细可以随时改变 D、文本框的大小可以随时改变 B、网络层 C、传输层 D、应用层 A卷 2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案 （32学时必修） 专业班级 姓名 学号 开课系室应用数学系 考试日期 2016年1月15日 注意事项： 1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共7页。 说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵； )(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵. 一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若 6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】. 2.设1 3 5 2 4 1312010131 1--= D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子 式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】. 3．设102020103B ?? ? = ? ?-?? ，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】. 5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，??? ? ? ??-=m m 11β是线 性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】. 6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式 =+-|2|1E B 【 -8 】. 二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1. 设A 为3阶矩阵，且2 1||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】. (A) 2-； (B) 2 1 -； (C) 1-； (D) 2. 2. 矩阵110120001?? ? ? ??? 的逆矩阵为【 A 】． (A) 210110001-?? ?- ? ???； (B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-?? ? - ? ? ??； 110110001?? ? ? ??? . 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；模拟卷1及其答案
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