平面应力问题平面应力问题
平面域A内的基本方程:
平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内）
物理方程（在A内）
?即: σ=E(ε+με)xxy?2
1-μ ?? Eσy=(ε+με)?yx 1-μ2?
?Eτ=γ xyxy
2(1+μ)S上边界条件:
应力边界条件在σ上）
??σx?τyx +=0,?
?x?y?
?常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解?σy?τxy +=0.?
??y?x ?2
?2Φ
xσy=2-Yy,2
xy ?x
s
σ=
?Φ?y
-Xx,
τ=-?x?y
2
二、基本假设 1、连续性假定
假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。 2、完全弹性假定
a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。
3、均匀性假定
假定物体由同种材料组成,因此， E、μ等与位置无关。 4、各向同性假定
假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。
5、小变形假定
假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸，例：梁的挠度v＜＜梁高h。例：
梁的≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度。小变形假定的应用：
a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由于(ε , γ ) >> (ε, γ
)2 >> ( ε ,γ ) 3 ???? ,可略去 2等项,使几何方程成为线性方程。
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第二节
有限元方法概述 1分析思路是：
将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特
性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。
2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结
点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过
结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作
用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，
这种位移称为结点位移。
3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。P5,6 例题1：试分析AB薄层中的应力状态
zzxzy
在近表面很薄一层内 zzxzy
故接近平面应力问题
(ε,γ)
(σ,τ
,τ
)=0.
(σ,τ
,τ
)→0.
因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右
均应=常数，由此解出。可得
σ显然，边界条件要求在x = ± a 上， x 也成抛物线分布。
3、混合边界条件：
⑴ 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；⑵ 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例4 列出的边界条件：
x=a
0,fy =例5 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， f x = ρ g 。试用
位移法求
解。
解：为了简化，设位移
按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。
代入式(b), xy2x2
x2y2 y
xyxy
将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为(b) ?E?2u1-μ?2u1+μ?2v
(++)+X=0 ?1-μ2?x22?y22?x?y?
?222
§6.4 平面应力问题的近似性 学习思路: 对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。但是问题的z方向应力和位移不同。 应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。 对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。 学习要点： 1. 平面应变与平面应力问题； 2. 平面应力问题与基本方程； 3. 平面应力问题的误差； 对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。 因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。 下表列出了两种平面问题的主要差别。
上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。 虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。 由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题， 变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求 这要求εz为x，y的线性函数，因此εz= ax+by+c，但平面应力问题又要 求。这要求σx+ σy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。
带孔平板有限元分析 本文采用有限元法，对带圆孔的矩形平板进行了弹塑性受力分析，分析了圆孔处的应力集中现象，为其设计和应用提供了参考依据。 1. 研究问题概述 本文研究带圆孔矩形平板在轴对称拉力作用下的平面应力问题。平板开孔的应力问题是弹塑性力学平面中的一个经典的问题,也是实际工程中常见的问题。平板长200mm ，宽50mm ，厚8mm ，具体几何参数及受力见图1。 图1 平板几何参数及受力 2.弹性力学方法解答 由弹性力学知识知，在距圆孔圆心()r ρρ>处的径向正应力、环向正应力、切应力分别为： 222222 1c o s 211322p r p r r ρσψρρρ?????? =-+-- ? ????????? 22221cos 21322p r p r ?σψρρ????=+-+ ? ???? ? 2222sin 21132p r r ρψψρ ττψρρ???? ==--+ ?????? ? 沿着y 轴，90ψ=。，环向正应力为： 242413122r r p ?σρρ?? =++ ???
max 3q ?σ=由上表可知： ()max = 3K q ψ σ=故应力集中因子: 可见孔边最大应力比无孔时提高了3倍，应力集中系数k=3，如图2所示。 图2 孔边应力集中 3.有限元分析 3.1模型建立 图3 有限元模型 3.2边界条件和载荷 为避免在计算时平板产生移动引发计算问题，必须对试件的外部边界条件进行限定。对平板左侧进行铰接约束，示意图如下
图4 平板约束示意图 由于我们只关注孔附近的应力分布情况，根据圣维南原理，载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。故我们用均布力代替集中力施加在平板右侧的作用面上，其大小为225P MPa ，为负值。 图5 平板载荷示意图 3.3材料 平板的弹性模量为200GPa ，泊松比为0.3。其塑性的应力应变参数见下图 图6 塑性应力应变参数 3.4有限元网格划分 网格划分是非常重要的过程，它会对计算速度、精度、可靠性产生重要影响。网格划分主要包括两方面：尺寸、单元类型。
平板应力分析
第四节平板应力分析 3.4平板应力分析 3.4.1概述 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3圆平板中的应力 3.4.4承受对称载荷时环板中的应力 3.4.1概述 1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 分类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。
t/b≤1/5时(薄板) w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力 载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷 ②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷 内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所 以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。 4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f ①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面 法线w的挠度。只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线 上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且 仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 分析模型 分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷P z，在r、θ、z圆柱坐标系中，内力M r、Mθ、Q r三个内力分量 轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度w只是r的函数，而与θ无关。
题101 图示四种应力状态中属于单向应力状态的是( )。 题102 求图示平面应力状态的σα、εα。已知α＝４ μ分别材料的弹性模量和泊松比。( )。 (A) τ σ σα-=2 ， )2(1τσ εα-= E (B) τσ σα+=2,) 2(1τσεα+= E (C) τσσα-=2，τμσμεαE E +--=121 (D) τσσα+=2，τ μσμεαE E ++-=121 题103 种答案，其中正确的一个是( )。题103图 (A) 1、2 (B) 1、5 (C) 3、5 (D) 2、4 题 104 矩形截面简支梁如图示，已知梁的横截面面积为A ，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E ，泊松比为μ, A 点45° 方向的线应变为ε ４５° 。则荷载F 为( )。 (A) A E με-?145 （Ｂ）A E 145-? με (C) A E )1(4945με-? （Ｄ）A E )1(9445με-? 题105 圆轴直径d=20mm,材料的弹性常数E ＝200GPa ， μ＝ 0.3。现测得圆轴表面与轴线成ε ＝题2×１０－４ ，则转矩( )。 (A) m=1.257N ·m (B) m=12题7N ·m 题102图 题103图 题104图 题105图
(C) m=233.4N ·m (D) m=62.8N ·m 已知σx ＝０，则σy 和τ有( )。 (A) σy =30MPa ，τ＝20MPa (B)σy ＝60MPa ，τ＝20MPa (C) σy ＝－６０MPa ，τ＝40MPa (D) σy ＝60MPa ，τ＝40MPa 题107 中的( )。 (A) (a)与(d) (B) (b)与(c) (C) (a)与(d)及(c)与(b) (D) (a)与(b)及(c)与(d) 题 108 图示受拉板，A 点为凸起处的最高点，应力圆有图示四种可能，正确的答案为( )。 题109 从构件内某一点的周围取出一单元体如图所 示。已知σ＝30MPa ，τ＝15MPa ，材料的E ＝200GPa ， 对角线AC 的长度改变量为( )。 (A) 3.91 ×１０－３mm (B) 8.43×１０－３ mm (C) 9.29×１０－３mm (D) 10.25×１０－３ mm 题106图 题107图 题108图 题109图
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态概念， 2、平面应力状态下应力分析， 3、主平面是切应力为零平面，主应力是作用于主平面上正应力。 （1）过一点总存在三对互相垂直主平面，相应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律
)]( [1 z y x x E σσμσε+-= )]([1 x z y y E σσμσε+-= )]([1 y x z z E σσμσε+-= G zx zx τγ= G yz yz τγ= ， G xy xy τγ= 6、应力圆与单元体之间相应关系可总结为“点面相应、转向相似、夹角两倍。” 8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体规定其六个截面上应力应已知或可运用公式直接计算，因而应选用如下三对平面：A 点左右侧横截面，此对截面上应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行一对平面，其中靠前平面是自由表面，因此该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下一对与xz 平行平面。截取出单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上应力: A 点偏右横截面正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面应力为： z M y I σ= b I QS z z *= τ 解题范例
ansys平面应力和平面应变问题： 如果能将三维问题简化为二维问题，将大大节约计算时间。对于平面应力和平面应变问题就可以实现这种简化，本问将介绍一下平面应力和平面应变的概念。 平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。 平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。 具体说来： 平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。 平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。 举例说来： 平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。 平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方
向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用 在ANSYS有限元分析中，设置平面应变和应力的命令流方法有两种形式： A. ET,1,PLANE2,,,2 !定义单元类型和属性，设定平面应变问题keyopt(3)＝2 B. ET,1,PLANE2 !定义单元类型 KEYOPT,1,3,2 !设定平面应变问题keyopt(3)＝2 KEYOPT,1,5,0 KEYOPT,1,6,0 ANSYS接触分析： 刚性目标面-导向节点 1、缺省时，程序自动约束刚性目标面。也就是说，自动地将目标的位移和转动设定为零。 2、要模拟刚性目标的更复杂行为，可以创建一个特殊的单节点目标单元，称为导向节点。 >该单元通过具有相同的实常数属性与目标面联系起来。 比如： *set,_npilot,1000
姓名：刘刚学号：15 平面应力应变分析有限元法 Abstruct:本文通过对平面应力/应变问题的简要理论阐述，使读者对要分析的问题有大致的印象，然后结合两个实例，通过MATLAB软件的计算，将有限元分析平面应力/应变问题的过程形象的展示给读者，让人一目了然，快速了解有限元解决这类问题的方法和步骤！ 一.基本理论 有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点出连接而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。先对单元进行特性分析，然后根据节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后做整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化简单单元分析与综合问题。因此，一般的有限揭发包括三个主要步骤：离散化单元分析整体分析。 二.用到的函数 1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,p) 2.LinearBarAssemble(K k I f) 3.LinearBarElementForces(k u)
4.LinearBarElementStresses(k u A) 5.LinearTriangleElementArea(E NU t) 三.实例 例1.考虑如图所示的受均布载荷作用的薄平板结构。将平板离散化成两个线性三角元，假定E=200GPa ，v=0.3，t=0.025m,w=3000kN/m. 1.离散化 2.写出单元刚度矩阵 通过matlab 的LinearTriangleElementStiffness 函数，得到两个单元刚度矩阵1k 和2k ，每个矩阵都是6 6的。 >> E=210e6 E = 210000000 >> k1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0,0.5,0.25,0,0.25,1) k1 =
有限元方法 Finite Element Method ——基于ANSYS的有限元建模与分析 姓名吴威 学号20100142 班级10级土木茅以升班2班 西南交通大学 2014年4月
综合练习——带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算一、问题重述 计算带孔平板的应力分布及应力集中系数。 二、模型的建立与计算 在ANSYS中建立模型，材料的设置属性如下 分析类型为结构（structural），材料为线弹性（Linear Elastic），各向同性（Isotropic）。弹性模量、泊松比的设定均按照题目要求设定，以N、cm为标准单位，实常数设置中设板厚为1。
采用solid 4 node 42板单元，Element Behavior设置为Plane strs w/thk。 建立模型时先建立完整模型，分别用单元尺度为5cm左右的粗网格和单元尺度为2cm左右的细网格计算。 然后取四分之一模型计算比较精度，为了使粗细网格单元数与完整模型接近，四分之一模型分别用单元尺度为2.5cm左右的粗网格和单元尺度为1cm左右的细网格计算。 (1) 完整模型的计算 ①粗网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为5cm） 约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x方向的约束，即令U X=0，在左下角节点上施加x、y两个方向的约束，即U X=0、U Y=0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。 对模型进行分析求解得到： 节点应力云图（最大值222.112）
单元应力云图（最大值256.408） 可看出在孔周围有应力集中现象，其余地方应力分布较为均匀，孔上部出现最大应力。 ②细网格 单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2cm）
第六章平面问题的直角坐标解知识点 平面应变问题 应力表示的变形协调方程应力函数 应力函数与双调和方程平面问题应力解法 逆解法 简支梁问题 矩形梁的级数解法平面应力问题 平面应力问题的近似性应力分量与应力函数 应力函数与面力边界条件应力函数性质 悬臂梁问题 楔形体问题 一、内容介绍 对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。 本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。 本章学习的困难是应力函数的确定。虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。 二、重点 1、平面应变问题； 2、平面应力问题； 3、应力函数表达的平面 问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。 §6.1 平面应变问题 学习思路: 对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。 平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线
长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。 根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。 对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。 学习要点： 1、平面应变问题； 2、基本物理量； 3、基本方程； 4、应力表 示的变形协调方程 1、平面应变问题 部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示 这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。 这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。 设纵向轴为z轴，则沿z方向的位移恒等于零，位移只能发生在Oxy面内。而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的x、y坐标，则有相同的位移。所以物体的位移为 2、基本物理量
平综述 摘要：在机械制造、航空、造船、建筑等领域, 开孔问题是十分普遍的。然而, 开孔必 然引起应力集中现象, 这一直是工程技术人员十分关心的问题。对平面应力状态开孔周边应力场的研究, 掌握应力场的变化规律, 在实际工程中具有十分重要的意义. 关键词：应力场开孔平面应力状态 1 前言 对于开口结构来说，特别突出的一个问题就是临界区域的孔边应力集中问题。准确的求解孔周围的应力是很困难的,特别是对于一些复杂孔型。就像人们所知道的,孔口附近往往也就是构件最薄弱的区域。因此，对开孔及其周边应力场的研究，对于机械及相关领域来说至关重要，这将是我们必须长期坚持和努力的研究领域。 2开孔周边应力场的研究历史及现状 2.1 复合材料开孔周边应力场研究 吴德隆[1]在对二维平面的复合材料结构开孔分析中，得出相应的结论：开孔引起的应力扰动项是局部的,随距离的增加而迅速衰减。最大应力集中发生在孔角处45°，并与开孔尺寸成反比。李成[2]等为了探索出一种方法，使得在实际设计中,计算含孔的复合材料板的应力、强度时，既可以避免级数法的繁琐,又可以提高其计算精度。于是他们以复变函数理论为基础,借助积分方程,采用多复变量应力函数对含圆孔形的复合材料板进行研究,得到了精确边界条件下的应力解析, 并用所得到的应力表达式对不同载荷的影响进行了分析、评价,同含有圆孔的均质材料板边的应力场进行比较。得出了含复杂孔形孔边应力的解析解法。并且得出了对带有圆形孔的复合材料板和均质材料板,在不同方向的载荷作用情况下的计算方法,这种计算方法在工程中有很高的实用价值。 2.2 平板开孔应力场的研究 张涛[3]等对开椭圆孔有限板的应力集中问题进行研究。应用弹性力学的复变函数理论,在各内边界上引入保角变换,在外边界上采用分段函数,通过傅立叶级数展开,计算整个弹性板的应力场,给出了开椭圆孔有限板的计算实例。突破了开
第八章 应力状态分析 1．矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ） 所示。关于他们的正确性，现有种答案： （A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的； 正确答案是 。 2．已知单元体AB 、BC 面上只作用有剪应力 τ ，现关于AC 面上应力有下 列四种答案： （A ）2/ττ=AC ，0=AC σ； （B ）2/ττ=AC ，2/3τσ=AC ； （C ）2/ττ=AC ，2/3τσ-=AC ； （D ）2/ττ-=AC ，2/3τσ=AC ； 正确答案是 。 3．在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力 βασσ= 成立的充分 必要条件，有下列四种答案： （A ）y x σσ=，0≠xy τ； （B ）y x σσ=，0=xy τ； （C ）y x σσ≠，0=xy τ； （D ）xy y x τσσ==； 正确答案是 。 C τ (a) (b)
4．对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间有下列四种答案 ： （A ）三种应力状态均相同； （B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同； 正确答案是 。 5．直径为d 的圆截面杆，两端受扭转力偶m 作用。设 ?=45α，关于下列结 论（E 、v 分别表示材料的弹性模量和泊松比） 1） 在A 、B 、C 点均有0==y x εε； 2） 在点C 处，() 3 /16d m πσα-=； 3） 在点C 处，)]/(16[]/)1[(3 d m E v πεα?+-=； 现有四种答案： （A ）1）、2）正确； （B ）2）、3）正确； （C ）1）、3）正确； （D ） 全正确； 正确答案是 。 6．广义虎克定律适用范围，有下列四种答案： （A ）仅适用于脆性材料； （B ）仅适用于塑性材料； （C ）适用于材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）适用于任何材料； 正确答案是 。 m A C τ (a) (b) (c)
带孔平板模型分析 一、问题重述 如图所示，使用ANSYS分析平面带孔平板，分析在均布载荷作用下板内的应力分布。 已知条件：F＝20N/mm，L＝200mm，b＝100mm，圆孔半径r＝20，圆心坐标为（100， 50），E＝200Gpa。板的左端固定。 二、问题分析： 从题目中可知这是一个有限元结构分析中的线性静力分析问题，由于只承受薄板长度和宽度方向所构成的平面上的载荷时，厚度方向没有载荷，一般沿厚度方向应力变化可不予考虑，即该问题可转化为平面应力问题。虽然结构是对称的，但所加载荷不对称，所以不能使用对称模型。 三、问题求解： 有限元问题求解一般分为三大步骤： 1、建立有限元模型 ①建立或导入几何模型：结构比较简单，直接在ansys中建模既可。先建一个长方形然后再中间画一个圆，两者相减即可。 ②定义材料属性：主要设置材料的弹性模量以及泊松比：EX=200000，PRXY=0.3。 ③划分网格建立有限元模型：网格的划分对结果的影响很大。在此进行了多种不同方式的网格划分，以便对结果更好的进行分析比较。单元类型均为PLANE82。 A 采用用户自定义网格尺寸参数，将长方形四条边网格长度都设置为20mm,再进行自由分网。得到的网格如下图所示。可以看出这样的网格很不规整，有大有小，有规则的有不规则的。 B 对前一种网格进行了改进，使用映射分网，但由于整个图形不能进行映射分网，所以在建模时将由四个小长方形组成一个大的长方形，中间再减去一个圆。然后再将这四块用glue命令粘起来。分网时将四块单独分网，这样就可以使用映射分网。如下图所示。可以看出，这样分出来的网格很漂亮，网格大小比较一致，这样求出来的结果更加有信服力。
§7.6 带圆孔平板的均匀拉伸 学习思路: 平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。 孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。 根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。 孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。 学习要点： 1. 带圆孔平板拉伸问题； 2. 厚壁圆筒应力函数； 3. 应力与边界条件； 4. 孔口应力。
设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。如图所示。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。 孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。 根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。因此 上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为b的圆周上，应力可以分为两 部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值为；另一部分是随? 变化的法向力cos2? 和切向力sin2?。 对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为。由此产生的应力可用轴对称应力计算公式计算。则 这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为a，外径为b的厚壁圆筒的外圆周处。使得问题成为一个典型的轴对称应力。
第四节平板应力分析 3.4平板应力分析 3.4.1概述 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3圆平板中的应力 3.4.4承受对称载荷时环板中的应力 3.4.1概述 1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 2、平板的几何特征及平板分类 w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力 载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷 ②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷 内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。 4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w 的挠度。只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题 3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 分析模型 分析模型：半径R ，厚度t 的圆平板受轴对称载荷P z ，在r 、θ、z 圆柱坐标系中， 内力M r 、M θ、Q r 三个内力分量 轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r 、θ、z 圆柱坐标系中，挠度w 只 是 r 的函数，而与θ无关。 求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（ z p w ） →求w 求→内力 r M M θ 、→求应力 r θ σσ、
对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们 所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。 因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所 不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。 下表列出了两种平面问题的主要差别。 力的计算公式。 返回 虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但 是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。 由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个 方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程除了第四， 五两式自动满足外，第二，三，六式还要求 这要求ez 为x，y的线性函数，因此ez = ax+by+c，但平面应力问题又要求。这要 求sx+ sy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等 可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一 般是不可能满足此条件的。 由于平面应力问题e z≠0，这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题，e z很小，可以认为e z近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。 对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。 假如重新假定应力分量s x，s y，t xy是x，y，z的函数，应力分量s z，t xz 和t yz 仍然等于零，则可以选取新的应力函数
求解平面应力问题。如果上式中函数(x，y）为双调和函数，则应力函数Y(x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。 显然，新的应力函数Y(x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。 根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。 对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。
平面应力问题平面应力问题 平面域A内的基本方程: 平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内） 物理方程（在A内） ?即: σ=E(ε+με)xxy?2 1-μ ?? Eσy=(ε+με)?yx 1-μ2? ?Eτ=γ xyxy 2(1+μ)S上边界条件: 应力边界条件在σ上） ??σx?τyx +=0,? ?x?y? ?常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解?σy?τxy +=0.? ??y?x ?2 ?2Φ xσy=2-Yy,2 xy ?x s σ= ?Φ?y -Xx, τ=-?x?y 2
二、基本假设 1、连续性假定 假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。 2、完全弹性假定 a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。 3、均匀性假定 假定物体由同种材料组成,因此， E、μ等与位置无关。 4、各向同性假定 假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。 5、小变形假定 假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸，例：梁的挠度v＜＜梁高h。例： 梁的≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度。小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于(ε , γ ) >> (ε, γ )2 >> ( ε ,γ ) 3 ???? ,可略去 2等项,使几何方程成为线性方程。 弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第二节 有限元方法概述 1分析思路是： 将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特 性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。 2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结 点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过 结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作 用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移， 这种位移称为结点位移。 3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。P5,6 例题1：试分析AB薄层中的应力状态 zzxzy 在近表面很薄一层内 zzxzy 故接近平面应力问题
二、带孔平板的有限元分析 1：问题描述 图所示为一个有中心圆孔的薄板，薄板厚度t=0.01m，薄板弹性模量E=210000N/cm2,泊松比μ=0.3，p=100N/cm,ρ=2.7g/cm3 此问题为平面应力问题，用有限元求解出带孔平 板的应力集中问题，并与弹性力学的精确解进行 比较。 2：求解步骤 第一步：建立工作文件名和工作标题 （1）选择Utility Menu—File—Change Jobname命令,出现Change Jobname对话框。在Enter new jobname输入栏中输入工作文件名plate，单击Ok按钮关闭该对话框。 （2）选择Utility Menu—File—Change Tile命令，出现Change Tile对话框，在输入栏中输入Stress analysis in a sheet，单击Ok按钮关闭该对话框。 第二步：设置计算类型 选择Main Menu—Preference—Structural-Ok命令. 第三步：选择单元类型 选择Main Menu—Preprocessor—Element Type—Add/Edit/Delete命令,出现Element Type对话框，选择Solid-Quad 4node 42—Ok命令,再在Element Type对话框中选择Options—K3:Plane Strs w/thk/—Ok—Close命令. 第四步：定义材料参数 选择Main Menu—Preprocessor—Material Props—Material Models—双击Structural—双击Linear—双击Elastic—双击Isotropic命令，出现如下对话框填写Ex：2.1e5，PRXY：0.3；选择Ok命令。 第五步：定义实常数以确定平面问题的厚度 选择Main Menu—Preprocessor—Real condtants—Add/Edit/Delete—Add—Type1—Ok命令，出现以下对话框，在Real condtant Set No中填写1，在THK中填写1，选择Ok—Close命令. 第六步：创建几何模型 1：生成平面方板 选择Main Menu—Preprocessor—Modeling—Creating—Areas—Rectangle—By 2 Corners—Wp X:0, Wp Y:0,Width:100,Height:100—Ok 1：生成圆孔平面 选择Main Menu—Preprocessor—Modeling—Creating—Areas—Circle—Solid Circle—Wp X:50, Wp Y:50,Radis:5—Ok 2：生成带孔方板
题目：带孔平面钢板应力问题的静力分析 结构图和计算参数： 如下图所示，带圆孔的平面钢板，板厚0.01m，左端固定，右端作用50kpa 的均布荷载，试对其进行静力分析。材料的弹性模量为210Gpa，泊松比为0.25，其尺寸的大小如图所标识。 ANSYS程序软件操作过程如下： 1．设立工作目录、文件名、标题 首先在硬盘上建立一个工作目录，例如D：\huwei，然后启动ANSYS程序软件，把ANSYS程序软件的工作目录改为在硬盘上已建立的工作目录，然后设立一个工作文件名,标题。或者进入ANSYS程序软件之后，通过实用菜单中的File>ChangeDirectory>D:\>huwei, File>ChangeJobname>gangban>OK，File>Change Title>huwei>OK 如下图所示
选择菜单Utility Menu>Plot>Replot 单击该按钮后，所命名的分析标题和工作文件名会出现在州ANSYS中。 2．选择分析类型 选择菜单Main Menu>Preferences 在弹出的对话框中选择Structural这一项，单击OK。如下图所示
3.定义单元类型 选择菜单Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete 单击对话框中的Add按钮，弹出单元库对话框，在材料的单元库中选Plane82单元，即在左侧的窗口中选取Solid 单元，在右侧选择8节点的82单元，然后单击OK。
4.选择分析类型 在上述单元类型定义完后，单击Element Type对话框中的Option，弹出对话框，在Element behavior中选择Plane strs w/ thk，在Extra Element output中，选择Nodal stress。单击OK，最后单击close，关闭单元类型对话框。 5．定义实常数 选择菜单Main Menu>Preprocessor>Real Constants>Add/Edit/Delete，在弹出Real Constants对话框中单击Add按钮，确认单元无误后，单击OK，弹出Real Constants Set Number 1, for Plane 82对话框，在对话框中输入板的厚度0.01单击OK，最后单击close。