§6.4 平面应力问题的近似性
学习思路:
对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。但是问题的z方向应力和位移不同。
应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。
对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。
学习要点：
1. 平面应变与平面应力问题；
2. 平面应力问题与基本方程；
3. 平面应力问题的误差；
对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。
因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。
下表列出了两种平面问题的主要差别。
上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。
虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。
由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，
变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求
这要求εz为x，y的线性函数，因此εz= ax+by+c，但平面应力问题又要
求。这要求σx+ σy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。
由于平面应力问题εz≠0，这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题，εz很小，可以认为εz近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。
对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。
假如重新假定应力分量σx，σy，τxy是x，y，z的函数，应力分量σz，τxz 和τyz仍然等于零，则可以选取新的应力函数
求解平面应力问题。如果上式中函数(x，y）为双调和函数，则应力函数ψ(x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。
显然，新的应力函数ψ(x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。
根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。
对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。
§6.5 应力函数的物理意义及边界条件表示
学习思路:
边界平衡条件要求弹性体趋近于边界的应力分量满足面力边界条件。应力分量可以通过应力函数表达，因此应力函数也应该满足对应的边界条件。
将应力函数表达的边界条件积分，并且应用应力函数的性质，则可以得到应力函数的偏导数在边界的性质。考虑应力函数全微分的积分，可以确定应力函数在边界的性质。
分析表明：边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y 轴负向的投影。这是一个非常有用的结论，它能够帮助我们在半逆解法中确定应力函数的基本形式。
学习要点：
1. 应力函数与面力边界条件；
2. 应力函数的偏导数与边界条件；
3. 应力函数与边界条件；
4. 应力函数性质
在体力为常量的条件下，弹性力学平面问题应力解法由三个未知函数简化为一个应力函数，从而将问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。因此，应力函数的确定对于平面问题的求解是极为重要的。
本节将讨论应力函数表达的面力边界条件，并由此进一步分析应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点的的物理意义。
对于平面物体，如果应力分量满足面力边界条件，则边界应力函数满足
设A为边界上任一定点，而B为边界上任一动点,如图所示。
边界上由A到B为正方向，也就是说物体在d s的左侧，边界法线方向余弦为
因此边界条件可以表示为
对于上述应力函数表达公式从定点A到动点B作积分，可得
由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响的。所以可以适当的选取a，b，c，使得应力函数(x，y)的一阶偏导数
在定点A的值为零。
因此，上述公式可以简化为
另外，根据应力函数的全微分
对上式从定点A到动点B作分部积分，则
积分并将应力函数边界条件公式代入上式，则
整理并且将公式代入，可得
由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响
的。所以我们适当的选取a，b，c，使应力函数(x,y)在定点的值为零。因此上式可以简化为
另外
显然，上述公式的第一式表示由定点A到动点B边界上的面力对B点的合力矩，而第二和第三式分别表示由A到B边界面力的合力沿x，y轴的投影。
因此可以得出以下结论，边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合
力在x轴和y轴负向的投影。这是一个非常有用的结论，将可帮助我们在逆解法中确定应力函数的基本形式。
上述公式也是应力函数表达的面力边界条件，和面力边界条件比较，三个公式中只有两个是独立的。
§6.6 逆解法与多项式应力函数
学习思路:
弹性力学问题的求解归结为在给定边界条件下求解双调和方程。由于偏微分方程的求解是相当困难的，因此使用逆解法求解。
逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。
逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。
学习要点：
1. 逆解法与线性应力函数；
2. 二次和三次应力函数与边界条件；
3. 四次应力函数与边界应力条件；
平面问题的求解方法，归结为给定边界条件下求解双调和方程。偏微分方程的求解是相当困难的，对于某些矩形平面物体，可以使用逆解法求解。
逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。
逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。
1．一次多项式
(x,y)=ax+by+c
不论系数取何值，都能满足双调和方程，其应力分量为
因此，一次多项式应力函数对应无应力应力状态。
这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y的线性函数，将不影响应力分量的值。
2．二次多项式
(x, y)=ax2+bxy+cy2
不论系数取何值，都能满足双调和方程，应力分量为
二次多项式应力函数对应于均匀应力状态，如图所示。
如仅a，b，c≠0，分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态。
3．三次多项式
(x, y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3
不论系数取何值，都能满足双调和方程，对应的应力分量为
三次多项式应力函数的边界应力分布，如图所示。
对应于线性边界应力。如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0，其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态。
4．四次多项式
(x,y)= ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4
若使四次多项式满足双调和方程，其系数需满足关系式
3a + c + 3e = 0
因此四次多项式应力函数只能有四个独立的系数，设应力函数为
即其独立的系数仅为四个，对应的应力分量为
边界面力，如图所示。
四次多项式应力函数对应于二次应力分布状态，如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0。该应力状态由矩形板边界上三部分面力产生，
1. 在边界上，作用有均匀分布的切应力
2. 在x=0的边界上，作用有按抛物线分布的切应力
3. 在x=l，作用有按抛物线分布的切应力和线性分布的正应
力。
对四次多项式构成的应力函数，其边界上的应力分量的分布可以是均匀的，线性分布的或者是二次抛物线分布的。
6.7 悬臂梁受集中力作用
学习思路:
本节应用平面问题的基本方程讨论悬臂梁的弯曲应力、变形和位移。通过问题的分析，全面介绍平面问题应力函数求解方法。
作为一个典型的平面应力问题，问题求解的关键是确定应力函数。首先分析悬臂梁的边界条件，根据悬臂梁弯矩分布建立应力函数的基本表达式。然后应用变形协调方程确定应力函数。再通过面力边界条件确定待定常数。分析所得悬臂梁的弯曲应力解与材料力学解是一致的。
弯曲应力确定后，通过本构方程可以确定应变分量；利用几何方程可以得到位移偏导数公式。由于应力分量是协调的，积分可得位移基本表达式。至于表达式中的待定系数，需要通过位移边界条件确定。
由于悬臂梁力学模型给定的位移边界条件太强硬，因此分析中假设端面约束仅为排除刚体位移。
学习要点：
1. 悬臂梁作用集中力；
2. 边界条件与应力函数；
3. 悬臂梁应力；
4. 悬臂梁变形；
5. 悬臂梁位移推导；
6. 悬臂梁端面位移边界；
7. 边界条件一；
8. 边界条件二；
本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。
设梁的跨度为l，高度为h，厚度为一个单位，自重忽略不计。
首先讨论梁的弯曲应力。
对于悬臂梁，建立坐标系如图所示。
则梁的边界条件为
该边界条件要完全满足非常困难。但深入分析发现，只要梁是细长的，则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次要边界。
根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面稍远处的应力并无实质性的影响。因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的
条件。此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。
固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。这样问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。
因为在梁的上下边界上，其弯矩为F(l-x)，即力矩与(l-x)成正比，根据应力函数
的性质，设应力函数为
其中f(y)为y的任意函数。将上述应力函数代入变形协调方程，可得
即，积分可得
由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。所以，应力函数为
将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量
将上述应力分量代入面力边界条件，可以确定待定系数。
在上下边界，自动满足。而，则要求
在x= l边界上，自动满足。而，则要求
联立求解上述三式，可得
注意到对于图示薄板梁，其惯性矩。所以应力分量为
所得应力分量与材料力学解完全相同。
当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足边界条件，再根据实际情况进行修正。
应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。
将应力分量代入几何方程和物理方程，可得
对于上述公式的前两式分别对x，y积分，可得
其中f（y），g（x）分别为y，x的待定函数。
将上式代入应变分量表达式的第三式，并作整理可得
由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。所以
上式的前两式分别作积分，可得
将上式回代位移表达式，则
其中m，n，c，d为待定常数，将由位移边界条件确定。
显然，上述位移不可能满足位移边界条件x = 0，u = v = 0。悬臂梁左端完全固定的约束条件太强了，要严格满足非常困难。对于工程构件，端面完全固定仅仅是一种假设，真实的端面约束条件是非常复杂的。
在弹性力学讨论中，重要的是分析一般条件下，悬臂梁的弯曲变形。根据圣维南原理，真实约束条件对于悬臂梁位移分析的影响主要是端面附近的位移，对于远离端面处，这个影响主要是刚体位移。因此首先排除刚体位移，平面问题只要有三个约束条件就足够了。至于选用的约束条件与实际约束的差别，将在本节最后讨论。
为此首先假定左端截面的形心不能移动，即
当x = y =
0，u = v = 0
代入位移表达式，可得
c =
d = 0
为了确定m和n，除了利用位移边界条件，还必须补充一个限制刚体转动的条件。
分别考虑两种情况：一是左端面形心处的水平微分线段被固定；二是左端面形心处的垂直微分线段固定。
对于第一种情况，即增加约束条件
由此条件，可得
对应的位移为
悬臂梁变形后的挠曲线方程为
这一结果与材料力学的解答完全相同。这时梁的左端面变形为三次曲面，
如图所示。
其表达式为
在左端面的形心，垂直微分线段将产生转动，转角为
对于第二种情况，即增加约束条件
由此条件，可得
对应的位移为
梁变形后的挠曲线方程为
这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示。
其表达式为
在左端面的形心水平微分线段将产生转动，转角为
比较上述结果可见，假设的两种情况实际上仅相差一个刚体转动。如果让第一种情况顺时针转动一个角度，即为第二种情况。
§6.4 平面应力问题的近似性 学习思路: 对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。但是问题的z方向应力和位移不同。 应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。 对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。 学习要点： 1. 平面应变与平面应力问题； 2. 平面应力问题与基本方程； 3. 平面应力问题的误差； 对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。 因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。 下表列出了两种平面问题的主要差别。
上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。 虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。 由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题， 变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求 这要求εz为x，y的线性函数，因此εz= ax+by+c，但平面应力问题又要 求。这要求σx+ σy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。
题101 图示四种应力状态中属于单向应力状态的是( )。 题102 求图示平面应力状态的σα、εα。已知α＝４ μ分别材料的弹性模量和泊松比。( )。 (A) τ σ σα-=2 ， )2(1τσ εα-= E (B) τσ σα+=2,) 2(1τσεα+= E (C) τσσα-=2，τμσμεαE E +--=121 (D) τσσα+=2，τ μσμεαE E ++-=121 题103 种答案，其中正确的一个是( )。题103图 (A) 1、2 (B) 1、5 (C) 3、5 (D) 2、4 题 104 矩形截面简支梁如图示，已知梁的横截面面积为A ，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E ，泊松比为μ, A 点45° 方向的线应变为ε ４５° 。则荷载F 为( )。 (A) A E με-?145 （Ｂ）A E 145-? με (C) A E )1(4945με-? （Ｄ）A E )1(9445με-? 题105 圆轴直径d=20mm,材料的弹性常数E ＝200GPa ， μ＝ 0.3。现测得圆轴表面与轴线成ε ＝题2×１０－４ ，则转矩( )。 (A) m=1.257N ·m (B) m=12题7N ·m 题102图 题103图 题104图 题105图
(C) m=233.4N ·m (D) m=62.8N ·m 已知σx ＝０，则σy 和τ有( )。 (A) σy =30MPa ，τ＝20MPa (B)σy ＝60MPa ，τ＝20MPa (C) σy ＝－６０MPa ，τ＝40MPa (D) σy ＝60MPa ，τ＝40MPa 题107 中的( )。 (A) (a)与(d) (B) (b)与(c) (C) (a)与(d)及(c)与(b) (D) (a)与(b)及(c)与(d) 题 108 图示受拉板，A 点为凸起处的最高点，应力圆有图示四种可能，正确的答案为( )。 题109 从构件内某一点的周围取出一单元体如图所 示。已知σ＝30MPa ，τ＝15MPa ，材料的E ＝200GPa ， 对角线AC 的长度改变量为( )。 (A) 3.91 ×１０－３mm (B) 8.43×１０－３ mm (C) 9.29×１０－３mm (D) 10.25×１０－３ mm 题106图 题107图 题108图 题109图
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
1平面应变问题的无限长柱形体，以任一横截面为xy面，任 一纵向为z轴，试简述z面上的应力情况及原因。 Z面上由于z方向的伸缩杯阻止，所以所有一切应力分量，形变分量和位移分量都不沿z方向变化，所以σz不等于0，由于对称条件τzx=0，τzy= 0. 2、在什么条件下平面应力问题和平面应变问题的3个应力分 量σxσy和τxy与材料特性无关？并简述原因 当体力为常量事，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同边界形状，收到同样的分布外力，那么句不管这两个弹性体的材料是否相同，在平面应力或平面应变情况下σxσy 和τxy的分布是相同的，因为在体力为常量的情况下，平衡微分方程，相容方程，和应力便捷条件中都不包含弹性常数 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问 题的三类基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）哪些相同，哪些不同？并简述原因 平衡方程，几何方程相同，物理方程不同。在平面问题中，因为物体的搜有各点都不沿z方向移动即w=0，多亿z方向的线段都没有伸缩，即εz=0， σz=μ（σx+σy）带入其中可得 4、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分 别应用了哪些基本假定？ 连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形 5、有限单元法中，位移模式应满足什么条件？下列位移函数 甜=aix+a2y+a3x2v=blx+b2y+b3y2能否作为三结点三角形单元
的位移模式？简要说明理由。 位移模式必须能反应单元的钢铁位移， 6弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（B．边界条件）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、 应变、位移。 7弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系(平衡方程、几何方程相同，物理方程不同) 8根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列( A．静力上等效)的力系代替，则仅在近处应力分布有改变， 而在远处所受的影响可以不计 9三结点三角形单元中的位移分布为( B．线性分布)。 10在什么条件下，平面应力问题的仃。，仃，，T_与平面应变问题的仃。，a，，T可是相同的？ 边界相同，外力相同 11有限单元法中选取单元位移模式应满足什么条件？ 反应刚体位移，反应应力常量，反应位移连续性。
ansys平面应力和平面应变问题： 如果能将三维问题简化为二维问题，将大大节约计算时间。对于平面应力和平面应变问题就可以实现这种简化，本问将介绍一下平面应力和平面应变的概念。 平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。 平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来： 平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那，τyz，σz 没有，)它们都在一个平面内τxy(剪应力，σy，σx 么只有正应力 τzx。 平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。 举例说来： 平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。 平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用 在ANSYS有限元分析中，设置平面应变和应力的命令流方法有两种
形式： A. ET,1,PLANE2,,,2 !定义单元类型和属性，设定平面应变问题keyopt(3)＝2 B. ET,1,PLANE2 !定义单元类型 KEYOPT,1,3,2 !设定平面应变问题keyopt(3)＝2 KEYOPT,1,5,0 KEYOPT,1,6,0 ANSYS接触分析： 刚性目标面-导向节点 1、缺省时，程序自动约束刚性目标面。也就是说，自动地将目标的位移和转动设定为零。 2、要模拟刚性目标的更复杂行为，可以创建一个特殊的单节点目标
第八章 应力状态分析 1．矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ） 所示。关于他们的正确性，现有种答案： （A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的； 正确答案是 。 2．已知单元体AB 、BC 面上只作用有剪应力 τ ，现关于AC 面上应力有下 列四种答案： （A ）2/ττ=AC ，0=AC σ； （B ）2/ττ=AC ，2/3τσ=AC ； （C ）2/ττ=AC ，2/3τσ-=AC ； （D ）2/ττ-=AC ，2/3τσ=AC ； 正确答案是 。 3．在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力 βασσ= 成立的充分 必要条件，有下列四种答案： （A ）y x σσ=，0≠xy τ； （B ）y x σσ=，0=xy τ； （C ）y x σσ≠，0=xy τ； （D ）xy y x τσσ==； 正确答案是 。 C τ (a) (b)
4．对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间有下列四种答案 ： （A ）三种应力状态均相同； （B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同； 正确答案是 。 5．直径为d 的圆截面杆，两端受扭转力偶m 作用。设 ?=45α，关于下列结 论（E 、v 分别表示材料的弹性模量和泊松比） 1） 在A 、B 、C 点均有0==y x εε； 2） 在点C 处，() 3 /16d m πσα-=； 3） 在点C 处，)]/(16[]/)1[(3 d m E v πεα?+-=； 现有四种答案： （A ）1）、2）正确； （B ）2）、3）正确； （C ）1）、3）正确； （D ） 全正确； 正确答案是 。 6．广义虎克定律适用范围，有下列四种答案： （A ）仅适用于脆性材料； （B ）仅适用于塑性材料； （C ）适用于材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）适用于任何材料； 正确答案是 。 m A C τ (a) (b) (c)
对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们 所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。 因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所 不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。 下表列出了两种平面问题的主要差别。 力的计算公式。 返回 虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但 是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。 由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个 方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程除了第四， 五两式自动满足外，第二，三，六式还要求 这要求ez 为x，y的线性函数，因此ez = ax+by+c，但平面应力问题又要求。这要 求sx+ sy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等 可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一 般是不可能满足此条件的。 由于平面应力问题e z≠0，这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题，e z很小，可以认为e z近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。 对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。 假如重新假定应力分量s x，s y，t xy是x，y，z的函数，应力分量s z，t xz 和t yz 仍然等于零，则可以选取新的应力函数
求解平面应力问题。如果上式中函数(x，y）为双调和函数，则应力函数Y(x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。 显然，新的应力函数Y(x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。 根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。 对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。
平面应力问题平面应力问题 平面域A内的基本方程: 平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内） 物理方程（在A内） ?即: σ=E(ε+με)xxy?2 1-μ ?? Eσy=(ε+με)?yx 1-μ2? ?Eτ=γ xyxy 2(1+μ)S上边界条件: 应力边界条件在σ上） ??σx?τyx +=0,? ?x?y? ?常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解?σy?τxy +=0.? ??y?x ?2 ?2Φ xσy=2-Yy,2 xy ?x s σ= ?Φ?y -Xx, τ=-?x?y 2
二、基本假设 1、连续性假定 假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。 2、完全弹性假定 a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。 3、均匀性假定 假定物体由同种材料组成,因此， E、μ等与位置无关。 4、各向同性假定 假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。 5、小变形假定 假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸，例：梁的挠度v＜＜梁高h。例： 梁的≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度。小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于(ε , γ ) >> (ε, γ )2 >> ( ε ,γ ) 3 ???? ,可略去 2等项,使几何方程成为线性方程。 弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第二节 有限元方法概述 1分析思路是： 将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特 性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。 2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结 点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过 结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作 用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移， 这种位移称为结点位移。 3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。P5,6 例题1：试分析AB薄层中的应力状态 zzxzy 在近表面很薄一层内 zzxzy 故接近平面应力问题