第二章 力系的简化
本章要点：
一、 力系的两个基本特征量：主矢和主矩. 主矢 ∑==
n
i i 1
R F F ，
主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。 主矩 ∑=?=
n
i i
i
O 1
F r M ，
主矩不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。因此，主矩是定位矢量。
力系的等效条件：力系的主矢以及对同一点的主矩对应相等。 二、力系的简化
1 力线平移：作用于刚体上的力等效地平移到刚体上的任一点时，将产生一个附加力偶，此附加力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。
2 利用力线平移定理简化力系的过程和结果由如下框图表示
3平行力系的简化：若平行力系的主矢非零，则一定有合力，合力作用点称为平行力系中心. 平行力系中心、重心、质心、形心的计算公式和基本关系由如下框图表示：
均匀重力场
i F 为重力i W
由简单形体或简单图形组成的组合形体或组合图形的形心坐标用分割法或负面积法计算. 解题要领：
1 空间一般力系存在合力的条件是其主矢'R F 和向一点O 简化的主矩O M 正交，即
0=?'O R
M F ； 空间一般力系存在力螺旋的条件是其主矢'R F 和向一点O 简化的主矩O M 不正交，即
0≠?'O R
M F . 2 物体的形心位置要用坐标来表达，但与坐标系的选择无关。 3 组合形体和组合图形的形心通常用分割法或负面积法计算。
第二章 力系的简化 习题解答
2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，
3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为
045cos 45cos '21=-=
F F F Rx ，
F
F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=
，
F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=
F R 2'
设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax
， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ，
Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。
匀质物体
用解析式表示为：()k j M +-=
Fa A 2。因为，0'=?A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简
化为一个力，即力系的合力。合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为 ()
i M
F r a F R R =?=
2
''， 所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。距离c b a ,,为已知。问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？
解：这力系的主矢为 k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为
k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。即从
0'=?O R M F 得
0231231=++a F F c F F b F F ，
简化为
03
21=++F c F b F a 。 当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从0=?O R M F ' 得
2
31231aF F cF F bF F ==。 2-3试计算图示分布力的合力大小和作用位置，已知q q q ,,21和l 。
（a ） （b ） 题2-3图
题2.2图
解：分布力系合力的大小为分布力系组成的几何图形的面积，方向与q 平行，作用线通过几何图形的形心。由此得合力大小为：（a ）()2/21l q q +；（b ）?cos ql 。
2-4计算图示均质混凝土基础的重心位置。
解：将此均质混凝土基础分割成几个简单形体，而简单形体的形心我们是熟知的。列出以下表(题2-4表)，其中割去部分的体积为负。 按形心计算公式，有
)
m (319.19125431
95.2125.15475.33=+-+?+?-?+?=∑∑=
i i
i i i c V x V x )m (333.39125437941235413=+-+?+?-?+?=
∑∑=i i
i i i c V y V y )
m (361.19125431
95.1125.1545.03=+-+?+?-?+?=
∑∑=
i i
i i i c V z V z 题2-4表
2-5均质折杆及尺寸如图示，求此折杆形心坐标。
解：将图示折杆简化为折线计算。折杆有5段直线组成，每一段的长度及形心坐标如表所示。按形心计算公式，有
题2-4图
题2-5图
题2-5表
)
mm (43.21100200100100200200
1001002000100)50(100)100(200=++++?+?+?+-?+-?=
∑∑=
i i
i i i c L x L x )
mm (43.21100200100100200100
100100200501000100)100(200=++++?+?+?+?+-?=
∑∑=
i i
i i i c L y L y ， )
mm (14.7100200100100200)
50(1000200010001000200-=++++-?+?+?+?+?=
∑∑=
i i
i i i c L z L z 2-6计算图示平面图形的形心坐标。
解: 由对称性知，该图形的形心一定在x 轴上，即0=c y 。用负面积法计算其横坐标。此平面图形由2个圆组成，其面积和的形心坐标为
)mm (2002
21?=πA ，)m (01=x ，
)mm (80222?-=πA ，)m (1002=x 。
按形心计算公式，有
)
mm (05.19)80(200100)80(0200222
2-=?-+???-+??=
∑∑=ππππi i
i i i c A x A x
2-7工字钢截面尺寸如图示，求此截面的形心坐标。 解：由对称性知，该图形的形心一定在x 轴上，即0=c y 。今用分割法计算图示截面的形心的横坐标。将图示截面分割成3个矩形，每一个矩形的面积和形心横坐标为，
题2-7图
)mm (40002020021=?=A ，)mm (101-=x ； )mm (40002020022=?=A ，)mm (1002=x
)mm (30002015023=?=A , )mm (2103=x
按形心计算公式，有
)mm (90300040004000210
30001004000)10(4000=++?+?+-?=∑∑=
i i
i i i c A x A x
2-8图示机床重50kN ，当水平放置时（
0=?）称上读数为35kN ；当
20=?时称上读数为30kN ，试确定机床重心的位置。
解：以机床为研究对象。设机床的形心坐标为
),(c c y x C ，列平衡方程 ∑=0B m ，
0sin cos cos 4.2T =?+?-?c c y G x G F ???。
将
0=?和
20=?及其T F 的值代入上式，得关于
c c y x ,的代数方程
05084=-c x
01.1798.4666.67=+-c c y x 解得：
m 659.0y m,68.1c ==c x
题2-8图
习 题 2-1 试计算图2-55中力F 对点O 之矩。 图2-55 (a) 0)(=F O M (b) Fl M O =)(F (c) Fb M O -=)(F (d) θsin )(Fl M O =F (e) βsin )(2 2b l F M O +=F (f) )()(r l F M O +=F 2-2 一大小为50N 的力作用在圆盘边缘的C 点上，如图2-56所示。试分别计算此力对O 、A 、B 三点之矩。 图2-56 m N 25.6m m N 625030sin 2505060cos 30sin 5060sin 30cos 50?=?=???=? ??-???=R R M O m N 075.17825.1025.630cos 50?=+=??+=R M M O A m N 485.9235.325.615sin 50?=+=??+=R M M O B 2-3 一大小为80N 的力作用于板手柄端，如图2-57所示。(1)当?=75θ时，求此力对螺钉中心之矩；(2)当θ为何值时，该力矩为最小值；(3) 当θ为何值时，该力矩为最大值。 图2-57 (1)当?=75θ时，（用两次简化方法） m N 21.20mm N 485.59.202128945.193183087.21sin 8025075sin 80?=?=+=???+???=O M (2) 力过螺钉中心 由正弦定理 )13.53sin(250 sin 30θθ-?= 08955.03 /2513.53cos 13.53sin tan =+??=θ ?=117.5θ (3) ?=?+?=117.95117.590θ 2-4 如图2-58所示，已知N 200N,300N,200N,150321='====F F F F F 。试求力系向O 点的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。 图2-58 kN 64.1615 110345cos kN 64.4375210145cos 321R 321R -=+-?-=∑='-=--?-=∑='F F F F F F F F F F y y x x
第二章 力系的简化 习题解答 2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ， 3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。 解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos '21=-= F F F Rx ， F F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+= ， F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。 用解析式表示为： ()k j F += F R 2' 设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ， Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。 用解析式表示为：()k j M +-= Fa A 2。因为，0'=?A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简 化为一个力，即力系的合力。合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为 () i M F r a F R R =?=2''， 所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。 2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。距离 c b a ,,为已知。问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为 力螺旋？ 解：这力系的主矢为 k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为 k j i a F c F b F M O 213++=。 当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。即从 0'=?O R M F 得， 0231231=++a F F c F F b F F ， 简化为 03 21=++F c F b F a 。 当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从0=?O R M F ' 得， 2 31231aF F cF F bF F ==。 题2.2图
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。 （7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，
则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图） ∑=0x F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0y F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。 二、判断题 （ ）1.平面汇交力系平衡时，力多边形中各力首尾相接，但在作力多边形时各力的顺序可以不同。 （ ）2.平面汇交力系平衡的几何条件是力的多边形自行封闭。 （ ）3.用解析法求平面汇交力系平衡问题时，所选取的两个轴必须相互垂直。 （ ）4.当平面汇交力系平衡时，选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。 三、选择题 1.汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。即∑=0)(i A M F ，∑=0)(i B M F 但必须(＿＿)。 （A ）A 、B 两点中有一点与O 点重合； （B ）点O 不在A 、B 两点的连线上； （C ）点O 应在A 、B 两点的连线上； （D ）不存在二力矩形式。
第一章静力学 教学目标一、知识目标 知道力的平移定理的概念； 知道平面任意力系简化的结果知道固定端约束的概念 二、能力目标 能理解力的平移定理。 能分析平面任意力系简化的结果三、素质目标 : 培养学生认真学习的兴趣 教学重点力的平移定理；平面任意力系简化的结果；固定端约束 教学难点平面任意力系简化的结果 教学方法演示法讲授法 教学准备, 练习卷 教学课时2课时 教学过程 教学内容教学组织 第一课时 一、复习导入， 1、什么是力系？ 2、常见的力系有哪些？ 〖设问〗 二、新课教学 （一）力的平移定理* 作用于刚体上的力可以从其作用点平行移至刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体的作用，则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶（称为附加力偶），其力偶矩等于原力对指定点的矩。[演示]利用PPT演示平面任意力系。 〖设问〗我们如何才能求出它的合力呢？即力系的合成 [讲解] “退一步，海阔天空”，当遇到难题时，不一定要直来直去，可以退而求之。这是问题研究的基本思路。我们可以先将其变换成平面汇交力系。 （二）平面任意力系的简化 < 1、简化过程[讲授]利用力的平移定理交平面任意力系变换成平面汇交力系[演示] [看] 效果 '
[讲授]其结果是一个平面汇交力 系+附加力偶系。 2、结果 对于汇交力系可合成为一个合力，称为平面任意力系的主矢0R , 对于力偶系可合成为一个合力偶，其力偶矩利用力的平移定理可知为一合力矩0M ，称为原力系对简化中心的主矩 [讲授]最终结果。 、 3、对简化结果的讨论 0,0100≠≠M R ）（ ，可进一步简化为 0R ,与简化中心有关 0,0200=≠M R ）（，与简化中心有关 0,0300==M R ）（，平衡，与简化中心无关 0,0)4(00≠=M R 与简化中心无关 [讲授]记忆方法 “鸭与零无关” [引导学生分析]各种结果 第二课时 ; （三）固定端约束 1、概念 物体的一部分固嵌在另一物体中所构成的约束称为平面固定端约束。 [讲授] [问] 在实际生活中还哪些是固定端约束？ [生答] 墙壁上钉子，电线杆等 $ 2、约束反力 [引导学生分析]它受的是平面任意力系，根据简化的结果，一是主矢，一是主矩，由于主矢的方向不确定，因此就用两个互相垂直的分力来表示，主矩可以合成为一个力偶。 （四）平面任意力系的平衡 1、平衡条件 | 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即 [讲解]推导过程 [演示]画图
第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F 对O 点的矩。 解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ?=αsin )(F （c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2 22 1sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF 2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2 )()(j i k i F r F M +-? +=?=F a A O m kN )(36.35) (2 ?+--=+--= k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， α = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。 解： )cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-= 力F 对x 、y 、z 轴之矩为： m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。 习题2-1图 A r A 习题2-2图 （a ） 习题2-3图
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。
（7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图） ∑=0x F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0y F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。
第一章静力学
以下力为例讲解： 0)(0 =∑F M 组合。 [问]什么情况下有这个方程呢？ [生答] [讲授]在所有力在X 轴方向时。 3、平衡方程的应用 求下图中A 、B 处的约束反力 （ [演示]演示试题 [引导学生思考] 用两种形式立方程 [学生交流] [讲授]试题 4、“担水”定律 由题中的结论，我们可知A 、B 两点的力的分配原则：A 、B 处的两力将分担力F 的大小，将力F 分为（a+b ）等分，其中A 处力占b 等分，B 处占a 等分。 课堂练习： [讲授]“担水”定律 ^ [引导学生练习] [学生练习] [巡视]学生做练习的情况 [学生展示]当大部分学生做完以后，请一位同学上黑板上板书他们的作业 [讲授并评价] — 第二课时 （二）均布载荷 ; 1、概念：如图AB 梁上受的载荷，是均匀地分布在梁上，这种载荷称为均布载荷。 分布系数q ：单位长度上的受力，单位：m N [演示]演示试题 [引导学生思考] [学生交流] [讲授]试题 * [讲解]简化的过程其，合力Q 的 X Y a B — F b 1 B A 8 ( 1 @ A 1 3
2、均布载荷的简化 根据力的平移定理，可将其往作用长度的中点C简化， 这样其合力L q Q? =，没有附加的力偶。 计算 ￥ [问]若向AC的中点简化会得到 怎样的结果？ [引导学生思考] [讲授]其结果，并与前面的平面 任意力系简化结果的讨论进行联 系，说明与简化中心有关，但主 矢的大小Q与简化中心无关。 （四）课堂练习 1、已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：A、B两点的支座反力？| [演示]演示试题 [引导学生思考] [学生交流] [讲授]试题 2解题过程：解：选AB梁为研究对象，画受力图，列平衡方程： * [讲解并演示] 三、课堂小结 均布载荷 平面平行力系的平衡方程 [讲解]课堂内容小结 四、作业 达标练习8 C Q
第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－
作业A 一、填空题 1、平面汇交力系就是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2、平面汇交力系平衡的必要与充分条件就是＿＿＿＿＿＿＿,此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3、沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿,两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影,力的投影就是＿＿＿＿量,有正负之分。 4、力沿直角坐标轴方向分解,通常,过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形,力F 就是矩形的＿＿＿,矩形的＿＿＿＿就是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5、已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、,那么这个力的大小=F ＿＿＿＿,方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6、平面汇交力系的力多边形如图(a),(b),(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7、如图所示,不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接,若结构受力F 作用,则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿,方向＿＿＿＿＿＿。 (7题图) (8题图)
8、如图所示,力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9、平面刚架在B 处受一水平力F 作用,如图所示,刚架自重不计,设F =20kN ,L =8m ,h =4m ,则求 A 、D 处的约束反力,可以按以下步骤进行: (1)以刚架为研究对象,进行受力分析:请画出刚架的受力分析图 (2)作用在刚架上的力(主动力与约束力)构成的力系属＿＿＿＿＿力系 (3)列出刚架的平衡方程(坐标如图) ∑=0x F :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; ∑=0y F :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (4)解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿;D F =＿＿＿＿＿＿＿。 二、判断题 ( )1、平面汇交力系平衡时,力多边形中各力首尾相接,但在作力多边形时各力的顺序可以不同。 ( )2、平面汇交力系平衡的几何条件就是力的多边形自行封闭。 ( )3、用解析法求平面汇交力系平衡问题时,所选取的两个轴必须相互垂直。 ( )4、当平面汇交力系平衡时,选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。
一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线__________________ ，且 _________________ 一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是____________ ，此时力多边形 _____________ 。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作______ ，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴 上的投影，力的投影是_______ 量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F是 矩形的_____ ，矩形的_______ 是力F矢量的两个正交分力F x、F y。 向角___________ 。(角为F力作用线与x轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a) , (b) , (c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式___________________________________ F作用, 则支座C处的约束力大小____________ ，方向 (7题图) (8题图) 8.如图所示，力F在x、y轴上投影F x = ___________ 、F y = __________ 。 作业A 5.已知一个力F沿直角坐标轴的两个投影为F x、F y，那么这个力的大小 F _______ ，方图(b)中四个力关系的矢量表达式____________________________________ 7.如图所示，不计重量的直杆AB与折杆CD在B处用光滑铰链连接，若结构受力
9.平面刚架在B处受一水平力F作用，如图所示，刚架自重不计，设F=20kN, L=8m, h=4m.
第3章 平面任意力系习题 一.是非题（对画√，错画×） 1.平面任意力系的主矢0∑='=n 1i i R F F =时，则力系一定简化一个力偶。（ ） 2.平面任意力系中只要主矢0∑≠'=n 1 i i R F F =，力系总可以简化为一个力。（ ） 3.平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。（ ） 4.平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。（ ） 5.作用在刚体上的力可以任意移动，不需要附加任何条件。（ ） 6.作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭，则该力系一定平衡。（ ） 7.平面任意力系向任意点简化的结果相同，则该力系一定平衡。（ ） 8.求平面任意力系的平衡时，每选一次研究对象，平衡方程的数目不受限制。（ ） 9.桁架中的杆是二力杆。（ ） 10.静滑动摩擦力F 应是一个范围值。（ ） 二.填空题（把正确的答案写在横线上） 11.平面平行力系的平衡方程0)(0 )(i i ==∑∑==F F n 1 i B n 1i A M M ， 其限制条件 。 12.题3-12图平面力系，已知：F 1=F 2=F 3=F 4=F ,M=Fa ，a 为三角形边长，如以A 为简化中心，则最后的结果其大小 ，方向 。 13.平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外，力系向 简化其主矩不变。 14.平面任意力系三种形式的平衡方程： 、 、 。 15.判断桁架的零力杆。题3-13a 图 、题3-13b 图 。 3 F 4 题3-12图
题3-13图 (a) (b) 三.简答题 16.平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果如何？（可能是一个力？可能是一个力偶？或者是一个力和一个力偶？） 题3-21图 ' 题3-22图 (2) (1) C 5KN
第二章 汇交力系 2.1解 0 14 2 3c o s 30c o s 45 c o s 60 c o s 451.29 Rx F X F F F F KN ==+--=∑ 0 1423sin 30cos 45sin 60cos 45 2.54Ry F Y F F F F KN = =-+-=∑ 2.85R F K N = = (,)tan 63.07Ry R Rx F F X arc F ∠== 2.2 2 3 解：2.2图示可简化为如右图所示 2 3 cos 60 2.75Rx F X F F KN ==+=∑ 0 1 3 sin 600.3Ry F Y F F KN ==-=-∑ 2.77R F K N == (,)tan 6.2 Ry R Rx F F X arc F ∠==- 2.3 F 3 2 F 1 解：2.3图示可简化为如右图所示 80arctan 5360 B A C θ∠=== 32 cos 80Rx F X F F KN θ==-=∑ 1 2 sin 140Ry F Y F F KN θ==+=∑ 161.25R F K N ==
(,)tan 60.25 Ry R Rx F F X arc F ∠== 2.4 解：2.4图示可简化为如右图所示 sin 0X F F α=-=∑拉推 cos W 0Y F α=-=∑拉 115.47N 57.74N F F ∴==拉推， ∴ 墙所受的压力F=57.74N 2.5 解：取 AB 杆为研究对象，受力如图所示 由于杆件再三力作用下保持平衡，故三力应汇交于C 点。 AB 杆为均质杆，重力作用在杆的中点，则W 作用线为矩形ACBO 的对角线。由几何关系得 C O B C AB α∠=∠= 所以 902?α=- 又因为 A B l = 所以 s i n O A l α= 2.6
第二章 力系的简化 将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。力系简化的前提是等效。等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。 力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。力系简化并不局限于静力学。例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。因此，力系简化也是动力学分析的基础 本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。 §2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩 为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。 设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。记为F R ，即 ∑==n i i 1 R F F （2.1.1） 主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。主矢通常不是力。 计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。记为M O ，即 ∑=?= n i i i O 1 F r M （2.1.2） 它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。因此，主矩是定位矢量。 利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。 例2.1-1：试计算图示空间力系的主矢和对固定点O 、A 和B 的主矩。 解：设O-xyz 坐标系如图示，k j,i,为沿坐标轴x ，y ，z 方向的单位矢量。所讨论力系包括分别作用于点(0, 0.3, 0.4)和(0.4,0.3, 0)的力 ()()N 100,N 15021j F i F == 和力偶 ()m N 20?-=j M 根据式(2.1.1)，力系的主矢 ()N 100150R j i F += 力系中各力的作用点相对于固定点O 、A 和B 的矢径分别为 ()()m 4.0,m 4.03.021i r k j r =+=O O ()()m 4.04.0,m 3.021k i r j r -==A A 例2.1-1图
第2章 平面简单力系习题 1.是非题（对画√，错画×） 2-1.汇交力系平衡的几何条件是力的多边形自行封闭。（ ） 2-2.两个力F 1、F 2在同一轴上的投影相等，则这两个力大小一定相等。（ ） 2-3.力F 在某一轴上的投影等于零，则该力一定为零。（ ） 2-4.合力总是大于分力。（ ） 2-5.平面汇交力系求合力时，作图的力序可以不同，其合力不变。（ ） 2-6.力偶使刚体只能转动，而不能移动。（ ） 2-7.任意两个力都可以合成为一个合力。（ ） 2-8.力偶中的两个力在其作用面内任意直线段上的投影的代数和恒为零。（ ） 2-9.平面力偶矩的大小与矩心点的位置有关。（ ） 2-10.力沿其作用线任意滑动不改变它对同一点的矩。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 2-11.作用在刚体上的三个力使刚体处于平衡状态，其中两个力汇交于一点，则第三个力的作用线 。 2-12.力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的 。 2-13.不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接如图所示，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小 ，方向 。 2-14.不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接如图所示，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小 ，方向 。 2-15.用解析法求汇交力系合力时，若采用的坐标系不同，则所求的合力 。（ ） 2-16.力偶是由 、 、 的两个力组成。 2-17.同平面的两个力偶，只要 相同，则这两个力偶等效。 2-18.平面系统受力偶矩M =10kN.m 的作用，如图所示，杆AC 、B C 自重不计，A 支座约 题2-13图 题2-14图
第二章习题解答 2—1如图所示，固定在墙壁上的圆环首三条绳索的拉力作用，力F1沿水平方向，力F3沿铅直方向，力F2与水平线成40度角。三力的大小分别为F1=2000N,F2=2500N,F3=1500N.求三力的合力。 解：图解法解题时，首先要确定比例尺，即每单位长度代表多大的力，这里我们用单位代表500N，三力在圆环的圆心处相交。如图（b），力系的力多边形如图（c）。 在图上量出OC的长度和L和与水平之间的夹角有。 Fr=L×500=5000N φ=38°26＇ 由（c）图的几何关系可见OB=BC,∠BOC=∠BCO=(40°－36°52＇)=1°34＇ 故合力F r的大小约为 Fr＝2F2cos1°34＇=2×2500×0.99963＝4998N 与水平方向之间的夹角为 φ=38°26＇
例：用解析法求圆环受三个力的合力。 解：如图建立坐标，则 N F F F F N F F F F y R y x xR 310764279.025********cos 391576604 .025********cos 2321=?+=?+===?+=?+==∑ 合力的大小 N F F F yR xR r 5000310739152222=+=+= 合力与X 轴之间的夹角为 '283850003915cos arccos 1?===-R Rx F F α 2—2 物体重P=20 kN ，用绳子挂在子架的滑轮B 上，绳子的另一端杰在绞车D 上，如图所示。转动绞车，物体便能升起。，A 、B 、C 处均为光滑铰链连接。钢丝绳、杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小。试求平衡时杆AB 和BC 所受得力。 解：该题与例题基本相同 1、确定研究对象。系统中AB,BC 为二力杆，设AB 受拉力，BC 受压力，以各力汇交
第3章 平面任意力系习题 1、就是非题(对画√,错画×) 3-1、平面任意力系的主矢0∑='=n 1i i R F F =时,则力系一定简化一个力偶。( ) 3-2、平面任意力系中只要主矢0∑≠'=n 1 i i R F F =,力系总可以简化为一个力。( ) 3-3、平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。( ) 3-4、平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。( ) 3-5、作用在刚体上的力可以任意移动,不需要附加任何条件。( ) 3-6、作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭,则该力系一定平衡。( ) 3-7、平面任意力系向任意点简化的结果相同,则该力系一定平衡。( ) 3-8、求平面任意力系的平衡时,每选一次研究对象,平衡方程的数目不受限制。( ) 3-9、桁架中的杆就是二力杆。( ) 3-10、静滑动摩擦力F 应就是一个范围值。( ) 2、填空题(把正确的答案写在横线上) 3-11、平面平行力系的平衡方程0)(0 )(i i ==∑∑==F F n 1 i B n 1i A M M , 其限制条件 。 3-12、题3-12图平面力系,已知:F 1=F 2=F 3=F 4=F ,M=Fa ,a 为三角形边长,如以A 为简化中心,则最后的结果其大小 ,方向 。 3-13、平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外,力系向 简化其主矩不变。 3-14、平面任意力系三种形式的平衡方程: 、 、 。 3-15、判断桁架的零力杆。题3-13a 图 、题3-13b 图 。 3 F 4 题3-12图
题3-13图 (a) (b) 3、简答题 3-16、平面汇交力系向汇交点以外一点简化,其结果如何？(可能就是一个力？可能就是一个力偶？或者就是一个力与一个力偶？) ,则此力系的最终结果就是什么？ 题3-21图 ' 题3-22图 (2) (1) C 5KN
工程力学习题详细解答 （教师用书） (第2章)
第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由图(a),假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++-x F x d F ，d x =∴，F F F F =-=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN.m 、M B ＝0和M C ＝－10kN.m,求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（图（a ）） 在图（a ）中： 设 OF = d ，则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD -== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d -=+ d d -=+93 3=d ∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点； 3 4 tan = θ 8.45 46sin 6=?==θAG 8.4R R ?=?=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 3 10 ,25(R =F 作用线方程：43 4 +=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 习题2－1图 A F F 2R F C B d x （a ） 习题2－2图 y x R F O θ θ C G A D E F 4 2 3 d 5 .4- (a)
第三章 习题3-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题3－2．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是：
取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A点的主矩是：
向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题3－3．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。
解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核：
结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：
列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题3－4．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
第一章 力系的简化 1-1 静力学基本概念与静力学公理 一、静力学基本概念 1.力的概念 （1）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改变物体的运动状态。 （2） 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。 （3） 力的三要素：大小，方向，作用点 （4）力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 、千牛顿(kN) 力系：是指作用在物体上的一群力。 力系的分类：1.按力的作用线的空间位置：平面、空间 2.按力的作用线的相对位置：汇交、平行、一般 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡。 2.刚体 在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 3.平衡 指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。 二、静力学公理 公理1 二力平衡公理 作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 1、大小相等 | F 1 | = | F 2 | 2、方向相反 F 1 = –F 2 3、作用线共线， 4、作用于同一个物体上 公理2 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 推论1：力的可传性。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。 必须注意：力的可传性只能用于单个刚体，如果将其用于刚体系统，则会改变刚体的受力。 公理3 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。21F F R += 推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。 公理4 作用力和反作用力定律 等值、反向、共线、异体、且同时存在。 公理5 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。 1-2 力的投影、力矩与力偶 一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示：
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。