2011年普通高等学校招生全国统一考试
【福建卷】（理科数学）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
【2011?福建理，1】1．i 是虚数单位，若集合=S {1,0,1}-，则( )． A ．i S ∈ B ．2
i S ∈ C ．3
i S ∈ D ．2
S i
∈ 【答案】B ．
【解析】2
i 1S =-∈．故选B ．
【2011?福建理，2】2．若a R ∈，则2a =是()()120a a --=的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A ．
【解析】 当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 【2011?福建理，3】3．若tan 3α=，则
2
sin 2cos a
α
的值等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】D ． 【解析】
22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===ααα
ααα
．故选D ．
【2011?福建理，4】4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ?内部的概率等于( )．
A ．
14 B ．13 C ．12 D ．23
【答案】C ． 【解析】因为Δ1
2
ABE ABCD S S =
，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ．
【2011?福建理，5】5．1
?
()2x
e x dx +等于( )．
A ．1
B ．1e -
C ．e
D ．1e + 【答案】C ． 【解析】
()()
1
1
2
00
210x
x
e
x dx e x
e e e +=+=+--=?．故选C ．
【2011?福建理，6】6．()3
12x + 的展开式中，2
x 的系数等于( )． A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【答案】B ．
【解析】 15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2
x 的系数等于225C 240=．故选B ．
【2011?福建理，7】7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ：
12F F ：2PF 4:3:2=，则曲线Γ的离心率等于( )．
A ．1
322或
B ．223或
C ．122或
D ．2332
或 【答案】A ．
【解析】 因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=． 若Γ为椭圆，则1212242623PF PF a λλλ
F F c λ
?+==+=??
==?? ， 所以12c e a ==．
若Γ为双曲线，则1212242223PF PF a λλλF F c λ
?-==-=?
?
==?? ， 所以32c e a ==．故选A ．
【2011?福建理，8】8．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥??
≤??≤?上
的一个动点，则OA OM ?u u u r u u u u r
的取值范围是( )．
A ．[-1.0]
B ．[0.1]
C ．[0.2]
D ．[-1.2] 【答案】C ．
【解析】 设()()1,1,z OA OM x y x y =?=-?=-+u u u r u u u u r
．
作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过
()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，
y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，
所以OA OM ?u u u r u u u u r
的取值范围是[]0,2．故选C ．
解析二：
【2011?福建理，9】9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b R ∈，c Z ∈)，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是( )． A ．4和6 B ．.3和1 C ．2和4 D ．1和2 【答案】D ．
【解析】 ()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，
(1,1)
(1,2)
2
1
B
A
O
y C
则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数．故选D ．
【2011?福建理，10】10．已知函数()x
f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是 ( )．
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 【答案】B ．
【解析】设a b <．首先证明
()()22f a f b a b f ++??
> ???
．
()()22f a f b a b f ++??
- ???
222a b a b e a e b a b e +++++=--
22
a b
a b e e e ++=-
2
2
2
0a b a b a b a b
e e e
e
e
+++≥?-=-=，
当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立， 于是
()()022f a f b a b f ++??
-> ???
，
()()22f a f b a b f ++??
> ???
． ①
设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<． 由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②
如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2
A C
B x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作BF CP ⊥交CP 于F ． 因为()()22A
C A C
D f x f x y y y ++=
=，2
A
C B x x y f +??
= ???
， 由①式，D B y y >，，
D A D
E y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部，
因而90DBA DEA ∠>∠=?，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ?一定是钝角三角形．结论①正确．
若ABC ?是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ?不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选Ｂ．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
【2011?福建理，11】11．运行如图所示的程序，输出的结果是 ．
【答案】 3．
【解析】 123a =+=．所以输出的结果是3．
【2011?福建理，12】12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于 ．
【解析】
2Δ1123334
ABC V S PA =
?=???=
E
D B
C
A
【2011?福建理，13】13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ． 【答案】
35
． 【解析】所取出的2个球颜色不同的概率1132
2
5C C 233C 105
P ?===． 【2011?福建理，14】14．如图，ABC ?中，2AB AC ==，3BC =D 在BC 边上，
ADC ∠=45o ，则AD 的长度等于 ．
2．
【解析】解法1：由余弦定理
2223
cos 22223
AC BC AB C AC BC +-===
????所以30C =?. 再由正弦定理
sin sin AD AC C ADC =∠，即2
sin 30sin 45AD =
??
，所以2AD = 解法2：作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的 中点，因为23BC =3EC =． 于是221AE AC EC -=，
因为ΔADE 为有一角为45?的直角三角形．且1AE =，所以2AD =
【2011?福建理，15】15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意R λ∈，均有
((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ=-=+-则称映射f 具有性质P ．
先给出如下映射：
① 1:f V R → ()1f m x y =- (),m x y V =∈；
② 2:f V R → ()2f m x y =+ (),m x y V =∈； ③ 3:f V R → ()31f m x y =++ (),m x y V =∈．
其中，具有性质P 的映射的序号为 ．（写出所有具有性质P 的映射的序号） 【答案】①③．
【解析】设()11,a x y V =∈r
，()22,b x y V =∈r ，则
()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλr r
．
对于①，
()()
()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλr r
()()()11221x y x y =-+--λλ，
()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλr r
，
所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r
成立，①是具有性质P 的映射；
对于②，
()()
()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλr r
()()()()2
121211x x y y =+-++-λλλλ
()()()2
22
21122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ，
()()()
()()()22
112211f a f b x y x y +-=++--λλλλr r ，
显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()
11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r
成立，
所以②不是具有性质P 的映射； 对于③，
()()
()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλr r
()()()112211x y x y =++-++λλ，
()()()
()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλr r
()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ
()()()112211x y x y =++-++λλ．
所以()()()()()
11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r
成立，③是具有性质P 的映射．
因此，具有性质P 的映射的序号为①、③．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
【2011?福建理，16】16．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和S 3=13
3
． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ??π=+><<<在6
x π=处取得最大值，且最大值
为3a ，求函数()f x 的解析式．
【解析】本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
（Ⅰ）由3q =，3133S =得()3
11313133
a -=-，解得11
3a =．
所以1
1211
333
n n n n a a q
---==?=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32
333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．
又因为函数()f x 在6
x π
=处取得最大值，
则sin(2)16
π
??
+=，因为0<
=
π
?．
函数()f x 的解析式为()3sin(2)6
f x x π
=+
．
【2011?福建理，17】17．（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m R ∈．
(Ⅰ) 若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (Ⅱ) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2
:4C x y =是否相切？说明理由． 【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
（Ⅰ）解法1：由题意，点P 的坐标为()0,m ． 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，
所以MP l ⊥．0
1102
MP l m k k -?=?=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．
设圆的方程为()2
2
2
2x y r -+=，
则()()
22
02208r MP ==
-+-=，
所以，所求的圆的方程为()2
2
28x y -+=． 解法2：设圆的方程为()2
2
2
2x y r -+=，
因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，
所以224,
20,2m r m r ?+=-+=解得2,
2 2.m r =???=??
所以，所求的圆的方程为()2
2
28x y -+=．
（Ⅱ）解法1：因为直线:l y x m =+，且
直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．
由24,,
x y y x m ?=?=--?得2
440x x m ++=， 2Δ4440m =-?=，解得1m =．
所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2
:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线
l '与抛物线2:4C x y =不相切．
解法2：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--． 设直线l '与抛物线2
14
y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =
得12y x '=，则01
12
x =-，02x =-，()022y m m =---=-．
所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线2
14
y x =
上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2
:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2
:4C x y =不相切．
【2011?福建理，18】18．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值；
(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想． （Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式210(6)3
a
y x x =+-- 得 11102
a
=
+，所以2a =． （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为22
10(6)3
y x x =+--，()36x <<． 每日销售该商品所获得的利润为
()()()222310(6)2103(6)3f x x x x x x ??
=-+-=+--??-??
，()36x <<．
()()()()()()2
1062363064f x x x x x x ??'=-+--=--??
．
于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
x
()3,4
4 ()4,6
()f x ' +
-
()f x
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．
所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．
因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【2011?福建理，19】19．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准．
(Ⅰ) 已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：
且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；
(Ⅱ) 为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望． (Ⅲ) 在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价
期望产品的等级系数的数学；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想．
（Ⅰ）因为16EX =，所以
50.46780.16a b ?+++?=，即67 3.2a b +=， 又0.40.11a b +++=，所以0.5a b +=，
解方程组67 3.2,
0.5
a b a b +=??+=?解得0.3a =，0.2b =．
（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：
2X
3 4 5 6 7 8 f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：
2X
3 4 5 6 7 8
P 0.3 0.2
0.2 0.1 0.1 0.1
所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =?+?+?+?+?+?=． （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为6
16
=， 甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.8
1.214
=>． 所以，乙厂的产品更具可购买性．
【2011?福建理，20】20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，4AB AD +=，2CD =
，CDA ∠=45o ．
(Ⅰ) 求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (Ⅱ) 设AB AP =．
()i 若直线PB 与平面PCD 所成的角为?30，求线段AB 的长；
()ii在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
【解析二】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形
结合思想、化归与转化思想．
（Ⅰ）因为PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ?底面，
所以PA AB ⊥．
又AB AD ⊥，PA AD A =∩，
所以P AB AD ⊥面平，又P AB AB ?面平，
P PAB AD ⊥面平面平．
（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图乙的空间直角坐 标系A xyz -．
在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ⊥．
在Rt ΔCDE 中，2
sin 45212
DE CD =?=
?
=． 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．
由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．
()1,1,0CD =-u u u r ，()0,4,PD t t =--u u u r
，
（i ）设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r ，由n CD ⊥u u u r r ，n PD ⊥u u u r r 得0,
0,
n CD n PD ??=???=??u u u r r u u u r
r ()0,40,x y t y tz -+=??
--=?取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =-r
， 又(),0,PB t t =-u u u r
，由直线PB 与平面PCD 所成的角为?30，得
()22
222241
cos 602
42t t n PB n PB t t t t -??==
=?++-?u u u r r u u u r r ． 解得4
5t =
或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去） 所以45
AB =
． （ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点
G 到点,,,P B C D 的距离都相等，
设()0,,0G m ，()04m t ≤≤-．
则()1,3,0GC t m =--u u u r
， ()0,4,0GD t m =--u u u r ，()0,,GP m t =-u u u r
，
则由GC GD =u u u r u u u r 得
()()22
134t m t m +--=--，即3t m =-，① 由GP GD =u u u r u u u r 得()222
4t m m t --=+， ②
从①，②消去t ，并化简得2
340m m -+= ③ 方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点
G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．
解法2：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到 点,,,P B C D 的距离都相等，
由GC GD =得45GCD GDC ∠=∠=?， 从而90CGD ∠=?，则CG GD ⊥，
设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，
3AG AD GD λ=-=-．
在Rt ΔABG 中，()
2
2
2223932122GB AB AG λλλ?
?=+=+-=-+> ??
?
与1GB GD ==矛盾，
所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．
【2011?福建理，21】21．（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 00a M b ??
= ???
（其中0a >，0b >）
．
（I ）若2a =，3b =，求矩阵M 的逆矩阵1M -；
（II ）若曲线2
2
:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C '：2
214
x y +=，求,a b 的值．
【解析】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵111
22x y M
x y -??= ???，则1
1001MM -??= ???
， 因为2003M ??
=
???
，所以112220100301x y x y ??????
= ? ? ?????
??， 所以121x =，120y =，230x =，231y =，即112x =
，10y =，20x =．213
y =， 所以1
102103M -?? ?=
? ? ???
． （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点
(),P x y '''．
则00a x x b y y '??????=
??? ?'??????，即,
ax x by y
'=??'=?， 又点(),P x y '''在曲线22
:14x C y '+=上，所以2214x y ''+=， 即22
2214
a x
b y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =， 又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．
(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C
的参数方程为sin x a
y a
?=??=??.
（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,
)2
π，判断点P 与直线l 的位置关系；
（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
【解析】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）点P 的极坐标为(4,
)2
π，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程
40x y -+=，
因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．
（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q
的坐标可设为,sin )Q αα． 点Q 到直线l 的距离为
2cos()4
)6d π
απα++===++．
所以当cos()16
π
α+
=-时，d
．
(3)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式211x -<的解集为M ． （I ）求集合M ；
（II ）若,a b M ∈，试比较1ab +与a b +的大小．
【解析】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）由|21|1x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}
01M x x =<<．
（Ⅱ）因为,a b M ∈，则01a <<，01b <<，
(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->，
所以1ab a b +>+．
2010年高考福建数学试题（文史类解析） 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ?等于（ ） A ．{}x|2 4．i 是虚数单位,4 1i ()1-i +等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】C 【解析】41i ()1-i +=244 (1i)[]=i =12 +,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力． 7．函数2x +2x-3,x 0 x)=-2+ln x,x>0 f ?≤? ?（的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 2012年福建省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2012?福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 考 点： 复数代数形式的乘除运算． 专 题： 计算题． 分 析： 由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果． 解答：解：∵复数z满足zi=1﹣i， ∴z===﹣1﹣i，故选A． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 2．（5分）（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 考 点： 等差数列的通项公式． 专 题： 计算题． 分 析： 设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值． 解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2， 故选B． 点 评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 3．（5分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（） A．?x 0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2 C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用． 专 题： 计算题． 分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误； 解答：解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确； 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确； a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确． 故选D． 点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用． 4．（5分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 考 点： 由三视图还原实物图． 专 题： 作图题． 分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等 解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等； B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同； C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形； D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形． 故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱． 故选D． 点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题 5．（5分）（2012?福建）下列不等式一定成立的是（） A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R） 考 点： 不等式比较大小． 专 题： 探究型． 分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可 解 答： 解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等； B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2； C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0； D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立． 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 2010年高考福建数学试题（理科解析） 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ） A. 1 2 B.3 C.2 D. 2 【答案】A 【解析】原式=1 sin (43-13)=sin 30= 2 ，故选A 。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。 2．以抛物线2 4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.2 2 x +y +2x=0 B. 2 2 x +y +x=0 C. 22 x +y -x=0 D. 2 2 x +y -2x=0 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的 半径为r=1，故所求圆的方程为 22x-1)+y =1（，即22 x -2x+y =0，选D 。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0 f ?≤??（的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 2011年福建省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、（2011?福建）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（） A、{0，1} B、{﹣1，0，1} C、{0，1，2} D、{﹣1，0，1，2} 考点：交集及其运算。专题：计算题。 分析：根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}， 得到M∩N={0，1}．故选A 点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题． 2、（2011?福建）i是虚数单位1+i3等于（） A、i B、﹣i C、1+i D、1﹣i 考点：虚数单位i及其性质。专题：计算题。 分析：由复数单位的定义，我们易得i2=﹣1，代入即可得到1+i3的值． 解答：解：∵i是虚数单位 ∴i2=﹣1 1+i3=1﹣i 故选D 点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=﹣1是解答本类问题的关键． 3、（2011?福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；充要条件。 分析：先判断“a=1”?“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案． 解答：解：当“a=1”时，“|a|=1”成立 即“a=1”?“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时，“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选A 点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”?“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键． 4、（2011?福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（） A、6 B、8 C、10 D、12 考点：分层抽样方法。 专题：计算题。 分析：根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数． 解答：解：∵高一年级有30名， 在高一年级的学生中抽取了6名， 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(福建卷 ) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.理科：第Ⅱ卷第21题为选考题， 其他题为必考题，满分1５0分. 第Ⅰ卷 一、选择题：（理科)本大题共10小题,每小题5分，共５０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科）本大题共12小题,每小题5分，共6０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数z 满足z i ＝１-i ，则ｚ等于( ) A ．-1-i B.１－i C ．-1+i Ｄ．１+i Ａ．3+4i B ．５+4i C.3+2i D ．5+２i 2.等差数列{a ｎ}中,a 1+a 5＝10，a ４＝７，则数列{a ｎ}的公差为( ) Ａ．1 B.2 Ｃ.3 D ．4 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．ｘ０∈R ,0e 0x ≤ B.ｘ∈R ，２ｘ>ｘ2 C ．ａ+b =０的充要条件是1a b =- Ｄ．a ＞1,b ＞1是ａb >1的充分条件 4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 Ｃ．正方体 D.圆柱 ５.下列不等式一定成立的是( ) A ．l ｇ(x 2＋ 14 )>lg x (ｘ＞0） Ｂ.s ｉn x ＋1sin x ≥2（ｘ≠ｋπ，k ∈Ｚ） C.x 2＋1≥２|ｘ|(x ∈R ） D.2111 x >+(x ∈R ） 6.如图所示，在边长为1的正方形ＯAB Ｃ中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) Ａ． 14 B ．15 C.16 D ．17 7.设函数1,()0,x D x x ?=??为有理数，为无理数，则下列结论错误的是（ ) A.D (x )的值域为{0,1} B ．D （x )是偶函数 C.Ｄ(ｘ）不是周期函数 Ｄ．D (x )不是单调函数 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 2010年高考福建理科数学试题及答案 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于 A ．12 B 3 C 2 D 32．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A ．2220x y x ++= B ．220x y x ++= C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-= 3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。若111a =-，466a a -=-， 则 当n S 取最小值时，n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4．函数2230()2ln 0 x x x f x x x ?--≤=?-+>?，，，的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何 体 11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点， F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不 正确的是 A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是矩形 C ．Ω是棱柱 D ．Ω是棱台 7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2 221x y a -=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP 的取值范围为 A ． [3- +∞） B ． [3+ +∞） C ．[74-， +∞） D ．[74 ， +∞） 8．设不等式组1230x x y y x ≥??-+≥??≥? 所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直 线3490x y --=对称。对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于 A ．285 B ．4 C ．125 D ．2 9．对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，， 必有xy S ∈”，则当2211a b c b =??=??=? ， ，时，b c d ++等于 A ．1 B ．-1 C ．0 D ．i 10．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m h x g x m <-的四组函数如下： ①2()f x x = ，()g x =()102x f x -=+，()g x =23x x -； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x +；④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=--。 其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④2012年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
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1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余2012高考福建理科数学试题及标准答案(高清版)
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