第7课时直线与平面、平面与平面垂直的性质
基础达标(水平一)
1.若△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则不重合的直线l,m的位置关系是().
A.相交
B.异面
C.平行
D.不确定
【解析】∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,∴l⊥α.同理,m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.
【答案】C
2.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是().
A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
B.若α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,l?α,则l⊥β
D.若α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β
【解析】选项A缺少了条件l?α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.故选D.
【答案】D
3.如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是().
A.PD⊥BD
B.PD⊥CD
C.PB⊥BC
D.PA⊥BD
【解析】假设PD⊥BD,则BD⊥平面PAD.
因为BA⊥平面PAD,所以过平面外一点有两条直线与平面垂直,假设不成立,故A不正确.
因为PA⊥矩形ABCD,
所以PA⊥CD,AD⊥CD,
所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD.
同理可证PB⊥B C.
因为PA⊥矩形ABCD,
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.
【答案】A
4.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法正确的是().
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE
【解析】因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理得DE⊥AC,又BE∩DE=E,故AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.
【答案】C
5.已知平面α,β和直线m,若α∥β,则满足下列条件中的(填序号)能使m⊥β成立.
①m∥α;②m⊥α;③m?α.
【解析】在上述条件中,仅由m⊥α,α∥β可得m⊥β.故选②.
【答案】②
6.若a,b表示两条不同的直线,α表示一个平面,则下列命题中正确的有.(填序号)
①a⊥α,b∥α?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α;
③a∥α,a⊥b?b⊥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b.
【解析】由线面垂直的性质定理知①④正确.
【答案】①④
7.如图所示,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC边的中点.
(1)求证:EF∥平面PAB.
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°.求证:平面PEF⊥平面PBC.
【解析】(1)∵E,F分别为AC,BC边的中点,∴EF∥AB.
又EF?平面PAB,AB?平面PAB,∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,PE?平面PAC,
∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC.
又F为BC的中点,∴EF∥AB.
∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC,∴BC⊥EF.
∵EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF.
∵BC?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PEF.
拓展提升(水平二)
8.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小().
A.变大
B.变小
C.不变
D.有时变大有时变小
【解析】∵BC⊥CA,l⊥平面ABC,
∴BC⊥l,BC⊥平面ACP,
∴BC⊥CP,∴∠PCB=90°,故选C.
【答案】C
9.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是().
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
【解析】∵PA⊥平面ABC,
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AD=2AB,即tan ∠ADP===1,
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°,选D.
【答案】D
10.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形一定是.
【解析】如图,连接AC,BD,设AC与BD交于点O.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵PC⊥BD,PA∩PC=P,
∴BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC,
∴BD⊥AC.又四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形.
【答案】菱形
11.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (1)证明:C1C⊥BD.
(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?证明这个结论.
【解析】(1)如图,连接A1C1,AC,AC与BD交于点O,连接C1O.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,BC=CD.
又因为∠C1CB=∠C1CD,C1C为公共边,
所以△C1BC≌△C1DC,所以C1B=C1D.
因为DO=OB,所以C1O⊥BD.
又AC⊥BD,AC∩C1O=O,所以BD⊥平面AA1C1C,
又C1C?平面AA1C1C,所以C1C⊥BD.
(2)当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.证明如下:
由(1)可知BD⊥A1C.当=1时,四棱柱的六个面全都是菱形,同BD⊥A1C的证法类似可以证得BC1⊥A1C.
又因为BD∩BC1=B,所以A1C⊥平面C1BD.
【例1】 （全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．3 B ．3 C ．22 D ．3 【例2】 （全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．3 【例3】 （福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 63 B ． 26 5 C ． 155 D ． 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角
E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且 OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ． 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （四川卷15） 且对角线与底面所成角的余弦值 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）借助生活中的实物，学生对平面产生感性的认识； （2）掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论，学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：（1）平面的概念及表示； （2）平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 （1）学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 （2）教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、授课类型：新授课 五、教学过程 （一）创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗？ 平面的含义是什么呢？ （二）建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中，怎样画直线？一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长”。（如图）： 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α β β
立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（） A 030 B 030 C 0 150 D 以上结论都不对 2.在空间，下列命题正确的个数为（） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（） A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）
8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题 15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形ABCD A B C D -的棱AA 和棱CC 上的点，且
3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤． 知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 2．最小角定理 知识点二二面角及理解 1．二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l . (3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补． 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是??? ?0，π 2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2
(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分）
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，
高中数学-直线与平面的夹角练习 课后导练 基础达标 1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a 异面的任意直线，则a与b所成的角（） π A.最小值为θ,最大值为π-θ B.最小值为θ,最大值为 2 π C.最小值为θ,无最大值 D.无最小值，最大值为 2 答案：B 2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角 （） A.30° B.60° C.45° D.90° 答案：A 3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（） A.15° B.45° C.60° D.30° 答案：D 4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________. 15 答案： 5 5.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________. 答案：锐角三角形 6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成角的正弦值. 解析：(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,
∴SC⊥面SAB. ∴∠CBS 是BC 与平面SAB 所成的角. ∵∠CBS=60°, ∴BC 与平面SAB 所成的角为60°. (2)连结MC,在Rt△ASB 中,∠SBA=45°,则SM⊥AB. 又SC⊥面SAB, ∴SC⊥AB, ∴AB⊥面SMC.过S 作SO⊥MC 于点O,则SO⊥AB, ∴SO⊥面ABC, ∴∠ SCM 是SC 与平面ABC 所成的角. 设SB=a,则SC=3a,SM= 2 2a, 在Rt△CSM 中,CM= 2 14a, ∴sin∠SCM= 7 7 =MC SM . 7.在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA 是平面ABC 的斜线，∠PAB=∠PAC=60°， （1）求PA 与平面ABC 所成角的大小； （2）PA 的长等于多少时，点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上？ 解：(1)如右图,过P 作PO⊥平面ABC 于O,则∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角, 易证AO 为∠BAC 的平分线,则∠OAB=45°. 由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得 cos∠PAO= OAB PAB ∠∠cos cos =22 45 cos 60cos =ο ο, ∴∠PAO=45°. ∴PA 与平面ABC 所成的角为45°.
【必修4】 第二章平面向量 2.1 练习 1、画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）. 2、非零向量的长度怎样表示？非零向量的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？ 3、指出图中各向量的长度. 4、（1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？ （2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？ 2.2.1 练习 1、如图，已知b a ，，用向量加法的三角形法则作出b a +. 2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.
3、根据图示填空： （1）________;=+d a （2）.________ =+b c 4、根据图示填空： （1）________;=+b a （2）________;=+d c （3）________;=++d b a （4）.________ =++e d c 2.2.2 练习 1、如图，已知b a ，，求作.b a - 2、填空： ________;=- ________;=-BC BA ________;=-BA BC ________; =- .________=-
3、作图验证：b a b)(a --=+- 2.2.3 练习 1、任画一向量e ，分别求作向量e b e a 44-==， 2、点C 在线段AB 上，且 2 5 =CB AC ，则.________AB BC AB AC ==， 3、把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积： ；，e b e a 63)1(== ；，e b e a 148)2(-== ；，e b e a 3132)3(=-= .3 2 43)4(e b e a -=-=， 4、判断下列各小题中的向量b a 与是否共线： ；，e b e a 22)1(=-= .22)2(2121e e b e e a +-=-=， 5、化简： ；)32(4)23(5)1(a b b a -+- ；)(2 1 )23(41)2(31)2(b a b a b a ----- .)())(3(a a y x y x --+ 6、已知向量)(三点不共线、、B A O ，求作下列向量： );(21 )1(OB OA OM += );(2 1 )2(OB OA ON -= .23)3(OB OA OG += 2.3 练习 1、已知向量b a 、的坐标，求b a b a -+，的坐标： ；，，，)25()42()1(=-=b a
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平
面平行。
符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；
§2.1.1平面（1） 一、设问导读（预习教材P 40~ P 43，找出疑惑之处） 问题1：观察长方体，你能发现构成空间几何体的基本要素有哪些？这些点、线、面有怎样的位置关系？本节我们将讨论这个问题. 2.平面的概念： 问题2：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？ 问题3：什么是平面呢? 如何画平面？平面如何表示呢? 问题4：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点与直线、点与平面的位置关系怎么表示？直线与平面？ A a A a A α A α 用符号语言表示： 3.平面的基本性质： 问题5：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢? 问题6：公理1的文字语言如何叙述，符号语言如何符号语言如何表示？表示？ 问题7：公理1有何作用？ 问题8：两点确定一条直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？ 问题9：公理2的文字语言如何叙述，符号语言如何表示？ 问题10：你从公理2出发还能得出哪些推论？它们的作用是什么？ 问题11：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么? 问题12：公理3的文字语言如何叙述，符号语言如何表示？ 问题13：公理3有何作用？ 二、自学检测 例1：如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 例2：如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列命题是否正确，并说明理由： ⑴直线AC 在平面ABCD 内； ⑵设上下底面中心为,O O '，则平面AA C C ''与平面BB 'D D ' 的交线为OO '； ⑶点,,A O C '可以确定一个平面； ⑷平面AB C ''与平面AC D '重合； ⑸由,,A C B ''确定的平面是ADC B ''； 练 一练 ：用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外； ⑵直线a 经过平面α外的一点M ； ⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内. 4.课堂练习：43页 1,2,3,4. 5.课外作业：51页 习题2.1 A 组 1,2 三、巩固训练： 1. 下面说法正确的是（ ）. ①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列说法正确的是（ ）. ①空间任意三点可以确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形 ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一条直线的两条直线平行； ⑦一条直线与两条平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 3.直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________. 4..平面α?平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，且AB l R ?=,过A 、B 、C 三点确定平面γ，则βγ?= （ ） A ． 直线AC B ．直线BC C ．直线CR D ．以上都不对. 5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个 ※ 学习小结 1. 平面的特征、画法、表示； 2. 平面的基本性质(三个公理)； 3. 用符号表示点、线、面的关系. ※ 知识拓展 平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题. 四、拓展延伸 1.①两个平面α，β可将空间分成几部分？ ② 已知a αβ?=，b βγ?=，c αγ?=，则平面α，β，γ可将空间分成几部分？ O ' O B ' C ' D 'A ' D C B A
必修4第二章平面向量教学质量检测 : 班级: 学号: 得分: 一.选择题（5分×12=60分）: 1．以下说法错误的是（ ） A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ） A ．；）＋＋（BC CD A B B ．）；＋）＋（＋（CM B C M B AD C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ． 65 63 B ． 65 C ．513 D ．13 4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且?→ ?AB ＝→ a ，?→ ?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1 → → -b a （B ） )(2 1→ → -a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 6．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→?BC （C ）?→?AD ＝－?→?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N
5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0
第二章 平面向量 1.设向量a →的始点坐标为（3，1），终点坐标为(-1,-3),则向量a → 的坐标为( ) A. (-1,-3) B. (4,4) C. (-4,-2) D.(-4,-4) 2.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3)AB AC ==， 则=（ ） A.)4,2( B.)5,3( C.)5,3(-- D.)4,2(-- 3.已知6,3,12a b a b ==?=-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A. 4- B. 4 C. 2- D. 2 4.如图，F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+( ) A. AD B. 2 1 C. 2 1 D. 5.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e e C. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e 6.等边ABC ?的边长为1,设===, ,,则=?+?+?a c c b b a （ ） A ．23 B ．21 C ．23- D ．2 1- 7.已知点(1,1)A -,(1,2)B ,(2,1)C --,(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A B C ．D ． 8.在△ABC 中，6AB O =,为△ABC 的外心，则AO AB ?等于 A B ．18 C ．12 D ．6 9.已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，下列结论中不正确的是（ ） A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．a b = D ．a b a b +=- 10.已知向量)sin ,(cos θθ=a , )1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）
平面 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础．平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．“平面”是空间图形的基本元素，很多空间图形的面都是平面图形，平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容，因此，要建立起“空间问题平面化”的观点． 2．虽然日常生活中的平面物体有一定的局限，但作为立体几何中的“平面”无大小之分，是无限延展的． 3．平面可用图形表示，也可用符号表示，应理清与其它图形表示法的联系与区别． （二）能力训练点 1．通过“平面”概念的教学，初步培养空间想象能力，如平面的无限延展性． 2．由叙述语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力． （三）德育渗透点 通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点． 二、教学重点、难点及解决办法 1．教学重点 （1）从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念．
（2）掌握点、直线、平面间的相互关系，并会用文字、图形、符号语言正确表示． （3）理解平面的无限延展性． 2．教学难点 （1）理解平面的无限延展性． （2）集合概念的符号语言的正确使用． 3．解决办法 （1）借助实物操作，抽象出“平面”概念． （2）运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性． 三、课时安排 1课时． 四、学生活动设计 准备好纸板三块，纸盒一个，小竹签四根．纸板作为平面的模型，纸盒用于观察平面的位置，以便同画出的图形比较，小竹签用于表示直线． 五、教学步骤 （一）明确目标 1．能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”． 2．理解平面的无限延展性． 3．正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系． （二）整体感知 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力． 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等．而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点．在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相