【必修4】 第二章平面向量
2.1 练习
1、画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.
2、非零向量的长度怎样表示？非零向量的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？
3、指出图中各向量的长度.
4、（1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？ （2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
2.2.1 练习
1、如图，已知b a ，，用向量加法的三角形法则作出b a +.
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.
3、根据图示填空： （1）________;=+d a
（2）.________
=+b c
4、根据图示填空： （1）________;=+b a （2）________;=+d c （3）________;=++d b a
（4）.________
=++e d c
2.2.2 练习
1、如图，已知b a ，，求作.b a -
2、填空：
________;=- ________;=-BC BA ________;=-BA BC ________;
=- .________=-
3、作图验证：b a b)(a --=+-
2.2.3 练习
1、任画一向量e ，分别求作向量e b e a 44-==，
2、点C 在线段AB 上，且
2
5
=CB AC ，则.________AB BC AB AC ==， 3、把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：
；，e b e a 63)1(== ；，e b e a 148)2(-== ；，e b e a 3132)3(=-=
.3
2
43)4(e b e a -=-=，
4、判断下列各小题中的向量b a 与是否共线：
；，e b e a 22)1(=-=
.22)2(2121e e b e e a +-=-=，
5、化简：
；)32(4)23(5)1(a b b a -+-
；)(2
1
)23(41)2(31)2(b a b a b a -----
.)())(3(a a y x y x --+
6、已知向量)(三点不共线、、B A O ，求作下列向量：
);(21
)1(OB OA OM +=
);(2
1
)2(OB OA ON -=
.23)3(OB OA OG +=
2.3 练习
1、已知向量b a 、的坐标，求b a b a -+，的坐标：
；，，，)25()42()1(=-=b a
；，，，)83()34()2(-==b a ；，，，)32()32()3(--==b a ).40()03()4(，，，==b a
2、已知)10()23(-==，，，
b a ，求b a b a 3442++-，的坐标. 3、已知B A 、两点的坐标，求的坐标：
；，，，)96()53()1(B A ；，，，)36()43()2(B A - ；，，，)50()30()3(B A ).08()03()4(，，，B A
4、已知点)12()21()0,1()10(，，，，，，
D C B A ，试判断CD AB 与的位置关系，并给出证明. 5、求线段A 的中点坐标：
；，，，)34()12()1(B A ；，，，)63()21()2(B A - ).63()45()3(--，，，B A
6、已知点)00(，O ，向量)36()32(-==，，，，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的
坐标.
7、已知点)34()32(-，，，
B A ，点p 在线段AB =P 的坐标.
2.4.1 练习
1、已知q p q p 和，，68==的夹角是060，求q p ?.
2、已知ABC ?中，b a ==，，当00=?
3、已知e a ，6=为单位向量，当e a 、之间的夹角θ分别等于0
001359045，，时，画图表示e a 在方向上的投影，并求出其值.
2.4.2 练习
1、已知.)25()43(b a b a b a ?=-=，，，求，，，
2、已知)21()42()32(--=-==，，，，，c b a ，求.)())()(2b a c (b a b a b a b a ++?-?+?，，，
3、已知)75()23(-==，，，
b a ，利用计算器，求b a 与的夹角θ（精确到0
1）.
习题2.1
A 组
1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下
列向量：
（14=，点A 在点O 正南方向；
（222=，点B 在点O 北偏西45o
方向；
（32=，点C 在O 南偏西30o
方向。
（第1题）
2、一人从点A 出发，向东走500米到达点B ，接着向北偏东60o
走300米到达点C ，然后在
向北偏东45o
走100米到达点D ，试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移。
3、如图，D 、E 、F 分别是ABC ?各边的中点，写出图中与相等的向量。
4、如图，在方格纸上的平行四边形ABCD 和折线MPQRST 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，且c b a ===AB OB OA ，，，分别写出图中与c b a ，，相等的向量。
5、已知边长为3的等边三角形ABC ，求BC 边上的中线向量
。
6、判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由。 （1）若b a 、都是单位向量，则b a = （ ） （2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 （ ）
（3）方向为南偏西60o 的向量与北偏东60o
的向量是共线向量 （ ） （4）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量 . （ ）
B 组
1、有人说，由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量，你同意他的看法吗？温度、角度是向量吗？为什么？
2、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别为AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？
习题2.2
A 组
1、设a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”，试说明下列向量的意义。 （1）a;a + （2）b;a + （3）c;a + （4）d;b + （5）b;c b ++ （6）d a d ++
2、一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成。
3、一艘船以8km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，求船实际
航行的速度的大小和方向（精确到1o
）
4、化简：
（1） ++
（2） +++)( （3） CO BO OC OA +++ （4） -+- （5） +- （6） -- （7） -++
5、作图验证：
（1）
a b)(a 21
b)(a 21=-++ （2）b
b)(a 21
b)(a 21=--+
6、已知向量b a ，，求作向量c ，使0c b a =++，表示c b a ，，的有向线段能构成三角形吗？
7、作图验证：b)(a a b --=-。 8、已知b a ，为两个非零向量： （1）求作向量b a b a -+及；
（2）向量b a ，成什么位置关系时，b a b a -=+（不要求证明）。 9、化简：
（1）3a);4(2b 2b)5(2a -+-（2）c);b a 4(c)3b 6(a -+--+- （3）9b)];(6a 3
1
5a 2b)[(3a 21
--+-（4）))(())((b a b a ---+-y x y x
10、已知21212e 3e b ,2e e a -=+=，求2b 3a b,a b,a --+与
11、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且b a ==,，用向量b a ，分别表示向量BC DC OD OC 、、、
12、ABC ?中，BC DE //4
1
=
，且与边AC 相交于点E ，ABC ?的中线AM 与DE 相交于点N ，设b a ==，，用b a,分别表示向量 13、已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：HG EF =
B 组
1、飞机从甲地以北偏西15o
的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75o
的方向飞行1400km 到达丙地，试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
2、已知b a,是非零向量，b a b a ++与一定相等吗？为什么？
3、如图，AM 31,31==
，求证：MN 3
1
=
4、根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明： （1）=; （2）3
1
=
; （3
）==,.
5、已知O 为四边形ABCD 所在平面内的一点，且向量OD OC OB OA 、、、满足等式
OD OB OC OA +=+
（1）作图并观察四边形ABCD 的形状；
（2）四边形ABCD 有什么特性？试证明你的猜想。
习题2.3
A 组
1、已知表示向量的有向线段始点A 的坐标，求它的终点B 的坐标：
（1）);00()12(，，，
A -=a （2）);51()31
(，，，-=A a （3）).73()52(，，，
A --=a 2、已知作用在坐标原点的三个力分别为)13()52()43(321，，，，，=-==F F F ，求作用在原点的合力321F F F ++的坐标。
3、已知平行四边形ABCD 的顶点)65(),13(),21(，，，C B A ---，求顶点D 的坐标。
4、已知点)51()11
(，，，-B A 及221==,2
1
-=，求点C 、D 、E 的坐标。
5、x 为何值时，)6()32(-==，与，
x b a 共线？ 6、已知)47()41()12()32(----，，，，，，，
D C B A ，试问CD AB 与是否共线？ 7、已知点)31()21()00(，，，，，-B A O ，且B O O 3,2='='，求点B A ''、及向量B A '
'的坐标。
a
B 组
1、已知点t B A O +=，，，，)54(),21(),00(，
当222
11，，，-=t 时，分别求点P 的坐标。 2、判断下列各点的位置关系，并给出证明：
（1）);5.32(),43(),21
(，，，C B A -- （2）);65(),05.0(),21
(--，，，R Q P （3）)5.08(),31(),19(，，，
G F E - 3、设21e ,e 是平面内一组基底，证明：当0e e 21=+21λλ时，恒有021==λλ
4、如图，设Oy Ox ,是平面内相交成?60角的两条数轴，21e ,e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量21e e y x +=，则把有序数对),(y x 叫做向量在坐标系xOy 中的坐标，假设21e e 23+=.
（1的大小；
（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？
习题2.4
A 组
1、已知4,3==b a ，且b a 与的夹角?=150θ，求b a ,b)(a b,a 2
++?.
2、已知ABC ?中，?===60,8,5C b a ，求?
3、已知352-=?==b a ,b ,a ，求.b a ，b a -+
4、求证：)()()(b a b a b a λλλ?=?=?
5、先作图，观察以A 、B 、C 为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）);43(),25(),41
(，，，C B A -- （2）);61(),419(),32(----，，，
C B A （3）).710(),25(),52(，，，
C B A 6、设254912-=?==b a b a ，，，求b a 与的夹角θ. 7、已知61)2()32(34=+?-==b a b a b a ，，，求b a 与的夹角θ.
8、已知16108=+==b a b a ，，，求b a 与的夹角θ（精确到?1）.（可用计算器）
9、求证：)6,4(),48(),25(),01
(D C B A ，，，-为顶点的四边形是一个矩形. 10、已知)2,1(,3==b a ，且a a//b 求,的坐标。 11、已知)2,4(=a ，求与a 垂直的单位向量的坐标。
B 组
1、已知a 是非零向量，且c b ≠，求证：)(c b a c a b a -⊥??=?.
2、如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点
)sin ,(cos ),sin ,(cos ββααB A ，试用A 、B 两点的坐标表示AOB ∠的余弦值。
3、证明：对于任意的R d c b a ∈、、、，恒有不等式).)(()(2
2
2
2
2
d c b a bd ac ++≤+
4、如图，在圆C 中，是不是只需知道圆C 的半径或弦AB 的长度，就可以求AC AB ?的值？
5、平面向量的数量积b a ?是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等，请你给出具体证明。
你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗？
习题2.5
A 组
1、已知点A(1,0)，直线62:-=x y l ，点R 是直线l 上的一点，若2=，求点P 的轨迹方程.
2、ABC ?中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设b a ==,， （1）证明A 、O 、E 三点在同一直线上，且2===OD
CO
OF BO OE AO ； （2）用b a 、表示向量.
3、两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为)102(),34(，，==B A s s （1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s ； （2）计算s 在A s 方向上的投影.
4、平面上三个力321
F F F 、、作用于一点且处于平衡状态，N F N F 2
2
6121+==，，21F F 与的夹角为?45，求：（1）3F 的大小；（2）13F F 与夹角的大小.
B 组
1、以初速度0v ，抛射角θ投掷铅球，求铅球上升的最大速度和最大投掷距离.
2、一条河的两岸平行，河的宽度d=500m ，一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的静水速度
h km v /101=，水流速度h km v /22=，要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合
速度的比值必须最小，此时我们分三种情况讨论： （1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时. 请同学们计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短. 3、已知对任意平面向量),(y x AB =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量
)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x AP +-=，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点
P.
（1）已知平面内点)21(，A ，点)22221(-+，B .把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转
4
π
后得到点P ，求点P 的坐标；
（2）设平面内曲线C 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转
4
π
后得到的点的轨迹是曲线322=-y x ，求原来曲线C 的方程.
复习参考题
A 组
1、判断下列命题是否正确：
0=+BA AB )1( （ ） AC BC AB =+)2( （ ） =-)3( （ ） 00)4(= （ ）
2、选择题：
（1）如果b a ，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）.
b a =)(A 1)(=?b a B
22b a ≠)(C 2
2)(b a =D
（2）对于任意向量b a ，，下列命题中正确的是（ ）. （A ）若b a ，满足b a >，且b a 与同向，则b a > （B ）b a b a +≤+ （C ）b a b a ≥? （D ）b a b a -≤-
（3）在四边形ABCD 中，若AD AB AC +=，则（ ）. （A ）ABCD 是矩形 （B ）ABCD 是菱形
（C ）ABCD 是正方形 （D ）ABCD 是平行四边形 （4）设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（ ） （A ）a a λ-与的方向相反 （B ）a a ≥-λ （C ）a a 2
λ与的方向相同 （D ）a a ?=
-λλ
（5）设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则+++等于（ ）.
OM A )(OM B 2)(OM C 3)(OM D 4)(
（6）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）.
)21()00()(-==，，，21e e A )75()21()(，，，=-=21e e B
)106()53()(，，，==21e e C )4
3
21()32()(-=-=，，，
21e e D 3、已知=+，且b a ==，，分别用b a ，表示.
4、已知六边形ABCDEF 为正六边形，且b a ==，，分别用b a ，表示
CE AB CD FA EF BC AD DE 、、、、、、、.
5、已知平面直角坐标系中，点O 为原点，)125()43(---，，，
B A .
（1）求AB ；
（2）若-=+=，求及的坐标； （3）求?.
6、已知点)12()21()01()10(，，，，，，，
D C B A ，试判断向量和的位置关系，并给出证
明.
7、已知点)10()01()11(，，，，，C B A -，求点)(y x D ，，使CD AB =. 8、n 为何值时，向量)4()1(n n ，与，==b a 共线且方向相同？
9、已知)01()11()01
(，，，，，-===c b a ，求μλ和，使b a c μλ+=. 10、已知△ABC 的顶点坐标为)54()14()11
(，，，，，C B A ，求C B A cos cos cos ，，的值. 11、已知单位向量n m 和的夹角为0
60，求证：m m)n ⊥-2(，并解释其几何意义.
12、已知)11()01
(，，，==b a ，λ为何值时，a b a 与λ+垂直？ 13、已知23==b a ，，b a 与的夹角为0
30，求b a ，
b a -+. 14、如图所示，支座A 受21、F F 两个力的作用，已知N 40=1F ，与水平线成θ角；N 702=F ,沿水平方向；
两个力的合力N 100=F ，求角θ以及合力F 与水平线的夹角β.
B 组
1、选择题：
（1）已知)(3825b a b a b a -=+-=+=、、，则（ ）. （A ）A 、B 、D 三点共线 （B ）A 、B 、C 三点共线 （C ）B 、C 、D 三点共线 （D ）A 、C 、D 三点共线
（2）已知正方形ABCD 的边长为1，c b a ===，，，则c b a ++等于（ ）. （A ）0 （B ）3 （C ）2 （D ）22
（3）已知d c b a ====，，，，且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）.
0d c b a =+++)(A 0d c b a =-+-)(B
0d c b a =--+)(C 0d c b a =+--)(D
（4）已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且c b a ===AB CA BC ，，，则①b c 2121-=
EF ；②b a 21+=BE ；③b a 2
1
21+-=CF ；④0=++CF BE AD 中正确的等式的个数为（ ）.
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（5）若21、e e 是夹角为600
的两个单位向量，则2121e e b e e a 23;2+-=+=的夹角为（ ）.
030)(A 060)(B 0120)(C 0150)(D
（6）若向量c b a 、、两两所成的角相等，且311===c b a ，，，则c b a ++等于（ ）.
（A ）2 （B ）5 （C ）2或5 （D ）52或
（7）等边三角形ABC 的边长为1，c b a ===，，，那么a c c b b a ?+?+?等于（ ）.
3)(A 3)(-B 23)
(C 2
3
)(-D 2、已知向量b a ，为非零向量，求证：b a b a b a -=+?⊥，并解释其几何意义. 3、已知向量d c b a ，，，为非零向量，且d b a c b a =-=+，，求证：d c b a ⊥?=，并解释其几何意义.
4、如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，M 、N 是线段EF 上的两个点，且EM=MN=NF ，下底是上底的2倍，若b a ==BC AB ，，求AM
5、已知向量321OP 满足条件0=++321，1===，求证321P P P ?是正三角形.
6、如图，已知b a ==，，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点
为N ，用b a ，表示向量
7、某人在静水中游泳，速度为34千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳. （1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 8、在△ABC 中，若OA OC OC OB OB OA ?=?=?，那么点O 在△ABC 的什么位置？ 9、平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具，如图，设直线l 的倾斜角为)90(0≠αα，在l 上任取两个不同的点
)()(222111y x P y x P ，，，，不妨设向量21P 的方向是向上的，那么向量21P 的坐标是
)(1212y y x x --，.过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是)(1212y y x x --，，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义得1
21
2tan x x y y --=
α，这就是《数学2》中已经得
到的斜率公式.上述推导过程比《数学2》中的推导敏捷，你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？例如：
（1）过点)(000y x P ，，平行于向量)(21a a ，=a 的直线方程； （2）向量（A ，B ）与直线0=++C By Ax 的关系；
（3）设直线21l l 和的方程分别是，：01111=++C y B x A l ，：02222=++C y B x A l 那么，2121//l l l l ⊥，的条件各是什么？如果它们相交，如何得到它们的夹角公式？ （4）点)(000y x P ，到直线0=++C By Ax 的距离公式如何推导？
数学必修四测试 一、选择（10×5） 1．已知角α的终边经过点()3,1-P ，则=+ααcos sin （ ） A 213+ B 213- C 213+- D 21 3+- 2已知0tan cos =?，则||a+b 等于（ ） A ．37 B ．13 C 5．知4cos ,(,),52π ααπ=-∈则cos()4πα-=（ ） A. B. C. D. 6 ．cos 2π2 sin 4αα=-? ?- ???，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．- Ｂ．12- Ｃ．12 Ｄ． 7. sin 2cos 263y x x ππ???? =+-+ ? ?????的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π C ．2π，1 D ．2π，3 8．θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4
9已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8x π=对称，则?可能是（ ） A.2π B. 4π- C.4π D.34π 10．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1- 二、填空（6×6） 11函数sin()y A x ω?=+(0,0,) 2A π ω?>>< 一段图象如图所示，这个函数的解析式为______________. 12 已知向量2411()()，， ，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是_________. 13 若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120 ，则 () a a +b =___________. 14 已知：函数2()sin 2cos f x x x =+(0) 2x π ≤≤，则()f x 的最大值和最小值分别为______________. 15 函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期为_________. 16 已知 sin cos 223θθ+=那么sin θ的值为_______,cos 2θ的值为___________. 三、解答（34） 17 已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈，向量1)b =-（7） （1）当//a b ，求θ. （2）当a b ⊥时，求θ. （3）求|2|a b -的最大和最小值.
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。
一、选择题【共12道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.若a··c且a≠0,则 C. D.若b⊥c,则()··b 参考答案与解析:解析：A中两向量的夹角不确定中若a⊥⊥与c反方向则不成立中应为中b⊥·0,所以()····b. 答案：D 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、设e是单位向量222,则四边形是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形参考答案与解析:解析：,所以,且∥,所以四边形是平行四边形.又因为2,所以四边形是菱形. 答案：B 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知1，a与b的夹角为90°,且2a3b，4b,若c⊥d,则实数k的值为( ) A.6 6 C.3 3 参考答案与解析:解析：∵c⊥d,∴c·(23b)·(4b)=0,即212=0,∴6. 答案：A 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、设0≤θ＜2π,已知两个向量=(θ，θ)(2θ，2θ)，则向量长度的最大值是( )
A. B. C. D. 参考答案与解析:解析：=(2θθ,2θθ), 所以≤=. 答案：C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、设向量(13)，(-2,4)，(-12)，若表示向量4a、4b-2c、2()、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(26) D.(-26) 参考答案与解析:解析：依题意,4422()0,所以644(-2，-6). 答案：D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 6、已知向量(3，4)，(-3，1)，a与b的夹角为θ,则θ等于( ) A. C.3 3 参考答案与解析:解析：由已知得a·3×(-3)+4×15，5，， 所以θ=. 由于θ∈［0，π］, 所以θ=. 所以θ 3. 答案：D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
必修四总练习题 一、选择题 1．ｓin １５０°的值等于( ). A ．2 1 ? B ．-2 1? C ． 23? ??Ｄ.-2 3 2．已知AB ＝（3,0)，那么AB 等于（ ）． A.2 ?B ．3 ? C.4?? ?D.5 3.在0到2范围内，与角－3 4π 终边相同的角是( )． A ． 6 π ?? B. 3 π ???C ． 32π? ??D.3 4π 4.若co ｓ ＞0,ｓｉn ＜０，则角 的终边在（ ). A.第一象限 Ｂ．第二象限 ? Ｃ.第三象限 ??D.第四象限 5．sin 2０°cos 40°＋cos ２0°ｓin 40°的值等于（ ）. A ．4 1 ??? Ｂ． 2 3 ? C ．2 1 ?D. 4 3 6.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( ）. A.AB =CD Ｂ．AB -AD =BD Ｃ.AD +AB =AC Ｄ．AD +BC =0 7．下列函数中，最小正周期为 的是（ ）. A ．ｙ＝co ｓ 4ｘ B ．y ＝s ｉn 2x ?C.y ＝si ｎ 2 x ? D ．ｙ＝cos 4 x 8.已知向量a ＝（4，-２)，向量ｂ＝(x ,5）,且a ∥ｂ，那么x 等于( ). Ａ．10??? B ．5 ??C.－2 5 ? ?Ｄ.－10 9.若tan =3,tan ＝3 4，则ｔa ｎ(-)等于（ ). Ａ.-３ ?? Ｂ.３ ??C.－3 1?? D ．3 1 10．函数y ＝2ｃos ｘ-１的最大值、最小值分别是( ). Ａ.２,－2 B.１，－３ C.1,-１ D ．２,-1 １1.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为Ａ(-1,0),B (１，２),Ｃ(0,ｃ),若⊥,那么c 的值 D B C (第6题)
高中数学必修４知识点总结 第二章平面向量 １６、向量:既有大小，又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量：长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量（共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 1７、向量加法运算： ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点：共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质：①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,，则、 １８、向量减法运算： ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点，方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时，、 ⑵运算律：①;②；③、 ⑶坐标运算:设,则、 ２0、向量共线定理:向量与共线，当且仅当有唯一一个实数,使、 设,，其中，则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时，;当与反向时,；或、③、 ⑶运算律：①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,，则、 若，则,或、设,，则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角，则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷； ⑸（); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2
(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分）
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
高中数学必修4测试题 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．函数x y 2sin -=，R x ∈是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 3．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么|3|a b -等于（ ） A B C D ．4 4．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量=a ,= b ，则向量等于（ ） A ．21 (a －b ) B ．21 (b －a ) C ．21 ( a ＋b ) D ．1 2-(a ＋b ) 5．若θ是△ABC 的一个内角，且81 cos sin -=θθ，则θθcos sin -的值为（ ） A ．23 - B ．23 C ．25 - D ．25 6．已知4π βα=+，则)tan 1)(tan 1(βα++的值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 7．在ABC ?中，有如下四个命题：①=-； ②AB BC CA ++=0 ； ③若0)()(=-?+AC AB AC AB ，则ABC ?为等腰三角形； ④若0>?，则ABC ?为锐角三角形．其中正确的命题序号是（ ） A ．① ② B ．① ③ ④ C ．② ③ D ．② ④ 8．函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ ） A ．)322sin(2π +=x y B ．)32sin(2π +=x y C ．)32sin(2π -=x y D ．)32sin(2π -=x y 9．下列各式中，值为1 2的是（ ） A ．00sin15cos15 B ．22cos sin 1212π π - C ．6cos 21 21π + D ．0 20tan 22.51tan 22.5- 10．已知βα,为锐角，且cos α=101 ,cos β=51 ，则βα+的值是（ ） A ．π32 B ．π43 C ．4π D ．3π 11．已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π )为 【 】 A ．1813 B ．2313 C ．237 D ．183 12．)10tan 31(50sin 00+的值为 【 】
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标
第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD 相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1) D ．λ(AB －BC )，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋ED B ．EF －DE C ．EF ＋AD D ．EF ＋AF 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)
高一周末考试数学试题 （必修4部分，2018年3月31 日） 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.已知点P （tan ,cos ）在第三象限，则角 在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2 .函数 y sin2x , x R 是（ ） A .最小正周期为 的奇函数 B .最小正周期为 的偶函数 C .最小正周期为2的奇函数 D .最小正周期为2的偶函数 3 .已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么I ； 3b|等于（ ） A . 7 B . 10 C . .13 D . 4 4.已知M 是厶ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a,AC = b ,则向量AM 等 于（ ） 1 A .丄(a — b) 2 1 B . - (b — a) 2 1 C . -( a + b) 2 D . 1 -(a + b) 2 5 .若 是厶ABC 的一个内角，且sin cos 1 ,贝卩 sin 8 cos 的值为（ ) <3 A.— B .仝 C . 三 D. ■■- 5 2 2 2 2 6.已知 —,贝S (1 tan )(1 4 tan ）的值是（ ) A . — 1 B . 1 C . 2 D . 4 7.在ABC 中，有如下四个命题： iuu iuu uu ① AB AC BC ； ② AB BC CA 0 ； ③ 若（AB AC ） （AB AC ） 0，则ABC 为等腰三角形； ④ 若 AC AB 0 ，贝S ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是（ ） B .①③④ D .②④ ）在一个周期内的图象如下, （ ） B . y 2sin （2x ） 3 A .①② C .②③ 8 .函数 y Asin( x 此函数的解析式为 2 A . y 2sin(2x ) 3
人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标： 三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？………（学生讨论作答） 2.你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答） 3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74） 二、推进新课 1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度等。 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向又 有大小，不能比较大小（强调）。 2.向量的表示方法： 1?几何表示法：有向线段——具有一定方向的线段
平面向量单元测试 一、选择题【共１2道小题】 1、下列说法中正确的是( ) Ａ.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b＝a·c且a≠0,则b＝ｃC． D.若b⊥c,则(ａ＋c）·b=ａ·b 2、设ｅ是单位向量,=２ｅ,=-2e,||=2,则四边形ＡBＣD是( ) A.梯形 B.菱形Ｃ.矩形 D.正方形 3、已知｜a|=|b|=１,a与b的夹角为９0°,且c=2a＋3b,ｄ=ｋａ-４ｂ,若c⊥d,则实数ｋ的值为( ) A.6 B.-６ C.３ D.－3 4、设0≤θ<２π,已知两个向量＝(cosθ,sｉｎθ)，＝(２+siｎθ,2－cosθ),则向量 长度的最大值是( ) A.Ｂ.Ｃ. D. ５、设向量a＝（1,-3）,ｂ=（-2，４),c＝(-1,-2)，若表示向量4a、4ｂ-２c、２(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( ) A.(2，6） B.(-2,６） C.(2，-6） D.(-2,－６) ６、已知向量a＝（３,4)，ｂ＝(-3，1)，a与b的夹角为θ,则tanθ等于（) A. B.－Ｃ.３ D.-３ 7、向量a与b不共线,＝a+ｋb,=lａ+b(k、ｌ∈R),且与共线,则k、l应满足( ) Ａ.k+ｌ=0 Ｂ.k－l=0 C．ｋl+1=0 D.kl-１=０8、已知平面内三点A(－１,0)，B(5，６),P(3,4),且AP=λPB，则λ的值为( ) A.3 B．2 C. D. ９、设平面向量ａ1，a2，a3的和a1+ａ2+a3＝0，如果平面向量ｂ1，b2，b3满足|ｂｉ|＝２|ａi|,且ai顺时针旋转３0°后与bi同向,其中i=1,２，3，则( ） A．-ｂ1＋b2+b３=0 B.b1-ｂ2+b3＝0 C.ｂ1+ｂ2-ｂ３=0 D.b１+b2+b3=０ 10、设过点P(x，ｙ)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、Ｂ两点,点Q与点P关于y 轴对称,O为坐标原点,若,且·＝1,则P点的轨迹方程是（ )
高中数学必修四检测题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π ）的单调递增区间是（ ） A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］ 2 、已知sin αcos α=81,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A)2 3 (B)4 3 (C) (D)± 2 3 3 、已知sin cos 2sin 3cos αα αα-+=51,则tan α的值是 （ ） (A)±83 (B)83 (C)8 3- (D)无法确定 4 、 函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
5 、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数 cos y x π? ?=- ? 3??的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π 6个单位 6 、函数π πln cos 2 2y x x ??=-<< ???的图象是（ ） 7 、设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A （B （C ） （D ）10 8 、 已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ． 6563 B ．65 C ．5 13 D ．13 9、 计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A.12 B.33 C.22 D.32 10、已知sin α＋cos α= 1 3 ，则sin2α= （ ） A ．89 B ．－89 C ．±89 D ．322 11 、已知cos(α－π 6)＋sin α＝4 53，则sin(α＋7π 6)的值是 ( ) A ．－ 235 B.235 C ．－45 D.4 5 12 、若x = π 12 ，则sin 4x －cos 4x 的值为 （ ） A ．21 B ．21- C ．23- D ．2 3 x x A ． B ． C ． D ．
北师大必修4《平面向量》测试题及答案 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(- k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43 ，则A 分所成的比是（ ） A. 7 3 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·a =-40，|a |=10,|b |=8，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a |=4,|b |=5，则向量a ·b =（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6.已知a =(3,0),b =(-5,5)，则a 与b 的夹角为( ) A. 4 π B. 4 3π C. 3 π D.32π 7.已知向量a =(3,4),b =(2,-1)，如果向量a +x ·b 与b 垂直，则x 的值 为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1) 9.设四边形ABCD 中，有=2 1 ，且||=||，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。 16.在菱形ABCD中，（AB+AD）·（AB-AD）= 。 三、解答题 17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB 的中点，已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。
必修四·数学试卷Ⅲ Ⅰ、选择题 一、选择题 1 、若cos 2sin αα+=tan α等于 （ ） A 、12 B 、2 C 、1 2 - D 、-2 2、已知函数2sin()(0)y x ω?ω=+>在区间[]0,2π上的图像如图所示，那么ω的值为 （ ） A 、1 B 、2 C 、 12 D 、13 3、函数sin y x =的值域为 （ ） A 、[]1,1- B 、?? C 、???? D 、?-? 4、已知函数sin()y A x ω?=+，把它的图像向左平移 3 π 个单位，再使其图像上每点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的13倍，所得的图像对应的函数解析式为2sin 23y x π? ?=- ?? ?，则原函数的解析式为 （ ） A 、22sin 39y x π??=- ??? B 、2 22sin 3 3y x π??=- ??? C 、252sin 39y x π??=- ??? D 、72sin 63y x π? ?=- ?? ? 5、设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +g 等于 （ ） A 、（-15，12） B 、0 C 、-3 D 、2 5 - 6、若两个非零向量,a b 使得a b a b -=+成立，则下列各式成立的是 （ ） A 、1a b =g B 、a b a b =g C 、a b a b =-g D 、a b a b a b -< § 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a 第二章平面向量测试题 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、 B、C、D、 5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、 B、 C、 D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、 B、 C、 D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A、1 B、2 C、3 D、4 9．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2 +b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分） 16、已知平面上3个向量 、b 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。 (1) 求证：( -b )⊥ ; 平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； 高中数学必修四平面向量测试题 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、 B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。 A、 B、 C、 D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、 B、 C、 D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A、1 B、2 C、3 D、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2 +b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶向 对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向 量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹 角为 。（10分） 16、已知平面上3个向量 、b 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
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