2.2.1 向量加法运算及其几何意义
主动成长
夯基达标
1.已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（）
A.AB+BC= CA
B.AB+AC=BC
C.+=
D.+=
解析:+=≠,故A错. +≠,故B错.
+=+==,故C正确. +≠,故D错.
答案:C
2.在四边形ABCD中，=+，则四边形ABCD是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.平行四边形
解析:∵AC=AB+AD,∴AB+AD=AC,又A、B、C、D为四边形的顶点，根据向量求和的平行四边形法则得ABCD为平行四边形.
答案:D
3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向（）
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析:∵a∥b，且|a|＞|b|＞0,∴a与b为非零的共线向量.当a与b方向相同时，a+b与a 方向相同，当a与b方向相反时，由于|a|＞|b|,∴a+b与a方向相同，综上，a+b与a方向相同.
答案:A
4.a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则（）
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a，b是共线向量
C.a=-b
D.a，b无论什么关系均可
解析:当a与b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|,当a与b方向相反时，|a+b|＜|a|+|b|,故a∥b 且a与b方向相同时方满足|a+b|=|a|+|b|.
答案:A
5.-+ -+等于（）
A. B. C. D.0
解析:-+-+=(+)-（+）+=-+=. 答案:A
6.在平行四边形ABCD中，若|BC+BA|=|BC+AB|，则必有（）
A.ABCD是菱形
B.ABCD是矩形
C.ABCD是正方形
D.以上皆错
解析:在平行四边形中，+=，+=+=. ∵|+|=|+|，∴||=||.∴ABCD为矩形.
答案:B
7.已知正方形ABCD的边长为1，则|+++|为（）
A.1
B.2
C.3
D.22
2.
解析:| AB+BC+DC+AD|=|2AC|=2|AC|=2
答案:D
8.若三个向量a、b、c满足a+b+c=0,则a、b、c可以组成（）
A.一条直线
B.三个点
C.三角形
D.不确定
解析:当a、b、c共线时，不能构成三角形，当a、b、c不共线时，由向量加法的三角形法则可知能构成三角形.
答案:D
9.若向量a、b满足|a|=8，|b|=12，则|a+b|的取值范围是______________.
解析:应用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
答案:［4，20］
10.已知||=||=1，且∠AOB=60°,则|+|=____________.
+，则OACB为菱形，且∠AOB=60°.∴||=3.
解析:设=
答案:3
11.一艘船从3 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h，求船实际航行速度的大小和方向.
解析:设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，表示水流速度，以AD、AB为邻边作ABCD，则就是船的实际航行速度.
在Rt△ABC 中，|AB |=3 km/h,| BC |=3 km/h, ∴|AC |=2333||||2222=+=+BC AB . tan∠CAB=3
3=1, ∴∠CAB=45°.
答：船实际航行速度的大小为23 km/h ，方向与水流方向间的夹角为45°.
12.设O 是△ABC 内任一点，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点， 证明OA +OB +OC =OD +OE +OF .
证明:因为=+，+=，+=，
所以FC EB EA OF OE OD OC OB OA +++++=++.
因为D 、E 、F 分别为各边的中点， 所以=
21，=21，=21. 所以DA +EB +=21（BA ++）=0. 所以.++=++
走近高考
13.(2006全国高考Ⅰ)设平面向量a 1，a 2，a 3的和a 1+a 2+a 3=0.如果平面向量b 1，b 2，b 3满足|b i |=2|a i |,且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向,其中i=1,2,3,则……（ ）
A.-b 1+b 2+b 3=0
B.b 1-b 2+b 3=0
C.b 1+b 2-b 3=0
D.b 1+b 2+b 3=0 解析:不妨设a 1、a 2、a 3的模相等，且夹角都为120°.
∵|b i |=2|a i |,且将a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，即b 1+b 2+b 3=2(a 1+a 2+a 3)=0.故选D. 答案:D
14.(2005山东高考模拟一)下列命题：
①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么，a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB +CA BC +=0；
BC =0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
③若AB+CA
④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①假命题.当a+b=0时，命题不成立.
②真命题.
③假命题.当A、B、C三点共线时也有++=0.
④假命题.只有当a与b同向时，|a+b|=|a|+|b|.其他时候均为|a+b|＜|a|+|b|. 答案:B