高等代数拓展内容之一
高等代数教与学中应注意的几个问题
高等代数是综合大学和师范院校数学专业学生的三门主要必修基础课(分析，几何，代数)之一，是数学教育专业开设的一门主干基础课。它关于多项式和线性代数的理论不仅是许多数学分支的理论基础，也是生产实践、许多科学技术的研究工具。特别是随着计算机科学的发展，离散特征很强的高等代数在数学科学中的地位更加重要。
本课程分为线性代数和以一元多项式为主体的多项式理论两部分。线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等。
本世纪以来，随着数学的发展以及应用的需要，代数学的研究对象以及研究方法发生了巨大的变革，一系列新的代数领域被建立起来，大大地扩充了代数学的研究范围。形成了所谓近世代数学。它与以代数方程的根的计算与分布为研究中心的古典代数学有所不同，它是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律及各种代数结构—群、环、代数、域、格等—的性质为其中心问题的。为了使学生在高等代数的学习过程中对现代代数学的研究对象，基本思想和基本方法有一个初步但又是清楚的认识，我们认为下列几个基本问题是在课堂教学中必须首先解决的。
1、什么是贯穿高等代数教学的主干线?
经典代数学的研究课题是各类代数方程的求解问题，但是很容易看出，线性方程的解本质上是向量空间和矩阵理论的一个简单的应用，自Galois的理论问世以后，又使人们认识到一元高次代数方程的求根本质上是域的结构理论，特别是域扩张和域的自同构群的理论的应用。由此人们逐渐认识到，代数的基本研究对象应当是各类代数系统及其相互关系(态射)，高等代数作为代数学的入门课程，应当是以中学代数知识(即经典代数学中方程的求解问题)为出发点，将学生逐步引导到现代代数学的基本研究对象上来。这应当就是贯穿高等代数课程的主干线。具体说。就是从研究线性方程的理论入手，引导出向量空间和矩阵的基础理论，在此基础上再过渡到抽象的线性空间（一类最简单的代数系统）及其态射（线性映射，特别是线性变换)的理论。从研究中小学中熟悉的整数理论，经过总结提高成为有理整数环，再过渡到一元与多元的多项式环。通过高等代数课程的教学。使学生初步接受抽象代数学的基本思想，并接受抽象代数学基本方法的初步训练，这应当是此课程教学的基本要求。
2、在教学中如何贯彻认识论或教育学的基本原则？
作为大学低年级的入门课程，其理论的阐述应当符合人的认识规律，即由浅入深，从具体到抽象，由形象直观到理性思维。例如，通过分析线性方程组结构的直观上的特点导出向量空间和矩阵及其运算的基本理论，以具体的齐次线性方程组有无非零解来导出向量组线性相关与无关的抽象概念等等。在学生熟悉了具体的向量空间和矩阵之后，再过渡到抽象的线性空间和线性映射理论。通过学生熟练掌握的整数及其运算上升到有理整数环，以具体的有理整数环为范例阐述因子分解理论及商环理论(不给出一般定义)，再过渡到一个或多个不定元的多项式环。在教学中，我们遵循这个原则来处理各个章节中基本概念的引入及基本理论的展开。
在一些线性代数教材中，通过三维几何空间来引入一般向量空间，这一做法有如下缺点:首先，现在高等代数与解析几何常常并列开，学生在学习线性代数前并末熟悉三维几何空间中的向量理论(仅在中学物理中知道力、速度等向量的简单概念)，不能作为较踏实的出发点。而且从教学实践看，学生学习三维几何空
间的向量理论并不是很轻松就掌握的。但更重要的一点是，从三维几何空间推广到高维空间(特别是任意数域F上的向量空间)是许多学生难于接受的，因为现实空间只到三维为止，他们难以理解为什么会有n维空间，而从线性方程组结构来引入一般向量空间最为自然，从教学实践中看，学生易于接受。因此，三维几何空间在本课程中应作为线性空间一个重要、直观的例子来使用，而不宜作为整个理论的出发点。
3、在高等代数课程中，学生应受到哪些最基本的训练？
除了与其它数学课程共同的基本训练(如逻辑思维能力等)之外，从高等代数课程本身的特点来看，似乎有以下几个方面是最主要的，应当贯穿课程始终的。
1)代数学基本思想的训练。代数学具有高度抽象性和一般性，所研究的代数系统，其元素及代数运算都未有具体内容，而仅要求满足一定的运算法则。这是概括了许多具体的客观事物的共性之后形成的非常一般的规律，从而有广泛的应用。这种抽象思维的训练，不但在数学各个方向是需要的，在其它学科及实际工作中也都是很重要的，这是提高学生整体素质的一个重要方面。从事抽象思维训练，是代数学的特有的优点，在本课程教学中应当紧紧抓住这一点。
2）代数学基本方法的训练。培养学生在抽象线性空间内处理理论问题的能力，能把较具体的问题如线性方程组、矩阵领域的问题转化为抽象线性空间和线性变换领域的问题来处理；又会把抽象领域的问题具体化(如计算线性变换特征值转化为解代数方程)，初步学习抽象代数中普遍使用的基本方法，如线性空间的子空间的运用(在群论、环论、模论、线性结合与非结合代数中的子群、子环、子模、子代数等等的应用都是这一普遍方法的体现)，商空间的应用(对应于一般情况下商群、商环、商模、商代数的使用)。
3）线性代数基本计算能力的训练。特别是求解线性方程组，求逆矩阵，计算行列式，求线性变换特征值与特征向量，用正交变换化实对称矩阵成对角形等等数学计算的训练。
4)矩阵与多项式技巧的运用，特别是分块矩阵的使用。
5)综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。
4，如何处理基本理论与实际应用之间的关系?
高等代数的理论知识在数学、自然科学、工程技术以至经济人文等领域都有广泛的应用，在教学中加入一些实际应用的只是和好的例题事十分必要的，也有助于提高学生学习本课程的积极性和兴趣。
第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：
令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为 n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n 矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以 A A . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令 n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， n x x x AX X 2 1 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 n x x x 21 n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 21121211121 n i n j j i ij x x a 11. 故 AX X x x x f n ),,,(21 .
教学大纲 一．课程的教学目的和要求 通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。 要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。 二．课程的主要内容： 代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。 《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。 本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。 三．课程教材和参考书： 教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版 参考书：1. 姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版 2. 北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987） 3. 张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）
工科高等数学课程教学改革五十年 我于1954年在位于上海的交通大学数学教研室任助教，1956年随校迁至西安，一直在西安交通大学工作，1959年任基础部教学秘书并作为教研室核心组成员，跟随老教师们参与工科数学教学改革工作。1962年任高等数学课程教材编审委员会秘书，后任工科数学课程教学指导委员会委员和两届主任，亲身经历了我国各个时期工科数学教学改革和发展的历程。以下所述，主要依据不同时期的教学大纲和有关典型教材以及本人的感受和认识，难免片面甚至有不妥之处仅供参考。虽然有关材料仅来自工科高等数学课程，但其发展变化趋势，对于其他非数学类的高等数学课程而言也许有相同之处。 从1952年进行院系调整到现在，我国的高等教育经历了艰辛的发展和改革历程，它的起伏发展不仅受到科学技术发展的影响，而且和不同时期的政治形势紧密相关。回顾工科“高等数学”课程的改革和发展，大致可以划分为七个阶段。 第一阶段(1952—1958) 解放初期，历尽沧桑的中国百废待兴，为了有效地培养适应新中国建设需要的人才，1952年开始全面学习苏联。教育由解放前的“欧美模式”转向“全盘苏化”，按照苏联的教育模式进行了大规模的院系调整：制定了教学计划和教学大纲；组织翻译了一大批苏联教材；采用了苏联的一套教学管理模式和教学方法。现在看来，除理工分家的院系调整值得商榷外，其他许多做法在当时都是十分必要的，使我国高等教育经过很短时期的过渡就基本适应了当时计划经济的需要，走向了正规化。 建国后第一批教学大纲是在原高教部的领导下于1954年在大连制定的，我校朱公谨教授受高教部的委托，负责主持了工科本科高等数学课程教学大纲的制订。朱先生是在德国获得博士学位后归国的，是柯朗的学生。主张保持教学应有的严密性和揭示科学的思想性，不赞成《三氏微积分》对极限的讲法。据说他在赴大连开会之前是有种种疑虑的。但当他看到当时作为主要参考的苏联工科数学教学大纲和有关教材时，思想一拍即合，顺利地完成任务，并自告奋勇地编写了《高等数学》教材。这个大纲在内容和体系方面为我国工科高等数学课程几十年的教学奠定了基本的框架。当时的教学时数为360学时，内容包括平面与空间解析几何，行列式与线性方程组，微积分与常微分方程。一般分三学期完成。讲课与习题课的比例为2:1-1:1。课内外时数比为1:1.5-1:2。教材主要采用苏联别尔曼特著，张理京翻译的《数学解析教程》(第七版)(以下简称《教程》。这本书是按照前苏联“高等工业学校高等数学教学大纲”的要求编写的。强调概念和数学理论，强调数学思想的启迪，讲解十分细致。例如，《教程》把一致连续、一致收敛均作正文讲解，并对函数项级数一致收敛的分析性质与幂级数的分析运算均加以证明。
授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点 教学方法与 手段 教 学 过 程 第六章线性空间第一讲集合映射 2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握集合映射的有关定义、运算, 求和号与乘积号的定义 集合映射的有关定义 集合映射的有关定义 讲授法启发式 1.集合的运算 , 集合的映射 ( 像与原像、单射、满射、双射 ) 的概念 定义 : ( 集合的交、并、差 ) 设S是集合 , A与B的公共元素所组成的集合 成为 A 与 B 的交集,记作A B ；把 A 和B中的元素合并在一起组成的集合成 为 A 与 B 的并集,记做 A B ；从集合 A中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与B的差集,记做A B . 定义 : ( 集合的映射 ) 设 A B 为集合 . 如果存在法则 f , 使得 A 中任意元素 、 a 在法则f下对应B中唯一确定的元素( 记做f (a) ), 则称f是A到B的一个映射 , 记为 f : A B, a f (a). 如果 f (a) b B , 则 b 称为a在 f 下的像,a称为 b 在 f 下的原像. A 的所有元素在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像,记做 f ( A) ,即f ( A) f ( a) | a A . 若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射.若 b B, 都存在a A , 使得f (a) b ,则称 f 为满射 . 如果f既是单射又是满射, 则称f为双射 , 或称一一对应 . 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练 , 我们引进求和号和乘积号 . 设给定某个数域 K 上 n 个数 a 1, a 2 , , a n , 我们使用如下记号 : n n a 1 a 2 a n a i , a 1a 2 a n a i . i 1 i 1 当然也可以写成 a 1 a 2 a n a i , a 1 a 2 a n a i . 1 i n 1 i n (2) 求和号的性质 容易证明 , n n n n n n m m n a i a i , (a i b i ) a i b i , a ij a ij . i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1 j 1 i 1 事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 : a 11 a 12 a 1 m a 21 a 22 a 2 m a n1 a n2 a nm 分别先按行和列求和 , 再求总和即可 . 讨论、练习与 作业 课后反思
高等代数北大版教案- 第5章二次型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
４８ 第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( +++n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 ???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：
４９ 令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( ++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a +++ ∑∑===n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n ?矩阵 ?? ? ? ? ?? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以 A A ='. 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令???? ?? ? ??=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 2 1 ='??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211??? ? ? ? ? ??n x x x 21 ()? ??? ??? ??+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 2112121112 1 ∑∑===n i n j j i ij x x a 11.
《高等代数Ⅱ》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 本课程的教学目的是使学生获得二次型，线性空间，线性变换，欧几里得空间等方面的系统知识,为进一步学习数值计算方法等后续课程打下坚实的基础。通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。 应达到的具体能力目标： 具有独立思维能力和解决实际问题能力； 具有较强的抽象思维和逻辑推理能力； 熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力 三、教学学时分配 《高等代数Ⅱ》课程理论教学学时分配表
四、教学内容和教学要求 第五章二次型（14学时） （一）教学要求 1. 了解二次型与二次型的矩阵的概念； 2. 理解二次型的标准形、正定二次型的概念； 3. 掌握用正交变换、拉格朗日配方法、合同线性变换法化二次型为标准形，掌握 正定二次型的判定方法。 （二）教学重点与难点 教学重点：二次型的矩阵表示，化二次型为标准形的方法 教学难点：正定二次型的判定与证明 （三）教学内容 第一节二次型及其矩阵表示 1．二次型的定义 2．二次型的矩阵表示 3. 矩阵的合同关系 第二节标准形 1．二次型的标准形； 2．化二次型为标准形的方法； 3. 例题讲解 第三节唯一性 1．复数域上二次型的规范型 2. 实数域上二次型的规范型 第四节正定二次型 1．正定二次型的定义 2. 正定二次型的判定 3. 半正定二次型的定义及判定 本章习题要点：
1．化二次型为标准形的方法； 2. 正定二次型的判定方法与证明。 第六章线性空间（22学时） （一）教学要求 1.了解集合与映射的概念及性质； 2. 理解线性空间的概念与性质，线性空间同构的概念、性质及意义； 3. 掌握基和维数的概念、求法及维数定理，过渡阵概念、性质及求法，子空间的 概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念。 （二）教学重点与难点 教学重点：线性空间的基与维数，子空间的和 教学难点：子空间的直和 （三）教学内容 第一节集合.映射 1．集合与映射的概念 2. 集合与映射的性质； 第二节线性空间的定义与性质 1．线性空间的定义； 2．线性空间的简单性质。 第三节维数、基、与坐标 1. 维数、基、坐标的概念 2. 维数、基、坐标的性质 第四节基变换与坐标变换 1．基变换 2．坐标变换。 第五节线性子空间 1．线性子空间的定义及性质 2．生成子空间的定义及性质 第六节子空间的交与和 1．线性子空间的交 2．线性子空间的和 3. 维数公式 第七节子空间的直和
高等代数(张禾瑞版) 教案-第5章矩阵 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五章 矩 阵 教学目的： 1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。 2. 了解几种特殊矩阵的性质。 教学内容： 5.1 矩阵的运算 1 矩阵相等 我们将在一个数域上来讨论。令F 是一个数域。用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵 A= ?????? ? ??a a a a a a a a a mn m m n n 2 1 222 2111211 叫做F 上一个矩阵。A 也简记作（a ij ）。为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。 一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。 F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。 以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。 我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。 先引入前两种运算。 2 矩阵的线性运算 定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。 注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。 以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。 现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。 3 矩阵线性运输的规律 A+B=B+A ； (A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0； a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ； 这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。 利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法： A —B=A+（— B ）。 于是有 A+B=C ?A=C —B 。 由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。 4 乘法
课程编号：0701110310ADAL 《高等代数(1)》课程教学大纲 High Algebra 5学分 80学时 一、课程的性质、目的及任务 高等代数是数学一级学科下各专业必修的、重要的基础课程，该课程对学生的数学素质与数学思维能力的培养具有重要作用。通过该课程的教学，使学生掌握系统的线性代数理论，了解基本的代数知识与代数结构，掌握抽象的，严格的代数方法。高等代数（上）主要研究多项式理论、行列式理论、矩阵理论、线性方程组的解法和解的判定与结构理论、线性空间理论。 二、适用专业 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业。 三、先修课程 初等数学 四、课程的基本要求 通过本课程的学习，学生应达到如下要求： 掌握多项式的整除、最大公因式及根的概念，熟练掌握求两个多项式的最大公因式的方法，掌握有理系数不可约式项式的方法.掌握行列式的定义与性质，能熟练应用行列式的定义及性质计算并证明行列式，掌握用行列式解线性方程组的方法. 掌握矩阵的概念与运算，掌握可逆矩阵的概念、性质及判别方法，会用初等矩阵求可逆矩阵，并会用分块矩阵的方法求某些可塑矩阵的逆矩阵. 掌握矩阵秩的概念及线性方程有解的判别方法，会用矩阵的初等变换解线性方程组. 掌握线性空间的概念和欧式空间的概念、向量的线性相关性及线性空间的基、维数与坐标的概念，会求齐次线性方程组的解空间. 五、课程的教学内容 （一）教学内容 1．一元多项式理论 一元多项式的概念与性质，环的定义，带余除法，最大公因式，不可约多项式，唯一因式分解定理，重因式，多项式的根多项式函数，代数基本定理，实系数多项式，有理系数多项式。多元多项式部分建议不讲 2．行列式理论 内容包括：矩阵的基本介绍，行列式的定义和性质，行列式的完全展开， Garmer 法则。 3．矩阵理论 内容包括：矩阵的运算，可逆矩阵，矩阵的分块，矩阵的初等变换与初等矩阵，矩阵与线性方程组。 4．线性空间及欧式空间
高等代数教学大纲 (Higher Algebra) 前言 教学大纲是一门课程的指导性文件．教学大纲的科学化、规范化，对建设良好的教学秩序，提高教学质量，搞好教学管理等方面都有很重要的意义．为此，我们根据学校有关文件，编写了《高等代数》这门课程的教学大纲． 《高等代数》这门课程是数学系各专业的必修专业基础课程之一，可为后继课程的学习打下必要的基础．它是数学系各专业硕士研究生入学考试的必考课程．它除培养学生掌握必要的基础知识之外，同时着重训练学生掌握数学结构的观念、公理化的方法、纯形式化的思维，从而在知识结构、综合素质、创新能力等方面对学生加以全面培养和整体提高．本课程的基本内容有: 包括：多项式，行列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线λ矩阵，欧几里得内积空间，双线性函数和辛空间．重点是下列几章：多项式，行性变换, - 列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线性变换,欧几里得内积空间. 通过本课程的学习，学生能正确理解矩阵、行列式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等有关概念, 能理解并掌握线性方程组理论和多项式的理论，并能熟练地应用它们，为后续课程的学习打下坚实的基础． 本课程作为基础课，对其它课程依赖不大，当然，如果在学完《空间解析几何》之后开设效果会更好． 本课程作为基础课，应在大学低年级学生中开设，建议对本科一年级学生开设． 本课程为一学年课程． 教材: 《高等代数学》（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组, 高等教育出版社，2003年。 参考书:《线性代数》吴赣昌主编，中国人民大学出版社，2006年 《高等代数学》姚慕生编, 复旦大学出版社，1999 《高等代数新方法》王品超主编，山东教育出版社，1989年 《高等代数学》（第二版）张贤科主编，清华大学出版社，2002年 《Linear Algebra》S.K.Jain, A.D.Gunawardena，机械工业出版社，2003年 建议学时分配
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/e48523406.html, 基于OBE理念的《高等数学》课程教学改革探索 作者：朱慧媛 来源：《卷宗》2019年第36期 摘要：《高等数学》课程是各专业的基础专业课程，基于OBE理念下明确《高等数学》课程目标，根据各专业特点整合教学内容，实施“多元化”教学模式，提升教学效果。 关键词：OBE理念;高等数学;课程改革 《高等数学》课程作为高等学校是理科类专业公共基础课和必修课，其任务是为各专业课程的学习提供必备的数学知识，并以此作为工具，为专业知识的学习提供支持，同时，培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。因此，该课程是培养各专业人才整体专业知识及能力结构的重要组成部分，而学生的应用能力的培养成了该课程教学改革与探索的主要内容。 1 《高的数学》课程教学改革思路 目前，为了提升地方高校本科教育水平和高质量课堂教学建设是专业教育质量重要的体现。因此，基于“学生为本、成果导向、持续改进”的OBE（Outcome based education）理念成为推动高校专业教育质量提升的思想、制度和文化力量。 1.1 明确《高等数学》课程目标 根据OBE教育理念，通过培养方案专家论证和课程体系定位，明确了《高等数学》课程目标与毕业要求的对应关系，具体如下： 课程目标（1）：培养学生数学运算求解能力、抽象思维和逻辑推理能力;课程目标（2）：培养学生应用数学知识学习后续课程、专业知识、专门技术等的能力;课程目标（3）：培养学生解决职业现实工作和生活中的数学问题能力;课程目标（4）：培养学生具有建立生活和工作中实际问题的数学模型能力，并利用数学的方法完成必要的计算、分析和判断。 1.2 基于专业特点整合教学内容 首先《高等数学》涉及很多专业基础知识，教师在授课时，难全面俱到。重视《高等数学》与关联课程之间的关系，在课程组教师沟通的基础上，对其内容进行梳理和整合。其次，在整合理论课教学内容时，应基于专业特点，以专业类别划分教学模块，对每个模块内容
《高等数学》课程教学改革情况 《高等数学》课程作为非数学专业数学基础课程，历来受到重视，并由理工科向文科不断推进。我校己在理工科专业物理、化学、计算机、生物、生化、信管和文科专业：工商管理、行政管理、旅游管理等开设《高等数学》课程。 1、基本情况 从1999年来，我们承担和主持校级以上《高等数学》教学研究课题３项：《师专物理、化学专业高等数学课程教学内容和体系的研究与实践》（陕西省教育厅教学研究项目984037）、《大学数学课程改革研究》（安康师专系部重点研究项目2003AZXZ001）和《数学实验与高等数学教学》（安康师专科研项目2004AZX003）；获得市级以上学会组织奖励４项：《师专物理、化学专业高等数学课程建设的调查分析》（2003年全国高等师范专科教学研究会优秀论文二等奖）、《高等数学极限理论教学改革的研究与实践》（2004年陕西省教育学会优秀论文一等奖）、《利用Ｄirichlt 函数描述连续和导数概念的局部性》和《一致连续函数的判断》（2004年安康市第七次自然科学优秀论文一等奖和二等奖）。21世纪以来，出版高等数学教学用书两部：《高等教学》（上、下册）（杨开春、张富林、赵临龙，陕西人民出版社，2003.7）教材一部和《高等数学自学必读》（谢克藻、张少华，西安地图出版社，2004.1）教学参考书一部，并出版高等教学辅助教学参考书《常微分方程研究新论》（赵临龙，西安地图出版社，2000.1）和《数学模型方法及应用》（熊启才、曹吉利、张东生、赵临龙，重庆大学出版社，2003.7）两部；发表教学与科研论文15篇（见参考文献），其中被《ＥＩ》收录论文１篇。 2、教学改革 2.1理论研究。《高等数学》课程作为一门传统课程，其理论体系基本达到完善的程度，但它不等于没有研究的问题。当前教学改革的核心问题，还是针对大学扩招后的学生，提供一套切实可行的教材，这就要求对传统的《高等数学》教材从理
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：学科基础 课程性质：必修 一、课程介绍 1.课程描述： 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路： 开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学课程（如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面，通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称为经典代数；19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等，称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 2 -
高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间，是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：数学分析、空间解析几何； 后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数学的基本内容，联系密切。 二、课程目标 本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。 到课程结束时，学生应达到以下几方面要求： （1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准 - 2 -
数学系《高等代数》课程教学大纲 学时：153学时学分：9 适用专业：数学与应用数学 执笔人：储茂权审定人：殷晓斌 说明： 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 （1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法； 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 （2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 （1）注重能力的培养 本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。 （2）注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它
高等数学教学改革实践总结报告 郑丽霞朝鲁 （内蒙古工业大学理学院数学系） 众所周知，高等数学是工科院校最重要的课程之一。其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念、公式和结论，为其它数学课和专业课的学习打好基础，更重要的是通过学习数学可以培育人的理性思维品格和思辩能力；能启迪智慧，开发创造力。因而数学教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程。然而怎样实现数学教学的目的，改变数学教学效果低下的局面呢？很多数学教育研究者在教学模式、教学方法、教学内容上都做了深入广泛的研究，教学内容的改革是其核心。因此，我们在理学院领导的支持下，根据我校的实际情况，在教学内容的改进上做了一些探讨。我们选用了面向21世纪课程教材,《微积分简明教程》（上、下册，内蒙古大学曹之江、刘元俊著），在学校部分院系展开试点工作。也作为我校承担的教育部世行贷款21世纪初高等教育教学改革项目“理工科少数民族本科教育的教学模式及主要基础课程体系及教学内容改革和实践（1282A05031）”的配套教学改革内容的一部分，与预科教学改革进行了交流和借鉴。教学实践总结如下。 一、教材的特点 1．起点高系统性强体系完整思想与应用兼顾 本教材和同济第四版相比内容有所增加，使其起点高系统性强体系完整。该教材第一章实数及其上的映射，其中第一节为无理数与微积分危机。在这一节，从自然数的产生，到有理数的出现，“无理”的数的存在，微积分的危机，一直讲到实数的构造成功。结合具体的历史事实，阐述了数学的发展过程。这段描述生动有趣，不仅使我们了解到我们将要研究的微积分，其立论的基础—实数的来之不易，更重要的是能使读者体会到数学的严密性与抽象性，体会到数学的思维方法。即数学不是直观经验的归纳和总结，而是一种理性的抽象理论。对于学生数学思想方法的形成有积极的作用。紧接着在第二节讲了一维连续统——实数，使学生知道实数的连续性是它与有理数本质的不同点，是全部微积分原理的出发点，从而使微积分的研究有了坚实的基础。而高等数学传统的做法是对数域的连续性避而不谈，只告诉学生在实数域上考虑。事实上是教学生怎样做，而没告诉为什么，以至于《高等数学》学完了，竟不能说出实数域是连续的这种本质特征。教材在内容上作了适当补充，如序列与
高等代数北大版教案-第5章二次型
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢４８ 第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( +++n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 ???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢４９ 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示： 令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( ++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a +++ ∑∑===n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n ?矩阵 ?? ? ? ? ?? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以 A A ='. 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令???? ?? ? ??=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 2 1 ='??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211??? ? ? ? ? ??n x x x 21
附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求
精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）
高等数学课程教学方法及教学手段改革情况高校只有深化教学改革，即从教育思想和观念的更新到教育模式的变革；从课程教材内容改革到实现教学方法和手段的现代化；从专业设置到教师角色的转变等等，才能适应新时期对教育发展的要求。为此，我们在高等数学教学中对教学方法与教学手段的改革方面做了以下的尝试： 一、教学方法的改革 教学内容和课程体系改革与教学方法、教学手段的改革是相辅相成的，要改革教学方法，首先必须转变教学思想和教学观念。为此，在高等数学的任课教师中开展了转变教育思想和观念的学习和讨论，使大家在教学方法改革方面形成了一致的认识，我们认为首先要让学生从知识的被动接受者转变为主动参与者和积极探索者，在发挥教师主导作用的同时，充分发挥学生的主体作用，要为学生的积极参与创造条件，引导学生去思考、去探索、去发现，要鼓励学生大胆地提出问题，改变过去讲细，讲透的教学方法。其次，在教学的过程中，采用多种便于学生接受的授课方法，如：教师利用多媒体上课，利用数学软件画图，动画演示几何图形的形成；确立以人为本、以教师为主导、学生为主体的教育理念，努力调动学生学习的自觉性和积极性，注意激活学生的思维，例如：进行课堂提问和讨论，学生到黑板上做题并讲解。最后，还要有形式多样课堂以外的教学活动，例如：给学生布置一些达到基本要求的作业题、类型新颖的思考题、判断题、改错题等；指导学生应用数学软件及计算机工具解决一些数学和实际应用的问题。通常在学生完成作业并经教师批改后，从中选择独特的解题方法讲给学生，这比教师讲题更引人入胜，必要时可让学生讲解自己的解题思路。学生在学习知识的同时也在领悟一种思维方法，学生这样学到的知识不仅扎实，而且能够举一反三，运用自如，并且体验到了学习的乐趣所在。 同时，为了为优秀人才的成长创造条件，在部分学院进行了按层次分流培养的改革试点。
第四章 线性方程组 一 综述 线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的. 作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）. 线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求 掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法. 4.1 消元法 一 教学思考 本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求 主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程 1．引例：解方程组???? ?????=++=++=++2534233351 3121321321321x x x x x x x x x （1） 定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据 3．转引 在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：