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材料力学第章简单超静定问题习题解

N(F/4)

x(a)

第六章简单超静定问题习题解

[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：

B BD R N = F R N B CD += F R N B A

C 3+=

变形谐调条件为：

0=?l

02=?+?+?EA a

N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N

03)(2=++++F R F R R B B B

R B -

=（实际方向与假设方向相反，即：↑）

故：45F

N BD -

= 445F F F N CD -=+-=

7345F

F F N AC

+-= 轴力

图如

图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为

21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。试

求各杆的轴力。

解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X

030cos 30cos 01032=-+-N N N

0332132=-+-N N N

0332132=+-N N N (1)

∑=0Y

030sin 30sin 0103=-+F N N

2013=+N N (2)

变形谐调条件：

设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：

00130cos 30sin x y l δδ+=?

x l δ=?2

00330cos 30sin x y l δδ-=?

03130cos 2x l l δ=?-?

2313l l l ?=?-?

设l l l ==31，则l l 2

31123

3EA l N EA l

N EA l N ?

?=- 2

331123A N A N A N =- 15023200100231?=-N N N 23122N N N =-

21322N N N -= (3)

(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22

=；kN

N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。 [习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用

4321,,,N N N N 表示。

由其平衡条件可列三个方程：

0=∑Z

04321=-+++F N N N N

F N N N N =+++4321 (1)

0=∑x

22242=-?

a N a N 42N N = (2)

0=∑y

22231=?-?+?

a N e F a N a

N N 231-

=- (3)

由变形协调条件建立补充方程

N EA l N EA l N 2

312=+

2312N N N =+。。。。。。。。。。（4）

(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：

42F

N N =

= F a

e N )241(1-=

F a

e N )241(3+=

[习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积

相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积21000mm A =，试求两杆的轴力和应力。

解：以AB 杆为研究对象，则：

0=∑A

0350221=?-?+?a a N a N 150221=+N N (1)

变形协调条件：

122l l ?=?

N EA l N 122= 122N N = (2)

(1)、(2)联立，解得：

kN N 301= kN N 602=

MPa mm

A N 30100030000211===

σ MPa mm

A N 60100060000222===

[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。解：以AB 杆为研究对象，则：

0=∑A

)330(3121=?

?-?+?N N 135321=+N N (1)

变形协调条件： 3

21=??l l

123l l ?=?

12238.1EA l

N EA l N ?=?

400

32008.11

2N N =? 212.1N N = (2)

(1)、（2）联立，解得：

kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）

故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322

强度校核：

MPa MPa mm

N A N 170][4275.9640038571||||2111=<===σσ，符合强度条件。 MPa MPa mm

N A N 170][715.160200321432122

=<===

σσ，符合强度条件。

[习题6-6] 试求图示结构的许可荷载[F]。已知杆AD ，CE ，BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为][σ，梁AB 可视为刚体。

解：以AB 杆为研究对象，则：

∑=0Y

0321=-++F N N N

F N N N =++321 (1)

∑=0A

0232=?-?+?a F a N a N F

N N =+322 (2)

变形协调条件：

2132l l l ?+?=?

N EA l N EA l N 21322+=?

2134N N N += (3)

(1)(2)(3)联立，解得：

221F N N =

=；5

3F N =

强度条件： ][5221σσσ≤=

A A F ][5.22]

[5σσ=≤

][53σσ≤=A

][5σA F ≤

故：A F ][5.2][σ=

[习题6-7] 横截面积为mm mm 250250?的短木柱，用四根

mm mm mm 54040??的等边角钢加固，并承受压力F ，如图所示。已知角钢的许用应力MPa s 160][=σ，弹性模量GPa E s 200=；木材的许用应力

MPa w 12][=σ，弹性模量GPa E w 10=。试求短木柱的许可荷载[F]。

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：

（1）

由木柱与角钢间的变形相容条件，有

（2）

由物理关系：

（3）

式（3）代入式（2），得

（4）

解得：

代入式（1），得：

（2）许可载荷由角钢强度条件

由木柱强度条件：

故许可载荷为：

[习题6-8] 水平刚性横梁AB 上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C 支承，如图所示。由于制造误差，杆1和长度短了mm 5.1=δ。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且

GPa E E 20021==，A A A ==21。试求装配后两杆的应力。解：以AB 梁为研究对象，则：

0=∑C

0145sin 2021=?+?-N N

214

N N =

…………(1) 变形协调条件： 11AA l -=?δ

122

BB l =

1212l l BB AA ??-=

δ 2122l l ?=?-δ

l N EA l N 22221?=-

δ EA

N EA l N 214=-

δ (2)

(1)、(2)联立，解得： l EA N )162(21+=δ；l

EA N )162(42

MPa mm mm MPa l E 242.161500)162(5.1102002)162(231=?+???=

+=δσ

MPa mm

mm MPa l

E 939.451500)162(5.1102004)162(432=?+???=

δσ

[习题6-9] 图示阶梯状杆，其上端固定，下端

与支座距离mm 1=δ。已知上、下两段杆的横截面面积分别为2600mm 和2300mm ，材料的弹性模量GPa E 210=。试作图示荷载作用下杆的轴力图。

第六章简单超静定问题习题选解

图习题?-16 图 ? N l 图习题?-56习题 [6-1] 试作图示等直杆的轴力图。解：把A 支座去掉，代之以约束反力A R （↑）。 A AC R N = F R N A CD 2-= F R N A BD 3-= 变形协调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)2(2=-+-+F R F R R A A A 4 7F R A = 故：4 7F R N A AC = = 42472F F F F R N A CD -=-=-= 4 53473F F F F R N A BD - =-=-= 轴力图如图所示。 [6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。解：以AB 杆为研究对象，则： 0=∑A M

1 02 3 )330(3121=? ?-?+?N N 135321=+N N (1) 变形协调条件： 3 1 21=??l l 123l l ?=? 1 12238.1EA l N EA l N ?=? 400 32008.11 2N N =? 212.1N N = (2) (2)代入（1）得： 13532.122=+N N )(143.322 .4135 2kN N ≈= （拉力） )(571.38143.322.12.121kN N N ≈?== （压力）按轴力正负号的规定，记作： kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mm N A N 170][4275.9640038571|| ||2 111=<===σσ，符合强度条件。

《材料力学》第6章-简单超静定问题-习题解

第六章简单超静定问题习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑）故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N

材料力学简单的超静定问题答案

6-1试作图示等直杆的轴力图。解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。因为固定端不能移动，故变形协调条件为：故故返回 6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为，和。试求各杆的轴力。解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。此时各杆的变形及如图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。

即：亦即：将，，代入，得：即：亦即：（1）此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有：；亦即：（2）；，亦即：（3）联解（1）、（2）、（3）三式得：

（拉）（拉）（压）返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：

变形协调条件：补充方程：求解上述三个方程得：返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF 使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。解：，（1）又由变形几何关系得知：，（2）联解式（1），（2），得，故，

返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：（1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有（2）由物理关系：（3）式（3）代入式（2），得

材料力学简单的超静定问题答案

6-1 试作图示等直杆的轴力图。解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。因为固定端不能移动，故变形协调条件为：故故返回 6-2 图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为，和。试求各杆的轴力。解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点 A移至。此时各杆的变形及如图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。

即：亦即：将，，代入，得：即：亦即：（1）此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有：；亦即：（2）；，

亦即：（3）联解（1）、（2）、（3）三式得：（拉）（拉）（压）返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：

变形协调条件：补充方程：求解上述三个方程得：返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。解：，

（1）又由变形几何关系得知：，（2）联解式（1），（2），得，故，返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm ×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：（1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有（2）由物理关系：（3）式（3）代入式（2），得（4）解得：代入式（1），得：（2）许可载荷由角钢强度条件

《材料力学》第6章简单超静定问题习题解

轴力图01234-5-4-3-2-101234567 N(F/4)x(a)第六章简单超静定问题习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑）故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 47345F F F N AC =+-= 轴力图如图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 311233EA l N EA l N EA l N ??=- 22331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N

简单超静定问题

6-1.6-11.6-17 第六章简单超静定问题习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑）故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。

《材料力学》第6章简单超静定问题习题解

轴力图 1 234 -5 -4 -3 -2 -1 12 3 4 5 6 7 N(F/4) x(a) 第六章简单超静定问题习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑）故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。