第六章 简单超静定问题 习题解
[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：
B BD R N = F R N B CD += F R N B A
C 3+=
变形谐调条件为：
0=?l
02=?+?+?EA a
N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N
03)(2=++++F R F R R B B B
45F
R B -
=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F
N BD
-= 445F F F N CD -=+-=
4
7345F
F F N AC
=
+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积
分别为21100mm A =，2
2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X
030cos 30cos 01032=-+-N N N
0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)
∑=0Y
030sin 30sin 0103=-+F N N
2013=+N N (2)
变形谐调条件：
设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：
00130cos 30sin x y l δδ+=?
x l δ=?2
00330cos 30sin x y l δδ-=?
03130cos 2x l l δ=?-?
2313l l l ?=?-?
设l l l ==31，则l l 2
32=
2
23
31123
3EA l N EA l
N EA l N ?
?=- 2
2
331123A N A N A N =- 150
23200100231?=-N N N
23122N N N =-
21322N N N -= (3)
(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。
解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用4321,,,N N N N 表示。 由其平衡条件可列三个方程：
0=∑Z
04321=-+++F N N N N F N N N N =+++4321 (1)
0=∑x
M
02
22242=-?
a N a N 42N N = (2)
0=∑y
M
02
22231=?-?+?
a N e F a N a
Fe
N N 231-
=- (3)
由变形协调条件建立补充方程
EA
N EA l N EA l N 2
312=+
2312N N N =+。。。。。。。。。。（4）
(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：
4
42F N N =
= F a e N )241(1-=
F a
e N )241(3+=
[习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积2
1000mm A =，
试求两杆的轴力和应力。
解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
0350221=?-?+?a a N a N 150221=+N N (1)
变形协调条件：
122l l ?=?
EA
l
N EA l N 122= 122N N = (2)
(1)、(2)联立，解得：
kN N 301= kN N 602=
MPa mm N
A N 301000300002
11===σ MPa mm N
A N 601000600002
22===
σ
[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积2
2200mm A =和2
1400mm A =，钢杆的许用应力
MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。
解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
02
3
)330(3121=?
?-?+?N N 135321=+N N (1)
变形协调条件：
3
1
21=??l l 123l l ?=?
1
12238.1EA l
N EA l N ?=?
400
32008.11
2N N =? 212.1N N = (2)
(1)、（2）联立，解得：
kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）
故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mm
N
A N 170][4275.9640038571||
||2111=<===σσ，符合强度条件。 MPa MPa mm N A N 170][715.160200321432
122=<===σσ，符合强度条件。
[习题6-6] 试求图示结构的许可荷载[F]。已知杆AD ，CE ，BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为][σ，梁AB 可视为刚体。
解：以AB 杆为研究对象，则：
∑=0Y
0321=-++F N N N
F N N N =++321 (1)
∑=0A
M
0232=?-?+?a F a N a N F N N =+322 (2)
变形协调条件： 2132l l l ?+?=?
EA
l
N EA l N EA l N 21322+=? 2134N N N += (3)
(1)(2)(3)联立，解得： 5221F N N ==；5
3F
N = 强度条件： ][5221σσσ≤=
=A
F
A A F ][5.22]
[5σσ=≤
][53σσ≤=
A
F
][5σA F ≤
故：A F ][5.2][σ=
[习题6-7] 横截面积为mm mm 250250?的短木柱，用四根mm mm mm 54040??的等边角钢加固，并承受压力F ，如图所示。已知角钢的许用应力MPa s 160][=σ，弹性模量
GPa E s 200=；木材的许用应力MPa w 12][=σ，弹性模量GPa E w 10=。试求短木柱的
许可荷载[F]。
解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：
（1）
由木柱与角钢间的变形相容条件，有
（
2）
由物理关系：
（3）
式（3）代入式（2），得
（4）
解得：
代入式（1），得：
（2）许可载荷 由角钢强度条件
由木柱强度条件：
故许可载荷为：
[习题6-8] 水平刚性横梁AB 上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C 支承，如图所示。由于制造误差，杆1和长度短了mm 5.1=δ。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且GPa E E 20021==，A A A ==21。试求装配后两杆的应力。
解：以AB 梁为研究对象，则：
0=∑C
M
0145sin 2021=?+?-N N
214
2
N N =
…………(1) 变形协调条件： 11AA l -=?δ
122
2
BB l =
?
2
11
1212l l BB AA ??-==
δ 2122l l ?=?-δ
EA
l N EA l N 22221?=-
δ
EA
l
N EA l N 214=
-
δ………...(2) (1)、(2)联立，解得：
l EA N )162(21+=
δ；l
EA N )162(42+=
δ
MPa mm mm MPa l E 242.161500)162(5.1102002)162(231=?+???=
+=
δσ
MPa mm
mm MPa l
E 939.451500)162(5.1102004)162(432=?+???=+=
δσ
[习题6-9] 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm 1=δ。已知上、下两段杆的
横截面面积分别为2600mm 和2
300mm ，材料的弹性模量GPa E 210=。试作图示荷载作用下杆的轴力图。
解：设装配后，支座B 的反力为B R （↓），则： B BC R N =
40+=B CD R N （D 为60kN 集中力的作用点）
100+=B AD R N
变形协调条件：
δ=∑=n
i i
l
1
m R R m m kN m kN R B B B 36
666262610110
600102102
.1)100(10600102104.2)40(10300/102102.1----?=????++????++????
1261202.1964.24.2=++++B B B R R R
906-=B R
)(15kN R B -=。故：
[习题6-10] 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC 段和BD 段的横截面面积为A ，CD 段的
横截面面积为2A ；杆的弹性模量为GPa E 210=，线膨胀系数1
06)(1012--?=C l α。试求
当温度升高C 0
30后，该杆各部分产生的应力。 解：变形协调条件：
0=?l
0=?+?t N l l
04)
2(22=???++a t A E a
N EA Na l α 043=???+a t EA
Na
l α 043=???+t EA
N
l α )
(100800/1021030)(10123
4
342260106kN A Am m kN C c tEA N l -=??????-=?-=--α MPa kPa A
N
BD AC 8.100)(100800-=-===σσ MPa kPa A
N
CD 4.50)(504002-=-==
σ
[习题6-11] 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩e M 。若
212d d =，试求固定端的支反力偶矩A M 和B M ，并作扭矩图。
解：把B 支座去掉，代之以约束反力偶 ，
其矩为B M ，转向为逆时针方向，则：
B B
C M T = e B CA M M T -=
变形协调条件：
A 、
B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：
0=+=CB AC AB ???
02)(21=+-P B P e B GI a
M GI a M M
022
1=+-P B
P e B I M I M M
式中，241414111632
1
16)2(321321P P I d d d I =?===
πππ，故： 02162
2=+-P B P e B I M I M M
0216=+-B e
B M M M
33
e
B M M =
33
3233e
e e A M M M M -=-=
（顺时针方向转动） 33
e
B B
C M M T =
= 33
32e
e B CA M M M T -
=-=
AB 轴的轴力图如下：
和截面C 的扭转角。
解：把B 支座去掉，代之以约束反力
力偶，其矩为B M ，逆时针方向 转动。，则：
B CB M T = e B CA M M T -=
变形协调条件：
A 、
B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：
0=+=CB AC AB ???
01
5.0)(=?+?-P B P e B GI M GI M M
02=+-B e B M M M
3
e
B M M =
，故：
)(267.13
8
.33m kN M M T e B CB ?===
= )(533.23
8
.3232m kN M M M T e e B CA ?-=?-=-
=-= C 截面左侧的最大切应力： P
CA
CA W T =
max,τ 式中，抗扭截面模量)(423906014.316
1
161333mm d W P =??==
π MPa mm
mm
N W T P CA CA
8.594239010533.2||3
6max,=??==τ C 截面右侧的最大切应力： P
CB
CB W T =
max,τ MPa mm
mm N W T P CB CB
9.294239010267.1||3
6max,=??==τ C 截面的转角： P
CB
CB BC C GI l T =
=?? 式中，444412717006014.332
1
321mm mm d I P =??==
π 04
236714.0)(01245.01271700/1080100010267.1==?????===rad mm mm N mm mm N GI l T P CB CB BC
C ??[习题6-13] 一空心圆管套在实心圆杆B 的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一直径
相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一β角。现在杆B 上施加外力偶使杆B 扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B 上的外力偶。试问管A 和杆B 横截面上的扭矩为多大？已知杆A 和杆B 的极惯性矩分别PA I 和PB I ；两杆的材料相同，其切变模量为G 。
解：解除Ⅱ端约束2M （逆时针方向转动），则由于B 杆锚固时处于弹性变形阶段，所以解除约束II 之后，Ⅱ端相对于截面C 转了β角。因为事先将杆B 的C 端扭了一个β角，故变形协调条件为
02
2=-M ?β
PA
B PB A PB
PA B A I l I l I GI M T T +=
==β2
[习题6-14] 图示圆截面杆AC 的直径mm d 1001=，A 端固定，在截面B 处承受外力偶矩
m kN M e ?=7，截面C 的上、下两点处与直径均为mm d 202=的圆杆EF 、GH 铰接。已知各杆材料相同，弹性常数间的关系为E G 4.0=。试求杆AC 中的最大切应力。
解：把EF 杆与GH 杆切断，代之以约束反力。由轴AC 的受力特点可知，这两个约束反力构成一力偶，设它的力偶矩为C M （顺时针方向转动）。
)(12.0)(21m kN N d d N M EF EF C ?=+=
EF C BC N M T 12.0-=-= EF C e AB N M M T 12.07-=-=
杆EF 、GH 的作用是阻止C 截面转动，但因这这两根杆件是可变形固体，故C 截面仍有转角C ?。
2
32121)1020(14.34
1
5.22
12
.022)(2
1
-??????
=?+=
+?=
G N EA l N d d d d l EF EF EF EF C ?
G
N EF
845.42462=
变形协调条件为：
C BC AB AC ????=+=
C P
BC
BC P AB AB GI l T GI l T ?=+ G
N GI N GI N EF
P EF P EF 845.42462112.01)12.07(=?-?-
1
845.4246212.012.07EF
P EF P EF N I N I N =--
P EF EF I N N 845.4246224.07=-
式中，)(108125.9)1.0(14.332
1
3214644m m d I P -?=??==
π，故： EF EF EF N N N 42.0108125.9845.4246224.076=??=--
)(61.1066.0/7kN N EF ==。 故：
)(273.161.1012.012.0m kN N T EF BC ?-=?-=-=
)(727.5273.1712.07m kN N M M T EF C e AB ?=-=-=-=
杆AC 的最大切应力出现在AB 段的圆轴表面：
MPa mm mm
N d T W T P 182.2910014.310727.516163
363max max max =????===πτ
[习题6-15] 试求图示各超静定梁的支反力。
[6-15（a ）]
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程为：
0=B w 0=+BF BR w w B
查附录IV ，得：EI a R EI a R w B B BR B
3393)3(-=-=
EI
Fa a a EI a F w BF
314)233(6)2(3
2=-?=
故， 031493
3=+-=+EI
Fa EI a R w w B BF
BR B
03
149=+
-F
R B 27
14F
R B =
（↑） 由
0=∑Y 得：27
132714F
F F R A =
-
= （↑） 由0=∑A M 得：9
4327142Fa
a F a F M A =
?+
?-（逆时针方向转动） [6-15(b)]
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程
为：
0=B w 0=+B e R BM w w
查附录IV ，得：
EI
a M EI a M w e e BM e
2222)2(-=-=
EI
a R a a EI a R w B B R B
38)223(6)2(32-=-?-=
故， 038232=--=+EI
a R EI a M w w B e R BM B
e
03
4=+
a
R M B e a
M R e
B 43-
= （负号表示方向向下，即↓） 由
0=∑Y 得：a
M R e
A 43=
（↑） 由0=∑A M 得：e e A M a a M M +?-
243，a
M
M e A 2=（逆时针方向转动） [6-15(c)]
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B M 和B F ，方向如图所示。则变形协调条件为： 0=B w ；0=B θ
0=++B s M BF Bq w w w
查附录IV ，得： EI ql w Bq
84
= EI l F w B BF B
33-=
EI
l M w B BM B
22=
故， 0238234=+-=++EI
l M EI l F EI ql w w w B B M BF Bq B
s 02
382=+-B
B M l F ql 012832=+-B B M l F ql (1)
0=B θ
0=++B
B
BM BF Bq θθθ
查附录IV ，得： EI ql Bq
63
=θ EI
l F B BF B
22-=θ
EI
l
M B BM B
=
θ 故， 02623=+-=++EI
l M EI l F EI ql B B BM BF Bq B
B θθθ 02
62=+-B B M l
F ql 0632
=+-B B M l F ql (2)
(1)、（2）联立，解得：2
ql
F B =（↑）；122ql M B =（顺时针方向转动）。
根据对称结构在对物荷载作用下的性质可知，
2
ql
F A =（↑）；122ql M A =（逆时针方向转动）
[习题6-16] 荷载F 作用在梁AB 及CD 的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为：
23
21=l l 和5
4
21=EI EI 。
解：把连接梁AB 与梁CD 的垫块去掉，代之以约束反力B R （↑）和C R （↓）。显然，它们是一对作用力反作用力。C B R R =。
查附录IV 得：AB 在B 处的挠度：
1
3
1
3)(EI l R F w B B ?-=
CD 在C 处的挠度为：
2
3
23EI l
R w C C =
变形协调方程：C B w w =
2
3
2131
33)(EI l R EI l R F C B =?-
2
3
213
1)(I l
R I l R F C C =?-
135
32)32(54)(331221=?=?=-l l I I R R F C C 167
135F
R C =
（↓）。即，梁CD 在C 处所受的力。 梁AB 在B 处所受的合力为：167
32167135F
F F =
-
（↓）。 [习题6-17] 梁AB 因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC 加固，如图所示。
试求：
（1）二梁接触处的压力C F ；
（2）加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数。 解：（1）求二梁接触处的压力C F
以AB 为研对象，把C 处的圆柱垫去掉，代之以约束反力C F （↑）；以AC 为研究对象，作用在C 处的力为'
C F （↓）。C F 与'
C F 是一对作用与反作用
力，'
C C F F =。
AB 梁在C 处的挠度：
C CF CF AB C w w w +=,。
查附录IV 得：
EI Fl l l EI l F w CF
485)23(6)2(32
=
-= EI
l F l l EI l F w C C CF C
24)223(6)2(32
-
=-?-= 故，EI
l F EI Fl w w w C CF CF AB C C 244853
3,-=+= AC 梁在C 处的挠度：
EI
l F EI l F w C C AC
C 243)2(33
',=
= 变形协调方程：
AC C AB C w w ,,=
EI
l F EI l F EI Fl C C 2424485333=- 2424485C
C F F F =- C C F F F 225=-
4
5F
F C =
（↑） （2）求加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数 ① 弯矩的变化情况 加固前： 2
2Fl l F M C -=?
-=
第九章 超静定系统 9-1 图示悬臂梁32750,3010.l mm EI N m ==?。弹簧刚度3 17510/k N m =?。若梁与弹簧的间隙 1.25mm δ=，求力450P N =作用时弹簧的受力。 解：若按一般悬臂梁，则有作用点处挠度3 2.11 1.253Pl f mm mm EI δ==>= 可见梁在实际变形下触及弹簧。 设弹簧的弹力为N ，问题一次超静定；挠度设为P δ，则弹簧被压缩量为P δδ-， 对梁而言3 ()3P l P N EI δ=-； 对弹簧而言N=k(-)P δδ 以上两式得3()3l N P N EI K δ-=+，解得82.7N =牛顿 所以，弹簧受力为82.7牛顿。 题9-1图 题9-2图 9-2 图示悬臂梁的自由端刚好与光滑斜面接触，求温度升高t ?时梁的最大弯矩。已知A a E I 、、、，且不计轴力对弯曲变形的影响。 解：斜面光滑，则B 处（自由端）所受力为垂直于斜面向上，以B R 代替。问题一次超静定，协调条件为：垂直于斜面方向上的位移分量为0（沿B R 方向） 升温时，l t l α?=??，则分量为cos45t l δ=??? B R 作用下：(),cos45R B B B M x M Nl N dx N R EI P EA R δ??=?+?=????? 362B B R R l R l EI EA δ=+ （沿B R 向斜上方），t δ与R δ方向相反，则：0R t δδ-= 解出2 3B R t Al I α= ?+，则max 23cos 453B EIAl M R l t Al I α=?=?+
9-3 图示桁架中各杆的抗拉压刚度相同。试求桁架各杆的内力。 解：假设1杆受拉力N 。由于杆1实际上是连续的，因而切口处的相对位移应等于零。于 是变形协调条件为：10δ=。应用莫尔定理01i i i i N N l EA δ=∑，11N N =，31N N =， 5612N N N ==-， 341N N P ==-，00131N N ==，00562N N ==- ， 0034N N == ∴116+(180N δ=-+= ，31N N == （拉力）， 56N N == 24N N == q 题9-3图 题9-4图 题9-5图 9-4 设刚架的抗弯刚度EI 为常量。试求刚架A 点和C 点的约束反力，并画出刚架的弯矩图。 解：问题一次超静定，解除C 处支反力()C R ↑ 则M 分布为：111()(0)C M x R x x a = ≤≤；2 222()(0)2C qx M x R a x l =- ≤≤ 则C 处向上的位移2 2111200()2C a l C C C qx R a M x M R x dx x dx adx EI R EI EI δ-?==+???? 积分得32336C C R a R a l ql a lC EI EI EI δ=+-，而0C δ=，求得3 2 ()26C ql R a al =↑+ 整体结构0Y =∑，求得32 (),2(3)2 A C A ql ql R R M a l =↓=-+ +（逆时针向） 9-5 悬臂梁的自由端用一根拉杆加固。若杆横截面为直径10d mm =的圆形，梁的截面惯性
图 习题?-16 图 ? N l 图 习题?-56习 题 [6-1] 试作图示等直杆的轴力图。 解：把A 支座去掉，代之以约束反力A R （↑）。 A AC R N = F R N A CD 2-= F R N A BD 3-= 变形协调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)2(2=-+-+F R F R R A A A 4 7F R A = 故：4 7F R N A AC = = 42472F F F F R N A CD -=-=-= 4 53473F F F F R N A BD - =-=-= 轴力图如图所示。 [6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。 解：以AB 杆为研究对象，则： 0=∑A M
1 02 3 )330(3121=? ?-?+?N N 135321=+N N (1) 变形协调条件： 3 1 21=??l l 123l l ?=? 1 12238.1EA l N EA l N ?=? 400 32008.11 2N N =? 212.1N N = (2) (2)代入（1）得： 13532.122=+N N )(143.322 .4135 2kN N ≈= （拉力） )(571.38143.322.12.121kN N N ≈?== （压力） 按轴力正负号的规定，记作： kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mm N A N 170][4275.9640038571|| ||2 111=<===σσ，符合强度条件。
工程力学 静力学与材料力学 (单辉祖 谢传锋 著) 高等教育出版社 课后答案 1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。与其它物体接触处的摩擦力均略去。 解： 1-2 试画出以下各题中AB 杆的受力图。 (a) B (b) (c) (d) A (e) A (a) (b) A (c) A (d) A (e) (c) (a) (b)
工程力学 静力学与材料力学 (单辉祖 谢传锋 著) 高等教育出版社 课后答案 解： 1-3 试画出以下各题中AB 梁的受力图。 (d) (e) B B (a) B (b) (c) F B (a) (c) F (b) (d) (e)
解： 1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。 (a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。 解： (a) F (b) W (c) (d) D (e) F Bx (a) (b) (c) (d) D (e) W (f) (a) D (b) C B (c) B F D
1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。 (a) 结点A ，结点B ；(b) 圆柱A 和B 及整体；(c) 半拱AB ，半拱BC 及整体；(d) 杠杆AB ，切刀CEF 及整体；(e) 秤杆AB ，秤盘架BCD 及整体。 解：(a) (d) F C (e) W B (f) F F BC (c) (d) AT F BA F (b) (e)
(b) (c) (d) (e) F AB F A C A A C ’C D D C’ B
第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =-
静定与超静定问题物体系统的平衡问题 （一次课教案） 教案编写者：许庆春 说明：本教案是以课时为单位编制的教学具体方案，即文字教案，由教师采用多媒体课件与黑板、粉笔同时施教。教案中的红色数字为多媒体课件中的页面号，为我校研制的、由高等教育出版社出版的《理论力学课堂教学系统（上）》中的内容；教案中的*. ppt（红色字体）是教师根据课堂教学需要、利用Powerpoint制作的增加内容。
平面问题 平面问题 图（b ） 图（c ） 图（d ） 3-4 静定与超静定问题 物体系统的平衡问题 一、有关概念 1．自由度 完全确定物体在空间位置所需的独立变量的个数称为它的自由度，用k 表示。 2．结构与机构 自由度： k=3 k=1 k=0 k=0 从约束来看：自由体(无约束) 非自由体(有约束) 非自由体 非自由体 从自由度来看：机构（k >0） 机构 结构（k=0） 结构 未知力的个数 Nr = 3 Nr = 4 独立平衡方程的个数 Ne = 3 Ne = 3 Nr = Ne Nr > Ne 静定问题 超静定问题 二、静定与超静定问题 在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平衡方程的个数，这时所有的未知量可用平衡方程求出，这类问题——静定问题，如图（c ）所示；如果未知量的个 xu4-5.ppt 开始 图（a ） xu4-5.ppt 结束
30开始 30结束 31开始 31结束 数多于独立的平衡方程的个数，这时未知量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解，这类问题——超静定问题，如图（d ）所示。 屏幕上，第一排三个例子是静定问题，第二排三个例子是超静定问题。 超静定问题工程上非常多，如这是超静定 拱、超静定梁、超静定桁架。这里我们只研究静定问题，这是因为：①求解静定问题是求解超静定问题的基础；②解超静定问题要考虑物体的变形，而我们的研究对象是刚体，不考虑变形，因此目前我们无法解超静定问题，在后续课程材料力学、结构力学中，我们将研究超静定问题。 在前面的讨论的平衡问题中，研究对象大多是一个物体，但在实际工程中，我们研究的对象往往比较复杂，由若干个物体组成，这若干个物体组成的系统，我们就称为物体系统，下面我们研究物体系统的平衡问题。 三、物体系统的平衡问题 屏幕上的物体系统由AB 、BC 两部分组成，对整个系统而言，铰B 是系统内物体之间的联系——内约束，对应的约束力——内约束力；支座A 、D 、E 是系统外部其它物体与系统的联系——外约束，相应的约束力——外约束力。 注意：内约束与外约束、内力与外力是相对的，是相对一定的研究对象而言的。如铰B 处的约束力对整个系统而言是内力，但对AB 或BC 而言就是外力了。 如果物体系统平衡，则组成物体系统的每一个物体也平衡。如ABC 平衡，则AB 、BC 也平衡。对物体系统中的每个物体列平衡方程即可求解。若物体系统由n 个物体组成，每个物体都受到平面力系作用，则独立的平衡方程总共可列出3n 个，可解3n 个未知量。 xu4-6.ppt 开始 xu4-6.ppt 结束
第五节简单拉压超静定问题 在前面几节讨论的问题中，杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。例如图5-25a所示的杆AB，在C处受到集中力P，则AC、CB段的内力可由平衡方程求出；同样，图5-26a所示的构架，是由AB及AC两杆组成，在A点受到载荷G的作用，求AB和AC杆的两个未知内力时，因能列出两个平衡方程，所以是静定问题。 (a) (b) 图5-25 图5-26 在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度和刚度，或者由于构造上的需要，往往要给构件增加一些约束，或在结构物中增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的数目多于刚体静力学平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求解。这类问题称为超静定问题或称静不定问题。未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数或称超静定次数。例如图5-25b所示的杆，A、B两端有未知的约束力R1、R2，y方向静力平衡方程数只有1个，故属于一次超静定问题；图5-26b所示的构架，是由AB、AC、AD三杆组成，若取节点A研究，其所受力组成平面汇交力系，可列出2个静力平衡方程，但未知力有3个（N1、N2、N3），属于一次超静定问题。显然仅由静力平衡方程不能求出全部未知内力。 求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系（称为变形协调条件），列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。下面通过例题说明超静定问题的解法。 例5-8图5-27a所示为两端固定的杆。在C、D两截面处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。
建筑力学基本计算5 力法计算一次超静定结构 1、基本概念和计算要求 在学习力法计算超静定结构的时候,要注意下列几点： 1） 力法的基本原理，通过多余未知力的概念，把超静定结构问题转化为静定结构的计算问题。 2） 结构超静定次数的确定，多余约束、多余约束反力和抄静定次数的关系，基本结构的确定。 3） 力法典型方程的建立及方程中想关系数的意义。 2、基本计算方法 在学习力法的基本方法时，要注意下列问题： 1） 选择基本结构。由于力法是以多余未知力作为基本未知量，首先应根据去掉多余约束的 原则和方法去掉多余约束代之以多余未知力，得到与原结构相应的静定结构即基本结构。选择基本结构应注意：基本结构必须是几何不变体系的静定结构，几何可变体系（或瞬变体系）不能用作基本结构；多余约束力的方向应该符合约束的方向；选择的基本结构应该尽量使解题步骤简化。 2） 基本方程的建立。将基本结构与原结构以受力条件进行比较会发现：只要多余未知力就 是原结构的支座反力，则基本结构与原结构受力情况完全一致；当解出多余未知力，将其视为荷载加在基本结构上，超静定结构的计算即转化为静定结构的计算。 3、计算步骤和常用方法 考试要求基本是以力法计算一次超静定刚架（或梁）为主，基本计算步骤是： 1） 选择基本结构。确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并以相应的约束力代替而得到 的一个静定结构作为基本结构。 2） 建立力法典型方程。01111=?+P X δ（一次超静定结构） 3） 计算δ11和Δ1P 。首先要画出基本结构在荷载作用下的M P 图和基本结构在单位未知力作用下的1M 图，然后用图乘法分别计算δ11（1M 图和1M 图图乘）和Δ1P （M P 图和1M 图图乘）。 4） 求多余未知力。代入力法典型方程求出多余未知力。 5） 作内力图（一般为作弯矩图）。可按P M X M M +?=11式叠加对应点的弯矩，从而画 出弯矩图。 4、举例 作图（a ）所示超静定刚架的弯矩图。已知刚架各杆EI 均为常数。 [解]（1）选择基本结构 图（a ）为二次超静定刚架，去掉C 支座约束，代之以多余未知力X 1、X 2得到如图（b ）所示悬臂刚架作为基本结构。 （2）建立力法典型方程 原结构C 支座处无竖向位移和水平位移，故△1=O ，△2=0，则其力法方程为
6-1试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分 别为，和。 试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。 此时各杆的变形及如图所示。现求它们之 间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦即：（2） ；， 亦 即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得：
（拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF 使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面 积，试求两杆的轴力和应力。 解：， （1） 又由变形几何关系得知： ，（2） 联解式（1），（2），得， 故，
返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。 解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3） 式（3）代入式（2），得
第5章力法 5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定 1. 超静定结构的概念 前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。关于结构的静定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和内力的结构。 现在，我们要讨论的是超静定结构。它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或内力的结构。如图5.1(a)所示的简支梁是静定的，当跨度增加时，其内力和变形都将迅速增加。为减少梁的内力和变形，在梁的中部增加一个支座，如图5.1(b)所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结构。也正是由于这个多余联系的存在，使我们只用静力平衡方程就不能求出全部4个约束反力F ax、F ay、F by、F cy和全部内力。具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力或内力的结构称为超静定结构。图5.1(b)和图5.2所示的连续梁和刚架都是超静定结构。 图5.3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。 图5.1 图5.2 图5.3
2. 超静定次数的确定 力法是解超静定结构最基本的方法。用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是n次超静定。 显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构(以后称原结构)变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。去掉多余联系的方式，通常有以下几种： (1) 去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。如图5.4所示结构就是一次超静定结构。图中原结构的多余联系去掉后用未知力x1代替。 图5.4 (2) 去掉一个单铰，相当于去掉两个联系(图5.5) 图5.5 (3) 把刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个联系(图5.6)。 图5.6 (4) 在刚性联结处切断，相当于去掉三个联系(图5.7)。 应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。应该指出，同一个超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，如图 5.8(a)可以有三种不同的去约束方法，分别如图 5.8(b)、(c)、(d)所示。无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同的。所以说去约束的方式不是惟一的。这里面所说的去掉“多余联系”(或“多余约束”)，是以保证结构是几何不变体系为前提的。如图5.9(a)所示中的水平约束就不能去掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束”(或“必要联系”)。如果去掉水平链杆(图5.9b)，则原体系就变成几何可变了。
轴力图01234-5-4-3-2-101234567 N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC =+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 311233EA l N EA l N EA l N ??=- 22331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
1—1图a、b所示，Ox i y i与O村分别为正交与斜交坐标系。试将同一方F分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。 解：（a），图（c）： F =F ? oth +Fris ot j1 分力：F xi =Fcos、fi i ， F yi =Fsin j i 投影：F xi =Fcos 用，F yi =Fsin〉 讨论：「= 90 °时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。（b），图（d）： 分力F x2 =（F cos〉-F sin :? tan ）i2 ，F y2 = - j2 sin屮 投影：F x2二Feos〉，F y2 =F cosG =■） 讨论：「工90°时，投影与分量的模不等。 I—2试画出图a、b两情形下各物体的受力图，并进行比较 (a) (b) (a-i) 习题i —2图 (a-2)(a-3)(b-i) (b)
a-1 ）与图（b-1 ）不同，因两者之F R D值大小也不同 试画出图示各物体的受力图。 AA Wi 丄 A A 加 习题1-3图 F 比较：图 1-3
1-4图a所示为三角架结构。力F i作用在B铰上。杆AB不计自重，杆BD杆自重为W。试画出图b、c、d所示的隔离体的受力图，并加以讨论。 (b) A B A B / p / / D (c)(d) (d-1) B F B1 ------ A 习题1-4图 (b-1) i (b-3) F A F B1 F' F F' B2y B B F' B2y (d-2) F1 1-5 (s)W 习题1-5图 (C)
1— 6图示刚性构件 F 沿其作用线移至点 D 或点 E （如图示），是否会改变销钉 解：由受力图1— 6a , 1- 6b 和1— 6c 分析可知，F 从C 移至E , A 端受力不变，这是因为力 F 在自身 刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D ,则A 端受力改变，因为 HG C F CX ! F Cy (b-3) 在构件的点C 作用有一水平力F 。试问如果将力 A 的受力状况。 ABC 由销钉A 和拉杆GH 支撑, F Ax F B F B (C ) F C B B 习题1—6图
第六章简单的超静定问题习题选解 [6-5]图示刚性梁受均布荷载作用，梁在 A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆 BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积A 2 200mm 2和A 400mm 2 , 钢杆的 许用应力[]170MPa ，试校核该钢杆的强度。 [6-1]试作图示等直杆的轴力图 解：把A 支座去掉，代之以约束反力 R A (T) N A C R A N CD R A 2F N BD R A 3F 变形协调条件为: N AC a N CD 2 a N BD a E A EA EA N AC 2N CD N BD 0 R A 2(R A 2F) R A 3F 7F R A 4 故：N AC R A 7F A 4 7F F N CD R A 2F 2F 4 4 7F 5F N BD R A 3F 3F 4 4 I 0 轴力图如图所示 解：以AB 杆为研究对象，则: M A 0 2 1.8l 30kN / m 习题6 5图
第六章简单的超静定问题习题选解 3 N1 1 N2 3 (30 3)—0 2 l2 3 l1 3 3凹 EA2 EA1 N2 1.8 3N1 200 400 N1 1.2N2 (2) ⑵代入(1)得： 1.2N2 3N2135 135 N2 32.143(kN)(拉力) N1 1.2N2 1.2 32.143 38.571(kN) (压力) 按轴力正负号的规定，记作： N138.571kN ; N232.143kN 强度校核:N2' N1 3N2135 (1) 变形协调条件: 1 l2 3 / 30kN / m N i A1 38571N 2 400mm 96.4275MPa [] 170MPa，符合强度条件
6-1 试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2 图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截 面面积分别为，和。试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点 A移至。此时各杆的变形及如图所 示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求 内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦 即： （2） ；，
亦即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得： （拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。 解：，
（1） 又由变形几何关系得知： ， （2） 联解式（1），（2），得， 故， 返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm ×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。
解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3）式（3）代入式（2），得 （4） 解得： 代入式（1），得： （2）许可载荷 由角钢强度条件
一. 用力法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数 2. 理解力法原理 3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构） 4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构） 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构） （二）小结 1. 超静定结构、多余约束、超静定次数 （1）超静定结构 从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。 静定结构：几何不变，无多余约束。 超静定结构：几何不变，有多余约束。 （2）多余约束 多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。 （3）超静定次数 多余约束的个数是超静定次数。 判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理 力法是计算超静定结构最基本的方法 （1）将原结构变为基本结构 （2）位移条件： （3）建立力法方程
3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件 （3）力法方程
（3）绘弯矩图 4. 用力法计算超静定桁架和组合结构 注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。 例：超静定组合结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件
（3）力法方程 （4）绘弯矩图 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算 （1）温度变化时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 力法方程
（2）支座移动时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 二. 用位移法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移） 3. 掌握计算对称结构的简化方法 （二）小结 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。 位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微 2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构） 例：求连续梁的内力 解：（1）确定基本未知量及基本体系
1.工程力学包含静力学和材料力学两部分。 2.工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象称为“失效”或“破坏”。工程力学范畴内的失效通常可分为三类：强度失效、刚度失效和稳定失效。 强度失效是指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。 刚度失效是指构建在外力作用下产生过量的弹性变形。 稳定失效是指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。 3.工程设计的任务之一就是保证构件在确定的外力作用下正常工作而不发生强度失效、刚度失效和稳定，即保证构件具有足够的强度、刚度与稳定性。 强度是指构件受力后不能发生破坏或产生不可恢复的变形的能力。 刚度是指构件受力后不能发生超过工程允许的弹性变形的能力。 稳定是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式不能发生在突然转向的能力。 4.为了完成常规的工程设计任务，需要进行以下几方面的工作： （1）分析并确定构件所受各种外力的大小和方向。 （2）研究外力作用下构件的内部受力、变形和失效的规律。 （3）提出保证构件具有足够强度、刚度和稳定性的设计准则与设计方法。 5.实际工程构件受力后，几何形状和几何尺寸都要发生改变称为变形，这些构件都称为变形体。 6.在大多数情形下，变形都比较小，忽略这种变形对构件的受力分析不会产生什么影响。由此，在静力学中，可以将变形体简化为不变形的刚体。 7.若构件在某一方向上的尺寸比其余两个方向上的尺寸大得多，则称为杆。梁、轴、柱等均属于杆类构件。杆横截面中心的连线称为轴线。轴线为直线者称为直杆；轴线为曲线者称为曲杆。所有横截面形状和尺寸都相同者称为等截面杆；不同者称为变截面杆。 8.若构件在某一方向上的尺寸比其余两个方向上的尺寸小得多，为平面形状者称为板；为曲面形状者称为壳。 9.若构件在三个方向上具有同一量级的尺寸，称为块体。 10.力系是指作用于物体上的若干个力所形成的集合。 11.静力学的理论和方法不仅是工程构件静力设计的基础，而且在解决许多工程技术问题中有着广泛应用。 12.静力学模型包括三个方面： （1）物体的合理抽象与简化； （2）受力的合理抽象与简化； （3）连接与接触方式的合理抽象与简化； 13.实际物体受力时，其内部各点间的相对距离都要发生改变，这种改变称为位移。 14.各点位移累加的结果，使物体的形状和尺寸改变，这种改变称为变形。 15.物体变形很小时，变形对物体的运动和平衡的影响甚微，因而在研究力的作用效应时，可以忽略不计，这时的物体便可抽象为刚体。 16.如果变形体在某一力系作用下处于平衡，则忽略变形，将实际变形抽象为刚体，其平衡不变，称为刚化原理。 17.无论是施力体还是受力体，其接触所受的力都是作用在接触面积上的分布力。、 18.当分布力作用面积很小时，为了工程分析计算方便起见，可以将分布力简化为作用于一点的合力，称为集中力。 19.力是物体间的相互作用，这种作用将使物体的运动状态发生变化------运动效应，或使物体发生变形-------变形效应。 20.力是矢量。当力的作用在刚体上时，力可以沿着其作用线滑移，而不改变力对刚体的作
第六章简单超静定问题习题解 [习题 6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解:把 B 支座去掉,代之以约束反力B R (↓。设 2F 作用点为 C , F 作用点为 D ,则: B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+= 变形谐调条件为: 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N
03 (2=++++F R F R R B B B 45F R B - =(实际方向与假设方向相反,即:↑ 故:45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC =+-= 轴力图如图所示。 [习题 6-2] 图示支架承受荷载 kN F 10=, 1, 2, 3各杆由同一种材料制成,其横截面面积分别为 21100mm A =, 22150mm A =, 23200mm A =。试求各杆的轴力。 解:以节点 A 为研究对象,其受力图如图所示。
∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 032132=+-N N N ……… (1 ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N ………… (2 变形谐调条件: 设 A 节点的水平位移为x δ,竖向位移为y δ,则由变形协调图(b 可知: 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=?
03130cos 2x l l δ=?-? 231l l l ?=?-? 设 l l l ==31,则 l l 2 32= 2 23 3113EA l N EA l N EA l N ??=- 22331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N 23122N N N =- 21322N N N -=……………… (3 (1、 (2、 (3联立解得:kN N 45. 81=; kN N 68. 22=; kN N 54. 111=(方向如图所示,为压力,故应写作:kN N 54. 111-=。 [习题 6-3] 一刚性板由四根支柱支撑,四根支柱的长度和截面都相同,如图所示。如果荷载 F 作用在 A 点,试求这四根支柱各受多少力。 解:以刚性板为研究对象,则四根柱子对它对作用
静力学部分 第一章基本概念受力图
2-1 解：由解析法， 23cos 80RX F X P P N θ==+=∑ 12sin 140RY F Y P P N θ==+=∑ 故： 22161.2R RX RY F F F N =+= 1(,)arccos 2944RY R R F F P F '∠==
2-2 解：即求此力系的合力，沿OB 建立x 坐标，由解析法，有 123cos45cos453RX F X P P P KN ==++=∑ 13sin 45sin 450 RY F Y P P ==-=∑ 故： 223R RX RY F F F KN =+= 方向沿OB 。 2-3 解：所有杆件均为二力杆件，受力沿直杆轴线。 （a ） 由平衡方程有： 0X =∑ sin 300 AC AB F F -= 0Y =∑ cos300 AC F W -= 0.577AB F W =（拉力） 1.155AC F W =（压力） （b ） 由平衡方程有：
0X =∑ cos 700 AC AB F F -= 0Y =∑ sin 700 AB F W -= 1.064AB F W =（拉力） 0.364AC F W =（压力） （c ） 由平衡方程有： 0X =∑ cos 60cos300 AC AB F F -= 0Y =∑ sin 30sin 600 AB AC F F W +-= 0.5AB F W = (拉力) 0.866AC F W =（压力） （d ） 由平衡方程有： 0X =∑ sin 30sin 300 AB AC F F -= 0Y =∑ cos30cos300 AB AC F F W +-= 0.577AB F W = (拉力) 0.577AC F W = (拉力)
山东广播电视大学开放教育建筑力学教学辅导资料（5） 力法计算一次超静定结构 1、基本概念和计算要求 在学习力法计算超静定结构的时候,要注意下列几点： 1） 力法的基本原理，通过多余未知力的概念，把超静定结构问题转化为静定结构的计算问题。 2） 结构超静定次数的确定，多余约束、多余约束反力和抄静定次数的关系，基本结构的确定。 3） 力法典型方程的建立及方程中想关系数的意义。 2、基本计算方法 在学习力法的基本方法时，要注意下列问题： 1） 选择基本结构。由于力法是以多余未知力作为基本未知量，首先应根据去掉多余约束的 原则和方法去掉多余约束代之以多余未知力，得到与原结构相应的静定结构即基本结构。选择基本结构应注意：基本结构必须是几何不变体系的静定结构，几何可变体系（或瞬变体系）不能用作基本结构；多余约束力的方向应该符合约束的方向；选择的基本结构应该尽量使解题步骤简化。 2） 基本方程的建立。将基本结构与原结构以受力条件进行比较会发现：只要多余未知力就 是原结构的支座反力，则基本结构与原结构受力情况完全一致；当解出多余未知力，将其视为荷载加在基本结构上，超静定结构的计算即转化为静定结构的计算。 3、计算步骤和常用方法 考试要求基本是以力法计算一次超静定刚架（或梁）为主，基本计算步骤是： 1） 选择基本结构。确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并以相应的约束力代替而得到 的一个静定结构作为基本结构。 2） 建立力法典型方程。01111=?+P X δ（一次超静定结构） 3） 计算δ11和Δ1P 。首先要画出基本结构在荷载作用下的M P 图和基本结构在单位未知力作用下的1M 图，然后用图乘法分别计算δ11（1M 图和1M 图图乘）和Δ1P （M P 图和1M 图图乘）。 4） 求多余未知力。代入力法典型方程求出多余未知力。 5） 4、举例
轴力图 1 234 -5-4-3-2 -1 123 4 5 6 7 N(F/4) x(a) 第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
超静定系统 1 试问下列结构(梁或刚架)中那些是静定的?哪些是超静定的?若是超静定的,试说明它的 次数。 答：a , 静定 b , f , 一次超静定 d , e , 二次超静定 g , h , 三次超静定 c , 几何可变 2 试求下列各超静定梁的支反力，设各梁均为等截面梁，其抗弯刚度为EI。
a)解：图a 可分解如下图 0=+BR BP f f ---------（1） EI L R f EI PL L L EI Pl f B BR BP 3485)23(243 2=- =--= 代入（1）式得 16 3;)(1611;)(165PL M R P R A A B =↑=↑=（ ） b)解：设支承B 反力为B R 由P 和B R 共同作用下B 点的总挠度要求为零，即有 ()()↓=↑= =+-?-=+P R P EI L R L L EI PL f f C B BR BP 43 ;47R 03)5.13(60 B 32 PL M C 4 1 = （?） c)解：设支承B 反力为B R ，则必定有 0=+BR BP f f ---------（1） EI l R EI l R f EI b l Pb f B B BR BP 648)2(48]4)2(3[3 322==-- = 代入(1)式 得 3 222) 3(l b l Pb R B -= d)解：
0M M A -= （ ） ) (23) (2323;23, 3)(, 200 2 032 ↓=↑+== -=--=-==+l M R P l M R l M P R EI l M l EI P R l EI P R f EI Ml f f f A B B B B BRP BM BRP BM