图
习题?-16
图
?
N l 图
习题?-56习 题
[6-1] 试作图示等直杆的轴力图。
解：把A 支座去掉，代之以约束反力A R （↑）。
A AC R N = F R N A CD 2-=
F R N A BD 3-=
变形协调条件为：
0=?l
02=?+?+?EA a
N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N
03)2(2=-+-+F R F R R A A A
4
7F
R A =
故：4
7F R N A AC =
= 42472F
F F F R N A CD -=-=-= 4
53473F
F F F R N A BD
-
=-=-= 轴力图如图所示。
[6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。 解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
1
02
3
)330(3121=?
?-?+?N N 135321=+N N (1)
变形协调条件：
3
1
21=??l l 123l l ?=?
1
12238.1EA l
N EA l N ?=? 400
32008.11
2N N =? 212.1N N = (2)
(2)代入（1）得：
13532.122=+N N
)(143.322
.4135
2kN N ≈=
（拉力） )(571.38143.322.12.121kN N N ≈?== （压力）
按轴力正负号的规定，记作：
kN N 571.381-=；kN N 143.322=
强度校核：
MPa MPa mm N A N 170][4275.9640038571||
||2
111=<===σσ，符合强度条件。
图
习题?-15
6 MPa MPa mm N
A N 170][715.160200321432
122=<===
σσ，符合强度条件。 因此，钢杆符合强度条件，即安全。 [6-15(a)] 试求图示超静定梁的支反力。
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程为：
0=B w 0=+B e R BM w w
查附录IV ，得：
EI
a M EI a M w e e BM e
2222)2(-=-=
EI
a R a a EI a R w B B R B
38)223(6)2(3
2-=-?-=
故， 03823
2=--=+EI
a R EI a M w w B e R BM B e
03
4=+
a
R M B e a
M R e
B 43-
= （负号表示方向向下，即↓） 由0=∑Y 得：a
M R e
A 43=
（↑）
B
图
习题?-176
B
由0=∑A M 得：e e A M a a M M +?-243，a
M
M e A 2=（逆时针方向转动）
[习题6-17] 梁AB 因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC 加固，如图所示。试求：
（1）二梁接触处的压力C F ；
（2）加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数。 解：（1）求二梁接触处的压力C F
以AB 为研究对象，把C 处的圆柱垫去掉，代之以约束反力C F （↑）；以AC 为研究对象，作用在C 处的力为'C F （↓）。C F 与'C F 是一对作用与反作用力，
'C C F F =。受力如图所示。
AB 梁在C 处的挠度：
C CF CF AB C w w w +=,。
查附录IV 得：
EI
Fl l l EI l F w CF
48523(6)2(32
=
-=
B
B
FL
图
M EI
l F l l EI l F w C C CF C
24)223(6)2(32
-
=-?-= 故，EI
l F EI Fl w w w C CF CF AB C C 244853
3,-=+= AC 梁在C 处的挠度：
EI
l F EI l F w C C AC
C 243)2(33
',=
= 变形协调方程：
AC C AB C w w ,,=
EI
l F EI l F EI Fl C C 242448533
3=- 2424485C
C F F F =- C C F F F 225=-
4
5F
F C =
（↑） （2）求加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数 ① 弯矩的变化情况
加固前：2
2Fl l F M C -=?
-= max M Fl M A =-=
B
A
图
M Fl 3Fl 加固后：
max '
2
2M Fl l F M C
=-=?-=
8
3245'
Fl
l F Fl M A -
=?+
-= 显然，AB 梁的最大弯矩
减小：%5021=-Fl Fl
Fl （负弯矩只表示AB 梁上侧受拉） ② B 点挠度的变化情况
加固前：
EI
Fl w B 33
=
加固后：2
'
l w w w C C CF CF CF B ?++=θ
EI
Fl w CF
33= EI Fl EI l F EI l F l l EI l F w C C CF C
965244524)223(6)2(333
2-
=?-=-=-?-= EI
Fl EI l F EI l F EI l F EI l l F C C C CF C
3258458]2)2(22[222
2-
=?-=-=-??-=θ 故，2
'
l w w w C C CF CF CF B ?++=θ
23259653233l
EI Fl EI Fl EI Fl ?--=
EI
Fl 192393
=
B 点挠度减小的百分数为：
%3964251926419225319239333
333===-EI
Fl EI Fl EI Fl EI Fl EI Fl
图 习题?-16 图 ? N l 图 习题?-56习 题 [6-1] 试作图示等直杆的轴力图。 解：把A 支座去掉，代之以约束反力A R （↑）。 A AC R N = F R N A CD 2-= F R N A BD 3-= 变形协调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)2(2=-+-+F R F R R A A A 4 7F R A = 故：4 7F R N A AC = = 42472F F F F R N A CD -=-=-= 4 53473F F F F R N A BD - =-=-= 轴力图如图所示。 [6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。 解：以AB 杆为研究对象，则： 0=∑A M
1 02 3 )330(3121=? ?-?+?N N 135321=+N N (1) 变形协调条件： 3 1 21=??l l 123l l ?=? 1 12238.1EA l N EA l N ?=? 400 32008.11 2N N =? 212.1N N = (2) (2)代入（1）得： 13532.122=+N N )(143.322 .4135 2kN N ≈= （拉力） )(571.38143.322.12.121kN N N ≈?== （压力） 按轴力正负号的规定，记作： kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mm N A N 170][4275.9640038571|| ||2 111=<===σσ，符合强度条件。
第九章 超静定系统 9-1 图示悬臂梁32750,3010.l mm EI N m ==?。弹簧刚度3 17510/k N m =?。若梁与弹簧的间隙 1.25mm δ=，求力450P N =作用时弹簧的受力。 解：若按一般悬臂梁，则有作用点处挠度3 2.11 1.253Pl f mm mm EI δ==>= 可见梁在实际变形下触及弹簧。 设弹簧的弹力为N ，问题一次超静定；挠度设为P δ，则弹簧被压缩量为P δδ-， 对梁而言3 ()3P l P N EI δ=-； 对弹簧而言N=k(-)P δδ 以上两式得3()3l N P N EI K δ-=+，解得82.7N =牛顿 所以，弹簧受力为82.7牛顿。 题9-1图 题9-2图 9-2 图示悬臂梁的自由端刚好与光滑斜面接触，求温度升高t ?时梁的最大弯矩。已知A a E I 、、、，且不计轴力对弯曲变形的影响。 解：斜面光滑，则B 处（自由端）所受力为垂直于斜面向上，以B R 代替。问题一次超静定，协调条件为：垂直于斜面方向上的位移分量为0（沿B R 方向） 升温时，l t l α?=??，则分量为cos45t l δ=??? B R 作用下：(),cos45R B B B M x M Nl N dx N R EI P EA R δ??=?+?=????? 362B B R R l R l EI EA δ=+ （沿B R 向斜上方），t δ与R δ方向相反，则：0R t δδ-= 解出2 3B R t Al I α= ?+，则max 23cos 453B EIAl M R l t Al I α=?=?+
9-3 图示桁架中各杆的抗拉压刚度相同。试求桁架各杆的内力。 解：假设1杆受拉力N 。由于杆1实际上是连续的，因而切口处的相对位移应等于零。于 是变形协调条件为：10δ=。应用莫尔定理01i i i i N N l EA δ=∑，11N N =，31N N =， 5612N N N ==-， 341N N P ==-，00131N N ==，00562N N ==- ， 0034N N == ∴116+(180N δ=-+= ，31N N == （拉力）， 56N N == 24N N == q 题9-3图 题9-4图 题9-5图 9-4 设刚架的抗弯刚度EI 为常量。试求刚架A 点和C 点的约束反力，并画出刚架的弯矩图。 解：问题一次超静定，解除C 处支反力()C R ↑ 则M 分布为：111()(0)C M x R x x a = ≤≤；2 222()(0)2C qx M x R a x l =- ≤≤ 则C 处向上的位移2 2111200()2C a l C C C qx R a M x M R x dx x dx adx EI R EI EI δ-?==+???? 积分得32336C C R a R a l ql a lC EI EI EI δ=+-，而0C δ=，求得3 2 ()26C ql R a al =↑+ 整体结构0Y =∑，求得32 (),2(3)2 A C A ql ql R R M a l =↓=-+ +（逆时针向） 9-5 悬臂梁的自由端用一根拉杆加固。若杆横截面为直径10d mm =的圆形，梁的截面惯性
静定与超静定问题物体系统的平衡问题 （一次课教案） 教案编写者：许庆春 说明：本教案是以课时为单位编制的教学具体方案，即文字教案，由教师采用多媒体课件与黑板、粉笔同时施教。教案中的红色数字为多媒体课件中的页面号，为我校研制的、由高等教育出版社出版的《理论力学课堂教学系统（上）》中的内容；教案中的*. ppt（红色字体）是教师根据课堂教学需要、利用Powerpoint制作的增加内容。
平面问题 平面问题 图（b ） 图（c ） 图（d ） 3-4 静定与超静定问题 物体系统的平衡问题 一、有关概念 1．自由度 完全确定物体在空间位置所需的独立变量的个数称为它的自由度，用k 表示。 2．结构与机构 自由度： k=3 k=1 k=0 k=0 从约束来看：自由体(无约束) 非自由体(有约束) 非自由体 非自由体 从自由度来看：机构（k >0） 机构 结构（k=0） 结构 未知力的个数 Nr = 3 Nr = 4 独立平衡方程的个数 Ne = 3 Ne = 3 Nr = Ne Nr > Ne 静定问题 超静定问题 二、静定与超静定问题 在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平衡方程的个数，这时所有的未知量可用平衡方程求出，这类问题——静定问题，如图（c ）所示；如果未知量的个 xu4-5.ppt 开始 图（a ） xu4-5.ppt 结束
30开始 30结束 31开始 31结束 数多于独立的平衡方程的个数，这时未知量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解，这类问题——超静定问题，如图（d ）所示。 屏幕上，第一排三个例子是静定问题，第二排三个例子是超静定问题。 超静定问题工程上非常多，如这是超静定 拱、超静定梁、超静定桁架。这里我们只研究静定问题，这是因为：①求解静定问题是求解超静定问题的基础；②解超静定问题要考虑物体的变形，而我们的研究对象是刚体，不考虑变形，因此目前我们无法解超静定问题，在后续课程材料力学、结构力学中，我们将研究超静定问题。 在前面的讨论的平衡问题中，研究对象大多是一个物体，但在实际工程中，我们研究的对象往往比较复杂，由若干个物体组成，这若干个物体组成的系统，我们就称为物体系统，下面我们研究物体系统的平衡问题。 三、物体系统的平衡问题 屏幕上的物体系统由AB 、BC 两部分组成，对整个系统而言，铰B 是系统内物体之间的联系——内约束，对应的约束力——内约束力；支座A 、D 、E 是系统外部其它物体与系统的联系——外约束，相应的约束力——外约束力。 注意：内约束与外约束、内力与外力是相对的，是相对一定的研究对象而言的。如铰B 处的约束力对整个系统而言是内力，但对AB 或BC 而言就是外力了。 如果物体系统平衡，则组成物体系统的每一个物体也平衡。如ABC 平衡，则AB 、BC 也平衡。对物体系统中的每个物体列平衡方程即可求解。若物体系统由n 个物体组成，每个物体都受到平面力系作用，则独立的平衡方程总共可列出3n 个，可解3n 个未知量。 xu4-6.ppt 开始 xu4-6.ppt 结束
第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
建筑力学基本计算5 力法计算一次超静定结构 1、基本概念和计算要求 在学习力法计算超静定结构的时候,要注意下列几点： 1） 力法的基本原理，通过多余未知力的概念，把超静定结构问题转化为静定结构的计算问题。 2） 结构超静定次数的确定，多余约束、多余约束反力和抄静定次数的关系，基本结构的确定。 3） 力法典型方程的建立及方程中想关系数的意义。 2、基本计算方法 在学习力法的基本方法时，要注意下列问题： 1） 选择基本结构。由于力法是以多余未知力作为基本未知量，首先应根据去掉多余约束的 原则和方法去掉多余约束代之以多余未知力，得到与原结构相应的静定结构即基本结构。选择基本结构应注意：基本结构必须是几何不变体系的静定结构，几何可变体系（或瞬变体系）不能用作基本结构；多余约束力的方向应该符合约束的方向；选择的基本结构应该尽量使解题步骤简化。 2） 基本方程的建立。将基本结构与原结构以受力条件进行比较会发现：只要多余未知力就 是原结构的支座反力，则基本结构与原结构受力情况完全一致；当解出多余未知力，将其视为荷载加在基本结构上，超静定结构的计算即转化为静定结构的计算。 3、计算步骤和常用方法 考试要求基本是以力法计算一次超静定刚架（或梁）为主，基本计算步骤是： 1） 选择基本结构。确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并以相应的约束力代替而得到 的一个静定结构作为基本结构。 2） 建立力法典型方程。01111=?+P X δ（一次超静定结构） 3） 计算δ11和Δ1P 。首先要画出基本结构在荷载作用下的M P 图和基本结构在单位未知力作用下的1M 图，然后用图乘法分别计算δ11（1M 图和1M 图图乘）和Δ1P （M P 图和1M 图图乘）。 4） 求多余未知力。代入力法典型方程求出多余未知力。 5） 作内力图（一般为作弯矩图）。可按P M X M M +?=11式叠加对应点的弯矩，从而画 出弯矩图。 4、举例 作图（a ）所示超静定刚架的弯矩图。已知刚架各杆EI 均为常数。 [解]（1）选择基本结构 图（a ）为二次超静定刚架，去掉C 支座约束，代之以多余未知力X 1、X 2得到如图（b ）所示悬臂刚架作为基本结构。 （2）建立力法典型方程 原结构C 支座处无竖向位移和水平位移，故△1=O ，△2=0，则其力法方程为
6-1试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分 别为，和。 试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。 此时各杆的变形及如图所示。现求它们之 间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦即：（2） ；， 亦 即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得：
（拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF 使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面 积，试求两杆的轴力和应力。 解：， （1） 又由变形几何关系得知： ，（2） 联解式（1），（2），得， 故，
返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。 解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3） 式（3）代入式（2），得
第5章力法 5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定 1. 超静定结构的概念 前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。关于结构的静定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和内力的结构。 现在，我们要讨论的是超静定结构。它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或内力的结构。如图5.1(a)所示的简支梁是静定的，当跨度增加时，其内力和变形都将迅速增加。为减少梁的内力和变形，在梁的中部增加一个支座，如图5.1(b)所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结构。也正是由于这个多余联系的存在，使我们只用静力平衡方程就不能求出全部4个约束反力F ax、F ay、F by、F cy和全部内力。具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力或内力的结构称为超静定结构。图5.1(b)和图5.2所示的连续梁和刚架都是超静定结构。 图5.3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。 图5.1 图5.2 图5.3
2. 超静定次数的确定 力法是解超静定结构最基本的方法。用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是n次超静定。 显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构(以后称原结构)变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。去掉多余联系的方式，通常有以下几种： (1) 去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。如图5.4所示结构就是一次超静定结构。图中原结构的多余联系去掉后用未知力x1代替。 图5.4 (2) 去掉一个单铰，相当于去掉两个联系(图5.5) 图5.5 (3) 把刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个联系(图5.6)。 图5.6 (4) 在刚性联结处切断，相当于去掉三个联系(图5.7)。 应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。应该指出，同一个超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，如图 5.8(a)可以有三种不同的去约束方法，分别如图 5.8(b)、(c)、(d)所示。无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同的。所以说去约束的方式不是惟一的。这里面所说的去掉“多余联系”(或“多余约束”)，是以保证结构是几何不变体系为前提的。如图5.9(a)所示中的水平约束就不能去掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束”(或“必要联系”)。如果去掉水平链杆(图5.9b)，则原体系就变成几何可变了。
6-1 试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2 图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截 面面积分别为，和。试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点 A移至。此时各杆的变形及如图所 示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求 内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦 即： （2） ；，
亦即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得： （拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。 解：，
（1） 又由变形几何关系得知： ， （2） 联解式（1），（2），得， 故， 返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm ×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。
解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3）式（3）代入式（2），得 （4） 解得： 代入式（1），得： （2）许可载荷 由角钢强度条件
一. 用力法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数 2. 理解力法原理 3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构） 4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构） 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构） （二）小结 1. 超静定结构、多余约束、超静定次数 （1）超静定结构 从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。 静定结构：几何不变，无多余约束。 超静定结构：几何不变，有多余约束。 （2）多余约束 多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。 （3）超静定次数 多余约束的个数是超静定次数。 判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理 力法是计算超静定结构最基本的方法 （1）将原结构变为基本结构 （2）位移条件： （3）建立力法方程
3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件 （3）力法方程
（3）绘弯矩图 4. 用力法计算超静定桁架和组合结构 注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。 例：超静定组合结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件
（3）力法方程 （4）绘弯矩图 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算 （1）温度变化时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 力法方程
（2）支座移动时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 二. 用位移法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移） 3. 掌握计算对称结构的简化方法 （二）小结 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。 位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微 2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构） 例：求连续梁的内力 解：（1）确定基本未知量及基本体系
轴力图01234-5-4-3-2-101234567 N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 47345F F F N AC =+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 311233EA l N EA l N EA l N ??=- 22331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
山东广播电视大学开放教育建筑力学教学辅导资料（5） 力法计算一次超静定结构 1、基本概念和计算要求 在学习力法计算超静定结构的时候,要注意下列几点： 1） 力法的基本原理，通过多余未知力的概念，把超静定结构问题转化为静定结构的计算问题。 2） 结构超静定次数的确定，多余约束、多余约束反力和抄静定次数的关系，基本结构的确定。 3） 力法典型方程的建立及方程中想关系数的意义。 2、基本计算方法 在学习力法的基本方法时，要注意下列问题： 1） 选择基本结构。由于力法是以多余未知力作为基本未知量，首先应根据去掉多余约束的 原则和方法去掉多余约束代之以多余未知力，得到与原结构相应的静定结构即基本结构。选择基本结构应注意：基本结构必须是几何不变体系的静定结构，几何可变体系（或瞬变体系）不能用作基本结构；多余约束力的方向应该符合约束的方向；选择的基本结构应该尽量使解题步骤简化。 2） 基本方程的建立。将基本结构与原结构以受力条件进行比较会发现：只要多余未知力就 是原结构的支座反力，则基本结构与原结构受力情况完全一致；当解出多余未知力，将其视为荷载加在基本结构上，超静定结构的计算即转化为静定结构的计算。 3、计算步骤和常用方法 考试要求基本是以力法计算一次超静定刚架（或梁）为主，基本计算步骤是： 1） 选择基本结构。确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并以相应的约束力代替而得到 的一个静定结构作为基本结构。 2） 建立力法典型方程。01111=?+P X δ（一次超静定结构） 3） 计算δ11和Δ1P 。首先要画出基本结构在荷载作用下的M P 图和基本结构在单位未知力作用下的1M 图，然后用图乘法分别计算δ11（1M 图和1M 图图乘）和Δ1P （M P 图和1M 图图乘）。 4） 求多余未知力。代入力法典型方程求出多余未知力。 5） 4、举例
超静定系统 1 试问下列结构(梁或刚架)中那些是静定的?哪些是超静定的?若是超静定的,试说明它的 次数。 答：a , 静定 b , f , 一次超静定 d , e , 二次超静定 g , h , 三次超静定 c , 几何可变 2 试求下列各超静定梁的支反力，设各梁均为等截面梁，其抗弯刚度为EI。
a)解：图a 可分解如下图 0=+BR BP f f ---------（1） EI L R f EI PL L L EI Pl f B BR BP 3485)23(243 2=- =--= 代入（1）式得 16 3;)(1611;)(165PL M R P R A A B =↑=↑=（ ） b)解：设支承B 反力为B R 由P 和B R 共同作用下B 点的总挠度要求为零，即有 ()()↓=↑= =+-?-=+P R P EI L R L L EI PL f f C B BR BP 43 ;47R 03)5.13(60 B 32 PL M C 4 1 = （?） c)解：设支承B 反力为B R ，则必定有 0=+BR BP f f ---------（1） EI l R EI l R f EI b l Pb f B B BR BP 648)2(48]4)2(3[3 322==-- = 代入(1)式 得 3 222) 3(l b l Pb R B -= d)解：
0M M A -= （ ） ) (23) (2323;23, 3)(, 200 2 032 ↓=↑+== -=--=-==+l M R P l M R l M P R EI l M l EI P R l EI P R f EI Ml f f f A B B B B BRP BM BRP BM
6-1.6-11.6-17 第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =-
轴力图 1 234 -5 -4 -3 -2 -1 12 3 4 5 6 7 N(F/4) x(a) 第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
超静定结构习题答案 一、力法计算超静定结构 1. 图示结构的超静定次数n = 。 答案：图示结构的超静定次数n = 8 。 2．用力法计算图示超静定刚架（利用对称性），绘出M 图。 答案：
kN 13.296]341621[145]4333323321[10 11111111=-=???-=?=??+????==?+X EI EI EI EI X P P δδ 3. 图(b )为 图(a ) 结构的力法基本体系，试求典型方程中的系 数 δ11和 自 由 项 ?1P 。 X l q (b)q 答案： q
?? ?-===?δl l EI l l X C 4341111 作M 图 1X M M =
二、位移法 1.求图示结构位移法典型方程的系数 r11 和 自 由 项 R P1 ，（ 括号内 数表示相对 线刚度）。 m 答案 r 11 = 17 R P 1 = 32 2.图示结构位移法典型方程的系数 r 22 和自由项 R P1 分 别 是 ???? ，????? 。 （ 括 号 内 数 表 示 相 对 线 刚 度 ） 2 2 答案 r 22= 4.5 R P 1= -8 3. 计算图示结构位移法典型方程中的系 数 r r 1122 , 。
答案 : r EI 110375=. r EI 2235=. 4.计算图示结构的位移法典型方程的全部自由项 。 答案 ： R P 10= R P 280=-k N
三、力矩分配法 1.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图（分配两轮）。 答案： 2.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图（分配两轮）。 答案：
《材料力学》第章-简单超静定问题-习题解
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轴力图 1 234 -5-4-3-2 -1 123 4 5 6 7 N(F/4) x(a) 第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
第十章简单超静定 习题 10.1对于图示各平面结构，若载荷作用在结构平面内，试：(1) 判断它为几次超静定结构； (2)列出相应的变形协调条件。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)(h) 题10.1图
图一 图二 图三 解：（a ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力，在竖直方向多了一个约束力 （b ）由图可看出，第二根铰链与第三根铰链有交点，所以这是个静定结构。无多余约束 （c ）由图可知，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力 （d ）由图可看出，此结构为一次超静定结构。在支座B 处多了一个水平约束，（图一）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0 （e ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，多了一个垂直约束，（图二），再此约束情况下，有变形协调条件均布载荷载在B 处引起的挠度B ω等于支座B 产生的支反力NB F 引起的变形B ?，即B B ω=? （f ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在垂直方向少了一个约束力 （g ）由图可看出，此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成，所以这是个静定结构。无多余约束 （h ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，在支座B 处多了一水平约束，（图三）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0 10.2 如图所示受一对力F 作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA 。试求A 端和B 端的约束力。 题10.2图
解：杆件AB 为对称的受力结构，设A 、B 端的受力为NA F ，NB F 。且有NA NB F F = D 对AC 段进行考虑，1NA F a l EA ?=（受拉） 对CD 段进行考虑，2()NA F F a l EA -?= （受压） 由变形协调方程 1220l l ?-?=得： 13 NA F F = 即：A 、B 端的受力均为 1 3 F （拉力） 10.3 图示结构，AD 为刚性杆，已知F ＝40 kN ，1、2杆材料和横截面积相同，且E 1=E 2=E =200 GPa ，A 1=A 2=A =1 cm 2 ，a =2 m ，l ＝1.5 m 。试求1、2两杆的应力。 D D 题10.3图 解：设1、2杆的受力分别为1N F ，2N F ，变形为1l ?、2l ? 因为杆AD 为刚性杆，其变形如图所示 有平衡方程 0C M =∑得： 2120N N F l F l Fl +-= （1） 其变形协调方程： 1l ?=22l ? （2） 又有 11111N N F a F a E A EA ?= = 22222N N F a F a E A EA ?== 联立方程（1）、（2）得： 2120 N N F a F a Fa +-=