第六节 幂级数的应用
分布图示
★ 函数值的近似计算 ★ 例1
★ 例2 ★ 计算定积分 ★ 例3
★ 例4 ★ 求常数项级数的和 ★ 例5
★ 例6
★ 欧拉公式
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题12-6
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内容要点
一、函数值的近似计算：级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.
二、计算定积分：许多函数, 如x
x x e x ln 1,sin ,2
-等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.
三、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下： （1）对所给数项级数,0∑∞=n n a 构造幂级数∑∞
=0
n n n x a ；
（2）利用幂级数的运算性质，求出∑∞=0
n n n x a 的和函数)(x s ；
（3）所求数项级数
).(lim 10x s a x n n -
→∞
==∑ 四、欧拉公式
例题选讲
函数值的近似计算
例1（E01）利用!
3sin 3
x x x -≈求 9sin 的近似值，并估计误差. 解 利用所给近似公式
?9sin 20sin π=,20!31203
???
??
-≈ππ
因为x sin 的展开式是收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少，所以
||2r 5
20!51??? ??≤π5)2.0(1201<3000001
<,105-< 因此，若取,157080.020≈π,003876.0203
≈???
??π则得
?9sin 000646.0157080.0-≈,156434.0≈其误差不超过.105-
例2（E02）计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001.
解 524053243-=,)3/11(35/14-=利用二项展开式，并取,5/1=m ,3/14-=x
即得 5240.31!3594131!254
1315113123824???
??-???-???-?-=
这个级数收敛很快.取前两项的和作为5240的近似值，其截断误差为
||2r ??????+???=1238231!3594131!254
13???
+?????+ 16431!4514941
??
?
?????
+??? ??++????< 2
82811811131!25413
81/11131256
8-??=4027251??=.200001
< 故取近似式为5240.3151
134???
???-≈
为了使舍入误差与截断误差之和不超过,104-计算时应取五位小数，然后再四舍五入. 因此最后得.9926.22405≈
例3（E03）计算dx x x ?10sin 的近似值，精确到104
-.
解 利用x sin 的麦克劳林展开式,得
x x sin ,!71
!51
!31
1642 +-+-=x x x ),,(+∞-∞∈x
所以 ?10s i n dx x x
.!771
!551
!331
1 +?-?+?-=收敛的交错级数因其第四项
!771?300001
<,104-<故取前三项作为积分的近似值,得
?
10sin dx x x !
551!3311?+?-≈.9461.0≈ 例4（E04）计算定积分?-2/1022
dx e
x π的近似值，要求误差不超过0.0001（取 56419.0/1≈π）. 求常数项级数的和
解 利用指数函数的幂级数展开式得:
).(!)1(202+∞<<-∞-=∑∞
=-x x n e n n n x 于是，根据幂级数在收敛区间内逐项可积,得
dx e x ?-2
/1022πdx x n n n n ?∑????????
-=∞=2/1002!)1(2πdx x n n n n ?∑∞=-=2/1020!)1(2π
.!3721!252132111642???
? ??+??-??+?-= π 取前四项的和作为近似值，则其误差为
||4r !492118??≤π,90000
1< 而所求近似值为
dx e x ?-2/1022π
???
? ????-??+?-≈!3721!252132111642π.5205.0≈ 例5（E05）求级数∑∞
=-1212n n n 的和. 解 构造幂级数,212)(122∑∞
=--=n n n x n x s 可知),2,2(-∈x )(x s '???????????? ??=∑
∞=1221n n x x '???? ??-?=2221x x x '??? ??-=22x x ,)
2(2222x x -+=),2,2(-∈x 所以 ∑∞
=-1212n n n )(lim 1x s x -→=2221)2(2lim x x x -+=-→.3= 例6（E06）求级数∑∞
=12
2!n n n n 的和.
解 构造幂级数)(x s ,!12n n x n n ∑∞
==可知),,(+∞-∞∈x 因为)(x s n n x n n n n ∑∞=+-=1!)1(n n n n x n x n n n ∑
∑∞=∞=-+-=11)!1(1!)1( ∑
∑∞=∞=+"???? ??=012!!n n n n n x x n x x x x xe e x +''-=)1(2,)1(x x e x += 所以 ∑∞
=122!n n n n ??? ??=21s 2112121??? ??+=e .43e =
课堂练习
1.计算e 的近似值, 使其误差不超过.105-
2.利用幂级数展开式, 求极限 .sin arcsin lim 30x
x x x -→ 3.求常数项级数 +-+-7
151311的和.
欧拉(Euler ，1707~1783)
欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。
欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣是是数学。在上大学时，他已受到约翰第一。伯努利的特别指导，专心研究数学，直到18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，於19岁时(1726年)开始创作文章,并获得巴黎科学院奖金.1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究工作.并在1731年接替丹尼尔第
一.伯努利,成为物理学教授.在俄国的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普兽士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林斯间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。
1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。
欧拉是18世记数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。
欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷
级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变
为一个重要的研究科目。他计算出ξ函数在偶数点的值：他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值，其值近似为0。57721566490153286060651209…
在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问题过程中，创立了微分方程学。当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数为线性齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。
在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为),
f
z=并引入一系列标准符号以表示z对x,y和偏导数，这些符号
x
(y
,
至今仍通用。此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。欧拉在分析学上的贡献不胜牧举，如他引入了G函数和B函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。
在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的
?，他研形式。欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数)
(n
究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支。欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积。而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题。
欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
函数的幂级数展开式及其应用 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得： 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式. 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成： 其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即： 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数e x 2.正弦函数的展开式
幂级数的应用 将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、 函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来． 例１ 计算常数e ，精确到小数第四位． 解 利用∑∞ ==0 !n n x n x e ，令1=x ，有 Λ++++==∑ ∞ =!31 !2111! 10n n e ． 为达到这个精确度，可观察余项 )! 1)(1(1111!1111!1)2)(1(1 111!1)!1(1!12--=-?=??? ??+++
故得出 0049.332511324555 ≈?? ? ???+≈． 例3 计算2ln 的值，精确到小数第四位． 解 如果利用)1ln(x +的展开式： Λ+-+- =+=4 1 31211)11ln(2ln ， 理论上可计算2ln ，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第1 +n 项的值 1 1 +n ．欲使410111||=+< n r n ，n 至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替． 用 Λ+-+-=+432)1ln(4 32x x x x x 减去 Λ-----=-4 32)1ln(4 32x x x x x 其差是 ??? ? ? ?+++=-+Λ53211ln 53x x x x x ． 令 211=+-x x ，解出3 1 =x 代入上式，得 ?? ? ??+?-++?+?+=-Λ Λ12533112131 513 1313122ln n n ， 其误差 122 1242 123 2123)12(4131113)12(2313113)12(2313213 1121 2)(-+++-+= ???? ? ? ??-+= ?? ? ??++++
浅析幂级数展开式的应用 摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。 关键词：函数；幂级数；展开式 Analyses the Application of the Power Series Expansions Abstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems. Key words：function，power series，expansion
目录 0 引言 (1) 1 幂级数的展开 (1) 1.1 直接展开法 (1) 1.2 间接展开法 (1) 2 幂级数展开式的应用 (2) 2.1 利用幂级数求极限 (2) 2.2 幂级数在不等式证明中的应用 (2) 2.3 幂级数在组合恒等式中的应用 (3) 2.4 应用幂级数求高阶导数 (4) 2.5 应用幂级数展开式推导欧拉公式 (5) 2.6 求非初等函数的原函数 (5) 2.7 利用幂级数求数项级数的和 (6) 2.8 幂级数在微分方程中的应用 (7) 2.9 幂级数应用于近似计算 (8) 3 结束语 (11) 参考文献 (11) 致谢 (12)
浅析幂级数展开式的应用 0 引言 形如2 001020 ()()()n n n a x x a a x x a x x ∞ =-=+-+-+∑???0()n n a x x +-+???的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算. 1 幂级数的展开 函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法. 1.1 直接展开法 直接展开法是比较麻烦的.首先，函数()f x 的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项1 1 0() ()() 0(1)! n n n f R x x x n ξ++= -→+ ()n →∞，即使在初等函数中也是比较困难的. 1.2 间接展开法 间接展开法是根据函数()f x 的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有： （1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式； （2）应用逐项求导或逐项积分法； （3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等； （4）用待定系数法. 这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法. 2 幂级数展开式的应用 幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.
摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords﹒ (1) 引言 (2) 一．基本知识 (2) 1.1．幂级数的性质 (2) 1.2. 幂级数的收敛区间 (2) 二．幂级数的和函数 (3) 三．幂级数的展开 (4) 四．幂级数的展开及其应用 (6) 4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6) 4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6) 4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7) 4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7) 4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8) 4.6. 幂级数在求导中的应用 (9) 4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9) 4.8. 幂级数在组合中的应用 (10) 参考文献 (11) 致谢 (11)
幂级数展开式的应用 摘要 在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。 关键词 幂级数；展开式；应用 Power series expansion of the type of application Abstract In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion Keyword Power series; expansion; applicati
幂级数在近似计算中的应用 摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+???+-+???∑的函数 项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算. 关键词：幂级数、近似计算 1. 理论依据 以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计。 我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项 2 3 121 3 5 1 21 1 =11 ! 2!3! !! (1) (1) 213!5! 21 (2n 1)!!=+(2)!! n n n x n n n n n n n n x x x x x e x r n n n x x x x x n n n ∞ =----∞ =∞ = =++ + +???+ +???=--= =-+ ???+ +???---∑ ∑ ①②arctanx ③arcsinx x 21 1 2 3 1 1 21(1)(1) 2 3 n n n n n n x n x x x x x n n ---∞ =?+--=- + +???+ +??? ∑ ∑ ④ln(1+x)= 2.π的近似计算 ⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知1 21 1 (1) 21 n n n x n --∞ =-= -∑ arctanx ①1x =若取时 1111(1)4 3 5 21 n n π =- + -???+-+???- （1） 111 4(1+(-1) ) 35 21 n n π?=- ++???+???- 等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。
幂级数的应用
幂级数的应用 将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前?Skip Record If...?项部分和是?Skip Record If...?的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来． 例１计算常数?Skip Record If...?，精确到小数第四位． 解利用?Skip Record If...?，令?Skip Record If...?，有 ?Skip Record If...?． 为达到这个精确度，可观察余项 ?Skip Record If...?． 若取?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，故计算出 ?Skip Record If...?． 例2计算?Skip Record If...?精确到小数第四位． 解因为 ?Skip Record If...?． 令?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，得出 ?Skip Record If...? 由于这是一个交错级数，故其误差可利用?Skip Record If...?确定．取?Skip Record If...?，这时，
?Skip Record If...?， 故得出 ?Skip Record If...?． 例3计算?Skip Record If...?的值，精确到小数第四位． 解如果利用?Skip Record If...?的展开式： ?Skip Record If...?， 理论上可计算?Skip Record If...?，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第?Skip Record If...?项的值?Skip Record If...?．欲使?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替． 用?Skip Record If...? 减去?Skip Record If...? 其差是 ?Skip Record If...?． 令?Skip Record If...?，解出?Skip Record If...?代入上式，得 ?Skip Record If...?， 其误差 ?Skip Record If...?． 取?Skip Record If...?，这时 ?Skip Record If...? 故得出 ?Skip Record If...?．
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
(整理)幂级数的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
幂级数的应用 将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、 函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来． 例１ 计算常数e ，精确到小数第四位． 解 利用∑∞ ==0 !n n x n x e ，令1=x ，有 ++++==∑ ∞ =!31 !2111! 10n n e ． 为达到这个精确度，可观察余项 )!1)(1(1111!1 111!1)2)(1(1 111!1)!1(1!12--= -?=??? ??+++
幂级数的应用 发表时间：2014-01-20T14:14:11.873Z 来源：《职业技术教育》2013年第10期供稿作者：王石磊[导读] 幂级数对上述类型的不定积分的计算很简便，只要将pn（x）在x0点展成级数。 王石磊（沙河市劳动技工学校河北邢台054100） 、级数是数学中非常重要的内容，其应用极其广泛。幂级数作为其中一种特殊的函数项级数，有着众多简捷的运算性质，在研究函数方面已成为一个很有用的工具。通过研究幂级数在其收敛区间内可以逐项求导与逐项求积等性质，本文对幂级数在计算级数的和、计算积分、求解微分方程、近似计算等方面的应用展开了详细的、具体的讨论，并给出了具体实例加以说明。 一、计算数项级数的和 已知数项级数an收敛，若求an的和，可根据数项级数的特征，首先构造恰当的幂级数，求出其收敛区间，再根据定理1和定理2求出数项级数的和。 例1.求级数- + - +…的和。 解：令f（x）= - + - +…（-1 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x 目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量常用函数的幂级数展开式
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