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(整理)幂级数的应用

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幂级数的应用

将函数展开成幂级数,从形式上看,好像把问题复杂化了,但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式,而多项式是最简单的函数之一,因此用幂级数代替某个函数,实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因,函数的幂级数展开式有着应泛的应用。

一、 函数值的近似计算

利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值,即在展开式的收敛敬意上,函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来.

例1 计算常数e ,精确到小数第四位.

解 利用∑∞

==0

!n n

x

n x e ,令1=x ,有

Λ++++==∑

=!31

!2111!

10n n e .

为达到这个精确度,可观察余项

)!

1)(1(1111!1111!1)2)(1(1

111!1)!1(1!12--=-?=??? ??+++

? ??++++++=+++=

n n n

n n n n n n n n n n r n ΛΛΛ.

若取8=n ,则4810

1

!771

r ,故计算出 7183.2!

81

!31!2111≈+++++=Λe .

例2 计算5245精确到小数第四位. 解 因为

5

1

5555555

32133213232243245??

? ??+=+

=+=+=. 令5

3

2=

x ,51

=α,得出 ??

?

??+?-?+=Λ10255

345!24325113245

由于这是一个交错级数,故其误差可利用1||+

4

102321021

3523||?

故得出

0049.332511324555

≈??

?

???+≈.

例3 计算2ln 的值,精确到小数第四位. 解 如果利用)1ln(x +的展开式:

Λ+-+-

=+=4

1

31211)11ln(2ln , 理论上可计算2ln ,但这是一种“内耗”很大的交错级数,其误差不超过第1

+n 项的值

1

1

+n .欲使410111||=+<

n r n ,n 至少要取9999项,这太麻烦了,需要去掉带负号的项,故寻找收敛速度较快的级数来代替.

用 Λ+-+-=+432)1ln(4

32x x x x x 减去 Λ-----=-4

32)1ln(4

32x x x x x 其差是

???

?

?

?+++=-+Λ53211ln 53x x x x x . 令

211=+-x x ,解出3

1

=x 代入上式,得 ??

?

??+?-++?+?+=-Λ

Λ12533112131

513

1313122ln n n , 其误差

122

1242

123

2123)12(4131113)12(2313113)12(2313213

1121

2)(-+++-+=

????

?

?

??-+=

??

?

??++++

取4=n ,这时

4

74101

7873213941||<=??<

r

故得出

6931.0317131513

1313122ln 753≈???

???+?+?+=.

二、定积分的近似计算

利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值,而且还可以计算一些定积分的近似值,具体地说,如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数,那么把这个幂级数逐项积分,用积分后的级数就可计算出定积分的近似值.

例4 计算dx x x

?

1

sin ,精确到小数第四位. 解 由于1sin lim

0=→x x x ,因此所给积分不是广义积分,如果定义

x

x

sin 在0=x 处的值为1,那么它在积分区间]1,0[上连续.由于x

x

sin 的原函数不能用初等函数

表示,因此需要通过幂级数展开式来计算.

利用正弦函数的展开式Λ-+-=!

53sin 5

3x x x x !,两边同除以x ,得到 Λ-+-=!

531sin 4

2x x x x ! 再逐项积分

ΛΛ+?-?+?-=-+-=????!771

!551!3311!5!3sin 1

41031010dx x dx x dx dx x x 这是收敛的交错级数,其误差1||+

1

!771

r ,故 9461.0!551

!3311sin 1

≈?+?-≈?dx x x . 例5 计算

dx e

x ?-

1

2

221π

,精确到小数第三位.

解 易见2

2

x e -

的原函数不能用初等函数表示,因此考虑用幂级数展开式计算.利用展开式

∑∞

==0!n n x

n x e ,得∑∞=--=0

222!)1(2

n n

n n x n x e 故有

ΛΛ+??-??+?-=???? ??+-+-=??-

7

2!3152!2132112!32!2213

21

036

2421

2

2

dx x x x dx e

x

取前四项的和作为近似值,误差为

3

410

1

92!4121

||

πn r 故得出

3412.0336140161121211

2

2≈??

?

??-+-≈

?-

ππ

dx e

x .

以上例题说明,幂级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用.对于用幂级数近似计算函数值,其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似.对于用幂级数近似计算定积分,特别是在某些被积函数的原函数不能用初等函数表示时,便显示出幂级数方法的优越性.

利用幂级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数

n .这可通过估计余项n r 的误差得到:一种方法是将余项式子的各项放大,使之

成为几何级数,从而利用几何级数的和来确定n 值(如例1,例3),另一种方法是利用收敛的交错级数的特点:1||+

三、欧拉公式

最后应用复变量的指数函数的幂级数展开式,说明数学中重要的欧拉公式的形成与推导过程.

在复变量的理论中,我们定义指数函数z e (z 为复变量)为

ΛΛ++++++=!

!3!2!1132n z z z z e n

z

(+∞<||z ,即z 属于整个复平面)

当xi z =时,上式成为

ΛΛ++++++=!

)(!3)(!2)(!1132n xi xi xi xi e n

xi

注意到Λ,,1,,15432i i i i i i ==-=-=,从而

x

i x x x x x i x x x e xi

sin cos !7!5!3!6!4!217536

42+=???

? ??+-+-+???? ?

?+-+-=ΛΛ

即有 x i x e xi sin cos +=. (1)

把上式x 换成x -,又有

x i x e xi sin cos -=-. (2)

将(1)(2)两式两边相加且同除以2,得

2

cos xi

xi e e x -+= (3)

将(1)(2)两式两边相减且同除以i 2,得

i

e e x xi

xi 2sin --= (4)

上述的(1)—(4)都称为欧拉公式,它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系.

在(1)中,取π=x ,可得

01=+πi e (5)

克莱茵(Klein,1849-1925,德国)认为,这是数学中最漂亮的公式之一.有人把(5)列为10个最优美的数学定理之首,它把数学中最重要的5个数

0,1,i ,π,e

用一个等式联系起来,显示了数学中的统一美,(5)显示了数学各领域之间很强的联系且通过等式联结起来,它可以从几种得到解释,如:

0:正负数的分界;

1:任一自然数与它的后继数之差;

i :012=+x 的根,属于代数; π:圆周长与直径之比,属于几何;

e :n

n ???

??+11 )(∞→n 时的极限,属于分析.

等等.

函数的幂级数展开式及其应用

函数的幂级数展开式及其应用 通过前面的学习我们看到,幂级数不仅形式简单,而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题: 问题1:函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ; 问题2:如果f(x)能表示成如上形式的幂级数,那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定? 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数,其中a是事先给定某一常数,我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数,我们可根据幂级数的性质,在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得: , , ……………………………………………… , ……………………………………………… 在f(x)幂级数式及其各阶导数中,令x=a分别得: 把这些所求的系数代入得: 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上,只要f(x)在x=a处任意阶可导,我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题:函数写成泰勒级数后是否收敛?是否收敛于f(x)? 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→+∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时,我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式. 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导,则对于位于此邻区内的任一x,至少存在一点c,c 在a与x之间,使得: 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明) 在泰勒公式中,取a=0,此时泰勒公式变成: 其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时,我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即: 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数e x 2.正弦函数的展开式

(整理)幂级数的应用

幂级数的应用 将函数展开成幂级数,从形式上看,好像把问题复杂化了,但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式,而多项式是最简单的函数之一,因此用幂级数代替某个函数,实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因,函数的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、 函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值,即在展开式的收敛敬意上,函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来. 例1 计算常数e ,精确到小数第四位. 解 利用∑∞ ==0 !n n x n x e ,令1=x ,有 Λ++++==∑ ∞ =!31 !2111! 10n n e . 为达到这个精确度,可观察余项 )! 1)(1(1111!1111!1)2)(1(1 111!1)!1(1!12--=-?=??? ??+++

故得出 0049.332511324555 ≈?? ? ???+≈. 例3 计算2ln 的值,精确到小数第四位. 解 如果利用)1ln(x +的展开式: Λ+-+- =+=4 1 31211)11ln(2ln , 理论上可计算2ln ,但这是一种“内耗”很大的交错级数,其误差不超过第1 +n 项的值 1 1 +n .欲使410111||=+< n r n ,n 至少要取9999项,这太麻烦了,需要去掉带负号的项,故寻找收敛速度较快的级数来代替. 用 Λ+-+-=+432)1ln(4 32x x x x x 减去 Λ-----=-4 32)1ln(4 32x x x x x 其差是 ??? ? ? ?+++=-+Λ53211ln 53x x x x x . 令 211=+-x x ,解出3 1 =x 代入上式,得 ?? ? ??+?-++?+?+=-Λ Λ12533112131 513 1313122ln n n , 其误差 122 1242 123 2123)12(4131113)12(2313113)12(2313213 1121 2)(-+++-+= ???? ? ? ??-+= ?? ? ??++++

浅析幂级数展开式的应用

浅析幂级数展开式的应用 摘要:函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。 关键词:函数;幂级数;展开式 Analyses the Application of the Power Series Expansions Abstract:Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems. Key words:function,power series,expansion

目录 0 引言 (1) 1 幂级数的展开 (1) 1.1 直接展开法 (1) 1.2 间接展开法 (1) 2 幂级数展开式的应用 (2) 2.1 利用幂级数求极限 (2) 2.2 幂级数在不等式证明中的应用 (2) 2.3 幂级数在组合恒等式中的应用 (3) 2.4 应用幂级数求高阶导数 (4) 2.5 应用幂级数展开式推导欧拉公式 (5) 2.6 求非初等函数的原函数 (5) 2.7 利用幂级数求数项级数的和 (6) 2.8 幂级数在微分方程中的应用 (7) 2.9 幂级数应用于近似计算 (8) 3 结束语 (11) 参考文献 (11) 致谢 (12)

浅析幂级数展开式的应用 0 引言 形如2 001020 ()()()n n n a x x a a x x a x x ∞ =-=+-+-+∑???0()n n a x x +-+???的函数项级数称为幂级数,巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质,常能将问题化难为易,简化计算. 1 幂级数的展开 函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法. 1.1 直接展开法 直接展开法是比较麻烦的.首先,函数()f x 的各阶导数不一定容易求得,其次,要证明余项1 1 0() ()() 0(1)! n n n f R x x x n ξ++= -→+ ()n →∞,即使在初等函数中也是比较困难的. 1.2 间接展开法 间接展开法是根据函数()f x 的幂级数展开式的唯一性,选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算,一般用的方法有: (1)应用基本展开式,通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式; (2)应用逐项求导或逐项积分法; (3)应用级数的用算,如加、减、乘、除等; (4)用待定系数法. 这样简化计算过程,就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法. 2 幂级数展开式的应用 幂级数是一类简单的函数项级数,通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题,它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.

浅谈幂级数展开式的应用

摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords﹒ (1) 引言 (2) 一.基本知识 (2) 1.1.幂级数的性质 (2) 1.2. 幂级数的收敛区间 (2) 二.幂级数的和函数 (3) 三.幂级数的展开 (4) 四.幂级数的展开及其应用 (6) 4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6) 4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6) 4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7) 4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7) 4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8) 4.6. 幂级数在求导中的应用 (9) 4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9) 4.8. 幂级数在组合中的应用 (10) 参考文献 (11) 致谢 (11)

幂级数展开式的应用 摘要 在数学中,幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材,许多重要的函数可表成幂级数,而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识,注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。 关键词 幂级数;展开式;应用 Power series expansion of the type of application Abstract In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion Keyword Power series; expansion; applicati

幂级数在近似计算中的应用

幂级数在近似计算中的应用 摘要:形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+???+-+???∑的函数 项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”,它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等,利用计算机相关软件,进行近似计算. 关键词:幂级数、近似计算 1. 理论依据 以某个幂级数展开式为基础,然后把所需要求的量表达成无数级数的和,并依据要求,选取部分和作这个量的近似值,误差用余项()n r x 估计。 我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项 23012135121 1=11 !2!3!!!(1)(1) 213!5!21(2n 1)!!=+(2)!!n n n x n n n n n n n n x x x x x e x r n n n x x x x x n n n ∞ =----∞ =∞==++++???++???=--==-+???++???---∑∑①②arctanx ③arcsinx x 2112311 21(1)(1)23n n n n n n x n x x x x x n n ---∞=?+--=-++???++???∑ ∑④ln(1+x)= 2.π的近似计算 ⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知1211(1)21n n n x n --∞ =-=-∑arctanx ①1x =若取时 1111(1)43521 n n π=-+-???+-+???- (1)

1114(1+(-1))3521 n n π?=-++???+???- 等式的右端是一个交错级数且是收敛的,实际计算时,我们只能使用有限项。如果取级数前n 项之和作为π的近似值 即1114(1+(-1))3521 n n π≈-++???+,其误差为 42+1 n r n ≤, 为了保证误差不超过410-,就要取级数(1)的前20000项进行计算,计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctan x 展开式而言,当x 越小收敛越快,恰恰在端点1x =收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些. ②现若取3 x =带入展开式得 35121111(1) 63521n n n π --=-?+?+-+???- (2) 123111111111(1))335373213 n n n π--=-?+?-?+-?+???- 若取级数的前n 项和作为π的近似值,其误差为 (2+1)3n n r n ≤? 下面实现(2)式的计算,若要求误差小于410-,计算π的程序见附录1 当n=8时,48910193 r -=

最新幂级数的应用

幂级数的应用

幂级数的应用 将函数展开成幂级数,从形式上看,好像把问题复杂化了,但是由于幂级数的前?Skip Record If...?项部分和是?Skip Record If...?的多项式,而多项式是最简单的函数之一,因此用幂级数代替某个函数,实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因,函数的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值,即在展开式的收敛敬意上,函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来. 例1计算常数?Skip Record If...?,精确到小数第四位. 解利用?Skip Record If...?,令?Skip Record If...?,有 ?Skip Record If...?. 为达到这个精确度,可观察余项 ?Skip Record If...?. 若取?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?,故计算出 ?Skip Record If...?. 例2计算?Skip Record If...?精确到小数第四位. 解因为 ?Skip Record If...?. 令?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,得出 ?Skip Record If...? 由于这是一个交错级数,故其误差可利用?Skip Record If...?确定.取?Skip Record If...?,这时,

?Skip Record If...?, 故得出 ?Skip Record If...?. 例3计算?Skip Record If...?的值,精确到小数第四位. 解如果利用?Skip Record If...?的展开式: ?Skip Record If...?, 理论上可计算?Skip Record If...?,但这是一种“内耗”很大的交错级数,其误差不超过第?Skip Record If...?项的值?Skip Record If...?.欲使?Skip Record If...?, ?Skip Record If...?至少要取9999项,这太麻烦了,需要去掉带负号的项,故寻找收敛速度较快的级数来代替. 用?Skip Record If...? 减去?Skip Record If...? 其差是 ?Skip Record If...?. 令?Skip Record If...?,解出?Skip Record If...?代入上式,得 ?Skip Record If...?, 其误差 ?Skip Record If...?. 取?Skip Record If...?,这时 ?Skip Record If...? 故得出 ?Skip Record If...?.

(整理)幂级数的应用

(整理)幂级数的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

幂级数的应用 将函数展开成幂级数,从形式上看,好像把问题复杂化了,但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式,而多项式是最简单的函数之一,因此用幂级数代替某个函数,实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因,函数的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、 函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值,即在展开式的收敛敬意上,函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来. 例1 计算常数e ,精确到小数第四位. 解 利用∑∞ ==0 !n n x n x e ,令1=x ,有 ++++==∑ ∞ =!31 !2111! 10n n e . 为达到这个精确度,可观察余项 )!1)(1(1111!1 111!1)2)(1(1 111!1)!1(1!12--= -?=??? ??+++

幂级数的应用

幂级数的应用 发表时间:2014-01-20T14:14:11.873Z 来源:《职业技术教育》2013年第10期供稿作者:王石磊[导读] 幂级数对上述类型的不定积分的计算很简便,只要将pn(x)在x0点展成级数。 王石磊(沙河市劳动技工学校河北邢台054100) 、级数是数学中非常重要的内容,其应用极其广泛。幂级数作为其中一种特殊的函数项级数,有着众多简捷的运算性质,在研究函数方面已成为一个很有用的工具。通过研究幂级数在其收敛区间内可以逐项求导与逐项求积等性质,本文对幂级数在计算级数的和、计算积分、求解微分方程、近似计算等方面的应用展开了详细的、具体的讨论,并给出了具体实例加以说明。 一、计算数项级数的和 已知数项级数an收敛,若求an的和,可根据数项级数的特征,首先构造恰当的幂级数,求出其收敛区间,再根据定理1和定理2求出数项级数的和。 例1.求级数- + - +…的和。 解:令f(x)= - + - +…(-1

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