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幂级数的应用

吕梁学院毕业论文（设计）开题报告

（学生用表）

函数的幂级数展开式及其应用

函数的幂级数展开式及其应用通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：，， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式. 泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即：几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数e x 2.正弦函数的展开式

(整理)幂级数的应用

幂级数的应用将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。一、函数值的近似计算利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．例１计算常数e ，精确到小数第四位．解利用∑∞ ==0 !n n x n x e ，令1=x ，有 Λ++++==∑ ∞ =!31 !2111! 10n n e ．为达到这个精确度，可观察余项 )! 1)(1(1111!1111!1)2)(1(1 111!1)!1(1!12--=-?=??? ??+++

故得出 0049.332511324555 ≈?? ? ???+≈．例3 计算2ln 的值，精确到小数第四位．解如果利用)1ln(x +的展开式： Λ+-+- =+=4 1 31211)11ln(2ln ，理论上可计算2ln ，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第1 +n 项的值 1 1 +n ．欲使410111||=+< n r n ，n 至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替．用 Λ+-+-=+432)1ln(4 32x x x x x 减去 Λ-----=-4 32)1ln(4 32x x x x x 其差是 ??? ? ? ?+++=-+Λ53211ln 53x x x x x ．令 211=+-x x ，解出3 1 =x 代入上式，得 ?? ? ??+?-++?+?+=-Λ Λ12533112131 513 1313122ln n n ，其误差 122 1242 123 2123)12(4131113)12(2313113)12(2313213 1121 2)(-+++-+= ???? ? ? ??-+= ?? ? ??++++

浅析幂级数展开式的应用

浅析幂级数展开式的应用摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。关键词：函数；幂级数；展开式 Analyses the Application of the Power Series Expansions Abstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems. Key words：function，power series，expansion

目录 0 引言 (1) 1 幂级数的展开 (1) 1.1 直接展开法 (1) 1.2 间接展开法 (1) 2 幂级数展开式的应用 (2) 2.1 利用幂级数求极限 (2) 2.2 幂级数在不等式证明中的应用 (2) 2.3 幂级数在组合恒等式中的应用 (3) 2.4 应用幂级数求高阶导数 (4) 2.5 应用幂级数展开式推导欧拉公式 (5) 2.6 求非初等函数的原函数 (5) 2.7 利用幂级数求数项级数的和 (6) 2.8 幂级数在微分方程中的应用 (7) 2.9 幂级数应用于近似计算 (8) 3 结束语 (11) 参考文献 (11) 致谢 (12)

浅析幂级数展开式的应用 0 引言形如2 001020 ()()()n n n a x x a a x x a x x ∞ =-=+-+-+∑???0()n n a x x +-+???的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算. 1 幂级数的展开函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法. 1.1 直接展开法直接展开法是比较麻烦的.首先，函数()f x 的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项1 1 0() ()() 0(1)! n n n f R x x x n ξ++= -→+ ()n →∞，即使在初等函数中也是比较困难的. 1.2 间接展开法间接展开法是根据函数()f x 的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有：（1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式；（2）应用逐项求导或逐项积分法；（3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等；（4）用待定系数法. 这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法. 2 幂级数展开式的应用幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.

浅谈幂级数展开式的应用

摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords﹒ (1) 引言 (2) 一．基本知识 (2) 1.1．幂级数的性质 (2) 1.2. 幂级数的收敛区间 (2) 二．幂级数的和函数 (3) 三．幂级数的展开 (4) 四．幂级数的展开及其应用 (6) 4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6) 4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6) 4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7) 4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7) 4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8) 4.6. 幂级数在求导中的应用 (9) 4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9) 4.8. 幂级数在组合中的应用 (10) 参考文献 (11) 致谢 (11)

幂级数展开式的应用摘要在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。关键词幂级数；展开式；应用 Power series expansion of the type of application Abstract In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion Keyword Power series; expansion; applicati

幂级数在近似计算中的应用

幂级数在近似计算中的应用摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+???+-+???∑的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算. 关键词：幂级数、近似计算 1. 理论依据以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计。我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项 23012135121 1=11 !2!3!!!(1)(1) 213!5!21(2n 1)!!=+(2)!!n n n x n n n n n n n n x x x x x e x r n n n x x x x x n n n ∞ =----∞ =∞==++++???++???=--==-+???++???---∑∑①②arctanx ③arcsinx x 2112311 21(1)(1)23n n n n n n x n x x x x x n n ---∞=?+--=-++???++???∑ ∑④ln(1+x)= 2.π的近似计算 ⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知1211(1)21n n n x n --∞ =-=-∑arctanx ①1x =若取时 1111(1)43521 n n π=-+-???+-+???- （1）

1114(1+(-1))3521 n n π?=-++???+???- 等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n 项之和作为π的近似值即1114(1+(-1))3521 n n π≈-++???+，其误差为 42+1 n r n ≤，为了保证误差不超过410-，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctan x 展开式而言，当x 越小收敛越快，恰恰在端点1x =收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些. ②现若取3 x =带入展开式得 35121111(1) 63521n n n π --=-?+?+-+???- （2） 123111111111(1))335373213 n n n π--=-?+?-?+-?+???- 若取级数的前n 项和作为π的近似值，其误差为 (2+1)3n n r n ≤? 下面实现(2)式的计算，若要求误差小于410-，计算π的程序见附录1 当n=8时，48910193 r -=

(整理)幂级数的应用

(整理)幂级数的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

幂级数的应用将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。一、函数值的近似计算利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．例１计算常数e ，精确到小数第四位．解利用∑∞ ==0 !n n x n x e ，令1=x ，有 ++++==∑ ∞ =!31 !2111! 10n n e ．为达到这个精确度，可观察余项 )!1)(1(1111!1 111!1)2)(1(1 111!1)!1(1!12--= -?=??? ??+++