浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用
摘要
特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。
关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换
Abstract
Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on.
Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；
目录
摘要 (1)
Abstract (2)
第1章引言 (4)
1.1 研究背景 (4)
1.2 研究现状 (4)
1.3 本文研究目的及意义 (5)
第2章特征值与特征向量的一般理论 (6)
2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6)
2.1.1 特征值与特征向量的定义 (6)
2.1.2 特征值与特征向量的性质 (6)
2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (7)
2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (7)
2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量 (9)
第3章矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (11)
3.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用 (12)
3.1.1 高阶高次幂矩阵的求解 (12)
3.1.2 在线性递推关系的应用 (13)
3.2 特征值与特征向量在物理学中的应用 (16)
3.2.1 简单理想状态双振动系统 (16)
3.3 环境污染及经济增长模型中的应用 (20)
总结 (23)
参考文献 (24)
第1章引言
1.1 研究背景
矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.
1.2 研究现状
在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用
矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n 阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.
1.3 本文研究目的及意义
在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过具体的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.
第2章 特征值与特征向量的一般理论
2.1 特征值与特征向量的定义和性质
为了研究矩阵的线性变换，并且希望能够在线性空间中通过一些线性变换找到一个比较简单的形式，所以引入了特征值与特征向量这一概念。我们知道，在一个有限维的线性空间中，确定一组基之后，线性变化就可以通过矩阵的方法来表示，当然对于一些复杂的形式来说，这种变化过程也十分繁琐。那接下来就是要讨论如何会使得这些方法变得简洁，首先介绍一下特征值与特征向量的定义。
2.1.1 特征值与特征向量的定义
定义1：设A 是n 阶矩阵，如果存在数λ与n 维零向量x ，使关系式Ax x λ= 成立，那么，这样的数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为方阵A 的对应于特征值λ的特征向量（λ可以是复数，A 的元素与x 的分量也可以是复数）.可以将关系式 Ax x λ= 写成
()0A x λ-E = 这是n 个未知数n 个方程的齐次线形方程组.其有非零解的充分必要条件是：系数行列式0A E λ-=. 方程组()0A x λ-E =是以λ为未知数的一元n 次方程，称为方阵A 的特征方程.A E λ-是λ的n 次多项式，记作()f λ,称为方阵A 的特征多项式.显然，A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.因此，n 阶矩阵在复数范围内有n 个特征值.
2.1.2 特征值与特征向量的性质
性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则i i s r ≤.
性质 2 如果12,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当11220
k x k x +≠
时, 11220k x k x +≠仍是R 的属于特征值0λ的特征向量． 性质 3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分
别是12,,
,n x x x ，则12,,
,n x x x 线性无关．
性质4 若()ij n n R r ?=的特征值为12,,
,n λλλ，则
121122n nn r r r λλλ+++=+++，12n R λλλ=．
性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质6 若i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量，或()i i r R E n r λ-=-．
性质7设λ为矩阵R 的特征值，()P x 为多项式函数，则()P λ为矩阵多项式
()P R 的特征值．
2.2 特征值与特征向量的一般求解方法
2.2.1 一般数字矩阵的简单求解
通过对于矩阵特征值与特征向量的定义，我们对于一个确定的线性变换A 的特征值与特征向量的求解方法，可以分成以下几个步骤：
1、在线性空间V 中取一组基12n εεε，，，写出线性变换在这组基下的矩阵A ；
2、求出矩阵A 的特征多项式E A λ-在数域P 中的所有的根，这些根就是线性变换下所有的特征值；
3、把所求得的特征值逐个带入方程组中，对于每一个特征值，求解方程组，都可以得到一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基12n εεε，，下的坐标，这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。
例2.1 在基123,,εεε下的一组线性变换A 的矩阵形式为R ?? ?
= ? ? ??
122212221，求A
的特征值与特征向量。
解 先求出此矩阵的特征多项式
()()E R λλλλλλ----=---=+----2
1
22
2
1
2152
2
1
可以看出当E A λ-为零时，特征值分别为-1（二重）和5。并先将-1代入齐次方程组
()()()x x x x x x x x x λλλ---=??
-+--=??--+-=?
123123123122021202210
可以得到
x x x x x x x x x -?--=---=--??
=?
?-123123123222022202220
它的基础解系为
?? ? ? ?-??101，?? ?
? ?-??
011 由此便可以看出关于特征值-1的两个线性无关的特征向量为
ξεε=-113
223ξεε=-
再根据定义可以得出关于-1的特征向量为1122k k ξξ+，其中的1k 和2k 取不全为零的任意值，然后再将5代入，可得
x x x x x x x x x --=??
-+-=??--+=?
123123123422024202240
基础解系为
?? ?
? ???
111 所以，对于特征值5的线性无关向量是
3123ξεεε=++
可以看出特征值5的全部特征向量为3k ξ，k 的值同上，为不全为零的数。 2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量
在开始介绍之前首先应该了解什么叫做矩阵的初等变换。矩阵的初等变换一般就分为初等行变换和初等列变换，先给出初等行变换的定义：
（1）调换矩阵的任意两行（如i ，j 行）；
（2） 将一个非零的数k 乘以矩阵中某一行的所有元素；（例如第i 行乘以k ）； （3）将某一行元素的k 倍加到另一行对应的元素上去；
这就是矩阵的初等行变换，以同样的方法可以定义初等列变换。而经过这种初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。
定理2.1 设A 是一个n 阶的矩阵，它的特征矩阵E A λ-可以经过一系列的
初等变换转化为一个下三角矩阵，记做()()
()()12**
*n l l L l λλλλ??
???
?
=?
??
?????
，则对角线上元素乘积为零的方程()()()120n l l l λλλ=的解就是A 的特征值。
定理2.2 若对于特征矩阵()T
i A E λ-进行初等变换，将其转换为一个阶梯型的矩阵，同时对于一个相同形式的单位矩阵进行相同的变换，那么就存在一个n 阶阵,n n P ，使得
(),,,,,,0r n r n T
n n i n n
n r n n r n D P P A E E P λ--??
?
??-= ??
?
???
其中的()i r R A E λ=-且,r n D 是满秩矩阵，那么,n r n P -中的n -r 个n 维行向量就是矩阵A 的特征值所对应的特征向量。
例2.2 求矩阵A =110430102-?? ?
- ? ???
的特征值和特征向量。
解
()T
A E E λ??-?
?
=1411001
30
010002001λλλ---??
?
-→ ? ?-?
? ()1300101+41100002001λλλ
-??
?
--→ ? ?-?
?
()()()213001
00-11010=002-001D P λ
λλλλλ
-?? ?
-+?? ??? ?
?
?
然后使()D λ中的主对角元素乘积为零，从上式式可得()()2
210,
λλ---=所以特征值为123=2==1λλλ，；分别代入
当1=2λ时，()
()11110
010011
030000001D P λλ??
?
=-???? ? ??
?
，()()12R D λ=，所以当1=2λ时对应的特征向量为()
100,0,101T
P ?? ?
== ? ???
。当23==1λλ时代入得 ()
()22120
010001
020001001D P λλ??
?=→???? ? ??
?120
1
0001
020000
021??
?
? ?-??
所以23==1λλ得特征向量为()
200,2,121T
P ?? ?=-=- ? ???
。 上面的例子给出了做初等行变换的方法，同样的对于列变换也可以用相同的方法解决，下面给出例子；
例2.3 求矩阵A --??
??
=--????--??
311751662的特征值与特征向量。
解
()()c c E A E λλλλλλλ?+--+????????--????
????--++-??=????→????????????????????????
133111
137511576
62266100001010010001100
同理，使得主对角线元素乘积为零，即，所以可看
出特征值为,λλλ==-=12324，将λ=-12代入其中，可得
()()L Q λλ????-??
??
??-=?
???????
??????
11100160060001011110 可以得出特征值λ=-12所对应的特征向量为，(),,T
η=1110，然后再将λ=34代入，结果如下所示
()()()()c c L Q λλ?????
?????
??
?????
??--=????
→??????????????
??????--????
23331
0010
01001006036636
00
0101
00110111
1
616
1 可以得出特征值λ=34所对应的特征向量为(),,T
η=2011。
第3章 矩阵的特征值与特征向量的应用研究
作为一个重要的概念，特征值与特征向量中的应用也是最为广泛的，首先它贯穿了整个代数学，同时在对于解决某些较为特殊和复杂的其他领域问题时，也会使得问题更加简便，接下来就简略探究其在数学领域中的应用、物理学中的应用以及环境污染以及经济增长模型中的应用。
()()λλλ----=2
4440
3.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用
3.1.1 高阶高次幂矩阵的求解
对于一个高阶甚至于n 阶的矩阵进行求解，若采用以往的方法会比较麻烦，所以就引入了较为简单的方法。当一个n 阶的矩阵A 可对角化时，就是说原矩阵与其对角阵相似，那么在计算它的高次幂矩阵k A 时有简便算法。何为可对角化，如下条件即说该矩阵可对角化：前提是A 为对称的矩阵，再有矩阵A 有n 个不相等的特征值，且特征值所对应的特征向量线性无关，对于每一个特征值λ均有m ρλλ=。满足如上条件即可说A 可对角化，1A P P -=Λ。
对1A P P -=Λ来说，其中12,,n P x x x ??=?
?，它由A 的n 个特征向量构成。
并且由A 的n 个特征值构成的对角矩阵为()12,,
n diag λλλΛ=，有
()()()()111
1111
1
1
k
k k A P P P P P P P P P P P P P P P P
P P ---------=Λ=Λ?ΛΛ=ΛΛΛ
Λ=Λ其中()1
2
,,
k k k
k n diag λλλΛ=，所以()121
,,
k k k k n
A Pdiag P λλλ-=。
例3.1 已知矩阵A ????
=??????
122212221，求k A （k 是正整数）
解 从题中可以看出，A 是一个对称矩阵，所以可以采用上述的简便算法， 通过特征值的解法，可以得出矩阵A 的特征值为,λλλ==-=12315，设特征
向量是123,,x x x ，所以对角阵为(),,diag Λ=--115，
[]P x x x ??
??==????--??
12
3101011110，
且矩阵P 的逆为P --??
??=--??????
121111213
111，又(),,P AP diag -=Λ=--1
115，化简后可以看出1A P P -=Λ，有
()()
k
k
k k k A P P -??---?????
?
??????=Λ=---??????
????--???????
?
110
0101211101101012131110
5111 （3.1）
()()()()()()()()()k k k k k k k k k k k k
k k k k k k
++++++??
-+-+-+????=-+-+-+??-+-+-+???
?
11
1
11
121515151152151531515215 （3.2）
3.1.2 在线性递推关系的应用
线性递推关系与矩阵之间有着密不可分的联系，特征值与特征向量在其中也有着广泛的应用，接下来就讨论对于一般的线性递推关系中的应用。
首先设一个K 阶的线性数列，且是循环的，满足如下递推关系
(),,n n n k n k x a x a x a x n k k ---=++
+=++112212 （3.3）
其中(),,
,i a i k =12为常数且其中任意k a ≠0。那么方程
1122,
112211n n n k n k n n n n n k n k x a x a x a x x x x x x x --------+-+=+++??=??
=?
??
=?
?
（3.4） 经矩阵表示为
n k k n n n n n k n k x a a a a x x x x x x -------+????
????????
?????
?????=?
????????????????
???
??1
21112211000010000
1
0 （3.5） 让
,,n n k k n n n k n n k n k n k x x a a a a x x x A x x αα-----+----+??
??
????
??????
???
???===????
??
????
??
????
????112112121100000
1
0 （3.6） 那么（3.5）式可以写成
1n k n k A αα-+-= （3.7）
通过递推关系（ 3.7）式变为2
111n k n k n k A A ααα--+--==
=，
[]1121,,
,,T
k k x x x x α-=，所以求n x 就变成了求1n k α-+，即求n k A -。
假设矩阵A 可转化为对角阵，那么就存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ，则
1n k n k A P P ---=Λ，于是
1
21100
01000
1
k k
a a a a E A λλ
λλ
-------=
-
- （3.8）
在上面行列式的第一列上乘以λ，加到下一列，以此类推，就得到：
k k k k k k k a a a a a a a a λλλλλλλλ-----??
-----
---
--?
?
-??
??-??????-??
212111211111
0000100
001
111k k k k a a a λλλ--=----
当λ是矩阵A 的特征值时，可以得到()1R E A k λ-=-，那么齐次线性方程组()0E A X λ-=的基础解系中只有一个解，所以当矩阵A 有k 个特征值
12,,,k λλλ时，分别对应着特征向量为12,,
,k P P P ，那么以其作为矩阵的列，所构成的矩阵p 就是可逆矩阵，且1P AP -=Λ
1
2
0000
n A λλλ?????
?=??????
（3.9） 例3.2 设数列{}n x 满足如下递推的关系：()n n n n x x x x n ---=+-≥123224，其中,,x x x ==-=123123，求n x 的通项。
解 由题可得数列是三阶循环的，n n n n n n n n x x x x x x x x -------=+-??
=??=?
123112222，将方程组写成矩
阵的形式
n n n n n n x x x x x x ------????????????=??????????????????11223212100010，让A -????=??????
212100010 （3.10） 经过递推得
n n n n n n n n n n x x x x x A x A x A x x x x x ---------????????
????????====??????????????????????
??
1232312322341 （3.11） 又由于,,x x x ==-=123123，且E A λ-=0，可得
λλλλλλ
---=-+-=-32212
1022001 （3.12） 特征值为：,,λλλ==-=123112，再由矩阵的特征方程求解，所得到的特征向量为：
,,P P P ????????????==-=??????????????????
123114112111 （3.13） 令：
[]P P P P ??
??==-??????
1
2
3114112111 （3.14）
则
,P P P ---????
????=-Λ=-?
???????-????
11
33610011320106202002 （3.15） ()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n n P P ----------------??
-+-+--+--????????
Λ=-=-+-+--+--??
??????
-+-+--+--????
3333
2223
111
31322
31233162121001010312331621260023123316212代入（3.10）中有：
()()()()()()
n n n n n n x x x x ---??=
-+-++--++--?
?333
321131233162126
()()n n n n --+-??=-+-+=-+-+???33
111311291112126263
（3.16）
3.2 特征值与特征向量在物理学中的应用
在开始说明特征值与特征向量在物理中的应用前，首先应该给出二者的物理意义。特征值表示矩阵的整体扩大或缩小了多少，在物理学中则表示做刚体运动，相当于整体外表发生变化，但是内部的结构没变，但是对于不同的情况有不同的解释，例如动力学中的频率，稳定分析中的载荷，以及主应力。
特征向量表示在某一个方向上，发生旋转，平移，拉伸等变化后的组合，它主要应用于类似的旋转空间及振动模型当中。这一部分主要探究了特征值特征向量在振动模型中的应用及特性。
3.2.1 简单理想状态双振动系统
首先给出一个简单的双质量振动系统，如下图3.1中由3个弹簧及两个物体构成的系统（系统被限制在仅能水平方向上移动，不可上下平移）。
图3.1 简单双振动系统
可以借鉴最简单的自由落体系统
图3.2 自由落体运动系统
由此可以得到如下的运动方程
11212222122100
mx k k x k x mx k k x k x ++-=++-=（）（） （3.17） 即
122121
212122k k k x x x m m k k k
x x x m m
+-+=+-= （3.18） 将上面得到的运动方程重新改写为矩阵的形式，如下
12
21122212k k k x x m m x x k k k m
m +??
-??????
=?
?????+??????-
????
（3.19） 令
[][]
1221212,,,T T
k k k x x x x x x m m
βα+====，，，可得 x x β
ααβ-??
=??-?
?
（3.20） 现在一个简单的物理振动问题就转变成了一个矩阵问题，一种解的形式（类似于微分方程）如下：
12 j t
j t v x ve
e v ωω??==????
（3.21） 则22j t x ve x ωωω=-=-，可得
2
x x β
αωαβ-??=-??-?
?
（3.22） 从上式可以看出这是一个求特征值的问题2 , Ax x λλω==-，经过前面部分对特征值特征向量求解问题的讨论，可以得到：
2
22
0A I ωβα
ωαωβ
-+==- （3.23） 即222422220
ωβαωβωβα--=-+-=（）（
）2
ωβα
==± （3.24）
为了使上式变得简单，现在考虑具体的情况k 1=k 2=m =1，所以代入这些条件
就可以得出2
2
1212123,1k k k m
ωβαωβα+=+=
==-==，然后求得特征值后，可以由2110A I v ω+=（） ，即
1.11.211011v v ??
??=????????
（3.25） 得出其对应的特征向量为111v ??
=??-??
。
同理，由2
220A I v ω+=（） ，即
2.12.211011v v -??
??=????-????
（3.26） 得出其对应的特征向量为211v ??
=????
。
上面给出了该系统的特殊解，通过上述的过程我们可以得出双质量运动系统的一般形式为
()112211213242j t j t j t j t x t c v e c v e c v e c v e ωωωω--=+++ （3.27）
注意每一个频率（特征值）被使用了两次，这是因为解决方案是对于频率的平方，其中有两个解（正解和负解）。我们将使用初始条件来求解未知的系数，就像我们求解微分方程一样。在一个正确的解决方案里，数量c 1和c 2是一组共轭复数，同理c 3和c 4也是一样。这样该方程可以重新写为
()()()()()11131
12
22422c o s s i n c o s s i n x t v t v t v t v t γωγωγωγω=+++（3.28）
我们可以使用初始条件(0)t =来求解未知数
()()1122
1312420,
0x v v x v v γγωγωγ=+=+ （3.29）
现在让我们来考虑一下对于初始条件，当速度为零的情况下，这是一种适用于任意位置的初始条件（这是我们最常使用的情况）
()()()()12000000x x x x ????
==????????
， （3.30） 使用上述为零的初始条件，可以写成()1312420x v v ωγωγ=+，即
()132********x ωγωγ??????
=+=??????-??????
（3.31）
变换为方程组
13241324+0
+0
ωγωγωγωγ=-= （3.32）
在实际生活中知道，频率不为零，所以唯一的解为
34==0γγ （3.33）
因此，如果初始速度为零，唯一需要的余弦的解其一般形式可以简化为
()()()111222cos cos x t v t v t γωγω=+ （3.34）
由初始条件求待定系数可得
()()()11122211220cos 0cos 0x v v v v γωγωγγ=+=+ （3.35）
这就产生了一个22?的方程组，可以用许多方式来求解此方程组
[]1
21111v v v ??==??-??
（3.36） 转换为矩阵的形式初始条件就变成
()1112220=x v v v γγγγ??
=+????
（3.37）
即
()11
20v x γγ-??=????
（3.38） 举例说明
考虑如下情况，当k 1=k 2=m =1时，如前所述，对于普遍的初始条件
()100x ??=????
（3.40）
假设的解为：
()()()111222cos cos x t v t v t γωγω=+ （3.41）
我们就可以知道
()()()111222112210cos 0cos 00x v v v v γωγωγγ??
==+=+????
（3.42）
我们可以把它写成两个方程中的两个未知数
112212111=+011v v γγγγ??????
+=??????-??????
（3.43）
12121=+0=γγγγ-即，，所以121
==2
γγ。因此该运动方程由下式给出
()()()112211
cos cos 22
x t v t v t ωω=+ （3.44）
或者
()()()()()()1122121111
cos cos cos cos 2222
x t t t x t t t ωωωω=
+=-+， （3.45） 延伸到一个n n ?系统
上述过程很容易扩展到更大的系统中
1、从运动方程系统中得到一个n n ?二阶的矩阵微分方程x A x =?
2、找到特征值（振动频率）和特征向量；
特征值为123.....n λλλλ，，，
， ，特征向量为123.....n v v v v ，，，，
频率为1i i n ω==，， 3、假设该方案的一种解决办法；
()()()()111222c o s c o s c o s n n n x t v t v t v t γωγωγω=++????+ 4、从初始条件求解未知系数（i γ）
[]12-112
=(0)n n v v v v v x γγγγ??
??
??=???=??????
，
3.3 环境污染及经济增长模型中的应用
环境污染与经济发展，对于这两个问题的讨论是世界上恒久不变的主题。同样对这类问题的研究，也可以应用本文的主题——特征值与特征向量来进行解决。首先为研究问题的可行性，需建立一个基本的数学模型，如下：
设该地区的环境污染程度为0x ，经济发展水平为0y ，数年以后二者的发展程度为11,y x ，那么00,x y 与11,y x 就有如下的关系式：
100
1
00322x x y y x y =+??
=+? （3.46） 并且令
矩阵特征值的运算性质及推广 摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。 由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用. 关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式 The Operation Properties and Promotion of Eigenvalue Cui haiyang (Institute of Computer Science, Math) Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues. Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion. Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial 1引言 矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工
阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的. 根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题: 研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用. 解决的主要问题: 1．了解分块矩阵的基本概念. 2．探讨分块对角化的性质. 3．研究分块矩阵的应用. 三、研究步骤、方法及措施: 研究步骤: 1．查阅相关资料, 做好笔记; 2．仔细阅读研究文献资料; 3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告; 4．翻译英文资料; 5．撰写毕业论文; 6．上交论文初稿; 7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述; 8．论文定稿.
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令HE 2xx T 证明H 是对称的正交阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设0是m 阶矩阵A mn B nm 的特征值 证明也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 27A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E | 8 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x 9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A . 14 设????? ??-=340430241A 求A 100
浅谈矩阵的特征向量特征值的意义 描述了矩阵的特征向量和特征值的定义，简述了矩阵的特征向量特征值在数学、物理、信息和哲学上的一些意义，对于从多角度深入理解矩阵的特征向量特征值有积极意义。 标签：线性代数；矩阵；特征向量；特征值 1 线性变换与矩阵的特征向量特征值[1] 线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。即 Y=AX （Y，X∈Rn A=（aij）A=（aij）n×n） 如果对于数λ，存在一个n维零列向量X（即X∈Rn且X≠0），使得 AX=？姿X 则称数λ为矩阵A的一个特征值，X为矩阵A对应于λ的特征向量。 在线性代数中研究线性变换就是研究相应的矩阵A，矩阵A的特征向量和特征值是线性变换研究的重要内容。 2 在数学上的意义 矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。这里可以将特征值为负，特征向量旋转180度，也可看成方向不变，伸缩比为负值。所以特征向量也叫线性不变量。特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）[2]。 对对称矩阵而言，可以求得的特征向量是正交的，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。 例如，对于x，y平面上的一个点（x，y），我对它作线性变换A， 这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵A的特征向量
浅析分块矩阵的性质和应用 作者姓名：周甜 河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班 性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。 性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。 摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。 关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆 Tentative Analysis of Properties and Applications of Block Matrices Author Name：Zhou Tian Class 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices. Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块， 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 摘要 特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。 关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换 Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and
eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on. Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary； 目录 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2) 摘要 (2) Abstract (2) 第1章引言 (4) 1.1 研究背景 (4) 1.2 研究现状 (5) 1.3 本文研究目的及意义 (6) 第2章特征值与特征向量的一般理论 (6) 2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6) 2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7) 2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7) 2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8) 2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)
1引言 在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组 我们可以构成一个矩阵 因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成. 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主. 在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下： （1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. （2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用. 如：设A B M C D ??=???? 是一个四分块n 阶矩阵，其中A 、B 、C 、D 分别是,r r ?(),r n r ?-(),n r r -?()n r -?()n r -阶矩阵，若A 可逆，可证M =AD - 1CA B -，另若D 可逆，则可证得1M D BD C -=-.
1.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2.// 求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法 3.// 4.// 参数： 5.// 1. double dblEigenValue[] - 一维数组，长度为矩阵的阶数，返回时存放特征值 6.// 2. CMatrix& mtxEigenVector - 返回时存放特征向量矩阵，其中第i列为与 7.// 数组dblEigenValue中第j个特征值对应的特征向量 8.// 3. int nMaxIt - 迭代次数，默认值为60 9.// 4. double eps - 计算精度，默认值为0.000001 10.// 11.// 返回值：BOOL型，求解是否成功 12.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 13.BOOL CMatrix::JacobiEigenv(double dblEigenValue[], CMatrix& mtxEigenVector, int nMaxIt /*= 60*/, double eps /*= 0.000001*/) 14.{ 15.int i,j,p,q,u,w,t,s,l; 16.double fm,cn,sn,omega,x,y,d; 17. 18.if (! mtxEigenVector.Init(m_nNumColumns, m_nNumColumns)) 19.return FALSE; 20. 21.l=1; 22.for (i=0; i<=m_nNumColumns-1; i++) 23.{ 24.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+i]=1.0; 25.for (j=0; j<=m_nNumColumns-1; j++) 26.if (i!=j) 27.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+j]=0.0;//单位矩阵 28.} 29. 30.while (TRUE) 31.{ 32.fm=0.0; 33.for (i=1; i<=m_nNumColumns-1; i++) 34.{ 35.for (j=0; j<=i-1; j++) 36.{ 37.d=fabs(m_pData[i*m_nNumColumns+j]); 38.if ((i!=j)&&(d>fm)) 39.{ 40.fm=d; 41.p=i; 42.q=j; }//取绝对值最大的非对角线元素，并记住位置
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
第39卷 第7期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.7 2019年 7月 Journal of Science of Teachers′College and University Jul. 2019 文章编号：1007-9831（2019）07-0008-03 矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现 周琴 （湖南涉外经济学院 信息与机电工程学院，湖南 长沙 410205） 摘要：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要内容，在实际问题中的应用也很广泛．研究了矩阵的特征值和特征向量在循环比赛的排名问题和预测分析中的应用，并利用MATLAB软件实现了这些问题的快速求解． 关键词：特征值；特征向量；排名问题；预测分析 中图分类号：O151.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.003 Application and realization of matrix eigenvalue and eigenvector in practical problems ZHOU Qin （School of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Hunan International Economics University，Changsha 410205，China） Abstract：The eigenvalues and eigenvectors of matrices are important contents in matrix theory and are widely used in practical problems．Studies on the application of eigenvalues and eigenvectors of matrices in ranking of cyclic competitions and prediction analysis，and use software MATLAB to realize the rapid solution of these problems． Key words：eigenvalue；eigenvector；ranking issues；predictive analysis 1 引言及预备知识 矩阵的特征值和特征向量在矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际问题中的应用也很广泛．文献[1-2]探索了特征值和特征向量的几何意义；文献[3]利用特征值与特征向量研究了纤维及大分子的可视化显示．在一些常用的数学建模方法如马尔可夫链模型、偏最小二乘回归模型、层次分析法和主成分分析法中，特征值和特征向量均有应用[4-6]． 定义[7-9]设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零列向量a满足l A a a，那么数l称为矩阵A的特征 = 值，a称为A对应于特征值l的特征向量． 在实际教学中，由于矩阵特征值和特征向量的计算方法较为繁琐，学生需要较长的计算时间．如需进一步将计算结果应用到实际问题中，冗长的过程会使学生理解起来比较困难．为了解决此问题，可以利用MATLAB软件[10]自带的函数eig（A）实现矩阵A的特征值和特征向量的快速计算，再将其与实际应用相结合．本文介绍矩阵特征值和特征向量在排名问题和预测分析中的应用，给出了求解实际问题的MATLAB实现方法． 收稿日期：2019-03-02 基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（18C1097）；2017年度湖南涉外经济学院教学改革研究项目——数学实验在地方本科院校非数学专业 教学中的应用研究 作者简介：周琴（1984-）, 女, 湖南长沙人，讲师，硕士，从事计算数学和数学教育研究．E-mail：19891881@https://www.doczj.com/doc/e314494599.html,
矩阵的分块及应用 武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩
阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知 逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。 关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言： 矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识： 分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。 分块矩阵的运算：
1.2.1分块矩阵的加法： 设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用： 分块矩阵的性质： 设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。 特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一 个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换 的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不 改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量 是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的 方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的 东西! 比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇. 其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像 对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。 综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。 Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是： T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+... 从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？ 我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。 关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，
特征值与特征向量在图像处理中的应用 姓名：张x 学号：20092430 班级：2009121 摘要：正所谓学以致用，在长期以来的学习过程中，我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少，我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心，却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来，虽然知道很多问题的求法，就如矩阵特征值和特征向量，它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了，我们需要去知道它们的用途，下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。 关键字： 特征值、特征向量、图像、 正文： 生活中的我们，每天清晨醒来，随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像，我们确实也很难想象，在我们的生活中，图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系？首相我们先来了解下，何为特征值、特征向量。 定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得 称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。 例如对，有及向量，使得，这说明 是的特征值，是对应于的特征向量。 特征值和特征向量的求法： 1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即 （称之为的特征方程） 由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。
2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。 特征值和特征向量的性质： 1 ．， 2 ．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。 3 ．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。 4 ．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若 各不相同，则线性无关。 我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后，你们很难想象，为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话，我自己也不是很清楚，我也是看了别人的理论讲解，才略微理解了一二。让我们一起去了解下。 根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。 这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。