《概率初步》教材分析
161中学王苒苒2011.12.29
一、本章地位
本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了三章，这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率.一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托.本章概率知识的学习要以前俩章的统计部分的知识为基础.本章的主要内容是随机事件的的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想.
二、课程学习目标
1、课标要求
（1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.
（2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义.
（3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
（4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系.
（5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.
2
【考试内容】
事件、事件的概率，列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率.
实验与事件发生的频率，大量重复实验时事件发生概率的估计值.
运用概率知识解决实际问题.
【考试要求】
①在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
②通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值.
③能运用概率知识解决一些实际问题.
三、知识结构框图
四、课时安排（共15课时）
25.1随机事件与概率约4课时
25.2用列举法求概率约4课时
25.3利用频率估计概率约3课时
25.4课题学习约2课时
数学活动
小结约2课时
五、学法教学建议
1、注重概念的教学、随机观念的渗透
概率对学生来说是一个与以前所学数学内容不太一样的东西，一些表述、思想、方法学生都不适应，如果一开始形成了错误的概念或“直觉”，那就很不利于后面的学习.因此在概念教学时不能急于求成，要循序渐进，稳扎稳打.课本通过4个步骤来给出“统计概率”的概念：
（1）很多事件的发生具有“偶然性”（给出“随机事件”概念.P125【问题1、2】）→
（2）不同随机事件发生的可能性的大小有可能不相同（P127【问题3】）→
（3）相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的。这也是区分概率和频率的本质区别之一。（P128【试验】，古典概率定义）
（4）然后再引入概率的统计定义。（P140【用频率估计概率】）
随机事件在现实世界中是普遍存在的，教师应努力培养学生的随机观念，并让学生知道，研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的.概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的教学工具，教师应举出大量事件，让学生判断，这些事件是确定性事件还是随机事件.
2、帮助学生区别统计概率和古典概率的定义，揭示概率与频率的区别与联系
初学统计与概率的学生往往无法理解概率与频率的内在区别与联系，有时会把两者相混淆，教师应向学生指明，统计与概率这两个学科是互为依存，相互作用的.概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支持.相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用概率实验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率（统计概率的定义）.所以用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差.让学生们理解，在遇到任何计算概率问题时，如果能够用理论计算首先就应该采用理论计算的方式，这样的计算结果是概率的精确值（古典概率的定义），用频率估计概率通常会出现误差，得到的可能是概率的近似值.
3、通过大量的实例教学
教学中通过大量的（包括重复的）实例教学，让学生在结合实际问题的研究中来逐步体会、理解概念的实质、掌握计算的方法.
问题的形式、表述千差万别，通过多分析处理各种各样的实际问题，有助于提高学生的转化能力.
让学生亲自动手实践、能够引发学生的思考，加深印象，提高学生思考的积极性.
建议充分利用好教参后面附带的课件。
4、帮助学生总结常见解题方法
初中阶段新课标对概率的要求比较低，要求学生掌握的问题以及方法都比较单一.很多貌似不同的实际问题实质都是一样的，几乎都能转化成几种固定的模式，就像是设计模拟试验一样，比如，很多问题都能转化成“摸球”问题。要考虑的关键点有三条：①几步完成（是从一个口袋摸球，还是从两个或三个口袋中摸球）；②摸出球后是否放回去；③每次摸几个球.（实际上，“在一个口袋中摸球，每次摸2个”相当于“每次摸1个，摸2次”）.学生掌握了问题的实质之后，就不会被表面的叙述干扰.
5、谈谈学生在学习概率时常见的错误
①似是而非，不知道树状图的标准画法
例1 如图1 所示, 从甲地到乙地有两条路可走, 从乙地到丙地有三条路可
走, 假定甲、乙、丙三地间的路况完全相同, 小斌从甲地出发走a 路线到
乙地, 再走e路线到丙地的概率是多少?
错误分析: 这两种错误都是树状图的形状画错, 常常出现这种错误是因为同学们平时学习粗枝大叶, 不认真观察树状图的真形而导致的错误。
正确画法1: 由题意得树状图如下:
所以: 从甲地出发走a路线到乙地, 再走e路线到丙地的概率为
②没有搞清楚树状图应用的条件
例2已知甲袋中有1个红球、1个白球、乙袋中有2 个红球、1个白球(两种球只是颜色不同)。从甲、乙两袋中同时摸出红球的概率是多少?
错解: 画树状图如下图2所示,
总的情况数有4 种, 两袋中同时摸出红球的情况数有1种, 因此两袋中同时摸出红球的概率为四分之错误分析: 从甲袋中摸出红球和白球的可能性不同, 因此上述解答是错误的。 正确解法: 由于乙袋中有2个红球可以将它们编号后再求解。 画树状图, 如图3所示。
总的情况数有6 种, 两袋中同时摸出红球的情况数有2种。因此两袋中同时摸出红球的概率为13
。 ③同一事件，同一属性，错误的使用两次
例3 已知红色和蓝色在一起可配成紫色, 现有三种颜色红、白、蓝, 从中任意取出两种颜色来配紫色, 问: 能配出紫色的概率是多大? 错解: 用列表法如下:
白 红 蓝 白(白, 白) (红, 白) (蓝, 白) 红(白, 红) (红, 红) (蓝, 红) 蓝(白, 蓝) (红, 蓝) (蓝, 蓝)
由表格知: 所有可能数为9种, 能配出紫色的有2种, 因此能配出紫色的概率为九分之二。
错误分析: 同学们在这一过程中没有考虑到: 两次取出相同的颜色是同一事件不能重复计算为两个事件, 导致所有可能数搞错而导致结论错误。 正确解法: 用列表法如下:
白 红 蓝 白 空 (红, 白) (蓝, 白) 红 (白, 红) 空 (蓝, 红) 蓝 (白, 蓝) (红, 蓝) 空
由表格知: 所有可能数为6种, 能配出紫色的有2种, 因此能配出紫色的概率为三分之一。 ④对事件的含义模糊不清
例4 有2名男生和2名女生, 王老师要随机地、两两一对地给他们排座位, 一男一女在一起的概率是多少?
错解: 把2名男生编号为男1、男2; 两名女生编号为女1、女2, 则两人在一排共有四种情况: 男1
男2, 女1女2, 男1女2, 男2女1所以, P (一男一女在一起) =
12
. 错误原因分析: 没有弄清每个事件的含义: 两两一对地排位, 两两排好才算一个完整事件, 只排好2
图2 图3
个人并不是一个完整事件。
正确的解法: 用列举法排出两两一对所有可能:
男1男2, 女1女2; 男1女1, 男2女2; 男1女2,男2女1
所以, P (一男一女在一起) =2
3
.
⑤不重视概率的学习，认为中考中没有什么难题，不认真练习
例5：一个骰子，六个面上的数字分别为1，2，3，3、4，5投掷一次，向上的面出现数字3的概率是。
错解：由于有些同学不认真看题，把六个面上的数字错看成1，2，3，4，5，6，从而出现数字3的
概率为1
6
。
剖析：由于骰子的六个面向上的机会是相同的，而出现3的结果有两种，因此出现数字3的概率是11
2
63
?=
六、常见题型
（一）确定事件与不确定事件的判定
例1．下列事件是必然事件的
A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛
C.射击运动员射击一次，命中十环
D.若a是实数，则0
a≥
解析：事先能够肯定一定会发生的事件称为必然事件，事先能够肯定一定不会发生的事件称为不可能事件，必然是件和不可能事件都是确定事件；可能发生也可能不发生的事件称为随机事件（也称为不确定事件）．由于A、 B、C都为随机事件；只有D是必然事件．
（二）求简单事件发生的概率：
例2．某商场在今年“六·一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．
解析：本题考查了计算事件的概率的能力，
可以看到共有16种可能，和为“6”或“8”有4种可能性，所以，顾客小彦参加此次摸奖活动时
中奖的概率
41
164
=．
（列表方法求解略） 温馨提示：正确的理解概率的意义，利用列表或树形图求概率，找出可能出现的结果次数n 及事件发生的结果次数k ，再利用 k
P n
=
来求概率． （三）用试验的方法估算复杂事件的概率：
例3．赏郎中学初三某班的同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：
（1）请将数据表补充完整。
（2）画出班长进球次数的频率分布折线图。
（3）就数据5、10、15、20、25、30而言，这组数据的中位数是多少？
（4）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由。（结果用分数表示）解析：本题是与数据的整理与描述相结合的，首先对数据进行分析，然后通过实验频率来估计概率。 第（1）问由频率计算频数，频数＝总数×频率＝15×0.4＝6
（2）通过描点、连线画出折线图，又折线图我们可以看到频率稳定在0.6左右
（3）要注意中位数的定义，是按顺序将数据排列起来后处在中间位置的数据，因为有6个数据，所以应是第3、4个数的平均数为17.5
（4）因为当实验的次数足够大时，事件发生的频率稳定在该事件发生的概率附近，反之可以用频率来估计概率，即：
105
68
30252015105181716683=++++++++++
温馨提示：本题要同学们区别开概率与频率，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有随机事件就一定有存在概率，频率是通过实验得到的，随着试验次的变化而变化，但是当试验的次数重复次数足够大后，频率在概率附近摆动，为了求一个随机事件的概率，我们就可以通过多次试验，用所得的频率来估计事件的概率．
（四）公平游戏的判断及规则的修改设计问题
例4．有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）。小亮转动
一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积。
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢。你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平。
分析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来。
解：列树形图如下：
由树形图可见共有12种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为
，，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢。
点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，并且要学生根据概率作出对规则的修改，使得游戏对双方都公平，培养学生的分析问题，设计解决方案的技巧，同时培养了学生的语言表达能力。
温馨提示：在现实生活中我们会经常遇到概率方面的不公平现象，希望同学们能够利用我们所学的概率知识设计方案、修改规则、保证其公平．
教学建议：使用好书本上的配套练习。
七、2011年部分省市中考考题
一、选择题
1.（2011广东东莞）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）
A．1
5
B．
1
3
C．
5
8
D．
3
8
【答案】Ｃ
2. （2011福建福州）从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是（）
A．0 B．1
3 C．2
3
D． 1
【答案】B
3. （2011山东滨州）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( ) A.
14 B. 12 C. 3
4
D. 1 【答案】B
4. （2011山东日照）两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） （A ）
41 （B ）163 （C ）4
3
（D ）83
【答案】A
5. （2011山东泰安）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为
A.19
B.16
C.13
D.1
2 【答案】C
6. (2011 浙江湖州)下列事件中，必然事件是
A ．掷一枚硬币，正面朝上．
B ．a 是实数，l a l ≥0．
C ．某运动员跳高的最好成绩是20 .1米．
D ．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品． 【答案】B
7. （2011浙江衢州）5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙。烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩.则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是（ ） A.
19 B. 13 C. 23 D. 2
9
【答案】A
8. （2011浙江绍兴）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为
2
3
，则黄球的个数为（ ） A.2 B.4 C.12 D.16 【答案】B
9. （2011浙江义乌）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷
锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）
A ．13
B ．19
C ．12
D ．23 【答案】A
10．（2011浙江省嘉兴）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率
是 ．【答案】
1
3
11. （2011广东茂名）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 内的概率是 A ．
π2 B ．2
π C ．π21
D ．π2
【答案】A
12. （2010湖北孝感）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A.
14 B. 12 C. 3
4
D. 56
【答案】C
二、填空题
1. （2011浙江金华）从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是
.【答案】1
3
2. （2011浙江省舟山）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．【答案】
1
3
3. （2011福建福州）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果宇宙中飞来一块陨石落
在地球上,则落在陆地上的概率是 .【答案】3
10
4. （2011山东德州）在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_____________．【答案】
1
2
5. （2011山东菏泽）从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程
20x x k -+= 的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 ．
【答案】3
5
（或填写0．6）
6. （2011山东济宁）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级
各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是 . 【答案】
16
7. （2011山东烟台，15,4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 . 【答案】
12
8. (2011 浙江湖州)某校对初三(2)班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，
结果如下表：
根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是____ 【答案】
12
9. （2011四川重庆）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程
1－ax x －2＋2＝ 12－x 有正整数解的概率为 ．【答案】1
4
10. （2011湖南益阳）在1-，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点
画双曲线k y x =
，该双曲线位于第一、三象限的概率是 ．【答案】1
3
11. （2011广东株洲，16，3分）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成
的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；；则从第（n ）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 .
【答案】
21
n + 12．(2011重庆)在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标
有数字21，2，4，3
1
-，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P 的横坐标，且点P 在反比例函数x y 1
=图象上，则点P 落在正比例函数x y =图象上方的概
率是 ． 【答案】：4
1
三、解答题
1. （2011安徽芜湖）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致.小明认为如果两次分别从1～6六个整数中任取一个数，第一个数作为点(),P m n 的横坐标，第二个数作
为点(),P m n 的纵坐标，则点(),P m n 在反比例函数12
y x
=
的图象上的概率一定大于在反比例函数6
y x
=
的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点？ （1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点(),P m n 的情形；
（2）分别求出点(),P m n 在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确.
【答案】解: （1）列表略.
画树状图如下：
(2)由树状图或表格可知，点(),P m n 共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，
点（3，4），(4，3)，（2,6），（6,2）在反比例函数12
y x =的图象上， 点 (2，3)，（3,2），（1，6），（6,1）在反比例函数6
y x
=的图象上,
故点(),P m n 在反比例函数12y x =和6y x =的图象上的概率相同,都是41
.369
=
所以小芳的观点正确.
2. （2011江苏扬州）扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项。 （1）每位考生有 选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率。（友情提醒：各种方案用A 、B 、C 、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程） 【答案】解：（1）4；
（2）把4种中方案分别列为：
A ：立定跳远、坐位体前屈；
B ：实心球、1分钟跳绳；
C ：立定跳远、1分钟跳绳；
D ：实心球、坐位体前屈；
画树状图如下：
∴小明与小刚选择同种方案的概率=
4
1164 3. （2011山东威海）甲、乙二人玩一个游戏，每人抛一个质地均匀的小立方体（每个面分别标有数字1、2、3、4、5、6），落定后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜； 若两个小立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．
【答案】 解：公平．
理由如下：每次游戏时，所有可能出现的结果如下： 甲
乙
1
2
3
4
5
6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6
（6，1）
（6，2） （6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
总共有期36种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两数字之和为偶数的有18种，两数字之和为奇数的有18种，每人获胜的概率均为
1
2
，所以游戏是公平的． 4. （2011四川重庆）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行
了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
(1)求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
(2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或
画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
【答案】(1)4÷20﹪＝20(个)；20－2－3－4－5－4＝2(个)，
(1×2＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋6×4)÷20＝4(名)．
答：该校平均每班有4名留守儿童．
(2)因为只有2名留守儿童的班级只有甲班和乙班两个，设甲班的2名留守儿童为a1，a2，乙班的2名留守儿童为b1，b2，列表如下：
由表格可知：共有12种情况，符合条件的有a1 a2、a1a2、b1 b2、b1b2四种，4÷12＝1
3．
答：所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为1
3
．
5. （2011江苏连云港）一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF 的顶点A 处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度.棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率.(用列表或画树状图的方法求解)
【答案】用列表法表示为
由上面的表格可知,两数和为4出现的次数最多,棋子走到E 点的可能性最大,P(走到E 点)=
3193
=. 6. （2011四川凉山州）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等。
⑴从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
⑵从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？ 正十边形
⑵根据题意得：
A B C D E F A AB AC AD AE AF B BA BC BD BE BF C CA CB CD CE CF D DA DB DC DE DE F EA EB EC ED EF
FA
FB
FC
FD
FE
由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，分别是：AB ， AD ， BE ， CF ， BA ， DA ， EB ， FC 。
()84
3015
P =
=两种能镶嵌 7. （2011湖北黄石）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国
内掀起一股网球热，某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明听讲座。
（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因。
（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由。 【答案】解：（1）∵P （小明胜）＝
53 ，P （妹妹胜）＝5
2
∴P （小明胜）≠P （妹妹胜） ∴这个办法不公平
(2)3x -3=2x x =3
∴当x >3时对小明有利；当x <3时对妹妹有利；当x ＝3时游戏公平
25.1.1随机事件(第一课时) 郁昌云 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 重点：随机事件的特点 难点：对生活中的随机事件作出准确判断 教学程序设计 一、创设情境，引入课题 1．问题情境 下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)； (4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。 【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考 我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？
第二十五章概率初步复习（1）导学案 一、目的要求： 1. 进一步理解随机现象，了解确定事件和随机事件的概念。 2. 在具体情境中了解概率的意义，会使用列举法（包括列表、画树状图）列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，计算简单事件发生的概率； 二、知识要点 1. 必然事件：． 2. 不可能事件：． 必然事件和不可能事件统称为确定事件． 3. 随机事件：． （二）概率 1. 概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事A发生的概率。 一般的，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= ． 2. 为了直观而又有条理地分析问题，避免重复和遗漏对所有等可能的结果采用：列举方法有直接列举法，法，求其概率。 三、考点精讲： 考点一：确定事件与随机事件 例1.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这个事件是（） A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、确定事件 评注：本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会注重身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题． 例2．从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M：“这个四边形是等腰梯形”．下列判断准确的是（） A．事件M是不可能事件B．事件M是必然事件 C．事件M发生的概率为1 5D．事件M发生的概率为 2 5 评注：本题主要考查对正多边形与圆，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定，必然事件，概率，随机事件，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合使用这些性质实行推理是解此题的关键。 考点二：概率的意义 例1．某校对初三(2)班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况实行了统计，结果如下表： 根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是____ 。 评注：本题由概率定义即可求解。 例2 ：下列说法准确的是（） A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上.
篇一：高中概率部分教学设计 必修3部分 3.1 随机事件的概率 一．教材分析 本节课是新人教版a必修三第三章第一节《随机事件的概率》第一课时，它包含两部分内容：事件的分类和随机事件的概率。 在讲事件分类时，通过课本实例，结合生活实际，以便让学生较容易的得出三类事件的概念，然后通过课本例题和习题进行巩固。三类事件的概念中，重点是让学生了解随机事件 二.学勤分析 根据学生的年龄特点和认知水平，本节课就从学生熟悉并感兴趣的抛掷硬币入手，让学生亲自动手操作，在相同条件下重复进行试验. 在实践过程中形成对随机事件发生的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知，从而形成对概念的正确理解。 三.教学目标 1．体会确定性现象与随机现象的含义，了解必然事件、不可能事件及随机事件的意义； 2．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别； 3．理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法； 4．通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证关系有进一步的认识 四．教学重难点 重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系。难点：用概率知识理解现实生活中的具体问题。 五．教学方法 用生活中简单的实例引入本节课的知识，循序渐进的讲解知识点 六．设计思想 采用实验探究和理论探究，通过设置问题情景、探究以及知识的迁移，侧重于学生的“思”、“探”、“究”的自主学习，促使学生多“动”，激发学生兴趣，争取使学生有更多自主支配的时间. 七.教学过程 （5）结论： 一般地，如果随机事件a在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将事件a发生的频率作为事件a的概率的近似值，即p(a)≈0.5 （三）概念学习：（1）概率与频率 ①频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，并在其附近摆动； ②频率本身是随机的，在试验前不能确定； ③概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验无关；④概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）概率的求法与取值范围 ①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验； ②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件a的概率；③概率反映了随机事件发生的可能性大小； ④必然事件的概率为1，不可能事件的概率是0．即0≤p(a)≤1，随机事件的概率是0<p(a)<1 （四）练习题选择题 1．下列事件是随机事件的个数是（d）．（1）在常温下，焊锡熔化；（2）明天天晴； （3）自由下落的物体作匀加速直线运动；（4）函数（且）在定义域上是增函数．a．0个 b．1个 c．2个 d．3个 2．下列事件中，必然事件是（ c ）．
概率论与数理统计总结（1-5章节） 第一章&第二章概率论引论& 条件概率 本章知识点： 1．随机事件及其运算（随机试验，随机事件与样本空间，事件之间的关系及其运算） 2．概率的定义、性质及其运算（频率，概率的统计定义，古典概率，概率的公理化定义，概率的性质） 3．条件概率及三个重要公式（乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式） 4．事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型 理解重点： 1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与基本运算； 2.理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性，理解概率的公理化定义和概率的其它性质； 3.理解古典概率的定义，掌握古典概率的计算，了解几何概率的定义及计算； 4.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算； 5.理解条件概率的概念，熟练掌握条件概率的计算，熟练掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算； 6.理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算，理
解贝努利试验的概念，熟练掌握二项概率公式（贝努利概型）及其应用。 第一节随机事件 一、概率论序言 二、随机试验与随机事件 （一）随机试验 1．试验可在相同条件下重复进行； 2．每次试验的可能结果不止一个，而究竟会出现哪一个结果，在试验前不能准确地预言； 3．试验所有可能结果在试验前是明确(已知)的，而每次试验必有其中的一个结果出现，并且也仅有一个结果出现。 满足上述三个特性的试验，叫做随机试验，简称试验，并用字母E 等表示。 （二）随机事件 随机试验的结果称为随机事件，简称事件。 1．必然事件：在试验中一定出现的结果，记作Ω； 2．不可能事件：在试验中一定不会出现的结果，记作Φ； 3．随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的结果，常用大写拉丁字母A、B、C…表示； 4．基本事件(样本点)：试验最基本的结果，记作ω； 5．样本空间(基本事件空间)：所有基本事件的集合，常用Ω表示；样本空间Ω中的元素是随机试验的可能结果。样本空间的任一子集称
25.1.1 随机事件（第一课时） 郁昌云 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 重点：随机事件的特点 难点：对生活中的随机事件作出准确判断教学程序设计 一、创设情境，引入课题 1．问题情境下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ （1）太阳从西边下山； （2）某人的体温是100 C； （3）a2+b2=—1（其中a,b都是实数）; （4）水往低处流； （5）酸和碱反应生成盐和水； （6）三个人性别各不相同； 2 （7）一元二次方程x2+2x+3=0 无实数解。 【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考 我们把上面的事件（1 ）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5 名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形 状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到 的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题： （1 ）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 【设计意图：“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件， 它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望】
初三第二十五章概率初步检测题及答案解析 本检测题满分：100分，时刻：90分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同.在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球.下列事件是必定事件的是（ ） A.摸出的3个球中至少有1个球是黑球 B.摸出的3个球中至少有1个球是白球 C.摸出的3个球中至少有2个球是黑球 D.摸出的3个球中至少有2个球是白球 2从分别写有数字4-,3-,2-,1-,0,1,2,3,4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是（ ） A ．19 B ．13 C ．12 D ．23 3.如图所示，随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个，则能让两盏灯同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ） A.1 B.12 C.13 D.14 5．有一个正方体，6个面上分别标有1到6这6个整数，投掷那个正方体一次，则显现向上一面的数字是偶数的概率为（ ） A. 13 B.16 C.12 D.1 4 6.将一颗骰子（正方体）连掷两次，得到的点数差不多上4的概率是（ ） A. 61 B.41 C.161 D.36 1 7.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A. 54 B.53 C.52 D.5 1 8.甲、乙、丙三人进行乒乓球竞赛，规则是：两人竞赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局竞赛没有平局．已知甲、乙各竞赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（ ）
《概率初步》教材分析 161中学王苒苒2011.12.29 一、本章地位 本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了三章，这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率.一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托.本章概率知识的学习要以前俩章的统计部分的知识为基础.本章的主要内容是随机事件的的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想. 二、课程学习目标 1、课标要求 （1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件. （2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义. （3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率. （4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系. （5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题. 2 【考试内容】 事件、事件的概率，列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率. 实验与事件发生的频率，大量重复实验时事件发生概率的估计值. 运用概率知识解决实际问题. 【考试要求】 ①在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率. ②通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值. ③能运用概率知识解决一些实际问题.
三、知识结构框图 四、课时安排（共15课时） 25.1随机事件与概率约4课时 25.2用列举法求概率约4课时 25.3利用频率估计概率约3课时 25.4课题学习约2课时 数学活动 小结约2课时 五、学法教学建议 1、注重概念的教学、随机观念的渗透 概率对学生来说是一个与以前所学数学内容不太一样的东西，一些表述、思想、方法学生都不适应，如果一开始形成了错误的概念或“直觉”，那就很不利于后面的学习.因此在概念教学时不能急于求成，要循序渐进，稳扎稳打.课本通过4个步骤来给出“统计概率”的概念： （1）很多事件的发生具有“偶然性”（给出“随机事件”概念.P125【问题1、2】）→ （2）不同随机事件发生的可能性的大小有可能不相同（P127【问题3】）→ （3）相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的。这也是区分概率和频率的本质区别之一。（P128【试验】，古典概率定义） （4）然后再引入概率的统计定义。（P140【用频率估计概率】） 随机事件在现实世界中是普遍存在的，教师应努力培养学生的随机观念，并让学生知道，研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的.概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的教学工具，教师应举出大量事件，让学生判断，这些事件是确定性事件还是随机事件. 2、帮助学生区别统计概率和古典概率的定义，揭示概率与频率的区别与联系 初学统计与概率的学生往往无法理解概率与频率的内在区别与联系，有时会把两者相混淆，教师应向学生指明，统计与概率这两个学科是互为依存，相互作用的.概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支持.相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用概率实验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率（统计概率的定义）.所以用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差.让学生们理解，在遇到任何计算概率问题时，如果能够用理论计算首先就应该采用理论计算的方式，这样的计算结果是概率的精确值（古典概率的定义），用频率估计概率通常会出现误差，得到的可能是概率的近似值. 3、通过大量的实例教学 教学中通过大量的（包括重复的）实例教学，让学生在结合实际问题的研究中来逐步体会、理解概念的实质、掌握计算的方法. 问题的形式、表述千差万别，通过多分析处理各种各样的实际问题，有助于提高学生的转化能力.
教学课题第25章概率初步 一、知识框架 1.1随机事件和概率 1．必然事件、不可能事件和随机事件 1.定义： （1）必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． （2）不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 2、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A 的概率(probability)，记为. 1.2用列举法求概率 1．必然事件和不可能事件 在一定条件下，必然会发生的事情称为必然事件．一定不会发生的事情称为不可能事件．必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. 2．用列举法计算概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.设共有n种结果.如果出现其中每一种结 果的可能性大小是一样的，那么出现每一种结果的概率都是1 n .如果一个事件包含m种可 能的结果，那么出现这个事件的概率为1 n + 1 n +……+ 1 n = m n .
个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值. 3、用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 二、重点和难点 随机事件和概率 1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断； 2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义. 3、概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； 4、概率反映了随机事件发生的可能性的大小； 5、事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0 第二十五章概率初步 25．1随机事件与概率 25．1.1随机事件 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点． 了解随机事件发生的可能性是有大有小的，不同的随机事件发生的可能性的大小不同． 重点 随机事件的特点． 难点 判断现实生活中哪些事件是随机事件． 一、情境引入 分析说明下列事件能否一定发生： ①今天不上课；②煮熟的鸭子飞了；③明天地球还在转动；④木材燃烧会放出热量；⑤掷一枚硬币，出现正面朝上． 二、自主探究 1．提出问题 教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球，分组讨论从这三个袋子里摸出黄色乒乓球的情况． 学生积极参加，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的，在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球是必然的． 2．概念得出 从上面的事件可看出，对于任何事件发生的可能性有三种情况： (1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； (2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件； (3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 3．随机事件发生的可能性有大小 袋子中有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋子中摸出一个球． (1)是白球还是黑球？ (2)经过多次试验，摸出的黑球和白球哪个次数多？说明了什么问题？ 结论：一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同． 三、巩固练习 教材第128页练习 四、课堂小结 (学生归纳，老师点评) 本节课应掌握： (1)必然事件，不可能事件，随机事件的概念． (2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同． 五、作业布置 教材第129页练习1，2. 25．1.2概率 第六单元《可能性》教材分析 人们在日常生活中会遇到各种各样的现象，众多现象按其发生的结果，大致可以分成“确定性现象”和“随机现象”两类。这两类现象的主要区别在于：确定性现象在一定的条件下，肯定出现或者肯定不出现，不存在其他的可能性。如，在只装几个红球的口袋里任意摸出一个球，其结果是确定的，一定是红球，不可能是其他颜色的球。随机现象则是条件不能完全决定结果，在相同的条件下发生的结果可能不同。如，在既装有红球又装有黄球的口袋里任意摸出一个球，其结果是不确定的，可能是红球，也可能是黄球。 在我国，随着社会的进步、生活的改善，随着社会主义市场经济体制的不断发展与完善，人们越来越多地接触到随机现象。几乎所有人都需要面对就学、就业、出行、住房、医疗、退休、养老等模式的选择，有许多人会涉及投资、贷款、股票、证券、市场预测、风险评估等经济行为。总之，人们活动的空间越来越宽，可以选择的机会越来越多，风险也越来越大。人们越来越需要随机思想，以便运用自己的头脑来分析判断、作出决策。所以，基础教育阶段应该尽早地让学生接触简单的随机现象，尽可能地帮助学生建立起初步的随机思想，这就是小学数学设置可能性教学内容的原因。 所谓随机现象，是指在一定的条件下，重复同样的实验或观察，所得的结果是不确定的，以至于在实验前无法预测实验的结果。但是，随机现象并不是毫无规律的现象，如果实验重复进行的次数充分地多，在实验结果（得出的大量数据）中是能够看出规律的。数学课程标准把《随机现象发生的可能性》安排在第二学段教学，提出了两点内容和要求：（1）在具体情境中，通过实例感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。（2）通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大有小的，能对一些随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。根据课程标准的这些内容要求，本单元第一次教学“可能性”，编排两道例题，具体安排如下表：排例1简单的随机现象 例2列出简单随机现象可能发生的所有结果 体会随机现象结果发生的可能性有大有小，并作出定性描述练习十在学生的游戏和生活中，有许多随机现象的实例。教学随机现象不应只是教材或教师的讲解，更应是学生联系实际事例的亲身感受。 （一）在简单的摸球游戏中感受随机现象 例1设计了简单的摸球游戏：口袋里有1个红球和1个黄球，小组合作，从口袋里任意摸出1个球，记录球的颜色，然后放回。像这样摸10次，并记录10次。教学应该注意的是，这次游戏的目的不在于红球摸到几次、黄球摸到几次，不在于哪一种球摸到的次数多些、比另一种球多几次，而是在于体会摸球的结果是随机的，在摸球之前无法确定球的颜色。所以，教材在学生摸了10次以后，立即让他们交流“在摸球活动中有什么体会”。两个小卡通的发言是所有学生应该有的感受，“每次摸出的可能是红球，也可能是黄球” 第二十五章达标检测卷 (120分，90分钟) 题 号 一 二 三 总 分 得 分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列说法中正确的是( ) A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B ．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C ．“概率为0.000 1的事件”是不可能事件 D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 2．已知一个布袋里装有2个红球、3个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其他都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为1 3 ，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (第3题) 3．如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a(若指针落在分界线上，则重转)；如果投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为b.关于a ，b 大小的正确判断是( ) A ．a ＞b B ．a ＝b C ．a ＜b D ．不能判断 4．A ，B ，C ，D 四名选手参加50米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若A 首先抽签，则A 抽到1号跑道的概率是( ) A ．1 B .12 C .13 D .1 4 5．如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是( ) (第5题) A .16 B .14 C .13 D .1 2 6．掷两枚普通的正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为( ) A .118 B .136 C .112 D .115 7．义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( ) A .35 B .710 C .310 D .1625 8．如图，随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个，则能让两个灯泡同时发光的概率是( ) A .16 B .13 C .12 D .23 (第8题) (第9题) 9．如图，在一个长方形内有对角线长分别为2和3的菱形、边长为1的正六边形和半径为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( ) A ．落在菱形内 B ．落在圆内 C ．落在正六边形内 D ．一样大 10．同时抛掷A ，B 两个均匀的小正方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两个正方体朝上一面的数字分别为x ，y ，并以此确定点P(x ，y)，那么点P 满足在抛物线y ＝－x 2＋3x 上的概率为( ) A .118 B .112 C .19 D .16 二、填空题(每题3分，共30分) 11．下列事件中，必然事件有________，随机事件有________，不可能事件有________． ①随意翻开日历，看到的是星期天；②十五的月亮像弯弯的小船；③某两个负数的积大于0；④小明买体彩，中了500万奖金；⑤两直线相交，对顶角相等． 12．将三块分别写有“20”“22”“北京”的牌子任意横着排，恰好排成“2022北京”或“北京2022”的概率为________． 13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是4 5 ，则n ＝________． (第15题) 14．在四边形ABCD 中，①AB ∥CD ，②AD ∥BC ，③AB ＝CD ，④AD ＝BC.在这四个 第二十五章概率初步复习课教学设计 一、教学目标： 1、知识技能目标 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 2、数学思考目标 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3、解决问题目标 能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 4、情感态度目标 引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 二、重点难点： 重点：随机事件的特点. 难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三、教学过程： (一).知识网络 自我梳理本章知识网络： 设计意图：使学生进一步对概率 初步中涉及的各个知识点有了较 为系统的认识，正确理解频率与 概率的关系，进而认识数学是与 实际问题密不可分，人们的需要 产生数学。 （二）.考点分类解析过程： 考点一：事件分类 1.下列事件中，必然事件是 （） A.掷一枚硬币，正面朝上 B. a是实数，|a|≥0 C.某运动员跳高的最好成绩是20.1米 D.从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品 2.有4个红球、3个白球、2个黑球，放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是（） A．随机事件B．不可能事件 C．很可能事件D．必然事件 考点二：对概率意义的理解 例1在一场足球比赛前，甲教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有60％的机会获胜”意思最接近的是（） A.这场比赛他这个队应该会赢 B.若两个队打100场比赛，他这个队会赢60场 C.若这两个队打10场比赛，这个队一定会赢6场比赛. D.若这两个队打100场比赛，他这个队可能会赢60场左右. 考点三：直接列举求简单事件的概率 第十五章 概率论初步 一、等可能事件概率 如果一个试验共有N 种等可能出现的结果，而且其中任意两个结果都不可能同时出现，则称这个试验为等可能试验。如果这个试验共有N 种可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有k 种，那么事件A 的概率N k P = 二、和事件、积事件的概率（理） 事件A 与事件B 至少有一个出现叫做事件A 和事件B 的和事件。 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 事件A 与事件B 同时出现叫做事件A 和事件B 的积事件。)(B A P ?或)(AB P 。 三、互斥事件、独立事件、对立事件（理） 1、互斥事件 不可能同时出现的两个事件叫做互不相容事件或互斥事件。 )()()(B P A P B A P +=?即0)(=AB P 2、 独立事件 如果事件A 出现和事件B 出现互相之间没有影响，那么称事件A 和事件B 相互独立。 )()()(B P A P AB P ?= 3、对立事件 事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。1)()(=+B P A P ， )()(B P A P =。 四、离散型随机变量的分布列、期望与方差（理） 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. *③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，…，i x ，…n x ，ξ取每一个值i x （=i 1，2，…n ）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 一下 第三单元分类与整理 1、初步感知分类的意义 2、学会选择不同的标准进行分类，掌握分类的方法，并能对分类的结果进行简单整理。 3、通过分一分，看一看，提高学生的操作能力，观察能力，判断能力，语言表达能力。 二下： 第八单元数据的搜集与整理 1．体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，了解统计的意义，会用简单的方法收集和整理数据。 2．会制作简单统计表，初步接触条形统计图（课后练习第七题） 3．通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 三上： 第八单元可能性 1．初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。（可能、不可能、一定） 2．能够列出简单试验所有可能发生的结果。 3．知道事件发生的可能性是有大小的，能对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。 三下 第三单元统计 1．向学生介绍两种新的条形统计图，使学生学会看这两种统计图，并能根据统计表中的数据完成统计图。（横式、纵式条形统计图） 2．初步学会简单的数据分析，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的紧密联系。 3．理解平均数的含义，体会移多补少的思想。初步学会简单的求平均数的方法，理解平均数在统计学上的意义。 四上： 第六单元统计 1．认识两种复式条形统计图，能根据统计图提出并回答简单的问题，能发现信息并进行简单的数据分析。 2．进一步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的密切联系。 3．通过对现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生细心观察的良好学习习惯，培养学生的合作意识和实践能力。 四下： 第七单元统计 1．认识单式折线统计图，会看折线统计图，并能根据统计图回答简单的问题，从统计图中发现数学问题。 2．通过对数据的简单分析，进一步体会统计在生活中的意义和作用。 3．通过对现实生活中多方面信息的统计，激发学生学习数学的兴趣，引导学生关注生活中的数学问题，并运用已经掌握的知识解决生活中较简单的数学问题。 第二十五章概率初步 ２５.１.１随机事件 下查初中王利芳 1、知识与技能目标 （1）理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念； （2）区分必然事件、不可能事件和随机事件； （3）在改变条件的情况下，必然事件、不可能事件和随机事件可以互相转化。. 2、过程与方法目标 经历活动、猜测、听故事等过程，会判断必然事件、不可能事件、随机事件。 3、情感与态度目标 （1）学生通过亲身体验，亲自演示，感受数学就在身边，促进学生乐于亲近数学，喜欢数学； （2）让学生在与他人合作中增强互助、协作的精神； （3）培养学生的数学素养，体验数学与生活密切相关，激发学生学以致用的热情。 教学重难点 重点：能对必然事件、不可能事件、随机事件的类型作出正确判断。难点：必然事件、不可能事件、随机事件的区别与转化关系。 教法、学法和辅助手段 教法分析：情境引人，游戏探索，游戏体验，拓展新知。 学法分析：参与活动，发现新知；探究合作，体验新知；抢答活动，巩固新知；拓展新知。 教学辅助手段（多媒体） 教学过程：多媒体演示 一、创设情境，导入新课： 师：同学们，都听说过“天有不测风云”这句话吧，他的原意是指刮风、下雨、阴天、晴天这些天气情况很难预测，后来他被引申为：人们不能事先判定这些事情是否会发生。人们果真对这类偶然事情束手无策吗？不是 让我们进入今天的课堂 多媒体演示图 下列现象哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的？ ①木柴燃烧,产生热量 ②明天，地球还会转动 ③煮熟的鸭子，飞了 ④在标准大气压下，温度低于100C，这些雪融化 ⑤只要功夫深‘铁杵磨成针。 ⑥跳高运动员最终要落到地面上。 师：下面我们就分别来做抽签游戏和掷骰子游戏。 二、抽签游戏，体验新知 问题1 5名同学参加讲演比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序，签筒中有5根形状、大小相同的笔签，上面分别标有出场的 1 第60讲 概率论初步 教学目标：1、理解各项概念； 2、概率问题计算； 3、频率?经验概率． 教学重点难点：概率问题如何具体问题具体分析． 一、问题引入 骰子6面6个数，投掷一次出现1朝上的可能性是16 ，各种结果情况的可能性不是对任意数量总体均匀按照16 比例出现的，而是当试验次数达到一定数量后体现出来的一种结果分布数量规律． 概率论：研究试验中随机现象、随机事件出现的数量规律． 二、教学过程 1、基本事件：一次实验可能出现的结果．（实验随机出现的结果） 基本事件是试验中必然会出现的结果． 2、古典概型：经典概率模型 ①一次试验所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等，地位等价． 3、随机事件：随机事件由基本事件构成（0个or 若干个or 全部个）． 随机事件可能发生，可能一定会发生，也可能一定不会发生． 常将随机事件记为：事件A 、事件B ，等等． 4、用集合语言：1w ，2w ，3w ，，n w 表示所有的基本事件，将由所有基本事件构成的集合记作 {}123,,,n w w w w Ω=，则可以看作Ω—全集，A —子集，n w —元素． 5、古典概型中，随机事件A 出现的概率定义为 6、我们把试验后必定会出现的事件叫做必然事件（随机事件含有全部基本事件），记作Ω； 把不可能出现的事件叫做不可能事件（随机事件不含有任何基本事件），记作?． 特点：①不可能事件的概率为零，即()0P ?=； ②必然事件的概率为1，即()1P Ω=； ③对任意随机事件E ，有()01P E ≤≤； ④若{}123,,,n w w w w Ω=，则()()()121n P w P w P w +++=． 例1、掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率： （1）出现5点； （2）出现奇数点； （3）出现的点数大于4； （4）出现7点； （5）出现的点数小于7． 例2、掷两颗骰子得到两个数的点数差为2的概率？ 例3、一个罐子里有同样大小、同样重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是无色的，经充分混合后，求下列事件的概率： 九年级数学第十五周周练 班别：姓名：学号： 一、选择题 1．下列事件属于必然事件的是（ ） A．打开电视，正在播放新闻 B．我们班的同学将会有人成为航天员 C．实数a＜0，则2a＜0 D．新疆的冬天不下雪 2．袋中有16个球，7个白球，3个红球，6个黄球，从中任取一个，得到红球的概率（） A. B. C. D. 3．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总数为（ ） Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（） A. B. C. D. 5．小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（） A.P（摸到白球）＝，P（摸到黑球）＝ B.P（摸到白球）＝，P（摸到黑球）＝，P（摸到红球）＝ C.P（摸到白球）＝，P（摸到黑球）＝P（摸到红球）＝ D.摸到白球、黑球、红球的概率都是 6．概率为0.007的随机事件在一次试验中（ ） A.一定不发生 B.可能发生，也可能不发生 C.一定发生 D.以上都不对 7．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（） A.28个 B.30个 C.36个 D.42个 8．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A.6 B.16 C.18 D.24 第二十五章 概率初步 单元测试题 一、选择题： 1.同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件 ( ) (A)点数之和为12. (B)点数之和小于3. (C)点数之和大于4且小于8. (D)点数之和为13. 2.下列说法正确的是 ( ) (A)可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生. (B)可能性很小的事件在一次实验中一定发生. (C)可能性很小的事件在一次实验中有可能发生. (D)不可能事件在一次实验中也可能发生. 3.下列事件中，概率是1的是( ) (A)太平洋中的水常年不干. (B)男生比女生高. (C)计算机随机产生的两位数是偶数. (D)星期天是晴天. 4.一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如图所示的某个方格中 (每个方格除颜色外完全一样)，那么小鸟停在黑色方格中的概率是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 5.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会(翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 6．在一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，它们除颜色外其余均相同.随机从中摸 出一球纪录下颜色后将它放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是 （ ） A ． 5 2 B ． 3 2 C ． 5 4 D ． 25 4 7．池塘中放养了鲤鱼1000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼200条，鲢鱼 400条，估计池塘中原来放养了鲢鱼 ( ) A ．10000 B.2000 C.3000 D.4000 8.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中任意抽取两 张，卡片上画的都是中心对称图形的概率为 ( ) (A) . (B) . (C) . (D)16 二、填空题： 9.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是 . 10.下列事件中：①太阳从西边出来；②树上的苹果飞到月球上；③普通玻璃从三楼摔到一楼的水泥地面上碎了；④小颖的数学测试得了100分.随机事件为 ；哪些事件是必然发生的 ；哪些事件是不可能发生的 (只填 序号). 1 2 1 3 1 4 1 5 1 4 1 5 1 6 3 20 1 4 1 2 3 4 25.3用频率估计概率教学设计 【教材分析】 《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。它是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 1.理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。 2.进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。方法与过程目标： 1.选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系. 2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法. 情感态度与价值观目标: 1.利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。 2.结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。 【重点与难点】 重点：1.体会用频率估计概率的必要性和合理性。 2.学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。 难点：1.理解频率与概率的关系，2.用频率估计概率解决实际问题。 【学生分析】 学习统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。 【教学方法】 树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。而学生在教师的鼓励引导下小结方法，克服思维定势，并通过小组讨论、组际竞赛等多种方式增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。 【设计理念】 激发学生的学习兴趣，发展学生的数学才能，在教学过程中充分运用启发和讨论方式，发扬教学民主，关注知识的形成和发展过程，创设情境，培养学生用数学的眼光看世界的意识，发展搜集和处理信息的能力，运用所学的数学知识解释生活中发生的某些现象，从中建立起数学模型，抽象为数学问题，探究和发展其中的变化规律。 【教师准备】 《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》人教版数学九年级上册第二十五章概率初步教案
苏教版小学数学四年级上册第六单元可能性教材分析
第25章概率初步达标检测卷附答案
第二十五章_概率初步_复习课_教案
概率论初步
人教版小学数学教材分析《统计与概率》部分
第二十五章概率初步
2019年上海高中数学 第60讲 概率论初步教案
第25章《概率初步》单元测 试(及答案)
第二十五章概率初步
25.3用频率估计概率教学设计
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