《概率初步》教材分析
161中学王苒苒2011.12.29
一、本章地位
本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了三章，这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率.一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托.本章概率知识的学习要以前俩章的统计部分的知识为基础.本章的主要内容是随机事件的的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想.
二、课程学习目标
1、课标要求
（1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.
（2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义.
（3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
（4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系.
（5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.
2、2011年中考说明对概率的要求
事件、事件的概率，列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率.
实验与事件发生的频率，大量重复实验时事件发生概率的估计值.
运用概率知识解决实际问题.
【考试要求】
①在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
②通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值.
③能运用概率知识解决一些实际问题.
三、知识结构框图
四、课时安排（共15课时）
25.1随机事件与概率约4课时
25.2用列举法求概率约4课时
25.3利用频率估计概率约3课时
25.4课题学习约2课时
数学活动
小结约2课时
五、学法教学建议
1、注重概念的教学、随机观念的渗透
概率对学生来说是一个与以前所学数学内容不太一样的东西，一些表述、思想、方法学生都不适应，如果一开始形成了错误的概念或“直觉”，那就很不利于后面的学习.因此在概念教学时不能急于求成，要循序渐进，稳扎稳打.课本通过4个步骤来给出“统计概率”的概念：
（1）很多事件的发生具有“偶然性”（给出“随机事件”概念.P125【问题1、2】）→
（2）不同随机事件发生的可能性的大小有可能不相同（P127【问题3】）→
（3）相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的。这也是区分概率和频率的本质区别之一。（P128【试验】，古典概率定义）
（4）然后再引入概率的统计定义。（P140【用频率估计概率】）
随机事件在现实世界中是普遍存在的，教师应努力培养学生的随机观念，并让学生知道，研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的.概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的教学工具，教师应举出大量事件，让学生判断，这些事件是确定性事件还是随机事件.
2、帮助学生区别统计概率和古典概率的定义，揭示概率与频率的区别与联系
初学统计与概率的学生往往无法理解概率与频率的内在区别与联系，有时会把两者相混淆，教师应向学生指明，统计与概率这两个学科是互为依存，相互作用的.概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支持.相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用概率实验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率（统计概率的定义）.所以用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差.让学生们理解，在遇到任何计算概率问题时，如果能够用理论计算首先就应该采用理论计算的方式，这样的计算结果是概率的精确值（古典概率的定义），用频率估计概率通常会出现误差，得到的可能是概率的近似值.
3、通过大量的实例教学
教学中通过大量的（包括重复的）实例教学，让学生在结合实际问题的研究中来逐步体会、理解概念的实质、掌握计算的方法.
问题的形式、表述千差万别，通过多分析处理各种各样的实际问题，有助于提高学生的转化能力.
让学生亲自动手实践、能够引发学生的思考，加深印象，提高学生思考的积极性.
建议充分利用好教参后面附带的课件。
4、帮助学生总结常见解题方法
初中阶段新课标对概率的要求比较低，要求学生掌握的问题以及方法都比较单一.很多貌似不同的实际问题实质都是一样的，几乎都能转化成几种固定的模式，就像是设计模拟试验一样，比如，很
多问题都能转化成“摸球”问题。要考虑的关键点有三条：①几步完成（是从一个口袋摸球，还是从两个或三个口袋中摸球）；②摸出球后是否放回去；③每次摸几个球.（实际上，“在一个口袋中摸球，每次摸2个”相当于“每次摸1个，摸2次”）.学生掌握了问题的实质之后，就不会被表面的叙述干扰.
5、谈谈学生在学习概率时常见的错误
①似是而非，不知道树状图的标准画法
例1 如图1 所示, 从甲地到乙地有两条路可走, 从乙地到丙地有三条路可走,
假定甲、乙、丙三地间的路况完全相同, 小斌从甲地出发走a 路线到乙地,
再走e路线到丙地的概率是多少?
错误分析: 这两种错误都是树状图的形状画错, 常常出现这种错误是因为同学们平时学习粗枝大叶, 不认真观察树状图的真形而导致的错误。
正确画法1: 由题意得树状图如下:
所以: 从甲地出发走a路线到乙地, 再走e路线到丙地的概率为1
6
②没有搞清楚树状图应用的条件
例2已知甲袋中有1个红球、1个白球、乙袋中有2 个红球、1个白球(两种球只是颜色不同)。从甲、乙两袋中同时摸出红球的概率是多少?
错解: 画树状图如下图2所示,
图2 图3
总的情况数有4 种, 两袋中同时摸出红球的情况数有1种, 因此两袋中同时摸出红球的概率为四分之错误分析: 从甲袋中摸出红球和白球的可能性不同, 因此上述解答是错误的。
正确解法: 由于乙袋中有2个红球可以将它们编号后再求解。
画树状图, 如图3所示。
。
总的情况数有6 种, 两袋中同时摸出红球的情况数有2种。因此两袋中同时摸出红球的概率为1
3
③同一事件，同一属性，错误的使用两次
例3 已知红色和蓝色在一起可配成紫色, 现有三种颜色红、白、蓝, 从中任意取出两种颜色来配紫色, 问: 能配出紫色的概率是多大?
错解: 用列表法如下:
白红蓝
白(白, 白) (红, 白) (蓝, 白)
红(白, 红) (红, 红) (蓝, 红)
蓝(白, 蓝) (红, 蓝) (蓝, 蓝)
由表格知: 所有可能数为9种, 能配出紫色的有2种, 因此能配出紫色的概率为九分之二。
错误分析: 同学们在这一过程中没有考虑到: 两次取出相同的颜色是同一事件不能重复计算为两个事件, 导致所有可能数搞错而导致结论错误。
正确解法: 用列表法如下:
白红蓝
白空 (红, 白) (蓝, 白)
红 (白, 红) 空 (蓝, 红)
蓝 (白, 蓝) (红, 蓝) 空
由表格知: 所有可能数为6种, 能配出紫色的有2种, 因此能配出紫色的概率为三分之一。
④对事件的含义模糊不清
例4 有2名男生和2名女生, 王老师要随机地、两两一对地给他们排座位, 一男一女在一起的概率是多少?
错解: 把2名男生编号为男1、男2; 两名女生编号为女1、女2, 则两人在一排共有四种情况: 男1男2, 女1女2, 男1女2, 男2女1所以, P (一男一女在一起) =1
2
.
错误原因分析: 没有弄清每个事件的含义: 两两一对地排位, 两两排好才算一个完整事件, 只排好2个人并不是一个完整事件。
正确的解法: 用列举法排出两两一对所有可能:
男1男2, 女1女2; 男1女1, 男2女2; 男1女2,男2女1
所以, P (一男一女在一起) =2
3
.
⑤不重视概率的学习，认为中考中没有什么难题，不认真练习
例5：一个骰子，六个面上的数字分别为1，2，3，3、4，5投掷一次，向上的面出现数字3的概率是。
错解：由于有些同学不认真看题，把六个面上的数字错看成1，2，3，4，5，6，从而出现数字3的
概率为1
6。
剖析：由于骰子的六个面向上的机会是相同的，而出现3的结果有两种，因此出现数字3的概率是11
2
63
?=
六、常见题型
（一）确定事件与不确定事件的判定
例1．下列事件是必然事件的
A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛
C.射击运动员射击一次，命中十环
D.若a是实数，则0
a≥
解析：事先能够肯定一定会发生的事件称为必然事件，事先能够肯定一定不会发生的事件称为不可能事件，必然是件和不可能事件都是确定事件；可能发生也可能不发生的事件称为随机事件（也称为不确定事件）．由于A、B、C都为随机事件；只有D是必然事件．
（二）求简单事件发生的概率：
例2．某商场在今年“六·一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．
解析：本题考查了计算事件的概率的能力，
可以看到共有16种可能，和为“6”或“8”有4种可能性，所以，顾客小彦参加此次摸奖活动时
中奖的概率
41
164
=．（列表方法求解略）
温馨提示：正确的理解概率的意义，利用列表或树形图求概率，找出可能出现的结果次数n 及事件发生的结果次数k ，再利用 k
P n
=
来求概率． （三）用试验的方法估算复杂事件的概率：
例3．赏郎中学初三某班的同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：
第一回投球 第二回投球 第三回投球 第四回投球 第五回投球 第六回投球
每回投球次数 5 10 15 20 25 30 每回进球次数 3 8 16 17 18 相应频率
0.6
0.8
0.4
0.8
0.68
0.6
（1）请将数据表补充完整。
（2）画出班长进球次数的频率分布折线图。
（3）就数据5、10、15、20、25、30而言，这组数据的中位数是多少？
（4）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由。（结果用分数表示）
解析：本题是与数据的整理与描述相结合的，首先对数据进行分析，然后通过实验频率来估计概率。 第（1）问由频率计算频数，频数＝总数×频率＝15×0.4＝6
（2）通过描点、连线画出折线图，又折线图我们可以看到频率稳定在0.6左右
（3）要注意中位数的定义，是按顺序将数据排列起来后处在中间位置的数据，因为有6个数据，所以应是第3、4个数的平均数为17.5
（4）因为当实验的次数足够大时，事件发生的频率稳定在该事件发生的概率附近，反之可以用频率来估计概率，即：
105
68
30252015105181716683=
++++++++++ 温馨提示：本题要同学们区别开概率与频率，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有随机事件就一定有存在概率，频率是通过实验得到的，随着试验次的变化而变化，但是当试验的次数重复次数足够大后，频率在概率附近摆动，为了求一个随机事件的概率，我们就可以通过多次试验，用所得的频率来估计事件的概率．
（四）公平游戏的判断及规则的修改设计问题
例4．有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）。小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积。
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢。你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平。
分析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过
修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来。
解：列树形图如下：
由树形图可见共有12种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为
，，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢。
点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，并且要学生根据概率作出对规则的修改，使得游戏对双方都公平，培养学生的分析问题，设计解决方案的技巧，同时培养了学生的语言表达能力。
温馨提示：在现实生活中我们会经常遇到概率方面的不公平现象，希望同学们能够利用我们所学的概率知识设计方案、修改规则、保证其公平．
教学建议：使用好书本上的配套练习。
七、2011年部分省市中考考题
一、选择题
1.（2011广东东莞）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中
任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）
A．1
5B．1
3
C．5
8
D．3
8
【答案】Ｃ
2. （2011福建福州）从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是（）
A．0 B．1
3 C．2
3
D．1
【答案】B
3. （2011山东滨州）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A. 1
4
B.
1
2
C.
3
4
D. 1
【答案】B
4. （2011山东日照）两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） （A ）
41 （B ）163 （C ）43 （D ）8
3 【答案】A
5. （2011山东泰安）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为
A.19
B.16
C.13
D.12 【答案】C
6. (2011 浙江湖州)下列事件中，必然事件是
A ．掷一枚硬币，正面朝上．
B ．a 是实数，l a l ≥0．
C ．某运动员跳高的最好成绩是20 .1米．
D ．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品． 【答案】B
7. （2011浙江衢州）5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙。烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩.则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是（ ） A.
19 B. 13 C. 23 D. 2
9
【答案】A 8. （2011浙江绍兴）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为
2
3
，则黄球的个数为（ ） A.2 B.4 C.12 D.16 【答案】B
9. （2011浙江义乌）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷
锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）
A ．13
B ．19
C ．12
D ．23
【答案】A
10．（2011浙江省嘉兴）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率
是 ．【答案】
1
3
11. （2011广东茂名）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 内的概率是 A ．
π2 B ．2
π C ．π21 D ．π2
【答案】A
12. （2010湖北孝感）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是（ ） A.
14 B. 12 C. 34 D. 5
6
【答案】C
二、填空题
1. （2011浙江金华）从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是
.【答案】1
3
2. （2011浙江省舟山）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．【答案】
1
3
3. （2011福建福州）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果宇宙中飞来一块陨石落在
地球上,则落在陆地上的概率是 .【答案】
3 10
4. （2011山东德州）在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，
那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_____________．【答案】1 2
5. （2011山东菏泽）从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程20
x x k
-+=的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是．
【答案】3
5
（或填写0．6）
6. （2011山东济宁）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级
各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是 .
【答案】1 6
7. （2011山东烟台，15,4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等
份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是.
【答案】1
2
8. (2011 浙江湖州)某校对初三(2)班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，
结果如下表：
根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是____
【答案】1
2
9. （2011四川重庆）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余
相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方
程1－ax
x－2＋2＝
1
2－x有正整数解的概率为．【答案】
1
4
10. （2011湖南益阳）在1-，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点
画双曲线
k
y
x
=，该双曲线位于第一、三象限的概率是．【答案】
1
3
11.（2011广东株洲，16，3分）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成
的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下
一层的3个球为黑色，其余为白色；L ；
则从第（n ）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 .
【答案】
2
1
n + 12．(2011重庆)在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有
数字21，2，4，3
1
-，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P 的横坐标，且点P 在反比例函数x y 1
=图象上，则点P 落在正比例函数x y =图象上方的概率
是 ． 【答案】：4
1
三、解答题
1. （2011安徽芜湖）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致.小明认为如果两次分别从1～6六个整数中任取一个数，第一个数作为点(),P m n 的横坐标，第二个数作 为点(),P m n 的纵坐标，则点(),P m n 在反比例函数12
y x
=
的图象上的概率一定大于在反比例函数6
y x
=
的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点？ （1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点(),P m n 的情形；
（2）分别求出点(),P m n 在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确.
【答案】解: （1）列表略.
画树状图如下：
(2)由树状图或表格可知，点(),P m n 共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，
点（3，4），(4，3)，（2,6），（6,2）在反比例函数12
y x =的图象上， 点 (2，3)，（3,2），（1，6），（6,1）在反比例函数6
y x
=的图象上,
故点(),P m n 在反比例函数12y x =和6y x =的图象上的概率相同,都是41
.369
=
所以小芳的观点正确.
2. （2011江苏扬州）扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项。 （1）每位考生有 选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率。（友情提醒：各种方案用A 、B 、C 、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程） 【答案】解：（1）4；
（2）把4种中方案分别列为：
A ：立定跳远、坐位体前屈；
B ：实心球、1分钟跳绳；
C ：立定跳远、1分钟跳绳；
D ：实心球、坐位体前屈；
画树状图如下：
∴小明与小刚选择同种方案的概率=
4
1
164= 3. （2011山东威海）甲、乙二人玩一个游戏，每人抛一个质地均匀的小立方体（每个面分别标有数字1、2、3、4、5、6），落定后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜； 若两个小立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．
【答案】 解：公平．
理由如下：每次游戏时，所有可能出现的结果如下： 甲 乙
1 2
3
4 5 6 1
（1，1）
（1，2） （1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
总共有期36种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两数字之和为偶数的有18种，两数字之和为
奇数的有18种，每人获胜的概率均为1
2
，所以游戏是公平的．
4. （2011四川重庆）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行
了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
(1)求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
(2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画
树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
【答案】(1)4÷20﹪＝20(个)；20－2－3－4－5－4＝2(个)，
(1×2＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋6×4)÷20＝4(名)．
答：该校平均每班有4名留守儿童．
(2)因为只有2名留守儿童的班级只有甲班和乙班两个，设甲班的2名留守儿童为a1，a2，乙班的2名留守儿童为b1，b2，列表如下：
a1
a2
b1
b
2
a 1
a1
a2
a1
b1
a 1b2
a 2
a1 a2
a2
b1
a 2b2
b 1
a1
b1
a2
b1
b
1b2
b 2
a1
b2 a2
b2
b1
b2
由表格可知：共有12种情况，符合条件的有a1 a2、a1a2、b1 b2、b1b2四种，4÷12＝1
3．
答：所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为1
3
．
5. （2011江苏连云港）一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF 的顶点A 处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋
子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度.棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率.(用列表或画树状图的方法求解)
【答案】用列表法表示为
由上面的表格可知,两数和为4出现的次数最多,棋子走到E 点的可能性最大,P(走到E 点)=
31
93
=. 6. （2011四川凉山州）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等。
⑴从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
⑵从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
解：⑴()31
=
=62
P 单独一种能镶嵌 ⑵根据题意得：
A B C D E F A AB AC AD AE AF B BA BC BD BE BF C CA
CB
CD CE
CF
D DA DB DC D
E DE F
EA
EB
EC
ED
EF
正三角形
A
正方形 B
D
正六边形
正五边形
C
E
正八边形
正十边形
F
FA FB FC FD FE
由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，分别是：AB ， AD ， BE ， CF ， BA ， DA ， EB ， FC 。
()84
3015
P =
=两种能镶嵌 7. （2011湖北黄石）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国
内掀起一股网球热，某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明听讲座。
（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因。
（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由。 【答案】解：（1）∵P （小明胜）＝
53 ，P （妹妹胜）＝5
2
∴P （小明胜）≠P （妹妹胜） ∴这个办法不公平
(2)3x -3=2x x =3
∴当x >3时对小明有利；当x <3时对妹妹有利；当x ＝3时游戏公平
篇一：高中概率部分教学设计 必修3部分 3.1 随机事件的概率 一．教材分析 本节课是新人教版a必修三第三章第一节《随机事件的概率》第一课时，它包含两部分内容：事件的分类和随机事件的概率。 在讲事件分类时，通过课本实例，结合生活实际，以便让学生较容易的得出三类事件的概念，然后通过课本例题和习题进行巩固。三类事件的概念中，重点是让学生了解随机事件 二.学勤分析 根据学生的年龄特点和认知水平，本节课就从学生熟悉并感兴趣的抛掷硬币入手，让学生亲自动手操作，在相同条件下重复进行试验. 在实践过程中形成对随机事件发生的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知，从而形成对概念的正确理解。 三.教学目标 1．体会确定性现象与随机现象的含义，了解必然事件、不可能事件及随机事件的意义； 2．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别； 3．理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法； 4．通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证关系有进一步的认识 四．教学重难点 重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系。难点：用概率知识理解现实生活中的具体问题。 五．教学方法 用生活中简单的实例引入本节课的知识，循序渐进的讲解知识点 六．设计思想 采用实验探究和理论探究，通过设置问题情景、探究以及知识的迁移，侧重于学生的“思”、“探”、“究”的自主学习，促使学生多“动”，激发学生兴趣，争取使学生有更多自主支配的时间. 七.教学过程 （5）结论： 一般地，如果随机事件a在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将事件a发生的频率作为事件a的概率的近似值，即p(a)≈0.5 （三）概念学习：（1）概率与频率 ①频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，并在其附近摆动； ②频率本身是随机的，在试验前不能确定； ③概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验无关；④概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）概率的求法与取值范围 ①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验； ②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件a的概率；③概率反映了随机事件发生的可能性大小； ④必然事件的概率为1，不可能事件的概率是0．即0≤p(a)≤1，随机事件的概率是0<p(a)<1 （四）练习题选择题 1．下列事件是随机事件的个数是（d）．（1）在常温下，焊锡熔化；（2）明天天晴； （3）自由下落的物体作匀加速直线运动；（4）函数（且）在定义域上是增函数．a．0个 b．1个 c．2个 d．3个 2．下列事件中，必然事件是（ c ）．
篇一：概率的意义说课稿 人教版义务教育课程标准九年级上册 概率的意义 赵丽涛 郾城实验中学 二零一一年十月 《概率的意义》说课稿 各位评委，各位老师： 大家好！ 今天，我说课的题目是《概率的意义》，内容选自新人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十五章《概率初步》。下面，我从教材分析、教法与学法分析、教学程序、板书设计、教学评价等五个方面进行说课。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 现实生活中存在着大量不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。学习概率的意义，是在学生已经初步了解统计知识，掌握方差、频率等概念的基础上继续学习的，它在人们的生活和生产建设中有着广泛的应用，也是今后学习概率的预备知识，所以它在教材中处于非常重要的位置。另外，通过这节课的学习，可以提高学生全面分析问题的能力。因此，无论在知识上，还是对学生能力的培养上，这节课都起着十分重要的作用。 2、学情分析： 1）、学生初学概率，面对概率意义的描述，他们会感到困惑：概率是什么，是否就是频率？因此辩证理解频率和概率的关系是教学中的一大难点。 2）、由于本节课内容非常贴近生活，因此丰富的问题情境会激发学生浓厚的兴趣，但学生过去的生活经验会对这节课的学习带来障碍，因此正确理解每次试验结果的随机性与大量随机试验结果的规律性是教学中的又一大难点。 2、教学目标 根据学生已有的认知结构及本课教材的地位、作用，依据课程标准确定本节课的教学目标： （1）知识目标：1.了解概率的意义；2.理解事件三种分类3.理解概率的定义及统计算法。 （2）能力目标：1.能区分三种事件；2会用统计算法计算随机事件的概率。 （3）情感目标：1.提高学生全面分析问题的能力，培养数学应用意识；2.体会“理论源于实践又作用于实践”的辩证唯物主义思想。
《概率初步》教材分析 161中学王苒苒2011.12.29 一、本章地位 本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了三章，这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率.一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托.本章概率知识的学习要以前俩章的统计部分的知识为基础.本章的主要内容是随机事件的的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想. 二、课程学习目标 1、课标要求 （1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件. （2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义. （3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率. （4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系. （5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题. 2 【考试内容】 事件、事件的概率，列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率. 实验与事件发生的频率，大量重复实验时事件发生概率的估计值. 运用概率知识解决实际问题. 【考试要求】 ①在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率. ②通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值. ③能运用概率知识解决一些实际问题.
三、知识结构框图 四、课时安排（共15课时） 25.1随机事件与概率约4课时 25.2用列举法求概率约4课时 25.3利用频率估计概率约3课时 25.4课题学习约2课时 数学活动 小结约2课时 五、学法教学建议 1、注重概念的教学、随机观念的渗透 概率对学生来说是一个与以前所学数学内容不太一样的东西，一些表述、思想、方法学生都不适应，如果一开始形成了错误的概念或“直觉”，那就很不利于后面的学习.因此在概念教学时不能急于求成，要循序渐进，稳扎稳打.课本通过4个步骤来给出“统计概率”的概念： （1）很多事件的发生具有“偶然性”（给出“随机事件”概念.P125【问题1、2】）→ （2）不同随机事件发生的可能性的大小有可能不相同（P127【问题3】）→ （3）相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的。这也是区分概率和频率的本质区别之一。（P128【试验】，古典概率定义） （4）然后再引入概率的统计定义。（P140【用频率估计概率】） 随机事件在现实世界中是普遍存在的，教师应努力培养学生的随机观念，并让学生知道，研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的.概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的教学工具，教师应举出大量事件，让学生判断，这些事件是确定性事件还是随机事件. 2、帮助学生区别统计概率和古典概率的定义，揭示概率与频率的区别与联系 初学统计与概率的学生往往无法理解概率与频率的内在区别与联系，有时会把两者相混淆，教师应向学生指明，统计与概率这两个学科是互为依存，相互作用的.概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支持.相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用概率实验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率（统计概率的定义）.所以用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差.让学生们理解，在遇到任何计算概率问题时，如果能够用理论计算首先就应该采用理论计算的方式，这样的计算结果是概率的精确值（古典概率的定义），用频率估计概率通常会出现误差，得到的可能是概率的近似值. 3、通过大量的实例教学 教学中通过大量的（包括重复的）实例教学，让学生在结合实际问题的研究中来逐步体会、理解概念的实质、掌握计算的方法. 问题的形式、表述千差万别，通过多分析处理各种各样的实际问题，有助于提高学生的转化能力.
第23章概率初步教材分析 【知识要点1】确定事件和随机事件 在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件（certain event）例如：地球绕太阳公转. 在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件（impossible event）例如：有人把石头孵出了小鸡. 必然事件和不可能事件统称为确定事件. 而在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（random event），也称为不确定事件，例如过马路时恰好遇到红灯. 【习题精选】 1．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ ①在十进制中1+1=2 ；②1+2>3； ③在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有4张A； ④ 10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只； ⑤平面上任何一个三角形的三个内角和都是180度； ⑥明天太阳从西边出来. 2．判断下列说法是否正确 ①“从地面往上抛的硬币会落下”是随机事件；（） ②“软木塞沉到水底”是不可能事件；（） ③“买一张彩票中大奖”是必然事件；（） ④“明天会下雨”是随机事件. （） 【思维误区】本知识在理解和运用中常见的错误是没有正确理解确定事件的概念，忽略不可能事件也是确定事件。 【例】下列事件中，确定事件的个数是（） (1)东边日出西边雨；(2)抛出的篮球会下落； (3)没有水分，种子发芽；(4)367人中至少有２人出生日期相同。 (Ａ)１个;(Ｂ)２个;(Ｃ)３个;(Ｄ)４个 【错解】Ｂ。【正解】Ｃ 【错解分析】本题错误原因是没有准确把握确定事件的概念，错误认为确定事件就是必然事件，(１)是随机事件，(２)(３)是确定事件中的必然事件，而(３)也是确定事件，它是确定事件中的不可能事件。 另外：对于本题中的(４)，教参中指出不要和学生提出“抽屉原理”，其实这本是抽屉原理最容易解决的问题。通过给学生例举“三个苹果放入两个抽屉中，则至少有两个苹果在一个抽屉中”，才能让学生更进一步理解，更好的把握“13个人中至少有2人出生月份相同”，“13张扑克牌中，至少有四张扑克牌的花色相同”这类事件属于必然事件。 【知识要点2】事件发生的可能性 各种事件发生的可能性有大有小，课用普通词语来表述，为了叙述的方便，我们可以大写的英文字母来表示事件，如事件Ａ、事件Ｂ……等，事件A的概率记作P(A)。事件发生的可能性大小常用下面的几种词语来描述：一定、很可能、可能、不太可能、不可能。必然事件发生的机会是100%，不可能事件发生的机会是0，而随机事件发生的机会是介于0和100%之间。 注意：不太可能是说可能性很小，但不是没有；同样的，很有可能是指可能性很大，但没有达到100%，不能将概念混淆。 【习题精选】
第六单元《可能性》教材分析 人们在日常生活中会遇到各种各样的现象，众多现象按其发生的结果，大致可以分成“确定性现象”和“随机现象”两类。这两类现象的主要区别在于：确定性现象在一定的条件下，肯定出现或者肯定不出现，不存在其他的可能性。如，在只装几个红球的口袋里任意摸出一个球，其结果是确定的，一定是红球，不可能是其他颜色的球。随机现象则是条件不能完全决定结果，在相同的条件下发生的结果可能不同。如，在既装有红球又装有黄球的口袋里任意摸出一个球，其结果是不确定的，可能是红球，也可能是黄球。 在我国，随着社会的进步、生活的改善，随着社会主义市场经济体制的不断发展与完善，人们越来越多地接触到随机现象。几乎所有人都需要面对就学、就业、出行、住房、医疗、退休、养老等模式的选择，有许多人会涉及投资、贷款、股票、证券、市场预测、风险评估等经济行为。总之，人们活动的空间越来越宽，可以选择的机会越来越多，风险也越来越大。人们越来越需要随机思想，以便运用自己的头脑来分析判断、作出决策。所以，基础教育阶段应该尽早地让学生接触简单的随机现象，尽可能地帮助学生建立起初步的随机思想，这就是小学数学设置可能性教学内容的原因。 所谓随机现象，是指在一定的条件下，重复同样的实验或观察，所得的结果是不确定的，以至于在实验前无法预测实验的结果。但是，随机现象并不是毫无规律的现象，如果实验重复进行的次数充分地多，在实验结果（得出的大量数据）中是能够看出规律的。数学课程标准把《随机现象发生的可能性》安排在第二学段教学，提出了两点内容和要求：（1）在具体情境中，通过实例感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。（2）通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大有小的，能对一些随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。根据课程标准的这些内容要求，本单元第一次教学“可能性”，编排两道例题，具体安排如下表：排例1简单的随机现象 例2列出简单随机现象可能发生的所有结果 体会随机现象结果发生的可能性有大有小，并作出定性描述练习十在学生的游戏和生活中，有许多随机现象的实例。教学随机现象不应只是教材或教师的讲解，更应是学生联系实际事例的亲身感受。 （一）在简单的摸球游戏中感受随机现象 例1设计了简单的摸球游戏：口袋里有1个红球和1个黄球，小组合作，从口袋里任意摸出1个球，记录球的颜色，然后放回。像这样摸10次，并记录10次。教学应该注意的是，这次游戏的目的不在于红球摸到几次、黄球摸到几次，不在于哪一种球摸到的次数多些、比另一种球多几次，而是在于体会摸球的结果是随机的，在摸球之前无法确定球的颜色。所以，教材在学生摸了10次以后，立即让他们交流“在摸球活动中有什么体会”。两个小卡通的发言是所有学生应该有的感受，“每次摸出的可能是红球，也可能是黄球”
一下 第三单元分类与整理 1、初步感知分类的意义 2、学会选择不同的标准进行分类，掌握分类的方法，并能对分类的结果进行简单整理。 3、通过分一分，看一看，提高学生的操作能力，观察能力，判断能力，语言表达能力。 二下： 第八单元数据的搜集与整理 1．体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，了解统计的意义，会用简单的方法收集和整理数据。 2．会制作简单统计表，初步接触条形统计图（课后练习第七题） 3．通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 三上： 第八单元可能性 1．初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。（可能、不可能、一定） 2．能够列出简单试验所有可能发生的结果。 3．知道事件发生的可能性是有大小的，能对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。 三下 第三单元统计 1．向学生介绍两种新的条形统计图，使学生学会看这两种统计图，并能根据统计表中的数据完成统计图。（横式、纵式条形统计图）
2．初步学会简单的数据分析，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的紧密联系。 3．理解平均数的含义，体会移多补少的思想。初步学会简单的求平均数的方法，理解平均数在统计学上的意义。 四上： 第六单元统计 1．认识两种复式条形统计图，能根据统计图提出并回答简单的问题，能发现信息并进行简单的数据分析。 2．进一步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的密切联系。 3．通过对现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生细心观察的良好学习习惯，培养学生的合作意识和实践能力。 四下： 第七单元统计 1．认识单式折线统计图，会看折线统计图，并能根据统计图回答简单的问题，从统计图中发现数学问题。 2．通过对数据的简单分析，进一步体会统计在生活中的意义和作用。 3．通过对现实生活中多方面信息的统计，激发学生学习数学的兴趣，引导学生关注生活中的数学问题，并运用已经掌握的知识解决生活中较简单的数学问题。
25.3用频率估计概率教学设计 【教材分析】 《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。它是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 1.理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。 2.进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。方法与过程目标： 1.选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系. 2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法. 情感态度与价值观目标: 1.利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。 2.结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。 【重点与难点】 重点：1.体会用频率估计概率的必要性和合理性。 2.学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。 难点：1.理解频率与概率的关系，2.用频率估计概率解决实际问题。 【学生分析】 学习统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。 【教学方法】 树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。而学生在教师的鼓励引导下小结方法，克服思维定势，并通过小组讨论、组际竞赛等多种方式增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。 【设计理念】 激发学生的学习兴趣，发展学生的数学才能，在教学过程中充分运用启发和讨论方式，发扬教学民主，关注知识的形成和发展过程，创设情境，培养学生用数学的眼光看世界的意识，发展搜集和处理信息的能力，运用所学的数学知识解释生活中发生的某些现象，从中建立起数学模型，抽象为数学问题，探究和发展其中的变化规律。 【教师准备】 《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》
25、概率初步教材分析
西城区教育研修学院初三数学研修活动材料 《概率初步》教材分析 161 中学王苒苒2011.12.29 一、本章地位本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了三章，这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率. 一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托. 本章概率知识的学习要以前俩章的统计部分的知识为基础. 本章的主要内容是随机事件的的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想. 二、课程学习目标 1、课标要求 （1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件. （2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率 第2 页共38 页
取值范围的意义. （3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率. （4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系. （5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题. 2、2011 年中考说明对概率的要求 第3 页共38 页
第 4 页 共 38 页 【考试内容】 事件、事件的概率，列举法（包括列表、画树状图） 计算简单事件的概率 . 实验与事件发生的频率， 大量重复实验时事件发生概 率的估计值 . 运用概率知识解决实际问题 【考试要求】 ① 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括 列表、画树状图）计算简单事件发生的概率 . ② 通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实 验时频率可作为事件发生概率的估计值 . ③ 能运用概率知识解决一些实际问题 . 三、知识结构框图
第二十五章概率初步 随机事件教学设计 一、教材分析 本章是在小学了解了随机现象发生的可能性基础上，进一步学习事件的概率。生活中概率大量存在，与我们的生产生活密切相关。本节主要是了解随机事件和有关概念，教科书中设置了三个问题，通过问题1抽签试验和问题2掷骰子试验，主要让学生感受到，在一定条件下重复进行试验时，有些事件是必然发生，有些事件是不可能发生的，有些事件是有可能发生也有可能不发生的，在这两个具体问题探讨的基础上，提出随机事件等有关概念，要求学生能够在具体的情境中判断一个事情是随机事件还是确定性事件。问题3是一个摸球试验，主要探讨随机试验发生的可能性，以及随机事件发生可能性相对大小的定性描述，并要求通过试验验证判断。通过问题3，让学生了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性大小很可能不同，并能够判断几个事件发生的可能性的相对大小。通过这三个问题，为下一节概率的学习做好铺垫。 二、教学目标 1、理解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的概念。 2、了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小不同。 3、学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并 加以抽象概括的能力。 4、感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的探讨，认识动手操作试验是验证得出结论的好方 法。 5、能根据随机事件的特点，辨别哪些事件是随机事件．引领学生感受随机事件就在身边，增强学生珍惜 机会，把握机会的意识。 三、教学重点与难点 重点：掌握随机事件的特点，会判断现实生活中的随机事件。 难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件．
第四单元可能性 一、教学内容 1．体验事件的确定性和不确定性，列出所有的可能。 2．定性描述可能性的大小。 本单元内容由原实验教材三年级上册移来。 关于“可能性”这一内容，原来的实验教材分两次进行了集中编排。第一次是在三年级上册，主要是让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，知道事件发生的可能性是有大小的。第二次在五年级上册，使学生对“可能性”的认识和理解逐渐从定性向定量过渡，学会用分数描述事件发生的概率。但实践表明，低年级学生对不确定现象理解有困难，并且《标准（2011）》对这部分内容也进行调整，第一学段不再学习概率的内容，将可能性的教学移到第二学段。 二、教学目标 1．在具体情境中，通过现实生活中的有关实例使学生感受简单的随机现象，初步体验有些事件的发生是确定的，有些是不确定的。 2．通过实际活动（如摸球），使学生能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。 3．通过试验、游戏等活动，使学生感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能和同伴进行交流。 三、编排特点 1．运用数据分析来体会随机性，强调对可能性大小的定性描述。 在可能性知识的教学中，应加强对学生概率素养的培养，增强学生对随机思想的理解，使学生充分感受和体验简单随机现象中数据的随机性，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，而不要把丰富多彩的可能性内容变成了机械的计算和练习。《标准（2011）》中也提出运用数据分析来体会随机性，加强对可能性大小的理解，使这部分内容更具可操作性，符合小学阶段学生学习的特点。 2．提供丰富的现实学习素材，促进数学知识的理解。 本单元教材不仅利用丰富多采的呈现形式，为学生提供现实的、有趣的学习素材，同时注意所设计的教学活动能使学生经历知识的形成过程。首先，教材选取学生熟悉的生活情境作为教学素材，以“联欢会上抽签表演节目”（例1）、大量的活动（做一做、例2）等来丰富学生对不确定现象的体验，使学生初步了解现实世界中存在着的不确定现象，并逐步知道事件发生的可能性有大有小；其次，教科书中设计了多种不同层次的、有趣的活动和游戏，如摸棋子试验、涂色活动、抽签游戏、抛硬币、掷骰子等，这些活动都特别注意联系学生的生活实际，不但便于教师组织教学，更使学生在大量观察、猜测、试验、思考与交流的数学活动中，逐步丰富对随机现象和可能性大小的体验，经历知识的形成过程；再次，教科书第49页编排了“生活中的数学”，一方面可以加深学生对所学数学知识的理解，另一方面也使学生感受到可能性知识与生活的联系，有利于培养学生的应用意识。 3．注重方法的指导和知识的整理。 要体验随机现象中数据的随机性，就要求学生在进行相关试验活动或游戏活动时必须遵守一定的规则，例如摸球时不能看着球摸，也不能摸完一次后不摇匀球就接着摸，这样都不能很好地体现随机性。教材在相关例题及习题中明确提出了“放回去摇匀再摸”“按要求涂一涂”“随意摸一张”等要求，对学生的试验和游戏活动进行方法的指导，使学生能更好地体验数据的随机性。 四、具体编排 1．主题图。 主题图从学生已有的生活经验出发，呈现了学生熟悉的“联欢会上抽签表演节目”的场景，使学生体验在现实生活中存在着不确定现象，充分感受数学与生活的联系。 教师还可以利用买体育彩票、抽奖等现实题材来引入可能性的内容。
概率初步教案 第二十五章概率初步 25.1.1随机事件教学设计 一、教材分析 本章是在小学了解了随机现象发生的可能性基础上，进一步学习事件的概率。生活中概率大量存在，与我们的生产生活密切相关。本节主要是了解随机事件和有关概念，教科书中设置了三个问题，通过问题1抽签试验和问题2掷骰子试验，主要让学生感受到，在一定条件下重复进行试验时，有些事件是必然发生，有些事件是不可能发生的，有些事件是有可能发生也有可能不发生的，在这两个具体冋题探讨的基础上，提出随机事件等有关概念，要求学生能够在具体的情境中判断一个事情是随机事件还是确定性事件。问题3是一个摸球试验，主要探讨随机试验发生
的可能性，以及随机事件发生可能性相对大小的定性描述，并要求通过试验验证判断。通过问题3,让学生了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性大小很可能不同，并能够判断几个事件发生的可能性的相对大小。通过这三个问题，为下一节概率的学习做好铺垫。 二、教学目标 1、理解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事 件的概念。 2、了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事 件发生的可能性的大小不同。 3、学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发 展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以 抽象概括的能力。 4、感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的 探讨，认识动手操作试验是验证得出结论的好方法。 5、能根据随机事件的特点，辨别哪些事件是随机事件?引 领学生感受随机事件就在身边，增强学生珍惜机会，把握机会的意识。 三、教学重点与难点 重点：掌握随机事件的特点，会判断现实生活中的随机事件。
第九章概率初步（单元备课） 一、本单元教材分析 本章内容是概率初步。教科书先以学生喜闻乐见的掷骰子游戏为背景，经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等活动过程，让学生体验生活中有许多事件的发生是不确定的，加深对确定事件与随机事件，必然事件与不可能事件等概念的理解，并感受随机事件发生的可能性有大有小。同时，初步体会人们一般通过重复多次试验来估计事件发生的可能性大小。在第二节中，通过抛掷图钉和抛掷均匀的硬币的试验，让学生感受到频率的稳定性，并得出概率的统计定义，即用事件发生的频率的稳定值作为该事件发生的概率。在第三节中，通过对摸到红球的概率的讨论，对一类事件（古典概型）发生的概率进行简单的理论计算。通过对停留在黑砖上的概率的讨论，对另一类事件（几何概型）发生的概率进行简单的理论计算，从而加深对概念意义的理解。 二、本单元教学整体目标 1、经历猜测、试验、收集试验数据、设计试验方案，分析试验结果等活动过程，发展数据分析观念。 2、理解随机事件的有关概念，能区分确定事件与随机事件，必然事件与不可能事件，并感受随机事件发生的可能性有大有小。 3、通过试验感受随机事件发生的频率的稳定性，了解事件的概率，体会概率是描述随机现象的数学模型。 4、了解两类事件（古典概型和可化为古典概型的概型）发生的概率，能进行简单的计算，并能设计符合要求的简单的概率模型。 5、体会随机现象在我们身边大量存在，能初步用概率的思想解释身边的现象，发展“用数学”的意识与能力。 6、在探究频率与概率的过程中，进一步体会数学的价值与发展合作意识。 三、本单元教学重点 1、区分确定事件与随机事件，必然事件与不可能事件，并感受随机事件发生的可能性有大有小。 2、了解两类事件（古典概型和可化为古典概型的概型）发生的概率，能进行简单的计算 四、本单元教学难点 1、能初步用概率的思想解释身边的现象，发展“用数学”的意识与能力。
第二十五章《概率初步》教材分析 中考要求： 1．基本要求： （1）理解频数、频率的概念；了解频数分布的意义和作用；知道大量重复实验时，可用频率估计事件发生的概率； （2）了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义； （3）了解概率的意义；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值． 2．略高要求： （1）能利用频数、频率解决简单的实际问题； （2）会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率． 结合教科书分析提出几点教学建议 本章知识结构框图 【补充例题】 （一）概念辨析类 例1、（随机事件概念类） (1)下列事件中，哪一个是确定事件（ ） A 、明日有雷阵雨 B 、小丹的自行车轮胎被钉扎坏 C 、小红买体彩中奖 D 、抛掷一枚正方体骰子，出现7点朝上 (2)下列事件中是必然事件的是（ ） A 、小婷上学一定坐公交车 B 、买一张电影票，座位号正好是偶数 C 、小红期末考试数学成绩一定得满分 D 、将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上 (3)下列说法正确的是（ ） A 、可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生 B 、可能性很小的事件在一次试验中一定发生 C 、可能性很小的事件在一次试验中有可能发生 D 、不可能事件在一次试验中也可能发生 (4)在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件： . 例2、（频率、概率概念意义类） 下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率 抛掷结果 5次 50次 300次 800次 3200次 6000次 9999次 出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面 20% 62% 45% 51% 49.4% 49.7% 50.1% 用列举法求概率 随机事件 概 率 用频率估计概率
概率全章教材分析 大张庄中学 金树芊
(一)知识地位： 从《新课程标准》看本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，一方面概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托。本章教学是初中数学新课改中添加的内容它自成体系与初中数学的前后联系不多，但有关概率教学的三个部分即随机事件、概率的定义；计算简单概率的方法；利用频率估计概率，他们相互依托，关联性强。教师在教学中要特别注意知识的前后联系。从去年的中考试题来看，概率在试题的比例虽然较小，但概率已成中考命题的亮点和热点． （二）课时分配安排（本章大约需要14课时） 1、概率：4课时 2、用列举法求概率：4课时 3、利用频率估计概率：2课时 4、课题学习：2课时 5、小结：2课时
（三）知识结构 （四）研究的思想、观点 1.随机思想——事件的发生不以人们的主观意识为转移，事件发 生的不确定性、随机性、可能性 2.不确定的观点——用不确定的观点认识和理解世界，培养概率 思维 （五）主要内容 1.随机事件、概率的定义 2计算简单事件概率的方法（.列表和画树状图） 3.求概率的方法; 4.求概率方法的应用。 （六）教学目标 1.在具体情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表.画树状图) 计算简单事件的概率.
例1.一个袋中装有2个黄球和2个红球,任意摸出一个球后放回,在任意摸出一个球,两次都摸到红球的概率. 例2.转动转盘,求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率. 2.通过实验,获得事件发生的概率;知道大量重复实验时频率可作 为事件发生概率的估计值. 例3.通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率. 3.通过实例进一步丰富对概率的认识,并能解决一些实际问题. 例4.一个游戏的中奖率是1%,买100张奖券,一定会中奖吗? （七）本章重点、难点分析 （1）用等可能事件的概率公式解决一些现实问题，用频率来估计事件发生的概率在生活、生产中有着广泛的应用．它有助于我们在错综复杂的情况下，分析事件的本质属性，帮助我们作出合理的判断．因此这是本章学习的重点． （2）等可能事件的概率的计算往往需要学生有较强的分析和综合能力；对在保持实验条件不变的情况下，随着实验次数的增加，某事件出现的频率趋于稳定，学生较难理解，是本章教学的难点．在教学中要注意的是“等可能性”是一种假设，是一种理想状态，教学过程中要避免学生“抬杠”。在本章中，安排“讨论”、“思考”和“练习”三个环节，在讨论中，主要利用熟悉的生活情境，力图与学生先前所学的内容发生联系，引起共鸣，产生知识的迁移。本章在教学中应鼓励学生先尝试、再思考，后讨论。教学时，可多举几个随机试验，例如，掷一枚均匀的硬币、摸球、抽签等，通过分析，再抽象概括出等
第二十五章概率初步复习课教学设计 一、教学目标： 1、知识技能目标 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 2、数学思考目标 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3、解决问题目标 能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 4、情感态度目标 引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识.二、重点难点： 重点：随机事件的特点. 难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三、教学过程： (一).知识网络 自我梳理本章知识网络： 设计意图：使学生进一步对概率 初步中涉及的各个知识点有了较 为系统的认识，正确理解频率与 概率的关系，进而认识数学是与 实际问题密不可分，人们的需要 产生数学。 （二）.考点分类解析过程： 考点一：事件分类 1. 下列事件中，必然事件是（） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. a 是实数，|a|≥0 C. 某运动员跳高的最好成绩是 20.1 米 D. 从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品 2. 有 4个红球、3个白球、2个黑球，放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是（） A．随机事件 B．不可能事件
C．很可能事件 D．必然事件 考点二：对概率意义的理解 例1 在一场足球比赛前，甲教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有 60％的机会获胜”意思最接近的是（） A. 这场比赛他这个队应该会赢 B. 若两个队打100场比赛，他这个队会赢60场 C. 若这两个队打10场比赛，这个队一定会赢6场比赛. D. 若这两个队打100场比赛，他这个队可能会赢60场左右. 考点三：直接列举求简单事件的概率 例2 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛. (1) 请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率； (2) 若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率． 小结与反思：通过列表或画树状图可以不遗漏情况总量和成功事件数. 考点四：有无放回的概率（易错） 例3 （1）口袋里有4张卡片，上面分别写了数字1、 2、3、4、先抽一张，不放回，再抽一张，“两张卡片上的数字一奇一偶”的概率是多少？ （2）把一枚正方体骰子连掷两次，“朝上的数字一奇一偶”的概率是多少？ 注意：在解答此类问题中，一定要分清实验是“有放回”还是“无放回”. 考点五：判断游戏是否公平（提高） 例4 在一个不透明的口袋中装有 4 张相同的纸牌，它们分别标有数字 1、2、3、4. 随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌． (1) 计算两次摸取纸牌上数字之和为 5 的概率； (2) 甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．小结与反思：游戏公平问题实际是概率相等问题. 考点六：用频率估计概率 例5 在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱. 通过大量反复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出 a 大约是（） 拓展应用 2. 如图，长方形内有一不规则区域，现在玩投掷游戏，如果随机掷中长方形的300 次中，有100次是落在不规则图形内. (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150，试估计不规则图形的面积. 拓展小结：可以利用频率估计概率的实验方法估算不规则图形的面积 设计意图：把概率初步知识细分为六个考点，让学生通过猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于加深学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提
新人教版小学数学五年级上册第四单元《可能性》 教材分析及归纳总结 第4单元可能性 单元分析 【教材分析】 可能性是学习数学四个领域中“统计与概率”中的一部分。“统计与概率”中的统计初步知识，学生在之前的学习已经涉及，但概率知识对于学生而言还是一个全新的概念，它是学生以后学习有关知识的基础。 本单元主要教学内容是事件发生的不确定性和可能性，并能知道事件发生的可能性是有大小的。教学关键是如何让学生把对“随机现象”的丰富的感性认识升华到理性认识。 【学情分析】 五年级学生已经具备了一定的生活经验和统计知识，对现实生活中的确定现象和不确定现象已经有了初步的了解，并有一定的简单分析和判断能力，但学生只是初步的感知这种不确定事件，对具体的概念还没有深入地理解和运用。根据学生的年龄特点和生活经验，教师做出适当引导，学生就会进行正确的分析和判断。所以教材选用学生熟悉的现实情境引入学习内容，设计了多种不同层次的、有趣的活动和游戏，激发了学生的学习兴趣，使其感受到数学就在自己的身边，体会到数学学习与现实的联系，为学生自主探索、合作学习创造机会。 教学中，教师要利用这些情境让学生积极地参与到学习活动中，让学生在具体的操作活动中进行独立思考，使学生在大量观察、猜测、试验与交流的过程中，经历知识形成的过程，逐步丰富对不确定现象及可能性大小的体验。 【教学目标】 知识技能：使学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些事件的发生是不确定的。能列出简单试验所有可能发生的结果，知道事件发生的可能性的大小。
数学思考：培养学生简单的逻辑推理、逆向思维和与人交流思考过程的能力。 问题解决：能由一些简单事件发生的可能性大小逆推比较事件发生的多与少。 情感态度：通过本单元的学习使学生感受到生活中处处有数学，并能够运用可能性的知识解决生活中的问题，逐渐对统计与可能性知识产 生兴趣，培养学生学习数学的兴趣。 教学重点：会用“可能”“不可能”“一定”描述事件发生的可能性。 能够列出简单试验中所有可能发生的结果，知道可能性是有大小的。 教学难点：能根据可能性的大小判断物体数量的多少。 【课时划分】3课时 1．可能性………………………………2课时 2．掷一掷………………………………1课时 第四单元可能性教材分析 一、教学内容 1．体验事件的确定性和不确定性，列出所有的可能。 2．定性描述可能性的大小。 本单元内容由原实验教材三年级上册移来。 关于“可能性”这一内容，原来的实验教材分两次进行了集中编排。第一次是在三年级上册，主要是让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，知道事件发生的可能性是有大小的。第二次在五年级上册，使学生对“可能性”的认识和理解逐渐从定性向定量过渡，学会用分数描述事件发生的概率。但实践表明，低年级学生对不确定现象理解有困难，并且《标准（2011）》对这部分内容也进行调整，第一学段不再学习概率的内容，将可能性的教学移到第二学段。 二、教学目标 1．在具体情境中，通过现实生活中的有关实例使学生感受简单的随机现象，初步体验有些事件的发生是确定的，有些是不确定的。 2．通过实际活动（如摸球），使学生能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。 3．通过试验、游戏等活动，使学生感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能和同伴进行交流。 三、编排特点 1．运用数据分析来体会随机性，强调对可能性大小的定性描述。 在可能性知识的教学中，应加强对学生概率素养的培养，增强学生对随机思想的理解，使学生充分感受和体验简单随机现象中数据的随机性，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，而不要把丰富多彩的可能性内容变成了机械的计算和练习。《标准（2011）》中也提出运用数据分析来体会随机性，加强对可能性大小的理解，使这部分内容更具可操作性，符合小学阶段学生学习的特点。 2．提供丰富的现实学习素材，促进数学知识的理解。 本单元教材不仅利用丰富多采的呈现形式，为学生提供现实的、有趣的学习素材，同时注意所设计的教学活动能使学生经历知识的形成过程。首先，教材选取学生熟悉的生活情境作为教学素材，以
统计与概率教材分析林志红统计与概率是新课程标准下数学教材中新增的知识点，它密切联系生活，是数学应用问题中的一个重要组成部分。 一统计 统计知识是分散学习的，所以应帮着学生整理知识脉络，题目不宜太多，重在指导学生巩固概念，注意一些概念之间的区别与联系。 一．数据的收集与整理： （一）中考要求： (1)了解普查和抽样调查的区别；知道抽样的必要性及不同的抽样可能得到不同的结果。 (2)能指出总体、个体、样本、样本容量，理解用样本估计总体的思想。 （二）例题与练习： 1．（2007安徽）下列调查工作需采用的普查方式的是 A.环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查 B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C.质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查 2．（07海淀二模）某学校课外兴趣小组为了了解所在学校的学生对体育运动的爱好情况，设计了四种不同的抽样调查方案，你认为比较合理的是 A．在图书馆随机选择50名女生 B．在运动场随机选择50名男生 C．在校园内随机选择50名学生 D．在八年级学生中随机选择50名学生 3．《总复习》72页例2 某省有170000名学生参加初中毕业会考，要想了解这170000名学生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行了统计，以下说法正确的是（） A.这1000名考生是总体的一个样本 B．每个考生的数学成绩是个体 C.170000名考生是总体 D．1000名考生是样本容量 4．为了了解某校初二年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行统计分析。在这个问题中，总体是指（） A. 400 B .被抽取的50名学生 C. 400名学生的体重 D.被抽取50名学生的体重 5．（07海淀二模）某校为了了解九年级学生的体能素质,在400名学生中随机选择部分学生进行测试，其中一项为立定跳远.有关数据整理如下： （1）依据图表信息，可知此次调查的样本容量为; （2）在扇形统计图(如图9)中表示立定跳远成绩为8分的扇形圆心角的度数为°（精确到1°）； （3）已知测试成绩为10分的学生比成绩为7分的学生多10人，求m和n的值. 二．数据的描述和分析 （一）中考要求： 1.基本要求： (1)会用扇形统计图表示数据。 (2)理解频数、频率的概念；了解频数分布的意义和作用；能通过实验，获得事件发生的频率。 (3)理解平均数的意义，会求一组数据的平均数（包括加权平均数）、众数与中位数。 (4)会求一组数据的极差、方差。 2．略高要求： （1）会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图。 （2）利用频数、频率解决简单的问题。 （3）能用样本的平均数估计总体的平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示一组数据的集中程度。 （4）根据具体问题，会用它们表示数据离散程度；会用计算器处理较为复杂的统计数据；能用样本的方差估计总体的方差。 3．较高要求： 利用统计图、表解决简单的实际问题 （二）例题与练习： 6．《学》134页7题某校参加“姑苏晚报可口可乐杯”中学生足球赛的队员的年龄如下（单位：岁）：13，14，16，15，14，15，15，15，16，14，则这些队员年龄的众数是_____ 7．《学》133页3题某青年排球队 年龄（单位：岁）18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这个队队员年龄的中位数是（）