第1讲 集合与常用逻辑用语
1.(2016·课标全国乙)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B 等于( ) A.????-3,-32 B.????-3,3
2 C.????1,32 D.????32,3
答案 D
解析 由A ={x |x 2-4x +3<0}={x |1 B ={x |2x -3>0}=???? ?? x ?? x >32, 得A ∩B =??????x ?? 32 2 ,3,故选D. 2.(2016·北京)设a ,b 是向量,则“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若|a |=|b |成立,则以a ,b 为邻边构成的四边形为菱形,a +b ,a -b 表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a +b |=|a -b |不一定成立;反之,若|a +b |=|a -b |成立,则以a ,b 为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a |=|b |不一定成立,所以“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的既不充分也不必要条件. 3.(2016·浙江)命题“?x ∈R ,?n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A .?x ∈R ,?n ∈N *,使得n <x 2 B .?x ∈R ,?n ∈N *,使得n <x 2 C .?x ∈R ,?n ∈N *,使得n <x 2 D .?x ∈R ,?n ∈N *,使得n <x 2 答案 D 解析 原命题是全称命题,条件为?x ∈R ,结论为?n ∈N *,使得n ≥x 2,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D 选项符合. 1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算,近几年有时也会出现一些集合的新定义问题. 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断. 热点一 集合的关系及运算 1.集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A =A ,A ∪?=A ,A ∪B =B ∪A . (2)A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)A ∩(?U A )=?,A ∪(?U A )=U . (4)A ∩B =A ?A ?B ,A ∪B =A ?B ?A . 2.集合运算中的常用方法 (1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,用Venn 图求解. 例1 (1)已知集合A ={x |x -1x +2<0},B ={y |y =sin n π 2,n ∈Z },则A ∩B 等于( ) A .{x |-1 B .{-1,0,1} C .{-1,0} D .{0,1} (2)若X 是一个集合,τ是一个以X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于τ,空集?属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知集合X ={a ,b ,c },对于下面给出的四个集合τ: ①τ={?,{a },{c },{a ,b ,c }}; ②τ={?,{b },{c },{b ,c },{a ,b ,c }}; ③τ={?,{a },{a ,b },{a ,c }}; ④τ={?,{a ,c },{b ,c },{c },{a ,b ,c }}. 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________. 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)因为A ={x |x -1x +2<0}={x |-2 2,n ∈Z }={0,-1,1},所以A ∩B ={-1,0}. (2)①τ={?,{a },{c },{a ,b ,c }},但是{a }∪{c }={a ,c }?τ,所以①错;②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件.所以②④正确;③{a ,b }∪{a ,c }={a ,b ,c }?τ,故③错.所以答案为②④. 思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后再借助Venn 图或数轴求解. (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证. 跟踪演练1 (1)已知集合A ={y |y =sin x ,x ∈R },集合B ={x |y =lg x },则(?R A )∩B 为( ) A .(-∞,-1)∪(1,+∞) B .[-1,1] C .(1,+∞) D .[1,+∞) (2)设集合M ={x |m ≤x ≤m +34},N ={x |n -1 3≤x ≤n },且M ,N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集, 如果把b -a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”,那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.1 3 B.23 C.112 D.512 答案 (1)C (2)C 解析 (1)因为A ={y |y =sin x ,x ∈R }=[-1,1], B ={x |y =lg x }=(0,+∞). 所以(?R A )∩B =(1,+∞). 故答案为C. (2)由已知,可得????? m ≥0,m +34≤1,即0≤m ≤1 4, ????? n -13≥0,n ≤1, 即13 ≤n ≤1, 取m 的最小值0,n 的最大值1, 可得M =????0,34,N =????2 3,1. 所以M ∩N =????0,34∩????23,1=??? ?23,3 4. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34-23=1 12. 故选C. 热点二 四种命题与充要条件 1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假. 2.若p ?q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;若p ?q ,则p ,q 互为充要条件. 例2 (1)下列命题: ①已知m ,n 表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,并且m ⊥α,n ?β,则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件;②不存在x ∈(0,1),使不等式log 2x (2)已知ξ服从正态分布N (1,σ2),a ∈R ,则“P (ξ>a )=0.5”是“关于x 的二项式????ax +1 x 23的展开式的常数项为3”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .既不充分又不必要条件 D .充要条件 答案 (1)① (2)A 解析 (1)①当α⊥β时,n ?β可以是平面内任意一直线,所以得不到m ∥n ,当m ∥n 时,m ⊥α,所以n ⊥α,从而α⊥β,故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件.所以①正确.②log 2x =lg x lg2, log 3x =lg x lg3,因为lg2 lg3,即log 2x 以②错误.③中原命题的逆命题为:若a a )=0.5,知a =1. ∵二项式????ax +1x 23展开式的通项公式为T k +1=C k 3(ax )3-k ????1x 2k =a 3-k C k 3x 3-3k ,令3-3k =0,得k =1,∴其常数项为a 2C 13=3a 2 =3,解得a =±1,∴“P (ξ>a )=0.5”是“关于x 的二项式? ???ax +1x 23 的展开式的常数项为3”的充分不必要条件,故选A. 思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法:正、反方向推理,若p ?q ,则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件);若p ?q ,且q ?p ,则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件). (2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A ?B ,则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件);若A =B ,则A 是B 的充要条件. (3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题. 跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x 2+x -2>0”是“x >1”的充分不必要条件; ②命题:“?x ∈R ,sin x ≤1”的否定是“?x 0∈R ,sin x 0>1”; ③“若x =π 4,则tan x =1”的逆命题为真命题; ④若f (x )是R 上的奇函数,则f (log 32)+f (log 23)=0. A .1B .2C .3D .4 (2)已知“x >k ”是“3 x +1<1”的充分不必要条件,则k 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .[1,+∞) C .(2,+∞) D .(-∞,-1] 答案 (1)A (2)A 解析 (1)对于①,x 2+x -2>0?x >1或x <-2,故“x 2+x -2>0”是“x >1”的必要不充分条件,所以①错误;对于③,“若x =π4,则tan x =1”的逆命题为“若tan x =1,则x =π 4”,∵tan x =1推出的是x =π 4+k π,k ∈Z .所以③错误.对于④,log 32≠-log 23,所以④错误.②正确.故 选A. (2)由 3x +1<1,可得3 x +1-1=-x +2x +1 <0, 所以x <-1或x >2,因为“x >k ”是“3x +1<1”的充分不必要条件,所以k ≥2. 热点三 逻辑联结词、量词 1.命题p ∨q ,只要p ,q 有一真,即为真;命题p ∧q ,只有p ,q 均为真,才为真;綈p 和p 为真假对立的命题. 2.命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q );命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q ). 3.“?x ∈M ,p (x )”的否定为“?x 0∈M ,綈p (x 0)”;“?x 0∈M ,p (x 0)”的否定为“?x ∈M , 綈p (x )”. 例3 (1)已知命题p :在△ABC 中,“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件;命题q :“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( ) A .p 真q 假 B .p 假q 真 C .“p ∧q ”为假 D .“p ∧q ”为真 (2)已知命题p :“?x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“?x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0”.若命 题“(綈p )∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤-2或a =1 B .a ≤-2或1≤a ≤2 C .a >1 D .-2≤a ≤1 答案 (1)C (2)C 解析 (1)△ABC 中,C >B ?c >b ?2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径),所以C >B ?sin C >sin B . 故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件,命题p 是假命题. 若c =0,当a >b 时,则ac 2=0=bc 2,故a >b ?ac 2>bc 2,若ac 2>bc 2,则必有c ≠0,则c 2>0,则有a >b ,所以ac 2>bc 2?a >b ,故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件,故命题q 也是假命题,故选C. (2)命题p 为真时a ≤1;“?x 0∈R ,x 2 0+2ax 0+2-a =0”为真,即方程x 2+2ax +2-a =0有 实根,故Δ=4a 2-4(2-a )≥0,解得a ≥1或a ≤-2.(綈p )∧q 为真命题,即(綈p )真且q 真,即a >1. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念:命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立;(2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算. 跟踪演练3 (1)已知命题p :?x 0∈R ,使sin x 0=5 2 ;命题q :?x ∈????0,π2,x >sin x ,则下列判断正确的是( ) A .p 为真 B .綈q 为假 C .p ∧q 为真 D .p ∨q 为假 (2)若“?x ∈????-π4,π 4,m ≤tan x +1”为真命题,则实数m 的最大值为________. 答案 (1)B (2)0 解析 (1)由于三角函数y =sin x 的有界性:-1≤sin x 0≤1,所以p 假;对于q ,构造函数y =x -sin x ,求导得y ′=1-cos x ,又x ∈????0,π 2,所以y ′>0,y 为单调递增函数,有y >0恒成立,即?x ∈????0,π 2,x >sin x , 所以q 真.判断可知,B 正确. (2)令f (x )=tan x +1,则函数f (x )在????-π4,π4上为增函数,故f (x )的最小值为f ??? ?-π 4=0, ∵?x ∈??? ?-π4,π 4,m ≤tan x +1,故m ≤(tan x +1)min ,∴m ≤0,故实数m 的最大值为0. 1.已知函数f (x )=1 1-x 2 的定义域为M ,g (x )=ln(1+x )的定义域为N ,则M ∪(?R N )等于( ) A .{x |-1≤x <1} B .{x |x >-1} C .{x |x <1} D .{x |x ≥1} 押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要,已成为送分必考试题.集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇. 答案 C 解析 M ={x |1-x 2>0}={x |-1 N ={x |1+x >0}={x |x >-1},∴?R N ={x |x ≤-1}, ∴M ∪(?R N )={x |-1 2.已知集合M ={(x ,y )|y =f (x )},若对于任意(x 1,y 1)∈M ,存在(x 2,y 2)∈M ,使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,则称集合M 是“Ω集合”.给出下列4个集合: ①M ={(x ,y )|y =1 x }; ②M ={(x ,y )|y =e x -2}; ③M ={(x ,y )|y =cos x }; ④M ={(x ,y )|y =ln x }. 其中是“Ω集合”的所有序号为( ) A .②③ B .③④ C .①②④ D .①③④ 押题依据 以新定义为背景,考查元素与集合的关系,是近几年高考的热点,解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口. 答案 A 解析 对于①,若x 1x 2+y 1y 2=0,则x 1x 2+1x 1·1 x 2=0,即(x 1x 2)2=-1,可知①错误;对于④, 取(1,0)∈M ,且存在(x 2,y 2)∈M ,则x 1x 2+y 1y 2=1×x 2+0×y 2=x 2>0,可知④错误.同理,可证得②和③都是正确的.故选A. 3.设υ∈R ,则“υ=0”是“f (x )=cos(x +υ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点,该类问题必须以其他知识为载体,综合考查数学概念. 答案 A 解析 当υ=0时,f (x )=cos(x +υ)=cos x 为偶函数成立;但当f (x )=cos(x +υ)为偶函数时,υ=k π,k ∈Z ,所以υ=0时,必要条件不成立.故选A. 4.给出下列四个命题,其中正确的命题有( ) ①函数y =sin2x +cos2x 在x ∈????0,π2上的单调递增区间是??? ?0,π 8; ②a 1,a 2,b 1,b 2均为非零实数,集合A ={x |a 1x +b 1>0},B ={x |a 2x +b 2>0},则“a 1a 2=b 1 b 2”是 “A =B ”的必要不充分条件; ③若p ∨q 为真命题,则p ∧q 也为真命题; ④命题?x 0∈R ,x 20+x 0+1<0的否定为?x ∈R ,x 2 +x +1<0. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具,也是高考考查的热点问题. 答案 C 解析 ①y =sin2x +cos2x =2sin ????2x +π 4, 由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π 2(k ∈Z ), 得k π-3π8≤x ≤k π+π 8 (k ∈Z ), 又x ∈????0,π2,因此递增区间是??? ?0,π8; ②充分性不成立,如a 1=1,b 1=1,a 2=-1=b 2,满足a 1a 2=b 1 b 2,但A ={x |x +1>0}=(-1,+ ∞),B ={x |-x -1>0}=(-∞,-1),A ≠B ; 必要性成立:A =B ?a 1a 2>0?-b 1a 1=-b 2a 2?a 1a 2=b 1 b 2 ; ③p ∨q 为真命题时,p ,q 不一定全真,因此p ∧q 不一定为真命题; ④命题?x 0∈R ,x 20+x 0+1<0的否定应为?x ∈R ,x 2 +x +1≥0. 所以①②为真,选C. A 组 专题通关 1.已知集合A ={x |x +1>0},B ={-2,-1,0,1},则(?R A )∩B 等于( ) A .{-2,-1} B .{-2} C .{-1,0,1} D .{0,1} 答案 A 解析 A ={x |x >-1},所以?R A ={x |x ≤-1}, 所以有(?R A )∩B ={-2,-1},故选A. 2.已知集合M ={x |log 2x <3},N ={x |x =2n +1,n ∈N },则M ∩N 等于( ) A .(0,8) B .{3,5,7} C .{0,1,3,5,7} D .{1,3,5,7} 答案 D 解析 由M 中不等式变形得:log 2x <3=log 28, 即0 3.已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={5,6,7},C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈B },则C 中所含元素的个数为( ) A .5 B .6 C .12 D .13 答案 D 解析 若x =5∈A ,y =1∈A ,则x +y =5+1=6∈B ,即点(5,1)∈C ;同理,(5,2)∈C ,(4,1)∈C ,(4,2)∈C ,(4,3)∈C ,(3,2)∈C ,(3,3)∈C ,(3,4)∈C ,(2,3)∈C ,(2,4)∈C ,(2,5)∈C ,(1,4)∈C ,(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13,应选D. 4.已知集合M ={x |y =lg 1-x x },N ={y |y =x 2+2x +3},则(?R M )∩N 等于( ) A .{x |0 解析 由1-x x >0得0 ?R M ={x |x ≤0或x ≥1},y =(x +1)2+2≥2, 故N ={y |y ≥2},则(?R M )∩N ={x |x ≥2}. 5.设命题甲:ax 2+2ax +1>0的解集是实数集R ;命题乙:0 A .充分不必要条件 B .充要条件 C .必要不充分条件 D .既非充分又非必要条件 答案 C 解析 由命题甲ax 2+2ax +1>0的解集是实数集R ,可知a =0时,原式=1>0恒成立, 当a ≠0时,? ???? a >0, Δ=(2a )2 -4a <0, 解得0 所以由甲不能推出乙,而由乙可推出甲,因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件,故选C. 6.设命题p :函数y =sin2x 的最小正周期为π2;命题q :函数y =cos x 的图象关于直线x =π 2对 称.则下列判断正确的是( ) A .p 为真 B .綈q 为假 C .p ∧q 为假 D .p ∨q 为真 答案 C 解析 p 是假命题,q 是假命题,因此只有C 正确. 7.已知命题p :2x x -1<1,命题q :(x +a )(x -3)>0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的 取值范围是( ) A .(-3,-1] B .[-3,-1] C .(-∞,-1] D .(-∞,-3] 答案 C 解析 由p :2x x -1<1,得x +1x -1<0,-1 以-a ≥1,a ≤-1.故选C. 8.①命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题为:“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”; ②“x =1”是“x 2-4x +3=0”的充要条件; ③若p ∧q 为假命题,则p 、q 均为假命题; ④对于命题p :?x 0∈R ,x 20+2x 0+2≤0,则綈p :?x ∈R ,x 2 +2x +2>0. 上面四个命题中正确的是( ) A .①② B .②③ C .①④ D .③④ 答案 C 解析 对于命题:若p ,则q ,其逆否命题是若綈q ,则綈p ,故①对;答案从A ,C 中选; ②x =1时x 2-4x +3=0成立,所以“x =1”是“x 2-4x +3=0”的充分条件,当x 2-4x +3=0时x =1或x =3,所以“x =1”不是“x 2-4x +3=0”的必要条件;所以“x =1”是“x 2-4x +3=0”的充分不必要条件.故②错,故选C. 9.已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N =________. 答案 (-1,2) 解析 由不等式的解法,可得M ={x |x 2<4}={x |-2 10.已知集合A ={x |-1 解析 ? ???? m -5≤-1,2m +3≥5,解得1≤m ≤4.故应填[1,4]. 11.“a >1”是“函数f (x )=a ·x +cos x 在R 上单调递增”的______________.(空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案 充分不必要条件 解析 f (x )=a ·x +cos x 在R 上单调递增?f ′(x )=a -sin x ≥0在R 上恒成立?a ≥(sin x )max =1,所以“a >1”是“函数f (x )=a ·x +cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件. 12.给出下列四个命题: ①命题“若α=β,则cos α=cos β”的逆否命题; ②“?x 0∈R ,使得x 2 0-x 0>0”的否定是:“?x ∈R ,均有x 2-x <0”; ③命题“x 2=4”是“x =-2”的充分不必要条件; ④p :a ∈{a ,b ,c },q :{a }?{a ,b ,c },p 且q 为真命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ①④ 解析 对①,因命题“若α=β,则cos α=cos β”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题,①正确; 对②,命题“?x 0∈R ,使得x 20-x 0>0”的否定应是: “?x ∈R ,均有x 2-x ≤0”,故②错; 对③,因为由“x 2=4”得x =±2, 所以“x 2=4”是“x =-2”的必要不充分条件,故③错; 对④,p ,q 均为真命题,由真值表判定p 且q 为真命题,故④正确. B 组 能力提高 13.下列说法中,不正确的是( ) A .已知a ,b ,m ∈R ,命题“若am 2 B .命题“?x 0∈R ,x 20+x 0-2>0”的否定是:“?x ∈R ,x 2 +x -2≤0” C .命题“p 或q ”为真命题,则命题p 和命题q 均为真命题 D .“x >3”是“x >2”的充分不必要条件 答案 C 解析 A 正确,因为此时m 2>0;B 正确,特称命题的否定就是全称命题;C 不正确,因为命题“p 或q ”为真命题,那么p ,q 有一个真,p 或q 就是真命题;D 项,小集合是大集合的充分不必要条件.故选C. 14.已知p :?x 0∈R ,mx 20+2≤0,q :?x ∈R ,x 2-2mx +1>0,若p ∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( ) A .[1,+∞) B .(-∞,-1] C .(-∞,-2] D .[-1,1] 答案 A 解析 ∵p ∨q 为假命题,∴p 和q 都是假命题. 由p :?x 0∈R ,mx 20+2≤0为假命题, 得綈p :?x ∈R ,mx 2+2>0为真命题, ∴m ≥0.① 由q :?x ∈R ,x 2-2mx +1>0为假命题, 得綈q :?x 0∈R ,x 20-2mx 0+1≤0为真命题, ∴Δ=(-2m )2-4≥0?m 2≥1?m ≤-1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.故选A. 15.下列选项错误的是( ) A .命题“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2-3x +2=0,则x =1” B .“x >2”是“x 2-3x +2>0”的充分不必要条件 C .若“命题p :?x ∈R ,x 2+x +1≠0”,则“綈p :?x 0∈R ,x 20+x 0+1=0” D .若“p ∨q ”为真命题,则p ,q 均为真命题 答案 D 解析 对于若“p ∨q ”为真命题,则p 、q 中至少有一个为真命题,∴D 选项错误.故选D. 16.已知集合M =???? ?? x |ax -5x 2 -a <0,若3∈M,5?M ,则实数a 的取值范围是____________. 答案 ??? ?1,5 3∪(9,25] 解析 ∵集合M =???? ?? x |ax -5x 2 -a <0, 得(ax -5)(x 2-a )<0, 当a =0时,显然不成立, 当a >0时,原不等式可化为????x -5 a ()x -a (x +a )<0, 若a <5a ,只需满足????? a <3<5a ,a ≥1, 解得1≤a <5 3 ; 若a >5 a ,只需满足????? 5a <3