微分在近似计算中的应用
教学目的：1、理解微分的几何意义
2、掌握微分在近似计算的应用
3、掌握微分在误差估算的应用
教学重点：1、微分在近似计算的应用
2、微分在误差估算的应用
教学难点：1、微分在近似计算的应用
2、微分在误差估算的应用
教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算
2、导入新课
3、讲授新课
（1）1、理解微分的几何意义
（2）微分在近似计算的应用
（3）微分在误差估算的应用
4、例题分析
5、课堂小结
6、布置作业
微分在近似计算中的应用
在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。
1．函数增量的近似计算
如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '?=?+?=+?, 当||x ?很小时,有 0()y f x x '?≈?
例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ?=厘米，则
22100.05A dA r r πππ?≈=??=??=（2厘米）
例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)? 解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。
因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ?，所以它就是球体体积34
3
V R π=
当R 自0R 取得增量R ?时的增量，我们求V 对R 的导数:
3204
()4,3R R R R V R R ππ==''==204.V R R π?≈??
将0 1, 0.01 R R =?=带入上式，得 234 3.1410.010.13().V cm ?≈???= 于是镀每只球需用的铜约为0.138.9 1.16().g ?= 2．函数值的近似计算
由00()()y f x x f x ?=+?-，00()()dy f x dx f x x ''==?，y dy ?≈得 000()()()f x x f x f x x '+?≈+?, 令0x x x =+?, 有
000()()()()f x f x f x x x '≈+-（用导数作近似计算公式）. 若00x =，则 ()(0)(0).f x f f x '≈+ 说明：
（1）要计算()f x 在x 点的数值，直接计算()f x 比较困难，而在x 点附近一点0x 处的函数值0()f x 和它的导数0()f x '却都比较容易求出,于是可以利用
000()()()f x f x x x '+-作为()f x 的近似值, x 与0x 越接近越精确。
（2）常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）:
①x n
x n 111+≈+; ②1x e x ≈+, ③ ln(1)x x +≈
④sin x x ≈ ( x 用弧度作单位来表达); ⑤tan x x ≈ ( x 用弧度作单位来表达); 证明：
① 取n x x f +=1)(, 则(0)1f =，n
x n
f x n 1)1(1)0(01
1
=+='=-, 代入()(0)(0)f x f f x '≈+ ，便得 x n
x n 111+≈+. ④ 取()sin f x x =，则(0)0f =，0(0)cos |1x f x ='==，
代入()(0)(0)f x f f x '≈+ ，便得 s i n x x ≈
如：
（11
10.05 1.0252≈+?=（直接开方的结果是02470.105.1=.）
（21
10.00012 1.000043≈+?=
（3）0.021310.0213 1.0213e ≈+= （4）ln1.004150.00415≈ （5）sin0.0210.021≈
例3 计算arctan1.01的近似值。
解：设()arctan f x x =,则00()arctan()f x x x x +?=+?，2
1
()1f x x '=+ 由000()()+()f x x f x f x x '+?≈?，取01,0.01x x =?=，得
2
1arctan1.01arctan(10.01)arctan10.010.79011
=+≈+≈+g .
例4
解：令()f x =
3．误差估计
在生产实践中, 经常要测量各种数据，但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据。由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差。
（1）绝对误差：如果某个量的精确值为A ，它的近似值为a ,那么||A a δ=-叫做a 的绝对误差。
（2）相对误差：绝对误差δ与||a 的比值
||
a δ
叫做a 的相对误差。
在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能确定误差在某一个范围内。如果某个量的精确值为A ，测得它的近似值为a ,又知道它的误差不超过A δ，则
（3）绝对误差限:若||A A a δ-≤，则称A δ为测量A 的绝对误差限。 （4）相对误差限:
| |
A
a δ为测量A 的相对误差限。 一般地，根据直接测量的x 值按公式()y f x =计算y 值时，如果已知测量x 的绝对误差限是x δ，即||x x δ?≤，则当0y '≠时，y 的绝对误差
||||||||||x y dy y x y δ''?≈=?≤g g
即y 的绝对误差限约为||y x y δδ'=g
，y 的相对误差限约为||y
x y y y
δδ'
=g .
以后常把绝对误差限和相对误差限简称为绝对误差和相对误差。
例如.要求得圆的面积S,只能测出其直径d,后由S ＝f(d)＝2
4d π算出面积S.
由于测量得到的直径d 有绝对误差d ?,于是由此计算出面积S 也相应地有绝对误差()()S f d d f d ?=+?-.在近似计算中知道,当d ?很小时,()S f d d '?≈?（=dy ）.
于是可用()S f d d '?≈?算出S 的绝对误差,对于圆面积S ＝f(d)＝24
d π有
()2
f D d π
'=
,所以有
2
S d d π
?≈
?（绝对误差）
； 2
S d
S d ??≈（相对误差）
进一步,若已知d d δ?≤时,则得绝对误差限和相对误差限分布为：
2
2
A S d d d π
π
δ?≈
?≤
?；
22A S d S d d
δ??≈≤
一般地,若x 是由测量得到的,量y 是由函数y ＝f(x)计算得到的,在测量时,x 的近似值为0x ,00()y f x =.若已知测量值0x 的误差限为x δ,即0x x x x δ?=-≤,当x δ很小时,
000()()()()x
y f x f x f x x f x δ''?=-≈?≤；
00
0()
()
y
x f x y f x δδ'=
1.要给一个半径为r 的球表面涂上油漆,油漆的厚度为r ?,试计算这层油漆的体积。
解：3223320000044
[3()3()()]4()()33
V r r r r r r r r r o r πππ?=+?+?+?-=?+?
2.设测得圆钢截面的直径60.03mm D =，测量D 的绝对误差限0.05mm,D δ=欲用公式2
π4
A D =
计算圆钢截面积，试估计面积的误差。 解：A 的绝对误差限约为
2ππ
60.00.05 4.715(mm )22
A D D A D δδδ'=?=
?=??≈ A 的相对误差限约为
π
2
2π
4
0.05
220.17%60.0D A
D D A D D δδδ=
==?=
3.设测得一球体的直径为42cm ，测量工具的精度为0.05 cm ，试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。
解：由直径d 计算球体体积的函数式是 31
6
V d π=.
取042,0.05d d δ==,求得33001
38792.39(cm )6
V d π=≈，
则球体体积的绝对误差限为 22301420.05138.54cm 22
V d d π
δπδ=
?=??≈（） 相对误差限为2
0300013
20.357%16
V d d d V d d πδδδπ=?=?≈.
4.设钟摆的周期是1 s ，在冬季摆长至多缩短0.01 cm ，试问此钟每天至多快几秒？
解：由物理学知道，单摆周期T 与摆长l 的关系为
2T =，其中g 是重力加速度。已知钟摆周期为1 s ，故此摆原长为02
(2)
g l π=
.
当摆长最多缩短0.01 cm 时，摆长的增量0.01l ?=-,它引起单摆周期的增量
2222(-980l l dT T l l l dl
g ππ=?≈
??=
=?=≈0.01)-0.0002(s)
这就是说加快约0.0002 s ，因此每天大约加快
6060240.0002=17.28(s)???
第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)
第4章微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 52
53 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限 注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)42 20 x cos lim x e x x -→- 在MatLab 的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 =-+-=---=-- - →- →-→2 2 222 20 x 3 22 x 4 2 20 x 12cos lim 4) (sin lim cos lim x x e e x x x e x x e x x x x x 12112112)2(2 lim 1211cos lim 222 220x 2 2 22220 x -=--+=--++-- →- - →x x x e x x x x x e e x 方法2 4 42 224420x 4 2 20 x ))(2) 2()2(1()(!421lim cos lim x x o x x x o x x x e x x +-+---++-=-→- →
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
数学建模学习辅导 第三章 微分方程模型 本章重点： 车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 复习要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量 t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.04056e 40e 56e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017 .030≈?=?=??-x x >80
求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y
我们知道式③表示一族曲线， 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式， 而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.
（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 应用模块 三级模块名称 微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用 模块编号 2-12 先行知识 微分的概念 模块编号 2-11 知识内容 教学要求 掌握程度 1、微分的几何意义、误差的相 关定义 1、理解微分的几何意义、误差的相关定义 简单应用 2、简单函数的近似值和误差估计 2、会利用微分求简单函数的近似值和误差估计 能力目标 1、培养学生的理解能力 2、培养学生的对比类推能力 时间分配 45分钟 编撰 秦小娜 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：首先复习函数微分的相关知识，利用微分的几何意义，导出近似计算公式，给出误差估计。 特点：通过微分的几何意义，说明微分的近似计算公式，直观，更容易理解。 二、授课部分 （一）复习回顾 由微分的定义可知： 1、函数值得增量：0()y f x x x α'?=?+? 2、增量的主要部分：0()dy f x x '=? 3、近似相等：y dy ?≈ （二） 微分的几何意义 当?y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|?x |很小时, |?y -dy | 比 |?x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.
由于0()tan dy f x x x α'=?=??，其中α为切线的倾斜角，而?y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量，当|?x |很小时, |?y -d y |比|?x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段. （三）微分在近似计算中的应用 由0()y dy f x x '?≈=?有： f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0). （选讲）例1．利用微分计算sin 30?30'的近似值. 解: 已知30?30'360 6 ππ+=, 6 0π=x , 360 π=?x . sin 30?30'=sin(x 0+?x)≈sin x 0+?x cos x 0 360 6 cos 6 sin πππ?+= 5076.0360 232 1=?+=π. 即 sin 30?30'≈0. 5076. 例2．求05.1的近似值. 解: 已知 x n x n 111+≈+, 故 025.105.02 1105.0105.1=?+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=. 例3．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解: 已知球体体积为33 4R V π=, R 0=1cm , ?R =0. 01cm . 镀层的体积为 ?V =V (R 0+?R )-V (R 0)≈V '(R 0)?R =4πR 02?R =4?3. 14?12 ?0. 01=0. 13(cm 3). 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 ?8. 9 =1. 16(g ).
微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度 2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了 多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运 动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们 都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
第十三章 常微分方程简介 本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。 由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。 本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念 像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 1.1 两个实例 例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。 解 平面上的曲线可由一元函数来表示 设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。 另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。 从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。 为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22， 我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。 再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即
微分在近似计算中的应用 教学目的：1、理解微分的几何意义 2、掌握微分在近似计算的应用 3、掌握微分在误差估算的应用 教学重点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用 教学难点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用 教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算 2、导入新课 3、讲授新课 （1）1、理解微分的几何意义 （2）微分在近似计算的应用 （3）微分在误差估算的应用 4、例题分析 5、课堂小结 6、布置作业 微分在近似计算中的应用 在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。 1．函数增量的近似计算 如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '?=?+?=+?, 当||x ?很小时,有 0()y f x x '?≈? 例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ?=厘米，则 22100.05A dA r r πππ?≈=??=??=（2厘米） 例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)? 解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。 因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ?，所以它就是球体体积343 V R π= 当R 自0R 取得增量R ?时的增量，我们求V 对R 的导数:
考点：常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】 1.微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 若未知函数是一元函数，则称为常微分方程； 若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程. 考题链接： 例：*320y x y x y xdy ydx ''=++=+=，， 2.阶：未知函数的最高阶导数的阶数. 考题链接： 例：微分方程()2 420x y y x y '''+-=的阶数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.性微分方程： ()()()()()()*012n n f x y f x y f x y f x y f x '?+?+?+ +?= 考题链接： 例：判断下列函数是否为线性方程. （1）2y x y '=+ （2）2sin y x y x '=++ （3）sin 0y x y '-+= （4）2y yy x '''-= （5）()2 3y x y '=+ 4.解：若()y x ?=代入方程成为恒等式，则称()y x ?=为方程的一个解. （1）通解：含有相互独立（不能合并，212y C x C x =+与12y C x C x =+）的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解. （2）特解：不含任意常数的解. 例1：某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ） A.sin y C x = B.12sin cos y C x C x =+ C.sin cos y x x =+ D.()12cos y C C x =+
例2：函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是微分方程0y y ''+=的（ ） A.通解 B.特解 C.解 D.不是解 例3：已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a =________. 考点：可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】 （1）标准形式：()()f y dy g x dx = （2）解法：①分离变量，化为标准形式；②两边同时积分. 例1：微分方程0dx dy y x +=的通解是（ ） A.2225x y += B.34x y C += C.22x y C += D.227y x -= 例2：方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=的通解为________. 例3：微分方程220dy xy dx -=满足条件()11y =-的特解是（ ） A.21 y x = B.21y x =- C.2y x = D.2y x =- 考点：齐次方程【☆☆☆☆☆】 （1）标准形式：y y f x ?? = ??? 考题链接： 例：22x y x y '=+不是 222x y x y '=+是 （2）解法：①化为标准形式； ②令y u x = ，代入方程消去y ； ③化为x 与u 的可分离变量的微分方程，求解. 例：求sin 0y xy x y x '--=的通解. 考点：一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】 （1）标准形式：()()y P x y Q x '+=
常微分计算题及解答 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
计 算 题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程24y xy x '+= 6、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程()x x y y e '-= 14、试用逐次逼近法求方程 22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程 x e y y y -=-+''32 的通解 17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????.
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
§2 微分概念及其运算 设()y f x =在x 点可导，即下面的极限存在： '()f x ＝0lim x y x ?→??＝0lim x ?→()()f x x f x x +?-? 因此 y x ??＝'()f x ＋α，其中0α→（0x ?→）， 于是 y ?＝'()f x x x α?+?='()()f x x o x ?+?，0x ?→ （函数的增量y ?=（x ?的线性函数）+)(x o ?） 物理意义：如果把()y f x =视为时间x 时所走过的路程， x ?时间内所走过的路程y ? =以匀速()f x '运动所走过的路程()f x 'x ? +因为加速度的作用而产生的附加路程)(x o ? 定义 4.2 设()y f x =在(,)a b 有定义，如果对给定的x ∈(,)a b ，有 y ?＝()f x x +?－()f x ＝A x ?＋()o x ?，(0x ?→) 其中A 与x ?无关，则称()f x 在x 点可微，并称A x ?为函数()f x 在x 点的微分，记为 dy ＝A x ? 或 ()df x ＝A x ? 由前面的讨论得 微分具有两大重要特征： 1) 微分是自变量的增量的线性函数； 2) 微分与函数增量y ?之差dy y -?，是比x ?高阶的无穷小量. 因此，称微分dy 为增量y ?的线性主要部分。 事实上当dy 0≠时 ()f x 在x 点可导?()f x 在x 点可微
0lim x y dy ?→?＝0lim x ?→()dy o x dy +?＝0lim x ?→()(1)o x A x ?+?＝1 即y ?与dy 是等价无穷小量。 注1 系数A 是依赖于x 的，它是x 的函数， 注2 微分dy 既与x 有关，又与x ?有关，而x 和x ?是两个互相独立的 变量，但它对x ?的依赖是线性的． 例1 自由落体运动中，21()2 s t gt = s ?＝()()s t t s t +?-＝2211()22g t t gt = +?- 21(2())2g t t =+?=21()2 gt t g t ?+? 即s ?可表为t ?的线性函数和t ?的高阶无穷小量之和，由微分定义知，()s t 在t 点可微，且微分 ds gt t =? 它等于以匀速()s t '＝gt 运动，在t ?时间内走过的路程． 例2 圆面积2y R π=， y ?＝2()R R π+?一2R π＝22()r R R ππ?+?． y ?可表示为R ?的线性函数与R ?的高阶无穷小之和，故函数在R 可微，且微分 2dy R R π=? 从几何上看，微分可以这样理解： R π2是圆周长，当半径R 变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大R ?所引起的圆面积变化就是2R R π?。 这就是圆面积的微分，它与R ?成正比，与圆面积真正的变化之差是较R ?高阶的无穷小，当然圆不可能保持周长不变而膨胀，这只是一种设想而已，但当R ?很小时，两者之差就更小了。 例3 设正方形的边长为x ，则面积为 2 ()f x x =
第八章 常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节 微分方程的基本概念 分布图示 ★ 引 言 ★ 微分方程的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 微分方程解的概念 ★ 例5 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: ,0),,,,()(='''n y y y y x F Λ (1.5) 其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程
计 算 题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程24y xy x '+= 6、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程()x x y y e '-= 14、试用逐次逼近法求方程 22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解 17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????. 20、利用逐次逼近法，求方程 22dy y x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式：
第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 一、选择题 1. 微分方程y y ='的通解是 ( ) A . y = x ; B . y = Cx ; C . y = e x ; D . y = Ce x . 2. 微分方程0ln =-'y y y x 的满足y (1) = e 的特解为 ( ) A . y = ex ; B . y = e x ; C . y = xe 2x -1; D . y = e ln x . 3. 微分方程dy - 2xdx = 0的解为 ( ) A . y = 2x ; B . y = -x 2; C . y = -2x ; D . y = x 2. 4. 微分方程3)()(432=+'''+'xy y y y 的阶数是 ( ) A . 1; B . 2; C . 3 ; D . 4. 5. 下列函数中, 是微分方程03=-'y y 的通解的是 ( ) A . y = e -3x +C ; B . y = Ce 3x ; C . y = Ce -3x ; D . y = Ce x +3. 二、填空题 1. 以12 +=x C y (C 为任意常数)为通解的微分方程为 . 2. 微分方程1-='y y 的通解为y =___________. 3. 微分方程x d x + y d y = 0的通解为 . 4. 微分方程x e y dx dy dx y d =++2)(222的阶数是______________. 三、解答题 1. 求下列微分方程的通解. (1) 01122=+-+dx )y (x dy )x (y ; (2) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x . 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1) y x e y -='2, 00==x y ; (2) 02=+ydx xdy , 12==x y . 3. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程 4. 求一个微分方程, 使其通解为1)()(2221=-+-C y C x .
重庆三峡学院数学分析课程论文微分在近似计算上的应用 院系：数学与统计学院 专业：数学与应用数学（师范） 姓名：周静 年级： 2010级 学号： 201006034128 指导教师：刘学飞 完成论文时间 2014 年 5 月
第4页 共18页 微分在近似计算上的应用 周静 （重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级 数本一班） 摘要：微分在数学中有许多重要的应用，本文主要讨论它在近似计算方面的应用并举例 关键字：微分；近似计算；应用 引言 1、基本知识 一、微分的定义 定义： 在某个区间内有定义，设函数)(x f y =及0x 在这个区间内，x x ?+0可表示为如果函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?)(x o x A y ?+?=? （1） 的常数， 是不依赖于其中x A ?高阶无穷小，是比而x x o ??)()(x f y =那么称函数相应于自变量增量在点叫做函数是可微的，而在点00)(x x f y x A x =?的微x ?。 ，即：分，记作x A dy dy ?=为函数的微分。则称若x A dy x x A y ?=?+?=? ),(ο的线性主部 ：称为y x A ??dy y x dy ≈??很小时，。，即 二、可微的条件： 成立，可微，则有在点设函数)1()(0x x f y =，即)(x o x A y ?+?=?等式两端
，，得 除以x x o A x y x ??+=???)(时，由上式就得到于是，当0→?x ()(). lim lim 000A x x o A x y x f x x =?? ? ?? ??+=??='→?→?也一定可导，在点可微，则在点因此，如果函数00)()(x x f x x f 。且)(0x f A '= 2、微分在近似计算上的应用： 一、近似计算原理：
数值微分 数值微分(numerical differentiation) 根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。 7.1 数值微分 7.1.1 差商与数值微分 当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算 的导数。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。 以下是导数的三种定义形式： （7.1） 在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。 最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。 向前差商 用向前差商（平均变化率）近似导数有： （7.2）
其中的位置在的前面，因此称为向前差商。同理可得向后差商、中心差商的定义。 由泰勒展开 得向前差商的截断误差： 向后差商 用向后差商近似导数有：（7.3） 与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差： 中心差商 用中心差商（平均变化率）近似导数有： （7.4） 由泰勒展开 得中心差商的截断误差：