第4章微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 52
53 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限 注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)42 20 x cos lim x e x x -→- 在MatLab 的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 =-+-=---=-- - →- →-→2 2 222 20 x 3 22 x 4 2 20 x 12cos lim 4) (sin lim cos lim x x e e x x x e x x e x x x x x 12112112)2(2 lim 1211cos lim 222 220x 2 2 22220 x -=--+=--++-- →- - →x x x e x x x x x e e x 方法2 4 42 224420x 4 2 20 x ))(2) 2()2(1()(!421lim cos lim x x o x x x o x x x e x x +-+---++-=-→- →
模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 应用模块 三级模块名称 微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用 模块编号 2-12 先行知识 微分的概念 模块编号 2-11 知识内容 教学要求 掌握程度 1、微分的几何意义、误差的相 关定义 1、理解微分的几何意义、误差的相关定义 简单应用 2、简单函数的近似值和误差估计 2、会利用微分求简单函数的近似值和误差估计 能力目标 1、培养学生的理解能力 2、培养学生的对比类推能力 时间分配 45分钟 编撰 秦小娜 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：首先复习函数微分的相关知识，利用微分的几何意义，导出近似计算公式，给出误差估计。 特点：通过微分的几何意义，说明微分的近似计算公式，直观，更容易理解。 二、授课部分 （一）复习回顾 由微分的定义可知： 1、函数值得增量：0()y f x x x α'?=?+? 2、增量的主要部分：0()dy f x x '=? 3、近似相等：y dy ?≈ （二） 微分的几何意义 当?y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|?x |很小时, |?y -dy | 比 |?x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.
由于0()tan dy f x x x α'=?=??，其中α为切线的倾斜角，而?y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量，当|?x |很小时, |?y -d y |比|?x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段. （三）微分在近似计算中的应用 由0()y dy f x x '?≈=?有： f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0). （选讲）例1．利用微分计算sin 30?30'的近似值. 解: 已知30?30'360 6 ππ+=, 6 0π=x , 360 π=?x . sin 30?30'=sin(x 0+?x)≈sin x 0+?x cos x 0 360 6 cos 6 sin πππ?+= 5076.0360 232 1=?+=π. 即 sin 30?30'≈0. 5076. 例2．求05.1的近似值. 解: 已知 x n x n 111+≈+, 故 025.105.02 1105.0105.1=?+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=. 例3．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解: 已知球体体积为33 4R V π=, R 0=1cm , ?R =0. 01cm . 镀层的体积为 ?V =V (R 0+?R )-V (R 0)≈V '(R 0)?R =4πR 02?R =4?3. 14?12 ?0. 01=0. 13(cm 3). 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 ?8. 9 =1. 16(g ).
微分在近似计算中的应用 教学目的：1、理解微分的几何意义 2、掌握微分在近似计算的应用 3、掌握微分在误差估算的应用 教学重点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用 教学难点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用 教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算 2、导入新课 3、讲授新课 （1）1、理解微分的几何意义 （2）微分在近似计算的应用 （3）微分在误差估算的应用 4、例题分析 5、课堂小结 6、布置作业 微分在近似计算中的应用 在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。 1．函数增量的近似计算 如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '?=?+?=+?, 当||x ?很小时,有 0()y f x x '?≈? 例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ?=厘米，则 22100.05A dA r r πππ?≈=??=??=（2厘米） 例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)? 解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。 因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ?，所以它就是球体体积343 V R π= 当R 自0R 取得增量R ?时的增量，我们求V 对R 的导数:
§5 函数的微分 【目的要求】 1、掌握函数、隐函数、复合函数的微分法则； 2、熟练掌握一阶微分形式不变性求函数微分的方法． 【重点难点】 微分概念、微分形式的不变性及其应用． 【教学内容】 在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量在点x 处有微小增量x ?时，求函数()y f x =相应的微小增量 ()()y f x x f x ?=+?-。 这个问题初看起来简单，然而，对于较复杂的函数()f x ，增量y ?的值不易求出。这时我们可以考虑求y ?的近似值，怎样求y ?的近似值呢？微分就是在这种背景下产生的一个概念。 一、微分的定义 先分析一个具体问题。一个正方形的铁片，受热后均匀膨胀，边长由0x 变为x x ?+0，问铁片的面积大体改变了多少？ 如图2-5所示,设正方形铁片的边长为x ，面积为 A ，则 2A x =， 当边长x 由0x 变为x x ?+0时，面积的改变量为 2 2 2 00 0()2()A x x x x x x ?=+?-=?+?。 上式包含两个部分，第一部分是02x x ?，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，是x ?的线性函数，是A ?的主要部分；第二部分是2()x ?，即图中带有交叉斜线 图2-5
的小正方形的面积，当0x ?→时，2()x ?是比x ?高阶的无穷小，是A ?的次要部分。 由此可见，如果边长有微小改变(即||x ?很小)时，我们可以将第二部分2 ()x ?忽略，而用第一部分02x x ?近似地表示A ?，即02A x x ?≈?。因为00()2A x x '=，所以0()A A x x '?≈?，即面积的增量近似等于面积函数的导数与边长增量之积。由此我们引入微分的定义。 定义5.1 设函数()y f x =在点0x 处可导，自变量x 由0x 变到0x x +?，则把 x x f ?')(0叫做函数()y f x =在点0x 处相应于自变量增量x ?的微分，记作0 d x x y =或 d () x x f x =，即 0d ()x x y f x x ='=?或0 0d () ()x x f x f x x ='=?. 此时，也称函数()y f x =在点0x 处可微。 函数()y f x =在任意点x 的微分，叫做函数()y f x =的微分，记作dy 或 ()df x ，即 d ()y f x x '=?或d ()()f x f x x '=?. 例1 求函数2x y =当01.0,2=?=x x 时的增量和微分。 解 函数的增量为0401.02)01.02(22=-+=?y ， 函数的微分为2d ()2y x x x x '=??=??，将01.0,2=?=x x 代入，得 d 220.010.04y =??=. 由上例结果可看出，d y y ?≈，误差是0.0001. 对于函数x y =，它的微分是d d y x x x x '==??=?，即 d x x =?. 即自变量的微分等于自变量的增量。 于是函数的微分可以写成 d ()y f x dx '=， 即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。从而有 d ()d y f x x '=，即函数微分与自变量微分的商等于函数的导数，因此导数通常也叫做微商。 从上看到，若函数可导，则函数必可微；反之，若函数可微，则函数必可导。
常微分计算题及解答 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
计 算 题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程24y xy x '+= 6、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程()x x y y e '-= 14、试用逐次逼近法求方程 22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程 x e y y y -=-+''32 的通解 17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????.
§2 微分概念及其运算 设()y f x =在x 点可导，即下面的极限存在： '()f x ＝0lim x y x ?→??＝0lim x ?→()()f x x f x x +?-? 因此 y x ??＝'()f x ＋α，其中0α→（0x ?→）， 于是 y ?＝'()f x x x α?+?='()()f x x o x ?+?，0x ?→ （函数的增量y ?=（x ?的线性函数）+)(x o ?） 物理意义：如果把()y f x =视为时间x 时所走过的路程， x ?时间内所走过的路程y ? =以匀速()f x '运动所走过的路程()f x 'x ? +因为加速度的作用而产生的附加路程)(x o ? 定义 4.2 设()y f x =在(,)a b 有定义，如果对给定的x ∈(,)a b ，有 y ?＝()f x x +?－()f x ＝A x ?＋()o x ?，(0x ?→) 其中A 与x ?无关，则称()f x 在x 点可微，并称A x ?为函数()f x 在x 点的微分，记为 dy ＝A x ? 或 ()df x ＝A x ? 由前面的讨论得 微分具有两大重要特征： 1) 微分是自变量的增量的线性函数； 2) 微分与函数增量y ?之差dy y -?，是比x ?高阶的无穷小量. 因此，称微分dy 为增量y ?的线性主要部分。 事实上当dy 0≠时 ()f x 在x 点可导?()f x 在x 点可微
0lim x y dy ?→?＝0lim x ?→()dy o x dy +?＝0lim x ?→()(1)o x A x ?+?＝1 即y ?与dy 是等价无穷小量。 注1 系数A 是依赖于x 的，它是x 的函数， 注2 微分dy 既与x 有关，又与x ?有关，而x 和x ?是两个互相独立的 变量，但它对x ?的依赖是线性的． 例1 自由落体运动中，21()2 s t gt = s ?＝()()s t t s t +?-＝2211()22g t t gt = +?- 21(2())2g t t =+?=21()2 gt t g t ?+? 即s ?可表为t ?的线性函数和t ?的高阶无穷小量之和，由微分定义知，()s t 在t 点可微，且微分 ds gt t =? 它等于以匀速()s t '＝gt 运动，在t ?时间内走过的路程． 例2 圆面积2y R π=， y ?＝2()R R π+?一2R π＝22()r R R ππ?+?． y ?可表示为R ?的线性函数与R ?的高阶无穷小之和，故函数在R 可微，且微分 2dy R R π=? 从几何上看，微分可以这样理解： R π2是圆周长，当半径R 变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大R ?所引起的圆面积变化就是2R R π?。 这就是圆面积的微分，它与R ?成正比，与圆面积真正的变化之差是较R ?高阶的无穷小，当然圆不可能保持周长不变而膨胀，这只是一种设想而已，但当R ?很小时，两者之差就更小了。 例3 设正方形的边长为x ，则面积为 2 ()f x x =
计 算 题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程24y xy x '+= 6、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程()x x y y e '-= 14、试用逐次逼近法求方程 22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解 17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????. 20、利用逐次逼近法，求方程 22dy y x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式：
重庆三峡学院数学分析课程论文微分在近似计算上的应用 院系：数学与统计学院 专业：数学与应用数学（师范） 姓名：周静 年级： 2010级 学号： 201006034128 指导教师：刘学飞 完成论文时间 2014 年 5 月
第4页 共18页 微分在近似计算上的应用 周静 （重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级 数本一班） 摘要：微分在数学中有许多重要的应用，本文主要讨论它在近似计算方面的应用并举例 关键字：微分；近似计算；应用 引言 1、基本知识 一、微分的定义 定义： 在某个区间内有定义，设函数)(x f y =及0x 在这个区间内，x x ?+0可表示为如果函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?)(x o x A y ?+?=? （1） 的常数， 是不依赖于其中x A ?高阶无穷小，是比而x x o ??)()(x f y =那么称函数相应于自变量增量在点叫做函数是可微的，而在点00)(x x f y x A x =?的微x ?。 ，即：分，记作x A dy dy ?=为函数的微分。则称若x A dy x x A y ?=?+?=? ),(ο的线性主部 ：称为y x A ??dy y x dy ≈??很小时，。，即 二、可微的条件： 成立，可微，则有在点设函数)1()(0x x f y =，即)(x o x A y ?+?=?等式两端
，，得 除以x x o A x y x ??+=???)(时，由上式就得到于是，当0→?x ()(). lim lim 000A x x o A x y x f x x =?? ? ?? ??+=??='→?→?也一定可导，在点可微，则在点因此，如果函数00)()(x x f x x f 。且)(0x f A '= 2、微分在近似计算上的应用： 一、近似计算原理：
数值微分 数值微分(numerical differentiation) 根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。 7.1 数值微分 7.1.1 差商与数值微分 当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算 的导数。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。 以下是导数的三种定义形式： （7.1） 在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。 最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。 向前差商 用向前差商（平均变化率）近似导数有： （7.2）
其中的位置在的前面，因此称为向前差商。同理可得向后差商、中心差商的定义。 由泰勒展开 得向前差商的截断误差： 向后差商 用向后差商近似导数有：（7.3） 与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差： 中心差商 用中心差商（平均变化率）近似导数有： （7.4） 由泰勒展开 得中心差商的截断误差：
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x 的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。 叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy， 即：=。 通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记 号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为： 由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使 成立。 这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下： 若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。 注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理 如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。 罗彼塔(L'Hospital)法则 当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，与都存在，≠0，且存在 则：= 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
微分概念及其运算
§2 微分概念及其运算 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?点可导，即下面的极限存在： ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...? 因此 ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＋?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?（?Skip Record If...?）， 于是 ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...? （函数的增量?Skip Record If...?=（?Skip Record If...?的线性函数）+?Skip Record If...?） 物理意义：如果把?Skip Record If...?视为时间?Skip Record If...?时所走过的路程， ?Skip Record If...?时间内所走过的路程?Skip Record If...?=以匀速?Skip Record If...?运动所走过的路程?Skip Record If...??Skip Record If...? +因为加速度的作用而产生的附加路程?Skip Record If...? 定义4.2 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?有定义，如果对给定的?Skip Record If...??Skip Record If...?，有 ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?－?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＋?Skip Record If...?，(?Skip Record If...?) 其中?Skip Record If...?与?Skip Record If...?无关，则称?Skip Record If...?在?Skip Record If...?点可微，并称?Skip Record If...?为函数 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?点的微分，记为 ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?或 ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?