城东区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1.设数集M={x|m≤x≤m+},N={x|n﹣≤x≤n},P={x|0≤x≤1},且M,N都是集合P的子集,如果把b ﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是()
A.B.C.D.
2.487被7除的余数为a(0≤a<7),则展开式中x﹣3的系数为()
A.4320 B.﹣4320 C.20 D.﹣20
3.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为()
A.5 B.4 C.3 D.2
4.一个算法的程序框图如图所示,若运行该程序后输出的结果为,则判断框中应填入的条件是()
A.i≤5?B.i≤4?C.i≥4?D.i≥5?
5.下列满足“?x∈R,f(x)+f(﹣x)=0且f′(x)≤0”的函数是()
A.f(x)=﹣xe|x| B.f(x)=x+sinx
C.f(x)=D.f(x)=x2|x|
6.5名运动员争夺3项比赛冠军(每项比赛无并列冠军),获得冠军的可能种数为()
A.35B.C.D.53
7.已知d为常数,p:对于任意n∈N*,a n+2﹣a n+1=d;q:数列{a n}是公差为d的等差数列,则¬p是¬q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
8. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A .y=
B .y=﹣x+
C .y=﹣x|x|
D .y=
9. 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字模糊不清,在图中以m 表示.若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分,那么m 的可能取值集合为( )
A .
B .
C .
D .
10.已知{}n a 是等比数列,251
24
a a ==,,则公比q =( ) A .12-
B .-2
C .2
D .12
11.已知函数
,函数
,其中b ∈R ,若函数y=f (x )﹣g (x )恰有4个零点,则b 的取值范围是( )
A .
B .
C .
D .
12.已知曲线2
:4C y x =的焦点为F ,过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点,且20FP FQ +=,则O
P Q ?的面积等于( )
A .
B .
C .
2 D .4
二、填空题
13.已知函数32()39f x x ax x =++-,3x =-是函数()f x 的一个极值点,则实数a = .
14.已知,是空间二向量,若
=3,||=2,|﹣|=,则与的夹角为 .
15.不等式()2
110ax a x +++≥恒成立,则实数的值是__________. 16.已知两个单位向量,a b 满足:1
2
a b ?=-
,向量2a b -与的夹角为,则cos θ= . 17. 设函数()x
f x e =,()ln
g x x m =+.有下列四个命题:
①若对任意[1,2]x ∈,关于x 的不等式()()f x g x >恒成立,则m e <;
②若存在0[1,2]x ∈,使得不等式00()()f x g x >成立,则2
ln 2m e <-;
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈,不等式12()()f x g x >恒成立,则ln 22
e
m <
-; ④若对任意1[1,2]x ∈,存在2[1,2]x ∈,使得不等式12()()f x g x >成立,则m e <. 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能力,考查分类整合思想.
18.直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ,B 两点,且与x 轴负半轴相交,若O 为坐标原点,则
OAB ?面积的最大值为 .
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,意在考查分析问题以及解决问题的能力.
三、解答题
19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,111,A A AB CB A ABB =⊥. (1)求证:1AB ⊥平面1A BC ;
(2)若15,3,60AC BC A AB ==∠=,求三棱锥1C AA B -的体积.
20.已知函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象经过点(2,). (1)求a 的值;
(2)比较f (2)与f (b 2
+2)的大小;
(3)求函数f (x )=a (x ≥0)的值域.
21.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,D为AB中点.
(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)若四边形BCC
B1是正方形,且A1D=,求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值.
1
22.一艘客轮在航海中遇险,发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海
难搜救艇收到求救信号后立即侦查,发现遇险客轮的航行方向为南偏东75,正以每小时9海里的速度向一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
(1)为了在最短的时间内追上客轮,求海难搜救艇追上客轮所需的时间;
中,求角B的正弦值.
(2)若最短时间内两船在C处相遇,如图,在ABC
23.设函数f (x )=kx 2+2x (k 为实常数)为奇函数,函数g (x )=a f (x )﹣1(a >0且a ≠1).
(Ⅰ)求k 的值; (Ⅱ)求g (x )在[﹣1,2]上的最大值;
(Ⅲ)当时,g (x )≤t 2
﹣2mt+1对所有的x ∈[﹣1,1]及m ∈[﹣1,1]恒成立,求实数t 的取值范围.
24.(本题满分15分)
已知函数c bx ax x f ++=2
)(,当1≤x 时,1)(≤x f 恒成立. (1)若1=a ,c b =,求实数b 的取值范围;
(2)若a bx cx x g +-=2
)(,当1≤x 时,求)(x g 的最大值.
【命题意图】本题考查函数单调性与最值,分段函数,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.
城东区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题
1.【答案】C
【解析】解:∵集M={x|m≤x≤m+},N={x|n﹣≤x≤n},
P={x|0≤x≤1},且M,N都是集合P的子集,
∴根据题意,M的长度为,N的长度为,
当集合M∩N的长度的最小值时,
M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,
故M∩N的长度的最小值是=.
故选:C.
2.【答案】B
解析:解:487=(49﹣1)7=﹣+…+﹣1,
∵487被7除的余数为a(0≤a<7),
∴a=6,
∴展开式的通项为T r+1=,
令6﹣3r=﹣3,可得r=3,
∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320,
故选:B..
3.【答案】A
【解析】解:函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,
可得b=0,并且1+a=2a,解得a=1,
所以函数为:f(x)=x2+1,x∈[﹣2,2],
函数的最大值为:5.
故选:A.
【点评】本题考查函数的最大值的求法,二次函数的性质,考查计算能力.
4.【答案】B
【解析】解:模拟执行程序框图,可得
i=1,sum=0,s=0
满足条件,i=2,sum=1,s=
满足条件,i=3,sum=2,s=+
满足条件,i=4,sum=3,s=++
满足条件,i=5,sum=4,s=
+
+
+
=1﹣+﹣+﹣+﹣=.
由题意,此时不满足条件,退出循环,输出s 的,则判断框中应填入的条件是i ≤4. 故选:B .
【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.
5. 【答案】A
【解析】解:满足“?x ∈R ,f (x )+f (﹣x )=0,且f ′(x )≤0”的函数为奇函数,且在R 上为减函数, A 中函数f (x )=﹣xe |x|,满足f (﹣x )=﹣f (x ),即函数为奇函数,
且f ′(x )=
≤0恒成立,故在R 上为减函数,
B 中函数f (x )=x+sinx ,满足f (﹣x )=﹣f (x ),即函数为奇函数,但f ′(x )=1+cosx ≥0,在R 上是增函数,
C 中函数f (x )=
,满足f (﹣x )=f (x ),故函数为偶函数;
D 中函数f (x )=x 2|x|,满足f (﹣x )=f (x ),故函数为偶函数, 故选:A .
6. 【答案】D
【解析】解:每一项冠军的情况都有5种,故5名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 53
,
故选:D .
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,属于基础题.
7. 【答案】A
【解析】解:p :对于任意n ∈N *
,a n+2﹣a n+1=d ;q :数列 {a n }是公差为d 的等差数列, 则¬p :?n ∈N *
,a n+2﹣a n+1≠d ;¬q :数列 {a n }不是公差为d 的等差数列,
由¬p ?¬q ,即a n+2﹣a n+1不是常数,则数列 {a n }就不是等差数列,
若数列{a n}不是公差为d的等差数列,则不存在n∈N*,使得a n+2﹣a n+1≠d,
即前者可以推出后者,前者是后者的充分条件,
即后者可以推不出前者,
故选:A.
【点评】本题考查等差数列的定义,是以条件问题为载体的,这种问题注意要从两个方面入手,看是不是都能够成立.
8.【答案】C
【解析】解:A.在定义域内没有单调性,∴该选项错误;
B.时,y=,x=1时,y=0;
∴该函数在定义域内不是减函数,∴该选项错误;
C.y=﹣x|x|的定义域为R,且﹣(﹣x)|﹣x|=x|x|=﹣(﹣x|x|);
∴该函数为奇函数;
;
∴该函数在[0,+∞),(﹣∞,0)上都是减函数,且﹣02=02;
∴该函数在定义域R上为减函数,∴该选项正确;
D.;
∵﹣0+1>﹣0﹣1;
∴该函数在定义域R上不是减函数,∴该选项错误.
故选:C.
【点评】考查反比例函数的单调性,奇函数的定义及判断方法,减函数的定义,以及分段函数单调性的判断,二次函数的单调性.
9.【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图
【试题解析】由题知:
所以m可以取:0,1,2.
故答案为:C
10.【答案】D
【解析】
试题分析:∵在等比数列}{a n 中,41,2a 52==a ,2
1,81q 253
=∴==∴q a a . 考点:等比数列的性质. 11.【答案】 D
【解析】解:∵g (x )=﹣f (2﹣x ),
∴y=f (x )﹣g (x )=f (x )﹣+f (2﹣x ),
由f (x )﹣+f (2﹣x )=0,得f (x )+f (2﹣x )=,
设h (x )=f (x )+f (2﹣x ), 若x ≤0,则﹣x ≥0,2﹣x ≥2,
则h (x )=f (x )+f (2﹣x )=2+x+x 2
,
若0≤x ≤2,则﹣2≤﹣x ≤0,0≤2﹣x ≤2,
则h (x )=f (x )+f (2﹣x )=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若x >2,﹣x <﹣2,2﹣x <0, 则h (x )=f (x )+f (2﹣x )=(x ﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x 2
﹣5x+8.
作出函数h (x )的图象如图:
当x ≤0时,h (x )=2+x+x 2=(x+)2
+≥,
当x >2时,h (x )=x 2﹣5x+8=(x ﹣)2
+≥,
故当=时,h (x )=,有两个交点,
当=2时,h (x )=,有无数个交点,
由图象知要使函数y=f (x )﹣g (x )恰有4个零点,
即h (x )=恰有4个根,
则满足
<<2,解得:b ∈
(,4),
故选:D .
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.
12.【答案】C 【解析】
∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=, ∴1220y y +=③, 联立①②③可得2
18
m =,
∴12y y -==.
∴1212S OF y y =
-=
. (由1212420y y y y =-??+=?
,得12y y ?=??=??
12y y ?=-??=??
考点:抛物线的性质.
二、填空题
13.【答案】5 【解析】
试题分析:'
2
'
()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=. 考点:导数与极值. 14.【答案】 60° .
【解析】解:∵|﹣|=,
∴
∴
=3,
∴cos <>=
=
∵
∴与的夹角为60°. 故答案为:60° 【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长,本题解题的关键是整理出两个向量的数量积,再用夹角的
表示式.
15.【答案】1a = 【解析】
试题分析:因为不等式()2110ax a x +++≥恒成立,所以当0a =时,不等式可化为10x +≥,不符合题意;当0a ≠时,应满足2
(1)40
a a a >??
?=+-≤?,即2
0(1)0
a a >??
-≤?,解得1a =.1
考点:不等式的恒成立问题.
16.【答案】7
-. 【解析】
考点:向量的夹角.
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)
求平面向量的数量积有三种方法:一是定义cos a b a b θ?=;二是坐标运算公式1212a b x x y y ?=+;
三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 17.【答案】①②④ 【
解
析
】
18.【
解
析
】
三、解答题
19.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】
试题分析:(1)有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥,再由菱形的性质可得11AB A B ⊥,进而有线面垂直的判定定理可得结论;(2)先证三角形1A AB 为正三角形,再由于勾股定理求得AB 的值,进而的三角形1A AB 的面积,又知三棱锥的高为3BC =,利用棱锥的体积公式可得结果.
考点:1、线面垂直的判定定理;2、勾股定理及棱锥的体积公式.
20.【答案】
【解析】解:(1)f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2,),
∴a2=,
∴a=
(2)∵f(x)=()x在R上单调递减,
又2<b2+2,
∴f(2)≥f(b2+2),
(3)∵x≥0,x2﹣2x≥﹣1,
∴≤()﹣1=3
∴0<f(x)≤(0,3]
21.【答案】
【解析】证明:(1)连AC1,设AC1与A1C相交于点O,连DO,则O为AC1中点,
∵D为AB的中点,
∴DO∥BC1,
∵BC1?平面A1CD,DO?平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD.
解:∵底面△ABC是边长为2等边三角形,D为AB的中点,
四边形BCC
B1是正方形,且A1D=,
1
∴CD⊥AB,CD==,AD=1,
∴AD2+AA12=A1D2,∴AA1⊥AB,
∵,∴,
∴CD ⊥DA 1,又DA 1∩AB=D ,
∴CD ⊥平面ABB 1A 1,∵BB 1?平面ABB 1A 1,∴BB 1⊥CD , ∵矩形BCC 1B 1,∴BB 1⊥BC , ∵BC ∩CD=C ∴BB 1⊥平面ABC , ∵底面△ABC 是等边三角形, ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱.
以C 为原点,CB 为x 轴,CC 1为y 轴,过C 作平面CBB 1C 1的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,
B (2,0,0),A (1,0,
),D (,0,
),A 1(1,2,
),
=(,﹣2,﹣
),平面CBB 1C 1的法向量=(0,0,1),
设直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角为θ,
则sin θ=
=
=
.
∴直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值为
.
22.【答案】(1)23小时;(2)14
. 【解析】
试
题解析:(1)设搜救艇追上客轮所需时间为小时,两船在C 处相遇. 在ABC ?中,4575120BAC ∠=+=,10AB =,9AC t =,21BC t =.
由余弦定理得:222
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠, 所以2
2
2
1(21)10(9)2109()2
t t t =+-???-,
化简得2
369100t t --=,解得23t =
或512t =-(舍去). 所以,海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
(2)由2963AC =?=,2
21143
BC =?=.
在ABC ?
中,由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
14AC BAC B BC
?
∠===
=. 所以角B 的正弦值为
14
. 考点:三角形的实际应用.
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用,其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用,注重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中,可先根据题意,画出图形,由搜救艇和渔船的速度,那么可设时间,并用时间表示,AC BC ,再根据正弦定理和余弦定理,即可求解此类问题,其中正确画出图形是解答的关键. 23.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由f (﹣x )=﹣f (x )得 kx 2﹣2x=﹣kx 2
﹣2x ,
∴k=0.
(Ⅱ)∵g (x )=a f (x )﹣1=a 2x ﹣1=(a 2)x
﹣1
①当a 2>1,即a >1时,g (x )=(a 2)x ﹣1在[﹣1,2]上为增函数,∴g (x )最大值为g (2)=a 4﹣1.
②当a 2<1,即0<a <1时,∴g (x )=(a 2)
x 在[﹣1,2]
上为减函数, ∴g (x )最大值为
.
∴
(Ⅲ)由(Ⅱ)得g (x )在x ∈[﹣1,1]上的最大值为
,
∴1≤t 2﹣2mt+1即t 2
﹣2mt ≥0在[﹣1,
1]上恒成立
令h (m )=﹣2mt+t 2
,∴
即 所以t ∈(﹣∞,﹣2]∪{0}∪[2,+∞). 【点评】本题考查函数的奇偶性,考查函数的最值,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,考查学生分
析解决问题的能力,属于中档题.
24.【答案】
【解析】(1)]0,222[-;(2)2.
(1)由1=a 且c b =,得4
)2()(2
22
b b b x b bx x x f -++=++=,
当1=x 时,11)1(≤++=b b f ,得01≤≤-b ,…………3分
故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ,当1≤x 时,2
min max ()()1
24
()(1)11
b b f x f b f x f ?=-=-≥-???=-=≤?
,………… 5分 解得222222+≤≤-b ,综上,实数b 的取值范围为]0,222[-;…………7分
112≤+=,…………13分
且当2a =,0b =,1c =-时,若1≤x ,则112)(2
≤-=x x f 恒成立, 且当0=x 时,2)(2
+-=x x g 取到最大值2.)(x g 的最大值为2.…………15分