包头一中2011年第四次高考模拟考试（理科数学）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．设
q p ,是简单命题，则p 且q 为真是p 或q 为真的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2．函数)0(2)(>=-x x f x 的反函数
=-)(1
x f （ ） (A))0(log 2>-x x (B))0()(log 2<-x x (C))10(log 2
<<-x x (D))01)((log 2<<--x x
3．若复数i bi
212++为实数，则实数=b （ ）
(A)2- (B)4- (C)2 (D)4
4．设奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数且0)1(=f ，则不等式0
)
()(<--x x f x f 的解集为
（ ）
(A)),1()0,1(+∞- (B))1,0()1,( --∞ (C)).1()1,(∞+--∞ (D))1,0()0,1( -
5．若,11
2??
?+≤-≥x y x y 则x y z 32-=的最大值为（ ）
(A)2- (B)1- (C)0 (D)38
6．已知圆的方程为
08622=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为BD AC ,，则四边形ABCD 的面积为（ ）
(A)610 (B)620 (C)630 (D)640
7．设函数
()sin()1(0)
6
f x x π
ωω=+
->的导函数的最大值是3，则函数()f x 的图象的对称轴方程为
（ ）
A ．
()
3
x k k Z π
π=+
∈
B ．
()
3
x k k Z π
π=-
∈
C ．
()39k x k Z ππ
=
+∈
D ．
()39k x k Z ππ
=
-∈
8．已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，则此球的体
积为
（A ）33312cm π （B ）3
33
16cm π （C ）3316cm π （D ）3332cm π
9、登山运动员共10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要分配2人，那么
不同的分组方法种数为
（A ）240 （B ）120 （C ）60 （D ）
30
10、在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝，a 2a 3＝－，则＋＋＋＝
( )
A. B. C ．－ D ．－
11．已知双曲线22
221x y a b -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，2
12PF F F ⊥原点到直线PF 1的距离为11
||
3OF ，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．3
B
C ．2
D
12、函数
22
()cos cos 2x
f x x =-的一个单调增区间是（ ）
A 、2,33ππ?? ???
B 、,62ππ?? ???
C 、0,3π?? ???
D 、,66ππ??
- ?
??
二、填空题（每题5分，共20分）
13、
已知2
(a x -的展开式中3
x 的系数为94，则常数a 的值为 .
14、已知12F F ，为椭圆22
1
259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若
2212
F A F B +=，则
AB =
．
15、若对任意
a x x x
x ≤++>13,
02
恒成立，则a 的取值范围是 。
.16、下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出 //AB 平面MNP 的图形的序号是____________(填出所有正确序号)
三、解答题（17题10分，18-22各12分，共70分）
17、已知△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，其中2=c ，又向量m )cos ,1(C =，n )1,cos (C =，m·n =1． (1)若45A =?，求a 的值；
(2)若4=+b a ，求△ABC 的面积．
18、如图，正三棱柱
111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点。
（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；
19、等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ,且a 1,a 3,a 9成等比数列，S 5=a 52
; (1)求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n
}满足b n
=121
+?++n n
a a n n ,求数列{
b n
}的前99项的和.
20、 某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，有只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。 （Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；
（Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
（Ⅲ）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求的分布列与数学期望。
21、已知椭圆＋＝1(a ＞)的离心率为，双曲线C 与该椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点(0，)为圆心，1为半径的圆相切．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设直线y ＝mx ＋1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线l 经过点M (－2,0)及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．
22、已知函数
2
1()(3)ln .2f x x a x x =
+-+
（Ⅰ）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数a 的最小值；
（Ⅱ）在函数()f x 的图象上是否存在不同两点
1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点的
横坐标为0x ，直线AB 的斜率为k ，有
/
0()k f x =成立？若存在，请求出0x 的值；若不存在，请说明理由．