保密★启用前
2016届山东省青岛市58中高三上学期期中考试试题
数学（文）
一项是符合题目要求的.
1. 已知{}?
?????≥+=??
?
???????-≥-=-≥=114,2)3(log ,121x x
B x x A x x U ，则B A
C U )(= A.φ B.{}1-≥x x C.{}
31<<-x x D.{}3
2. 下列说法正确的是
A ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
B ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件
C ．命题“若2
2bm am <，则b a <”的逆命题是真命题
D ．命题“?x ∈R ，02
>-x x ”的否定是：“?x ∈R ，02
≤-x x ”
3. 三次函数)(x f 当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值0，且函数过原点，则=)(x f A.x x x y 962
3
++= B.x x x y 962
3
+-= C.x x x y 962
3
--= D.x x x y 962
3
-+=
4. 设a b 、为两条不同的直线，αβ、为两个不同的平面．下列命题中，正确的是 A ．若a b 、与α所成的角相等，则//a b B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥ C ．若a α⊥，//a β，则αβ⊥ D ．若//a α，//b β，则//a b
5. 函数()s i n ()(0,0,0f x A x A ω?ω?π=+>><<的图象如图所示，为了得到
()sin g x A x ω=的图象，可以将()f x 的图象
A ．向右平移
12π个单位长度 B ．向右平移6π
个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移6
π
个单位长度
6. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，
且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形， 俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧视图的面积为 A.4 B.23 C.22
D.
3
7. 已知等差数列{}n a 中，4
7π
=a ，则)tan(876a a a ++等于 A.3
3
-
B.2-
C.1-
D.1 8. 已知a 、b 都是正实数，函数b ae y x
+=2的图象过（0，1）点,则b
a 1
1+的最小值是 A.223+
B.223-
C.4
D.2
9. 如图所示，在ΔABC 中，2,5,3===AC BC AB .若O 是ΔABC 的外心，则
=?
A.2-
B.21-
C.2
1
D.1
10. 已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且对任意的]0,(,21-∞∈x x ，都使
0)]()()[(1212<--x f x f x x 成立，则当)(cos )(sin x f x f >时，x 的取值范围
A.Z k k k ∈+
-
),4
2,42(π
ππ
π B.Z k k k ∈+-
),4,4(π
πππ
C.Z k k k ∈+
+),4
32,42(π
πππ D.Z k k k ∈++),43,4(ππππ 第Ⅱ卷（非选择题
共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数1ln
)(-=x x
x f 的定义域是 12. 已知5
3
)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为
13. 已知向量a =(2，1)，b =(0，1)，c =(2，3)，若λ∈R 且(a +λb )∥c
，
则λ=
14.若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++???
????，则=n a ___________
15. ()f x '为定义在R 上的函数()f x 的导函数，
而
)
(3
x f y '=的图象如图所示，
则()y f x =的单调递增区间是____ ．
三、解答题：本大题6小题，共7516．（本题满分12分） 已知)cos 3,
(cos ),cos ,(sin x x x x =-=，函数
2
（1）求)(x f 的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标 （2）当2
0π
≤≤x 时，求函数)(x f 的值域
17．（本题满分12分）
设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边长分别为c b a ,,,且4sin ,3cos ==A b B a （1）求边长a
（2）若ΔABC 的面积10=S ，求ΔABC 的周长L
18．（本题满分12分）
已知公比为q 的等比数列{n a }是递减数列，且满足27
1,913321321==++a a a a a a （1）求数列{
n
a }的通项公式；
（2）求数列{}n a n ?-)12(的前n 项和n T
19．（本题满分12分）
如图所示，ΔABC 和ΔBCD 所在平面互相垂直，且2===BD BC AB ，
x
0120=∠=∠DBC ABC ，E,F,G 分别为AC ，DC ，AD 的中点
(1)求证：BCG EF 平面⊥ (2)求三棱锥D-BCG 的体积 （锥体体积Sh V 3
1
=
，S 为底面面积，h 为高）
20. （本题满分13分） 数列 {}n a 中 11
2
a =，前n 项和 22(1),.n n S n a n n n N *=--∈． (1)证明数列 1n n S n +??
?
???
是等差数列； (2)设 2
1
(21)
n n b S n n =
-，数列 {}n b 的前 n 项和为 n T ，求：n T
21.（本题满分14分） 已知函数x a x a x x f )5(4)1(2131)(23+-+-=，52
1
ln 5)(2+-+=x ax x x g ， 其中R a ∈
(1)若函数)(),(x g x f 有相同的极值点，求a 的值
(2)若存在两个整数n m ,，使得函数)(),(x g x f 在区间),(n m 上都是减函数。求n 的最大值。
保密★启用前
2015—2016学年第一学期期中模块测试
25
7?????∈≥+==*
,2,21
,6N n n n
n n a n 高三数学（文科）参考答案
一、选择题
（1-5） D D B C B （6-10）B C A C D 二、填空题
13.2
11. ),1()0,(+∞-∞ 12.
14. 15.]3,(-∞ 三、解答题
16.解：（1）)3
2sin()(π
-=x x f ,最小正周期是π，对称中心是)0,6
2
(π
π+k
Z k ∈
（2）]1,2
3[-
17.解：（1）两式相除，得34tan =
B ，又0cos >B ，5
3
cos =∴B ，5=∴a （2）由B ac S sin 21=，得5=c ，又由ac
b c a B 2cos 2
22-+=得52=b
5210+=∴l
18.
11
()3
n n a -∴=
2
1
31=
==--h S V V DBC BCD G BCG
D
19.
证明：
（1）由条件可证ΔABC ?ΔDBC,CD CA =∴ 又G 是AD 的中点，AD CG ⊥∴
AD BG BC BA ⊥∴=, 又
BG 和CG 是平面BCG 的两条相交直线
BCG AD 面⊥∴
又AD EF //
BCG EF 面⊥∴
（2）做辅助线：在面ABC 内，作CB AO ⊥，交CB 延长线于点O
由面面垂直，可以得到BDC AO 面⊥，因为G 是AD 的中点，所以G 到面BCD 的距离h 等于AO 的一半
20. 、、、
1
n n =+ 21.解：（1）)(x g 的定义域是),0(+∞，由题设知，0)(0)(='='x g x f 和有相同的正根，
0)]5()[4()(=+-+='a x x x f ，得到的正根只能是5+a 。（隐含5->a ）
代入到0)(='x g 得 0)6)(4(=++a a a
40-==∴a a 或
（2）x
x ax x g 5)(2+-=' ，设5)(2+-=x ax x h
区间),(n m 即为???<+-=<+-+='0
5)(0
)]5()[4()(2
x ax x h a x x x f 的解集（注意其中x>0，以下不再赘述） 首先0)]5()[4()(<+-+='a x x x f 的解集是)5,0(+a （隐含05>+a ）
对0)(
1
0<=
a x 又520
15+<+a 10< )5,0(+∴a 对称轴落在区间的右侧，
又0]1)5[(5)5()5()5(2
2
>-+=++-+=+a a a a a a h ，05)0(>=h 故在)5,0(+a 内，恒有0)(>x h ，不合题意。该情况舍去
③当,05<<-a 结合)(x h 的图象：开口向下，对称轴021
<=
a
x ，又5)0(=h 所以要使条件成立，必须0)5(<+a h ，得04<<-a ，551<+<∴a 又n 是整数 n ∴的最大值为4