高等数学基础复习资料
复习资料一
一、单项选择题
1.设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，
，则函数)(x f +)(x f - 的图形关于（C ）对称。 A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 2.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量。 A ．
x 1 B . x
x sin C . x
2 D . )1ln(+x 3．下列等式中正确的是（B ）． A ．xdx x d arctan )11(
2=+ B . 2
)1(x
dx x d -= C . dx d x
x 2)2ln 2(= D . xdx x d cot )(tan = 4．下列等式成立的是（A ）． A ．
)()(x f dx x f dx d
=?
B . )()(x f dx x f ='?
C . )()(x f dx x f d =?
D . )()(x f x df =?
5．下列无穷积分收敛的是（C ）． A ．
?
+∞
1
1dx x
B .
?
+∞
1
1
dx x
C . ?
+∞
1
3
4
1dx x
D .
?
+∞
1
sin xdx
二、填空题 1．函数2
4
)(2--=
x x x f 的定义域是22>-≤x x 或．
2．函数12
++=
x x y 的间断点是1-=x ． 3．曲线x
x f 1)(=
在点（1，1）处的切线的斜率是2
1-
=k ． 4．函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是[)∞+，0． 5．?
-dx e
d x 2
=dx e x 2
-．
三、计算题
1．计算极限4
586lim 224+-+-→x x x x x ．
解：原式=)4)(1()
4)(2(lim
4----→x x x x x =12lim 4--→x x x =3
2． 2．设x x x y ln tan 2
+=，求y '．
解：x
x x x x y 1ln 2sec 2
2?++='=x x x x ++ln 2sec 2
3．设x x y 35ln +=，求y '．
解：)(ln ln 352
4
'?+='x x x y =x
x
x 24
ln 35+
4．设52cos x x y -=，求dy ．
解：45)sin (cos 2x x x y --='=4
52sin x x --
dx y dy '==dx x x )52sin (4--
5．设53cos x x y -=，求dy ．
解：4
25)sin (cos 3x x x y --='=4
2
5sin cos 3x x x --
dx y dy '==dx x x x )5sin cos 3(42--
6.设x x e y 3sin +=，求dy 解：3ln 3)(sin sin x x
x e
y +'?='=3ln 3cos sin x x x e +
dx y dy '==dx x e x x
)3ln 3cos (sin +
7．设2cos ln x y =，求dy ． 解：)(cos cos 122'=
'x x y =x x x
2)sin (cos 122
?-=2
tan 2x x -． 8．设)(x y y =是由方程y
x
y x 2sin 2
=
确定的函数，求y '． 解：方程两边同时对x 求导得：2
2
22cos sin 2y
y x y y y x y x '
-=
'+ 移项合并同类项得：y xy y y x y y x sin 22)2cos (2
22-='+
再移项得：x
y y x y
xy y y 2cos sin 22222+-='
9．计算不定积分
?
dx x
x cos ．
解：原式=?
x d x cos 2=C x +sin 2
10．计算定积分
?
e
xdx x 1
ln ．
解：原式=?-e x d x e x x 122)(ln 21ln 2=?-e xdx e 12212=141222e x e -=414
1222+-e e =41
42+e
11．计算定积分
?
2
sin π
xdx x ．
解：原式=?
--
-20
)cos (0
2cos π
π
dx x x x =0
2sin )00(π
x +-=1
四、应用题
1．求曲线x y =2上的点，使其到点)03(，
A 的距离最短． 解：设曲线x y =2
上的点)(y x ，到点)03(，A 的距离为d ，则 22)3(y x d +-==x x +-2)3(=952+-x x
求导得：9
52522
+--=
'x x x d
令0='d 得驻点25=
x ，将25=x 带入x y =2中得2
10
±=y ，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线x y =2
上的点)21025(，
和点)2
10
25(-，到点)03(，
A 的距离最短． 五、证明题
当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证明：设)1ln(x x y +-= ∵ 0=x 时，0=y 求导得：x y +-
='111=x
x +1 当0>x ，0>'y 即)1ln(x x y +-=为增函数
∴ 当0>x 时，0)1ln(>+-=x x y 即 )1
l n (x x +>成立 复习资料二
一、单项选择题
1．设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，
，则函数)(x f -)(x f - 的图形关于（D ）对称． A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 2．当0→x 时，变量（C ）是无穷小量。
A ．
x 1 B . x x sin C . 1-x e D . 2x
x 3．设x e x f =)(，则x
f x f x ?-?+→?)
1()1(lim 0=（B ）．
A ．e 2
B . e
C . e 41
D . e 2
1
4．=?dx x xf dx
d
)(2（A ）． A ．)(2x xf B . dx x f )(21 C . )(2
1
x f D . dx x xf )(2 5．下列无穷积分收敛的是（B ）． A ．
?
+∞
dx e x B .
?
+∞
-0
dx e x C .
?
+∞
1
1
dx x
D . ?
+∞
1
1dx x
二、填空题
1．函数)
1ln(92
--=x x y 的定义域是231≠≤ 2．函数?? ?≤>-=0 sin 0 1x x x x y ，，的间断点是0=x ． 3．曲线1)(+=x x f 在点（1,2）处的切线斜率是2 1= k ． 4．曲线x x f =)(在点1=x 处的切线斜率是2 1= k ． 5．函数1)1(2 ++=x y 的单调减少区间是(]1-∞-，． 6．? 'dx x )(sin =C x +sin ． 三、计算题 1．计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→． 解：原式=5 655sin 66sin lim 0?→x x x x x =5655sin lim 66sin lim 00?→→x x x x x x =56 2．计算极限x x x 5sin 2sin lim 0→． 解：原式=5 255sin 22sin lim 0?→x x x x x =5255sin lim 22sin lim 00?→→x x x x x x =52 3．计算极限x x x 3sin 5sin lim 0→． 解：原式=3 533sin 55sin lim 0?→x x x x x =3533sin lim 55sin lim 00?→→x x x x x x =35 4．计算极限x x x 2sin 3sin lim 0→． 解：原式=2 322sin 33sin lim 0?→x x x x x =2322sin lim 33sin lim 00?→→x x x x x x =23 5．设2 2sin x x y x +=，求y '． 解：y '=422)2(sin )2ln 2(cos x x x x x x x ?+-+=3 1 2sin 22ln 2cos x x x x x x x ++-+ 6．设x e y 2sin =，求y '． 解：)(sin sin 2'?='x x e e y =x x x e e e ??cos sin 2=x x e e 2sin 7．设)(x y y =是由方程y e x y =cos 确定的函数，求dy ． 解：方程两边同时对x 求导得：y e x y x y y '=-'sin cos 移项合并同类项得：x y y e x y sin )(cos ='- 再移项得：y e x x y y -= 'cos sin 所以 dy =dx y '=dx e x x y y -cos sin 8．计算不定积分? xdx x 3cos ． 解：设x u =，xdx dv 3cos =，则dx du =，x v 3sin 3 1 =，所以由分部积分法得 原式= ?-xdx x x 3sin 313sin 31=C x x x ++3cos 9 1 3sin 31 9．计算定积分?+e dx x x 1ln 2． 解：原式=?++e x d x 1)ln 2()ln 2(=1)ln 2(2 12e x +=2429-=25 四、应用题 1．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：假设圆柱体的底半径为x ，体积为V ，则高为22x l -，所以圆柱体的体积为 Sh V 31= =2223 1 x l x -π 求导得： V '= 22222223132x l x x x l x --?+-ππ=)32(3322 2x x l x l --π 令V '=0得驻点l x 3 6 = （0>x ） 又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为l 36和l 3 3时，圆柱体的体积最大． 五、证明题 当0>x 时，证明不等式x x arctan >． 证明：设x x y arctan -= ∵ 0=x 时，0=y 求导得：2111x y +-='=2 2 1x x + 当0>x ，0>'y 即x x y arctan -=为增函数 ∴ 当0>x 时，0arctan >-=x x y 即 x x a r c t a n >成立 复习资料三 一、单项选择题 1．下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f = ，x x g =)( C ．3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D ．2 ln )(x x f =，x x g ln 2)(= 2．当0→x 时，下列变量中（A ）是无穷小量． A ．)1ln(2 +x B ．x x sin C ．x 1 sin D ．x e 1 3．当0→x 时，下列变量中（A ）是无穷小量． A ．)1ln(2 +x B ． x x sin C ．x 1sin D ．x e 4．当+ →0x 时，下列变量中（A ）是无穷小量． A ．)1ln(2 +x B ．x x sin C ．x 1 sin D ．x e 1 5．函数622+-=x x y 在区间（2，5）内满足（D ）． A ．先单调下降再单调上升 B ．单调下降 C ．先单调上升再单调下降 D ．单调上升 6．若)(x f 的一个原函数是x 1 ，则)(x f '=（B ）． A ．21x - B ．32x C ．x 1 D ．x ln 7．若)(x f 的一个原函数是x 1 ，则)(x f =（A ）． A ．21x - B ．32x C ．x 1 D ．x ln 8．下列无穷积分收敛的是（D ）． A ． ? +∞ sin xdx B ．? +∞ 1 1 dx x C ．?+∞11dx x D ．?+∞-02dx e x 二、填空题 1．若函数???>≤+=0 20 1)(2x x x x f x ， ，，则=)0(f 1 ． 2．函数?????=≠=00 2sin )(x k x x x x f ， ，，在0=x 处连续，则=k 2 ． 2．函数?????=≠--=1 111)(2x a x x x x f ， ，，在)0(∞+，内连续，则=a 2 ． 3．曲线2)(+= x x f 在点（2，2）处的切线斜率是4 1 = k ． 4．函数1)1(2 ++=x y 的单调增加区间是[)∞+-，1． 5． =?dx x dx d 2sin 2sin x ． 三、计算题 1．计算极限) 3sin(9 lim 23--→x x x ． 解:原式=)3sin()3)(3(lim 3--+→x x x x =)3(lim )3sin(3 lim 3 3+?--→→x x x x x =)33(1+?=6 2．设x x e y x ln tan -=，求y '． 解：x x e x e y x x 1sec tan 2 -+=' 2’ ．设2sin x x y -=，求y '． 解：2cos 221 x x x y -= ' 3．设x y 2cos ln =，求y '． 解：y '= )sin (cos 2cos 12x x x -??=x x 2 cos 2sin - 4．设)(x y y =是由方程3y e e x y +=确定的函数，求dy ． 解：方程两边同时对x 求导得：y y e y e x y '+='23 移项合并同类项得：x y e y y e ='-)3(2 再移项得：2 3y e e y y x -=' 所以 dy =dx y '=dx y e e y x 2 3- 5．计算不定积分?dx x x ln 1 ． 解： 原式= ?x d x ln ln 1 =C x +)ln(ln 6．计算定积分?e dx x x 12 ln ． 解：利用分部积分法得 原式=?--- e dx x e x x 1211ln =1 11e x e - -=)11(1---e e =e 21- 四、应用题 1．在抛物线x y 42 =上求一点，使其与x 轴上的点)03(，A 的距离最短． 解：设曲线x y 42 =上的点)(y x ，到点)03(，A 的距离为d ，则 22)3(y x d +-==x x 4)3(2+-=922+-x x 求导得：9 22222 +--= 'x x x d = 9 212 +--x x x 令0='d 得驻点1=x ，将1=x 带入x y 42=中得 2±=y ，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲 线x y 42=上的点)21(，和点)21(-，到点)03(，A 的距离最短． 五、证明题 1．证明：若)(x f 在][a a ，-上可积并为奇函数，则 ? -a a dx x f )(=0． 证明：∵ )(x f 在][a a ，-上可积并为奇函数，即有)()(x f x f -=- ∴ ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 0)()()( 设t x -=，则dt dx -=，当a x -=时，a t =；0=x 时，0=t ，则上式中的右边第一式计算得： ? -0 )(a dx x f =?--0)(a dt t f =?0)(a dt t f =?-a dt t f 0 )(=?-a dx x f 0 )( 代回上式中得 0)(=? -a a dx x f ，证毕． 复习资料四 一、单项选择题 1．函数2 x x e e y -=-的图形关于（A ）对称． A . 坐标原点 B .x 轴 C .y 轴 D . x y = 1．函数2 x x e e y -+=的图形关于（C ）对称． A . x y = B .x 轴 C .y 轴 D . 坐标原点 2．在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． A . )(1sin ∞→x x x B .)0(1 sin →x x C .)0)(1ln(→+x x D . )(1 ∞→x e x 3．设)(x f 在0x 处可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （C ）． A . )(0x f ' B . )(20x f ' C . )(0x f '- D . )(20x f '- 4．若 ?dx x f )(=C x F +)(，则? dx x f x )(ln 1 =（B ）． A . )(ln x F B . C x F +)(ln C . C x F x +)(ln 1 D . C x F +)1 ( 5．下列积分计算正确的是（D ）． A . 0sin 11 =?-xdx x B . 10 2 =?--dx e x C . π=?-02 2sin xdx D . 0cos 1 1 =?-xdx x 6．下列积分计算正确的是（D ）． A . 0sin 1 1 =? -xdx x B . 10 =? ∞ --dx e x C . π=? ∞ -0 2sin xdx D . 0cos 1 1 2=? -xdx x 二、填空题 1．函数2 4)1ln(x x y -+= 的定义域是21<<-x ． 2．函数2 41x y -=的定义域是22<<-x ． 3．若函数??? ??≥+<+=0 0) 1()(21 x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ． 4. 若函数??? ??≥+<+=0 0) 1()(31x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ． 5．曲线1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是3=k ． 6．函数x y arctan =的单调增加区间是)(∞+-∞， ． 7．若C sin d )(+=?x x x f ，则=')(x f x sin -． 8. 若C cos d )(+=?x x x f ，则=)(x f x sin -． 9．若 C sin d )(+=?x x x f ，则=)(x f x cos ． 三、计算题 1．计算极限1 ) 1sin(lim 21-+-→x x x ． 解：原式=)1)(1() 1sin(lim 1-++-→x x x x ＝2 1- 2．设x e x y cos ln +=，求y '． 解：x x e e x y sin 1 -= ' 3．计算不定积分 ?x x e x d 21． 解：原式=?+-=-C e x d e x x 1 1)1 ( 4．计算定积分 ? e 1 d ln x x ． 解：由分部积分法得 原式=? -e x xd e x x 1 )(ln 1 ln ?-=e dx e 1=1 e x e -==1 四、应用题 1．某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R ，则高为2 R V π，容器的表面积为S ，所以 2 222R V R R S πππ+==R V R 222 +π 求导得：S '=224R V R -π=2 3) 2(2R V R -π 令S '=0得驻点：3 2π V R = 由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为32πV 和322π V 时用料最省。 复习资料五 一、单项选择题 1．下列函数中为奇函数的是（C ）． A . x x y sin = B .x y ln = C .x x y cos = D . 2 x x y += 2．在下列指定的变化过程中，（A ）是无穷小量． A . )0(1 sin →x x x B .)(-∞→-x e x C .)0(ln +→x x D . )(sin ∞→x x 3．在下列指定的变化过程中，（A ）是无穷小量． A . )0(1 sin →x x x B .)(-∞→-x e x C .)0(ln →x x D . )(sin ∞→x x 4．设)(x f 在0x 处可导，则=--→h x f h x f h ) ()2(lim 000（D ）． A . )(0x f ' B . )(20x f ' C . )(0x f '- D . )(20x f '- 5．下列等式成立的是（A ）． A ． )()(x f dx x f dx d =? B . )()(x f dx x f ='? C . )()(x f dx x f d =? D . )()(x f x df =? 6．=?dx x xf dx d )(（C ）． A ．)(21x f B . dx x f )(2 1 C . )(x xf D . dx x xf )( 7．下列积分计算正确的是（B ）． A . 0)(1 1 =+? --dx e e x x B . 0)(1 1 =-? --dx e e x x C . 01 1 2=? -dx x D . 01 1 =? -dx x 二、填空题 1．函数x x y ++-= 1) 3ln(1 的定义域是231≠<≤-x x 且． 2．函数????? ≥+<=0 10 1sin 2x x x x x y ，，的间断点是0=x ． 3．曲线1)(+=x e x f 在)2,0(处的切线斜率是1=k ． 4．函数2 x e y -=的单调减少区间是[)∞+，0． 5．若 x 1是)(x f 的一个原函数，则=')(x f 32x ． 6．若 x 1是)(x f 的一个原函数，则=)(x f 21x -． 三、计算题 1．计算极限) 1sin(32lim 21+---→x x x x ． 解：原式=)1sin()1)(3(lim 1++--→x x x x =)3(lim )1sin(1 lim 1 1-?++-→-→x x x x x =)31(1--?=4- 1．计算极限4 53 2lim 221+--+→x x x x x 。 解：原式=)1)(4() 1)(3(lim 1---+→x x x x x =43lim 1-+→x x x =4131-+=3 4- 2．设2sin x e y x -=，求y '． 解：x x e y x 2cos sin -=' 3．设3sin x e y x +=，求dy ． 解：2sin 3cos x x e y x +=' ='=dx y dy dx x x e x )3cos (2sin + 4．设2sin x e y x +=，求dy ． 解：x x e y x 2cos sin +=' ='=dx y dy dx x x e x )2cos (sin + 5．设2sin x x y -=，求y '． 解：2cos 221x x x y -= ' 6．计算不定积分 ? dx x x 21 sin ． 解：原式=?-x d x 11sin =C x +1 cos 7．计算定积分 ? e xdx x 1 2ln ． 解：由分部积分法得： 原式=?-e dx x e x x 123311ln 31=1 91333e x e -= 91 23+e 四、计算题 1．欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：假设长方体的底面边长为a ，高为2 32 a h = ，长方体的表面积为S ，则 ah a S 42 +==a a 128 2 + 求导得：2128 2a a S - =' 令0='S 得驻点：4=a (m ) 此时高为232 a h ==4m 所以，当长方体开口容器的底面边长为4m ，高为2m 时用料最省。 1．欲做一个底为正方形，容积为32cm 3 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：假设长方体的底面边长为a ，高为2 32 a h = ，长方体的表面积为S ，则 ah a S 42 +==a a 128 2 + 求导得：2128 2a a S - =' 令0='S 得驻点：4=a (cm )． 此时高为232 a h ==2cm 所以，当长方体开口容器的底面边长为4cm ，高为2cm 时用料最省。 1’．欲做一个底为正方形，容积为62.5cm 3 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：假设长方体的底面边长为a ，高为25 .62a h = ，长方体的表面积为S ，则 ah a S 42 +==a a 250 2 + 求导得：2 250 2a a S - =' 令0='S 得驻点：5=a (cm )． 所以，当长方体开口容器的底面边长为5cm ，高为2.5cm 时用料最省。 复习资料六 一、单项选择题 1．下列函数中为偶函数的是（D ）． A . x x y sin )1(+= B .x x y 2= C .x x y cos = D . )1ln(2x y += 2．下列极限中计算不正确的是（B ）． A . 1lim 0=→x x e B . 01sin lim =∞→x x x C . 11 lim 2 2 =-∞→x x x D . 0sin lim =∞→x x 3．函数62--=x x y 在区间（-5,5）内满足（A ）． A ．先单调下降再单调上升 B ．单调下降 C ．先单调上升再单调下降 D ．单调上升 4．若函数x x f sin )(=，则 ?='dx x f )(（A ） ． A . C x +sin B .C x +cos C .C x +-sin D . C x +-cos 5． ?-22 sin π πdx x =（D ） ． A . 0 B .π C .1 D . 2 5’． ? - 2 2 2sin π π xdx x =（A ） ． A . 0 B .π C .1 D . 2 二、填空题 1．若函数???>≤+=0 2)(2x e x x x f x ，则=)0(f 2 1’．若函数???>+≤-=0 10 3)(2x e x x x f x ，则=)0(f -3 ． 2．函数33 22---=x x x y 的间断点是3=x ． 3．曲线x x f sin )(=在)12 (， π 处的切线斜率是0=k ． 4．函数1)(2-=x x f 的单调减少区间是(]0，∞-． 5．若 C x dx x f +=?2cos )(，则=)(x f x 2sin 2-． 三、计算题 1．计算极限x x x 2sin lim 0→． 解：原式=2122sin lim 0?→x x x =2 1 2．设2 x xe y =，求y '． 解：x xe e y x x 22 2 ?+='=2 2 22x x e x e + 3．计算不定积分 ? dx x e x ． 解：原式=? x d e x 2=C e x +2 4．计算定积分 ? 1 dx xe x ． 解：由分部积分法得： 原式=?-1001dx e xe x x =0 1x e e -=1)1(=--e e 四、应用题 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R ，则高为2 R V π，容器的表面积为S ，所以 2 222R V R R S πππ+==R V R 222 +π 求导得：S '=224R V R -π=2 3) 2(2R V R -π 令S '=0得驻点：3 2π V R = 由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为32πV 和322π V 时用料最省。 复习资料七 一、单项选择题 1．设函数)(x f 的定义域为()∞+∞-，，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 2．函数?????=≠=0 5sin )(x k x x x x f ， ，在0=x 处连续，则=k （）． A .1 B .5 C .5 1 D .0 3．下列等式中正确的是（C ）． A . dx x x d 1)1(2-= B . dx x x d 2)1 (= C .dx d x x 2)2ln 2( = D . xdx x d cot )(tan = 4．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是（A ）． A . )()()(a F x F dx x f x a -=? B . )()()(a f b f dx x F b a -=? C . )()(x F x f =' D . )()()(a F b F dx x f b a -='? 5．下列无穷限积分收敛的是（D ）． A . ? +∞ 1 1dx x B . ? +∞ 1 1 dx x C . ?+∞ dx e x D . ? +∞ 1 21dx x 6．下列无穷限积分收敛的是（D ）． A . ? +∞ 1 sin xdx B . ?+∞ 1 2 1 dx x C . ? +∞ 2dx e x D . ? +∞ 1 1dx x 7．下列无穷限积分收敛的是（D ）． A . ?+∞ 1 sin xdx B . ? +∞ 1 2 1 dx x C . ? +∞ 2dx e x D . ? +∞ 1 1dx x 8．下列无穷限积分收敛的是（D ）． A . ? +∞ sin xdx B . ? +∞ 1 1 dx x C . ? +∞ 1dx x D . ? +∞ 1 3 1dx x 二、填空题 1．函数x x x f --= 5)3ln()(的定义域是53< 2．已知x x x f sin 1)(- =，当0→x 时，)(x f 为无穷小量． 3．曲线x x f sin )(=在(π，0)处的切线斜率是1-=k ． 4．函数2)2(2 +-=x y 的单调减少区间是(]2， ∞-． 5．?-+1 12 3 1 dx x x = 0 ． 三、计算题 1．计算极限x x x 4sin 8tan lim 0→ 解：原式=x x x x x x 8cos 4844sin 88sin lim 0?→=x x x x x x x x 8cos 48lim 44sin lim 88sin lim 000→→→?=4811?=2 2．设2sin sin x e y x +=，求y '． 解：2sin cos 2cos x x x e y x +=' 3．计算不定积分 dx x x ? sin ． 解：原式=x d x ? sin 2=C x +-cos 2 4．计算定积分 ? e xdx x 1 ln ． 解：由分部积分法得： 原式=?-e dx x e x x 121 2 3 321ln 32=194322323e x e -=)9494(3 2 2 323--e e =9422 3-e 4’．计算定积分 ? e dx x x 1 ln ． 解：由分部积分法得： 原式=?--e dx x e x x 1212 1 21ln 2=1 4221 21e x e -=)44(22121--e e =e 24- 四、计算题 1．求曲线2 x y =上的点，使其到点A （0，2）的距离最短． 解：设曲线2x y =上的点)(y x ，到点A （0，2）的距离为d ，则 22)2(-+= y x d =2)2(-+y y =432+-y y 求导得：4 32322 +--= 'y y y d 令0='d 得驻点23=y ，将2 3=y 代入2 x y =中得26±=x ，由实际问题可知该问题存在最大值，所 以曲线2x y =上的点)2 3 26( ，和点)2326(，- 到点A （0，2）的距离最短． 复习资料八 一、单项选择题 1．设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞， ，则函数)(x f -)(x f - 的图形关于（D ）对称． A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 2．当0→x 时，下列变量中（C ）是无穷大量． A ． x x 21+ B . x C . 001 .0x D . x -2 3．设)(x f 在点1=x 处可导，则=--→h f h f h ) 1()1(lim 0（B ）． A . )1(2f ' B . )1(f '- C . )1(f ' D . )1(2f '- 4．函数362--=x x y 在区间（2，4）内满足（A ）． A ．先单调下降再单调上升 B ．单调上升 C ．先单调上升再单调下降 D ．单调下降 5． ? - +-2 2 3)13cos (π π dx x x x =（B ） ． A . 0 B . π C . 2π D . 2 π 二、填空题 1．函数x x x f --= 6)2ln()(的定义域是62< 2．函数1 ()ln(2) f x x = +-342≠≤ 2．函数?? ?≤>-=0 sin 0 1)(x x x x x f ，，的间断点是0=x ． 3．函数x e y -=2的单调减少区间是)(∞+-∞， ． 4．函数542 -+=x x y 的驻点是2-=x ． 4．函数2 )1(-=x y 的驻点是1=x ． 5．无穷积分? +∞ 1 1 dx x p ，当p >1 时是收敛的． 三、计算题 1．计算极限2 3) 1sin(lim 21 +--→x x x x ． 解：原式=)2)(1() 1sin(lim 1---→x x x x =21lim 1 )1sin(lim 11-?--→→x x x x x =1)1(1-=-? 2．设x e y x sin 2 =，求y '． 解：y '=)(sin sin )(2 2 '+'x e x e x x =x e x xe x x cos sin 22 2 + 3.计算不定积分 ? dx x x 2 1 cos ． 解：原式=? -x d x 11cos =C x +-1 sin 4．计算定积分 ?e xdx 1 ln ． 解：原式=?-e dx e x x 11ln =1 e x e -=)1(--e e =1 复习资料九 一、单项选择题 1．下列各函数中，（B ）中的两个函数相等． A . x x g x x f ln 2)(ln )(2 ==， B . x x g x x f ln 5)(ln )(5 ==， C . x x g x x f ==)()()(2， D . x x g x x f ==)()(2， 2．当0→x 时，变量（C ）是无穷大量． A ． x x sin B . x 1 C . 13-x D . )2ln(+x 3．设)(x f 在点0=x 处可导，则=-→h f h f h ) 0()2(lim 0（A ）． A . )0(2f ' B . )0(21f ' C . )0(2f '- D . )0(2 1 f '- 5．下列无穷限积分收敛的是（C ）． A . ? +∞ cos xdx B . ? +∞ 1 1 dx x C . ? +∞ 1 3 1dx x D . ? +∞ dx e x 二、填空题 1．若22)1(2 +-=-x x x f ，则)(x f =12 +x ． 2．函数x x f 2 11 )(-= 的间断点是0=x ． 3．已知2 sin )(x x f =，则])(['πf = 0 ． 4．函数2)1(2--=x y 的单调减少区间是[)∞+，1． 5．? -dx e d x 2 =dx e x 2 -． 三、计算题 1．计算极限9 6lim 223---→x x x x ． 解：原式=)3)(3() 2)(3(lim 3-++-→x x x x x =32lim 3++→x x x =3323++=6 5 2．设x e y x ln cos -=，求dy ． 解：x e e y x x 1sin - ?-='=x e e x x 1sin -- 则 dy =dx y '=dx x e e x x )1sin (-- 3．计算不定积分 ? dx x e x ． 解：原式=? x d e x 2=C e x +2 4．计算定积分 ? 1 3dx xe x ． 解：设x u =，dx e dv x 3=，则dx du =，x e v 33 1= ，所以由分部积分法得 原式=?-1033310131dx e xe x x =019 10333x e e --=)9191(333 --e e =9213e - 四、应用题 1．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：假设圆柱体的底半径为x ，体积为V ，则高为22x l -，所以圆柱体的体积为 Sh V 31= =2223 1 x l x -π 求导得： V '= 22222223132x l x x x l x --?+-ππ=)32(3322 2x x l x l --π 令V '=0得驻点l x 3 6 = （0>x ） 【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数 2332高等数学基础习题 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.函数2 e e x x y -=-的图形关于（A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴(C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1 sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x (C) )0() 1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x 3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （C ） ． (A) )(0x f ' (B) )(20x f '(C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 4.若 ?+=c x F x x f )(d )(，则? =x x f x d )(ln 1 （B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x F +)1 ( 5.下列积分计算正确的是（D ）． (A) 0d sin 1 1 =? -x x x (B) 1d e 0 =? ∞ --x x (C) πd 2sin 0 =? ∞ -x x (D) 0d cos 1 1 =? -x x x 6.函数2 22x x y +=-的图形关于（B ）对称． (A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y = 7.在下列指定的变化过程中，（A ）是无穷小量． (A) )0(1 sin →x x x (B) )(1sin ∞→x x x (C) )0(ln →x x (D) )(e ∞→x x 8.下列等式中正确的是（B ）． (A) x x x d ln )1 (d =(B) x x x d )(ln d = (C) x x x d 3)3(d =(D) x x x d )(d = 9.若 ?+=c x F x x f )(d )(，则? =x x f x d )(1（C ）． (A) )(x F (B) c x F +)( (C) c x F +)(2 (D) )(2x F 10.下列无穷限积分收敛的是（D ）． (A) ? +∞ 1 d 1 x x (B) ?+∞0d e x x (C) ?+∞1d 1x x (D) ?+∞12d 1x x 高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2 )(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -= -的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A ()1sin 0x x → B ()()ln 10x x +→ C ()1 x e x →∞ D.()22 24 x x x -→- 3-1设)(x f 在点x=1处可导，则=--→h f h f h ) 1()21(lim 0（ D ）． A. )1(f ' B. )1(f '- C. )1(2f ' D. )1(2f '- 设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h ) ()2(lim 000（ D ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '- 高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）； 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A 高等数学基础形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订） 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - +→→= 《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D). 6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则=(B). 9.函数在区间(2,4)内满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量. 13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量. 18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)内满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 核准通过，归档资 料。 未经允许，请勿外 传！ 高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 1-⒉设函数错误！未找到引用源。的定义域为错误！未找到引用源。，则函数错误！未找到引用源。的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. 错误！未找到引用源。轴 C. 错误！未找到引用源。轴 D. 错误！未找到引用源。设函数错误！未找到引用源。的定义域为错误！未找到引用源。，则函数错误！未找到引用源。的图形关于（D ）对称． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。轴 C. 错误！未找到引用源。轴 D. 坐标原点 .函数错误！未找到引用源。的图形关于（A ）对称． (A) 坐标原点(B) 错误！未找到引用源。轴(C) 错误！未找到引用源。轴(D) 错误！未找到引 用源。 1-⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 下列函数中为奇函数是（A ）． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 D 错误！未找 到引用源。 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 2-2当错误！未找到引用源。时，变量（ C ）是无穷小量． A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 当错误！未找到引用源。时，变量（ C ）是无穷小量．A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 D 错误！未找到引用源。 .当错误！未找到引用源。时，变量（D ）是无穷小量．A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错 误！未找到引用源。 D 错误！未找到引用源。 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。C错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 高高等数学基本知识点 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。 【高等数学基础】形考作业1参考答案 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称; 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = 高等数学基础作业 作业1 一、CCBC DCA 二、1、（3， +∞) ，2、 x 2 - x ，3、 e 1/ 2 ，4、 e ， 5、 x=0 ，6、 无穷小量 。 三、 1、f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e 2、由 01 2>-x x 解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞) 3、如图梯形面积A=(R+b)h ，其中22h R b -= ∴ 4、 5、 6、 7、 8、 h h R R A )(2 2-+=2 3 22sin 2 33sin 3 lim 2sin 3sin lim 00==→→x x x x x x x x 2)1() 1sin(1lim )1sin(1lim 12 1-=-++=+--→-→x x x x x x x 33cos 33sin 3lim 3tan lim 00==→→x x x x x x x x x x x x x x x sin )11()11)(11(lim sin 11lim 222020++-+++=-+→→0 sin 11lim sin )11(1 )1(lim 20 220=++=++-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )3 41(lim )343(lim 31(lim +-+=+-+=+-∞→∞→∞→ 9、 10、 ∴函数在x=1处连续 不存在，∴函数在x=-1处不连续 作业2 一、 BDADC 二、1、f ＇(0)= 0 ，2、f ＇(lnx)= (2/x)lnx+5/x ， 3、 1/2 ， 4、 y=1 ， 5、 2x 2x (lnx+1) ， 6、 1/x 。 三、1、求y ＇ (1)、y=(x 3/2+3)e x ，y ＇=3/2x 1/2e x +(x 3/2+3)e x =(3/2x 1/2+x 3/2+3)e x (2)、y ＇=-csc 2x + 2xlnx +x (3)、y ＇=(2xlnx-x)/ln 2x (4)、y ＇=[(-sinx+2x ln2)x 3-3x 2(cosx+2x )]/x 6 4 3 4 43) 3 41(] )341[(lim ---+∞→=+-+-+=e x x x x 32)4)(1()4)(2(lim 4586lim 4224=----=+-+-→→x x x x x x x x x x 1)(lim 1)21()(lim 1 2 1 ===-=- +→→x f x f x x )1(1)(lim 1 f x f x ==→011)(lim 1)(lim 1 1=+-=≠-=-+-→-→x f x f x x )(lim 1 x f x -→x x x x x x x 22sin cos )(ln sin )21 ()5(---、 2020年高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= （二）填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim ．21 e 高等数学 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。 高等数学基础形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2 )(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2 --= x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0 , 10, 1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A. 12 lim 22 =+∞ →x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞ →x x x D. 01sin lim =∞ →x x x ⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+ → D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - + →→= 高等数学基本知识点 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。 高等数学基础 形 成 性 考 核 册 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2x y = D. ???≥<-=0, 10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 22 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 0x f x f x x x x -+→→= （二）填空题 ⒈函数)1ln(3 9)(2x x x x f ++--=的定义域是X > 3． ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ． ⒊=+∞→x x x )211(lim ． ⒋若函数?????≥+<+=0, 0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ． ⒌函数???≤>+=0 ,sin 0,1x x x x y 的间断点是0=x ． ⒍若A x f x x =→)(lim 0 ，则当0x x →时，A x f -)(称为 无穷小量。 （三）计算题 湖南师范大学研究生入学考试自命题考试大纲 考试科目代码：[] 考试科目名称：高等数学基础 一、考试形式与试卷结构 1)试卷成绩及考试时间： 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 2)答题方式：闭卷、笔试 3)试卷内容结构 各部分内容分值比重为： 函数与极限10% 一元函数的微积分20％ 多元函数微积分20％ 无穷级数10％ 行列式10％ 矩阵10％ 向量组20％ 4)题型结构 a: 计算题，9小题，每小题10分，共90分 b: 应用题，2小题，每小题15分，共30分 c: 证明题，2小题，每小题15分，共30分 二、考试内容与考试要求 微积分与线性代数 1、函数与极限 考试内容 (1)函数：函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形，初等函数；简单应用问题的函数关系的建立。 (2)极限：数列极限与函数极限的定义及其性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限。 (3)连续：函数连续的概念；左连续与右连续，函数间断点的类型；连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质(有界性定理，最大值、最小值定理，介值定理)。 考试要求 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念；理解极限的概念；理解函数左极限与右极限的概念，掌握函数极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则，掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 2、一元函数的微积分 考试内容 (1)导数与微分：导数和微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义；函数的可导性、可微性与连续性的关系；导数和微分的四则运算法则，导数和微分的基本公式；复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。 (2)微分中值定理及导数的应用：微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理），洛必达法则，泰勒公式；函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线。 (3)不定积分：原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质，不定积分的基本公式；不定积分换元积分法和分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)
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