若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则
1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直
2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直
对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?)
Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？
其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题：
Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？
自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有
Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？
类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题
Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...)
假定你学过线性代数，不然没法讲……
向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。
为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。
也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。
那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？
考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为
。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
为了方便，我们还可以增加一些约定。由一个向量和它自己张成的“平行四边形”（可以看成是退化的平行四边形）面积为0，于是可以约定
、、。另一方面，在考虑物理等实际问题的时候定向是很重要的，从正面看过去的“面积”和从反面看过来的“面积”可以看成是相反的，所以可以约定：
、、。
这样一来，我们已经定义好了对于三个基底这个
该怎么算。于是，很容易把这个双线性地延拓成一个的运算。比如说，对于
和，就等于
有没有发现这有结果看起来点熟悉？
如果把最后的
换成，换成，换成，这就是我们熟悉的“向量积”了。但我们不换。
对于面积，我们有了。于是很自然地想到，对于体积，我们也应该有个。而且，它的一组基是。也就是说，是一个一维的向量空间。然后约定，对于，如果调换其中两项，得到的就是原来的乘以-1，比如说
。这样，如果中有两项是一样的，比如说，那么调换这两项的次序，就有，于是它只能等于0。
这样，和前面类似，我们就可以定义三个向量的外积了。经过验算（具体过程我就不写了）就会发现：三个向量的外积就是我们熟悉的混合积，当然还要乘上一个。
再看一遍前面的过程，就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用，顶多是使得的维数和恰好一样。于是，我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。也就是说，对一个维的向量空间，取它的一组基。这样，对，就可以取为由
张成的向量空间（这个空间是维的）。然后约定，对（这里不要求
），如果调换其中两项，得到的东西等于原来的乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义个维向量的外积。然后，这个外积（在这个维空间中）
的模就是你所问的那个“体积”了。特别地，在的时候，是个一维空间，个维向量正好可以排成一个的方阵，这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式（具体的我也不算了）。
到目前为止已经回答了你的全部问题。
不过，中两个向量取了一下外积就到了里，中的东西再和中的东西取外积又到了里……这样总有点不方便。于是我们可以把它们统一一下。我们把实数域当作一维的向量空间，就记作，约定它和其他东西的外积就等于数乘。然后把自己记作。然后取所有这些直和，得到
，记作。它也是个向量空间。除了向量空间的结构，这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。
前面都是先选了上的一组基，然后才定义出这么一堆东西。其实它们的定义也可以不依赖于基的选取，不过要先讲张量什么的，我这里就不介绍了。
外代数还有个叫“泛性质”的性质（这段看不懂就算了）：对任一个结合代数（这里说的“结合代数”指的是有某种形式的“乘法”运算，而且这个运算满足结合律的向量空间，下面就把这个“乘法”记作）和任何一个线性映射，如果对中任一个元素
都有，那么就有唯一的一个代数同态，使得，这里是到的嵌入，也就是把等同于中的那个。
当然，向量积还有别的一些推广，不过我不是很了解，就不说了。可以参考维基百科的Cross Product词条。我这里只举一个跟你的问题关系不是很大的小例子：
考虑三阶反对称矩阵（也就是满足的矩阵）的全体。这种矩阵一定长成
的形式，因此是一个三维的线性空间。然后在上定义一种叫“李括号”的运算
。算算看，这样会得到什么东西？
就说这么多。不说了。
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定理 三矢量a 、 b 、 c 共面的充分必要条件是它们的混合积)(c b a ??=0，也即 03 21321321 =c c c b b b a a a 证 因为),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 若0)(=??c b a ，则只有0=a 或0=?c b 或0),cos(=?c b a 10若0=a ，则a, b, c 共面； 20若0=?c b ，则 b, c 共线，即a, b, c 共面； 30若0),cos(=?c b a ，则2 πθ=，即a 垂直于c b ?，也即a, b, c 共面. 反之亦然. 图7-28
如果a , b , c 共面，将它们的起点移到一起，并以三矢量为棱作成一个平行六面体，如图7-28所示. 若当a 与c b ?的夹角为锐角，)2 0(π θ<≤ 由),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 其中c b ?等于平行六面体的底面面积. c b a c b a a ?=?)(),cos(，即a 在c b ?上的投影, 也即，)cos(c b a,a ?等于这个平行六面体的高.得)(c b a ??等于平行六面体的体积. 若a 与c b ?的夹角为钝角， )2 (πθπ≤<0),cos(
张喜林制 2.3.2 向量数量积的运算律 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 考点知识清单 1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律： (3)数乘向量结合律： 2．常用结论： =+2))(1(b a =-2))(2(b a =-?+)())(3(b a b a 3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=?b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则 对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直． 5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b
6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x --=所以=|| 要点核心解读 1．向量数量积的运算律 a b b a ?=?)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律）； c b c a c b a ?+?=?+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明 a b b a ?=?)1(（交换律） 证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ?>=<>=<=? .a b b a ?=?∴ )()()()2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律） 证明：.,cos ||||)(><=?b a b a b a λλ① .,cos ||||)(><=?b a b a b a λλλ② 当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ .,cos ||||)(><=?∴b a b a b a λλ 当0=λ时，,00)0()(=?=?=?b b a b a λ ,0,cos ||||>=<=?∴b a b a b a λλ ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ ],cos[||||)()(><--=?∴b a b a b a πλλ ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a 综合以上可得.,cos ||||)(><=?b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为 n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量. 向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示, 即n 维列向量记为 n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n . 行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算. 例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T (1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求 .x 解（1） 32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T （2）由,0253 x 得 x )53(21 ])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2 1 T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. §4.2 向量组的线性相关性 1、向量组的概念 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.
例如，一个n m 矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 222 2111211 每一列 mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组， 而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组 m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示 定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这 个线性组合的系数. 给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使 ,2211s s k k k 则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出). 例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此 是21, 的线性组合. 例2 n 维向量组 T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。
本节重点: 2 1.4.1向量积 § 1.4 向量的向量积、向量的混合积 1。向量的向量积及其运算律、坐标运算 ?向量的混合积及其运算律、坐标运算 物理学中研究刚体转动问题时， 亠冃 T 向量m ,它的模等于这个力的大小| ,并且向量O H , 与力作用线的平面 “力矩”是一重要概念；所谓一个力/关于定点O 的力矩，指的是 也可以不使用垂足 H 。我们在f 作用线上任取一点 R 。 与从O 到这个力作用线所引垂直线段 OH 之积，它垂直于通过 O T c T ,m ｝。但是，要获得力矩 m , 如图以r 记向量OR 。则m 垂直于r , f 。且/ , f , m 组成一个右手标架｛ O ；OH , f', T f , m 仍组成一个右手标架｛ O ; 由于 而 故丨m | = | T T T r , f , m }。 OH = OR sin / ORH / ORH = n —Z ( r , f )(或/ 我们把由 f | |OH | = |f' | | ?I f | sin Z ( r , f 得出m 的方法推广到一般向量， a , b 为两不共线非零向量，作一向量 b 垂直且a , b , c 组成一个右手标架｛ o ; T r T r , r | sin ( n - Z ( r , f ) 141 定义设 积，它的方向与a , (或叫外积),记作 T T c = a x T T 系 1: | a x b T 就产生一种新的运算。 c ,其模等于a , b 之模与a , b 夹角正弦之 则c 称为a , b 的向量积 T T b , c }, T b ] T T a , b 为邻边的平行四边形的面积。 T T a x b = 0。 等于以 T 系2:两向量a , b 共线充要条件为 由定义可以 推出向量积的运算规律。 1.4.2定理向量积满足下述运算律 T T T T b x a =—(a x b ) T T T T T 入 a x b = a x 入 b =入(a x b ) 证:(1)若a , b 共线,则等式显然成立。今设 T T T T 及各自的模均未改变，故|b x a | = |a x b T T T T T T —f —f b 次序时，a , b 的夹角 与b ,因此a x b 与b x a 是共线向量，且按顺序 T 标架｛o ; a , T T T a , b 不共线，则当交换a , T T T T T 。又根据向量积定义， a x b 与b x a 都同时垂直于a TTTTTT T T a , b , a x b 和b , a , b x a 都分别构成右手 从而得 (2) 不妨设 当入＞0时, TTT TTTT TTTT b , a x b },{ o ; b , a , b x a }所以 a x b 与 b x a 方向相反。 T T T T a x b = -( b x a ) T T 入工0且a , b 不共线 TT TTTT TT 入a 与a 同向，故入a x b 与a x b 同向，又与入(a x b )同向， 、., T T T T T T 另一方面 | 入 a x b | = | 入 a | | b | sin Z (入 a , b ) T T T =| 入 | |a | | b | sin Z (入 a T T T T b )) T T =| 入 | |a | | b | sin Z ( a , b ) =| 入(a x b ) | ,
若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则 1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直 2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直 对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?) Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？ 其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题： Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？ 自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有 Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？ 类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题 Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...) 假定你学过线性代数，不然没法讲…… 向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。 为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。 也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。 那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？ 考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为 。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3 ★ 返回 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积（或称为内积、点积），记为b a ?，即 θcos ||||b a b a =?. 根据数量积的定义，可以推得： （1） b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?; （2） 2 ||a a a =?; （3） 设a 、b 为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a . 数量积满足下列运算规律： （1）交换律 ;a b b a ?=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 二、两向量的向量积 定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件： （1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图
8-3-4）； （2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b 的夹角)， 则称向量c 为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为 b a c ?=. 根据向量积的定义，即可推得 （1）0 =?a a ； （2）设a 、b 为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=?b a . 向量积满足下列运算规律: （1）;a b b a ?-=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求 (1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影. 解 (1) b a ?2)4()2(111?-+-?+?=.9-= (2) 222222cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++= θ,2 1- = ∴.4 3π θ= (3) ,Pr ||a j b b a b =?.3| |Pr -=?=∴a b a a j b 例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直. 证 c a c b b c a ??-?])()[(])()[(c a c b c b c a ??-??=])[(c a c a c b ?-??=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥?-?
用正弦定理证明三重向量积 作者：光信1002班 李立 内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——b )()b ()(a c a c c b a ?+?-=??。 首先，根据叉乘的定义，a 、b 、b a ?可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a 与b 是等价的，所以我们不妨把a 、b 、b a ?放在一个空间直角坐标系中，让a 与b 处于oxy 面上，b a ?与z 轴同向。如草图所示： 其中，向量c 可以沿着z 轴方向与平行于oxy 平面的方向分解，即： xy z c c c += 将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得： b ) c (a )(c b a xy xy ??+?-=??a b c xy ）（ 这两个式子等价 现在我们考虑c b a ??)(刚好被a 与b 反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。
由图易得，c b a ??)(与a 、b 共面，a 与b 不共线，不妨设yb xa c b a +=??)(，)2 ,0(,),,2(c ,π ππ??xy xy c b a ，所以： 在三角形中使用正弦定理，得 b a Sin c b a k c a Sin b y c b Sin a x xy xy ,c b a ]2 ,[],2[]b a,-Sin[c b a =??=-=-= ??）（又因为）（πππ 所以，解得k=c b a ， 于是解得： xy xy xy c b c b Cos c ?=,b =x xy xy xy c a c a Cos c a y ?-=-=, 由图示和假定的条件，c b a ??)(在a 和b 方向上的投影皆为负值，所以x ，y 都取负值， 所以， b ) c (a )(c b a xy xy ??+?-=??a b c xy ）（ 其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以： b )()()(a c a b c c b a ?+?-=??，命题得证。 小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。
浅谈向量混合积的应用 摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分 几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积 向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积 在各领域的运用予以举例说明. 混合积的定义 给定空间的三个矢量→ →→c b a ,,，如果先做前两个矢量→ →b a 和的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量→ c 的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量 → →→c b a ,,的混合积，记做→→→??c b a )(或),,(→→→c b a 或).(→ →→c b a 性质1三个不共面矢量→→→c b a ,,的混合积的绝对值等于以→ →→c b a ,,为棱的平行六面体的体积V ，并且当→ →→c b a ,,构成右手系时混合积是正数；当→ →→c b a ,,构成左手系时，混合积是负数，也就是有 ,)(V c b a ε=→ →→ 当→→→c b a ,,是右手系时;1=ε当→ →→c b a ,,是左手系时.1-=ε 性质2 三矢量→ →→c b a ,,共面的充要条件是.0),,(=→ →→c b a 性质 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即 ).()()()()()(→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→-=-=-===b c a a b c c a b b a c a c b c b a 推论 →→→??c b a )(=).(→ →→??c b a 性质 3 如果,,,333222111→ →→→→→→→→→→→++=++=++=k Z j Y i X c k Z j Y i X b k Z j Y i X a 那么 .)(3 3 3 222 111Z Y X Z Y X Z Y X c b a =→ →→ 一、在微分几何中的应用 引理 1 向量函数→ )(t r 具有固定长的充要条件是对于t 的每个值，→ ')(t r 都与 → )(t r 垂直.
第三章 n 维向量与向量空间 §3—1 §3—2 §3—3 一、设向量(4,7,3,2)α=-，(11,12,8,58)β=-，求满足322(5)γαβγ-=-的向量γ. 二、选择题： 1．设1234,,,αααα是一组n 维向量，其中123,,ααα线性相关，则 ( ) (A ) 123,,a a a 中必有零向量 (B ) 12,αα必线性相关 (C ) 23,αα必线性无关 (D ) 1234,,,αααα必线性相关 2．若n 维向量组12,,,m αααL 线性无关，则 ( ) (A ) 组中增加一个向量后也线性无关 (B ) 组中去掉一个向量后仍线性无关 (C ) 组中只有一个向量不能由其余向量线性表示 （D ）m n > 3．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则 (A ) 每个向量增加第(1)n +个分量后也线性无关； (B ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性无关； (C ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性相关； （D ）每个向量增加第(1)n +个分量后也线性相关 4．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则必有 ( ) (A ) m n < (B ) m n > (C ) m n ≤ (D ) m n ≥ 三、判断题： 1．若m n >，则n 维向量组1,2,,m αααL 线性相关． ( ) 2．若向量组U 线性相关，则U 的任意一个部分组都线性相关． ( ) 四、判别下列向量组的线性相关性： 1．1(1,1,2)α=，2(2,4,5)α=，3(1,1,0)α=-，4(2,2,6)α=． 2．1(1,1,0)α=-，2(2,1,1)α=，3(1,3,1)α=-． 3．1(1,1,3,1)α=，2(4,1,3,2)α=-，3(1,0,1,2)α=-． 五、证明： 1．若向量组12,,,m αααL 线性无关，而且β不能由12,,,m αααL 线性表示，则向量组12,,,,m αααβL 线性无关．
向量内积、外积和混合积 1 点乘 1.1 定义 点乘，也叫向量的内积、数量积。两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<> 令cos ,a b θ<>= ，则[]0,θπ∈。 1.2 坐标表示 设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则： 121212a b x x y y z z =++ 1.3 几何意义 点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。 1.4 应用 （1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量） （2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦； （3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影； （4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。（<0）多边形在视点的正面能看到。 （5）求平面外一点到平面的距离。从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。 （6）方向角与方向余弦。方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则： 222cos ,cos ,cos cos cos cos y x z a a a a a a αβγαβγ ===++ 如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ= 。 2 叉乘 2.1 定义 叉乘，也叫向量的外积、向量积。两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。大小为： sin ,c a b a b =<> 令sin ,a b θ<>= ，则[]/2,/2θππ∈-，指的是a 到b 的夹角，具有方向性。 2.2 坐标表示 c =（x3,y3,z3）=（y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2），矩阵表示为
n 维向量空间 §3.1 n 维向量的定义 1. 定义 定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量． i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ 负向量：),,,()(21n a a a ---=- α 列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作 ??? ?????????=n a a a 21α, 或者T 21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量． 零向量： ? ? ? ? ?? ??????=000 θ 负向量：????????????---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为 1212()(,, ,) ...T n n a a a a a a αα?? ? ?== ? ??? 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。 说明 1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列
向量。行向量可看作是列向量的转置。 零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同) 负向量 12(,, ,)T n a a a α-=---。 向量相等 设1212(,, ,)(,, ,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2, ,i i a b i n ==则αβ=。 向量运算规律： ① αββα+=+ ② ()()αβγαβγ++=++ ③ 0αα+=（0是零向量，不是数零） ④ ()0αα+-= ⑤ 1αα= ⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+ 满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。 1． 内积的概念 定义1：n 维实向量 ??? ???? ??=??????? ??=n n b b b a a a 2121,βα，称n n b a b a b a +++= 2211),(βα ()β αT n n b b b a a a =???? ??? ??= 2121,,,为α和β的内积。 若βα,为行向量，则T αββα=),(。 向量空间的性质： (1) ),(),(αββα= (2) ),(),(),(γβγαγβα+=+
【易错点37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例37、已知ABC ?中,5,8,7a b c ===,求BC CA ? 【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC 和CA 夹角为三角形ABC 的内角C 导致错误答案. 解析:由条件5,8,7a b c ===根据余弦定理知三角形的内角60C ?=，故两向量BC 和CA 夹角为 60C ?=的补角即,120BC CA ?=,故据数量积的定义知58cos12020BC CA ??=??=-. 【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是)0 ,180? ???，两直线的夹角的范围是0,90??????，两向量的夹角的范围是0,180?? ????， 异面直线所成的角的范围是 (0,90? ? ??，直线和平面所成的角的范围是0,90? ? ????二面角的取值范围是 ()0,180? ? 。 【练37】（2004上海春招）在ΔABC 中，有如下命题，其中正确的是（） （1）AB AC BC - =（2）0AB BC CA ++=（3）若()()0A B A C A B A C +?- = ，则ΔABC 为等腰三角形（4）若 0AC AB ?>，则ΔABC 为锐角三角形。 A 、（1）（2） B 、（1）（4） C 、（2）（3） D 、（2）（3）（4） 答案：C 【易错点38】向量数积积性质的应用。 例38、已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。 【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。 解析：由 (a + 3b)(7a - 5b) = 0 ? 7a 2 + 16a ?b -15b 2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 ? 7a 2 - 30a ?b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a ?b = b 2代入①或②得：a 2 = b 2 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =2 1 222==?||||||b b b a b a ∴θ = 60?。 【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ ａ｜２ 或｜ａ｜＝2a a a =?④ｃｏｓθ＝ b a b a ??⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜ 【练38】（1）（2005高考江西卷）已知向量(1,2),(2,4),||5,a b c =--=若(),2 a b c +?= 则a 与c 的夹角为（ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案：C （2）（2005浙江卷）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则
§9 三矢量的混合积 定义 1 给定空间的三个矢量a b c ，我们()a b c ? 叫做三矢量,,a b c 的混合积，记做(,,)a b c 或()abc . 定理1 三个不共面矢量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V ，并且当,,a b c 构成右手系时混合积为正；当,,a b c 构成左手系时混合积为负. 证 由于矢量,,a b c 不共面，所以把它们归结到共同的试始点O 可构成以,,a b c 为棱的平行六面体，它的 底面是以,a b 为边的平行四边形，面积为S a b =? ，它的高为OH h = ，体积是V Sh =. 根据数性积的定义()cos cos a b c a b c S c θθ ?=?= ， 其中θ是a b ? 与c 的夹角. 当,,a b c 构成右手系时，02πθ≤≤，cos h c θ= ，因而可得 ()a b c sh V ?== . 当,,a b c 构成左手系时，2πθπ≤≤，cos()cos h c c πθθ =-=- ，因而可得 ()a b c sh V ?=-=- . 定理2 三矢量,,a b c 共面的充要条件是()0abc = . 证 若三矢量,,a b c 共面，由定理1.9.1知|()|0a b c sh V ?=== ，所以|()|0abc = ，从而()0abc = . 反过来，如果()0abc = ，即()a b c ? ，那么根据定理1.7.1有()a b c ?⊥ ，另一方面，有矢性积的定义知(),()a b a a b b ?⊥?⊥ ，所以,,a b c 共面. 定理3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即 ()()()()()()abc bca cab bac cba acb ===-=-=- . 证 当,,a b c 共面时，定理显然成立；当,,a b c 不共面时，混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面 体的体积V ，又因轮换,,a b c 的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时， 将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号. 推论1 ()()a b c a b c ?=? . 定理4 设111a x i y j z k =++ ，222b x i y j z k =++ ，333c x i y j z k =++ ，那么 1 112 223 3 3()x y z abc x y z x y z = . 证 由矢量的矢性积的计算知 111 11 12 2222 2y z z x x y a b i j k y z z x x y ?= ++ ， 再根据矢量的数性积得
第二节 n 维向量空间 定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母 表示。称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()T n n b b b b b b ,,,2121 =?????? ? ??=β为n 维列向 量。称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。 特别对矩阵=A ?? ? ? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为 矩阵A 的行向量；每一列() T nj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。 定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。 定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。 定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。 定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。 ()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα ()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211 定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。 向量的运算性质： （1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(