n 维向量空间
§3.1 n 维向量的定义 1. 定义
定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量．
i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ
负向量：),,,()(21n a a a ---=- α
列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作
???
?????????=n a a a 21α, 或者T
21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量．
零向量：
?
?
?
?
??
??????=000 θ 负向量：????????????---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为
1212()(,,
,)
...T n n a a
a a a a αα??
? ?== ? ???
列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。 说明
1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列
向量。行向量可看作是列向量的转置。
零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)
负向量 12(,,
,)T n a a a α-=---。 向量相等
设1212(,,
,)(,,
,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,
,i i a b i n ==则αβ=。
向量运算规律：
① αββα+=+
② ()()αβγαβγ++=++
③ 0αα+=（0是零向量，不是数零）
④ ()0αα+-= ⑤ 1αα=
⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+
满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。
1． 内积的概念
定义1：n 维实向量
???
????
??=??????? ??=n n b b b a a a 2121,βα，称n n b a b a b a +++= 2211),(βα ()β
αT n n b b b a a a =????
??? ??= 2121,,,为α和β的内积。
若βα,为行向量，则T
αββα=),(。 向量空间的性质： (1) ),(),(αββα=
(2) ),(),(),(γβγαγβα+=+
(3) ),(),(βαβαk k =
(4) 0),(≥αα等号成立当且仅当0=α
定义2 实数2
2221),(n a a a +++== ααα为向量的长度(或模，或范数)。
若1=α，称α为单位向量。
把向量单位化：若,0≠α则0≠α，考虑1
1),(1),(
222===ααααααααα，即
αα的模为1，为单位向量，称为把α单位化。
定理：
),,,(21n a a a =α?
??
???
??????=n a a a 21α=a 12+ a 22+….+ a n 2>=0
§3.2 n 维向量的线性运算 1．定义
线性运算：),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β 相等：若),,2,1(n i b a i i ==, 称βα=． 加法：Δ
=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++ 数乘：),,,(21Δ
n ka ka ka k =α
减法：Δ=-βα=-+)(βα),,,(2211n n b a b a b a --- 2．线性运算律：
),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, ),,,(21n c c c =γ
(1) αββα+=+ (5) αα=1 (2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k = (3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)( (4) θαα=-+)( (8) αααl k l k +=+)(
线性组合与线性表示
对n 维向量α及m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 使得
m
m k k ααα++= 11,
称α可以由向量组m αα,,1 的线性表出,
1122m m
k k k ααα+++是向量组
m
αα,,1 的一个线性组合
m k k ,,1 为组合（表出）系数
线性组合
给定向量组12:,,
,m A ααα和向量b ，如果存在一组数12,m λλλ，，使
1122m m b λαλαλα=++
，则向量b 是向量组A 的线性组合，这时称b 向量能由向量组A 线性表示。
定义
给定向量组12:,,
,m A ααα，对于任一组实数12,m k k k ，，，向量1122m m k k k ααα++
+称为
向量组的一个线性组合。 12,m k k k ，，称为这个线性组合的系数。
2．向量组的线性相关性与无关性：
对n 维向量组m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 不全为0, 使得 011=++m m k k αα
称向量组m αα,,1 线性相关, 否则称为线性无关．
线性无关：对n 维向量组m αα,,1 , 仅当数组m k k ,,1 全为0时, 才有 011=++m m k k αα
称向量组m αα,,1 线性无关, 否则称为线性相关． 向量组的线性相关
给定向量组12m :,,
,A ααα，如果存在不全为零的数12,,,m k k k 使
11220m m k k k ααα+++=，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当
120m k k k ==
==时上式成立，则称向量组A 线性无关。
注意
1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。
2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面。
3.,0 ,0,ααααα=≠向量组只有一个向量时若则说线性相关若则说线性无关。
定理 n 阶方阵A ，
A n A r ?=)(的n 个行(列)向量组线性无关,0≠?A 即A 为可逆矩阵(也称为满秩矩阵)
A n A r ?<)(的n 个行(列)向量组线性相关.0=?A
|A|=0 线性相关 |A|不等于0 线性无关
向量组的秩与极大线性无关组
设向量组r T ααα,,,:211 按列分块构造成矩阵，对T1进行初等行变换化成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中主元的个数即为向量组的秩，与主元所在列的列标相对应的向量即为向量组的一个最大线性无关组。
例1 对矩阵
???
?
??
??
?
?----=2221101002201001
1011111
011100
0A
作行初等变换，使成为行阶梯矩阵。
例2 求上三角形矩阵的秩
3
,2,1,00000000000000353433252423221514131211=≠???
?
????
??=i a a a a a a a a a a a a a A ij 。
结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数
求矩阵秩的方法:
把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
§３ 向量组的正交性
在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中． 定义3 设有维向量
，，令
=
，则
称为向量
和
的内积．
[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和
都是列向量时，＝．
内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：
（1）=；
（2）=；
（3）=+；
（4），当且仅当=0时等号成立．
定义4 令
||=
称||为维向量的模（或长度）．
向量的模具有如下性质：
（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；
（2）||=|| ||，（为实数）；
（3）||≤||||；
（4）|≤||+||；
特别地，当||=1时，称为单位向量.
如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．
如果、都为非零向量，由性质（3）
≤1，
于是有下述定义：
定义5当|| ≠0，||≠0时
称为维向量、的夹角．
特别地：当=0时，，因此有
定义当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．向量的正交性可推广到多个向量的情形.
定义6 已知个非零向量，若=0 ，则称为正交向量组．
定义7若向量组为正交向量组，且||=1，则称为标准正交向量组．
例如，维单位向量组=，，
是正交向量组．
正交向量组有下述重要性质：
定理5 正交向量组是线性无关的向量组．
定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．
定理6设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，
，
，
……
.
再取
则为标准正交向量组．
上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）
正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组
与等价．
例5 把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．解容易验证，，是线性无关的.
将，，正交化，令
=，
=，
再把单位化
，
则即为所求的标准正交向量组．
定理7 若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使
，成为正交向量组．
推论含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．
例6 已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.
解应满足方程=0，即
.
它的基础解系为
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
其中于是得
定义8 如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．
正交矩阵具有如下性质：
（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；
（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；
（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；
（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．
由等式可知，正交矩阵的元素满足关系式
（其中）
可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有
定理8 一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为 n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量. 向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示, 即n 维列向量记为 n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n . 行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算. 例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T (1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求 .x 解（1） 32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T （2）由,0253 x 得 x )53(21 ])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2 1 T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. §4.2 向量组的线性相关性 1、向量组的概念 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.
例如，一个n m 矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 222 2111211 每一列 mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组， 而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组 m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示 定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这 个线性组合的系数. 给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使 ,2211s s k k k 则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出). 例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此 是21, 的线性组合. 例2 n 维向量组 T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。
若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则 1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直 2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直 对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?) Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？ 其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题： Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？ 自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有 Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？ 类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题 Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...) 假定你学过线性代数，不然没法讲…… 向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。 为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。 也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。 那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？ 考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为 。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
第三章 n 维向量与向量空间 §3—1 §3—2 §3—3 一、设向量(4,7,3,2)α=-，(11,12,8,58)β=-，求满足322(5)γαβγ-=-的向量γ. 二、选择题： 1．设1234,,,αααα是一组n 维向量，其中123,,ααα线性相关，则 ( ) (A ) 123,,a a a 中必有零向量 (B ) 12,αα必线性相关 (C ) 23,αα必线性无关 (D ) 1234,,,αααα必线性相关 2．若n 维向量组12,,,m αααL 线性无关，则 ( ) (A ) 组中增加一个向量后也线性无关 (B ) 组中去掉一个向量后仍线性无关 (C ) 组中只有一个向量不能由其余向量线性表示 （D ）m n > 3．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则 (A ) 每个向量增加第(1)n +个分量后也线性无关； (B ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性无关； (C ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性相关； （D ）每个向量增加第(1)n +个分量后也线性相关 4．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则必有 ( ) (A ) m n < (B ) m n > (C ) m n ≤ (D ) m n ≥ 三、判断题： 1．若m n >，则n 维向量组1,2,,m αααL 线性相关． ( ) 2．若向量组U 线性相关，则U 的任意一个部分组都线性相关． ( ) 四、判别下列向量组的线性相关性： 1．1(1,1,2)α=，2(2,4,5)α=，3(1,1,0)α=-，4(2,2,6)α=． 2．1(1,1,0)α=-，2(2,1,1)α=，3(1,3,1)α=-． 3．1(1,1,3,1)α=，2(4,1,3,2)α=-，3(1,0,1,2)α=-． 五、证明： 1．若向量组12,,,m αααL 线性无关，而且β不能由12,,,m αααL 线性表示，则向量组12,,,,m αααβL 线性无关．
第二节 n 维向量空间 定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母 表示。称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()T n n b b b b b b ,,,2121 =?????? ? ??=β为n 维列向 量。称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。 特别对矩阵=A ?? ? ? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为 矩阵A 的行向量；每一列() T nj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。 定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。 定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。 定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。 定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。 ()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα ()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211 定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。 向量的运算性质： （1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(
n 维向量空间 §3.1 n 维向量的定义 1. 定义 定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量． i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ 负向量：),,,()(21n a a a ---=- α 列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作 ??? ?????????=n a a a 21α, 或者T 21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量． 零向量： ? ? ? ? ?? ??????=000 θ 负向量：????????????---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为 1212()(,, ,) ...T n n a a a a a a αα?? ? ?== ? ??? 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。 说明 1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列
向量。行向量可看作是列向量的转置。 零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同) 负向量 12(,, ,)T n a a a α-=---。 向量相等 设1212(,, ,)(,, ,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2, ,i i a b i n ==则αβ=。 向量运算规律： ① αββα+=+ ② ()()αβγαβγ++=++ ③ 0αα+=（0是零向量，不是数零） ④ ()0αα+-= ⑤ 1αα= ⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+ 满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。 1． 内积的概念 定义1：n 维实向量 ??? ???? ??=??????? ??=n n b b b a a a 2121,βα，称n n b a b a b a +++= 2211),(βα ()β αT n n b b b a a a =???? ??? ??= 2121,,,为α和β的内积。 若βα,为行向量，则T αββα=),(。 向量空间的性质： (1) ),(),(αββα= (2) ),(),(),(γβγαγβα+=+