第七章直梁弯曲时的内力和应力
一、填空题：
1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。
2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。
3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。
4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。
5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。
6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。
7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。
8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。
9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。
10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。
11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。
12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______.
13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________
14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度.
15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。
16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向
_________凸的抛物线。
17、弯矩图的凹凸方向可由分布载荷的_________符号确定。
18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是__________于X轴的直线。
19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横截面上。
20、由于在梁的集中力作用处，其截面左、右两侧的剪力会有一突然变化，因此弯矩图在此处形成的是一个具有___________点的图形状。
21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为__________弯曲。
22、梁在纯弯曲时，其横截面仍保持为平面，且与变形后的梁轴线相
___________。
23、在一纯弯曲梁段内，各横截面上的剪力等于_____________，而弯矩为常量。
24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。
25、梁弯曲时的中性轴必然通过其横截面上的___________那一点。
26、梁弯曲时，其横截面上的_________最终合成的结果为弯矩。
27、梁弯曲时，其横截面的_________按直线规律变化，而沿横截面的
________ 则均匀分布。
28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴________处的各正应力为最大。
29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受拉应力作用。
30、梁弯曲时,在作用正弯矩的梁段内,其中性层以上的各纵向纤维将发生单向_______
变形。
31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。
32、矩形截面梁在横力弯曲时,其横截面上的剪应力沿截面高度按__________线规律分布。
33、矩形截面梁在横力弯曲时,其横截面上的剪应力所在的点上,其正应力为____________。
34、矩形截面梁弯曲时,其横截面上最大剪应力是平均剪应力的
_____________倍。
35、一般情况下,弯曲时横截面上最大剪应力往往出现在____________上各点。
36、在横截面对称于中性轴的等截面梁内,弯曲的最大拉应力和最大压应力的绝对值____________。
37、用抗拉强度和抗压强度不相等的材料,如铸铁等制成的梁,其横截面宜采用不对称于中性轴的形状,而使中性轴偏于受____________纤维一侧。
38、木梁或竹杆在横力弯曲时往往出现纵向裂纹,这表明梁的纵向截面上有___________应力。
39、对于横截面高宽度比等于2的矩形截面梁,在当截面竖放时和横放时的抗弯能力之比和抗剪能力之比,分别为_____________和_____________。
40、面积相等的圆形、矩形和工字形截面的抗弯截面系数分别为W圆、W矩和W工，比较其值的大小，其结论应是W圆比W知_____________,W工比W矩
___________。
41、由梁的弯曲正应力分布规律可知,为了充分利用材料,应尽可能将梁的材料聚集于离中性轴_____________处,从而提高梁的承载能力。
42、由弯曲正应力强度条件可知,设法降低梁内的最大弯矩,并尽可能提高梁截面的_______
______系数,即可提高梁的承能力。
43、梁的截面形状是否经济合理,其衡量标准在于梁截面的___________系数,即可提高梁的承载能力。
44、工程上用的鱼腹梁、阶梯轴等,其截面尺寸随弯矩大小而变,这种截面变化的梁,往往就是近似的___________梁。
二、判断题：
1、以弯曲为主要变形的杆件，只要外力均作用在过轴的纵向平面内，杆件就有可能发生平面弯曲。（）
2、一正方形截面的梁，当外力作用在通过梁轴线的任一方位纵向平面内时，梁都将发生平面弯曲。（）
3、梁发生平面弯曲时，其轴线必然弯成位于外力作用面内的平面曲线。
（）
4、通常将安装在车床刀架上的车刀简化为悬臂梁。（）
5、梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力的代数和。（）
6、用截面法确定梁横截面的剪力或弯矩时，若分别取截面以左或以右为研究对象，则所得到的剪力或弯矩的符号通常是相反的。（）
7、研究梁横截面上的内力时，沿横截面假想地把梁横截为左段梁或右段两部份，由于原来的梁处于平衡状态，所以作用于左段或右段上的外力垂直于梁轴线方
向的投影之和为零，即各外力对截面形心之矩可相互抵
消。（）
8、简支梁若仅作用一个集中力P，则梁的最大剪力值不会超过P
值。（）
9、梁的最大弯矩值必定出现在剪力为零的截面处。（）
10、在简支梁上有一移动的集中载荷作用，要使梁内产生的弯矩为最大，此集中载荷并不一定作用在梁跨度中央。（）
11、梁上某一横截面的弯矩等于作用于此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，利用此规律，可不列出平衡方程，就能直接确定横截面弯矩值的大小。（）
12、两个简支梁的的跨度及所承受的载荷相同，但由于材料和横截面面积不同，故梁的内力剪力和弯矩就不一定相同。（）
13、简支梁上有一集中力偶作用，绘出其剪力图，其图象一定以集中力偶作用的位置为对称。（）
14、若梁某段内各横截面上的弯矩均为零，则该段内各横截面上的剪力也均为零。（）
15、若梁某一段内的横截面只有弯矩而无剪力，则梁在此段内的弯矩、剪力和载荷集度之间
的微分关系不一定成立。（）
16、在梁的某一段内，若无载荷作用，即q（X）= 0，则由弯矩，剪力和载荷集度之间
的微分关系可知，弯矩图一定是一斜直线。（）
17、在梁某一段内的各个横截面上的，若剪力均为零，则该段内的弯矩必为常量。（）
18、在梁上作用的向下的均布载荷，即q为负值，则梁内的剪力Q也必为负值。（）
19、在梁上某一段内的分布载荷方向向下（规定分布载荷方向向下不负），这说明弯矩图曲
线向上凸，其弯矩值必为正
值。（）
20、梁的弯矩图上某一点的弯矩值为零，该点所对应的剪力图上的剪力值也一定为零。（）
21、在梁上的剪力为零的地方，所对应的弯矩图的斜率也为零；反过来，若梁的弯矩图斜率
为零，则所对应的梁上的剪力也为
零。（）
22、承受均布载荷的悬臂梁，其弯矩图为一条向上凸的二次抛物线，此曲线的顶点一定事在
位于悬臂梁的自由端所对应的点
处。（）
23、从左向右检查所绘剪力图的正误时，可以看出，凡集中力作用处，剪力图发生突变，突
变值的大小与方向和集中力相同，若集中力向上，则剪力图向上突变，突变值为集中力大小。
（）
24、在梁上集中力偶作用处，其弯矩图有突变，而所对应的剪力图为水平线，并由正值变为
负值或由负值变为正值，但其绝对值是相同的。（）
25、运动员双臂平行地静悬于单杠(视为简支梁)时,无论两手握在杠的何处,只要两手的间矩不变,其两手间的杠段的变形总是纯弯曲.( )
26、梁弯曲时，不论梁产生的是纯弯曲还是横力弯曲，其变形前后的横截面始终都为平面。（）
27、等截面直梁在纯弯曲时，横截面保持为平面，但其形状和尺寸略有变化。（）
28、梁产生纯弯曲变形后，其轴线即变成了一段圆弧线。（）
29、梁产生平面弯曲变形后，其轴线不会保持原长度不变。（）
30、梁弯曲时，梁内有一层既不受拉又不受压的纵向纤维就是中性层。
（）
31、中性层是梁平面弯曲时纤维缩短区和纤维伸长区的分界面。（）
32、梁弯曲时，梁的中性必定是横截面的对称轴。（）
33、因梁产生的平面弯曲变形对称于纵向对称面，故中性层垂直于纵向对称面。（）
34、梁弯曲时，其横截面要绕中性轴旋转，而不会绕横截面的边缘旋转。（）
35、弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，故只适用于纯弯曲，而不适用于横力弯曲。（）
36、由于弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，所以用于非矩形截面梁时，则不能满足工程所需要的精度。（）
37、梁弯曲时，可以认为横截面上只有拉应力，并且均匀分布，其合成的结果将与截面边缘的一集中力组成偶，此力偶的内力偶矩即为弯矩。（）
38、梁的横截面上作用有负弯矩，其中性轴上侧各点作用的是拉应力，下侧各点作用的是压应力。（）
39、等截面梁弯曲时的最大拉应力和最大压应力在数值上必定是相等的。（）
40、等截面梁的最大弯曲正应力不一定发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处。（）
41、挑水时扁担在其中部折断，这是由于相应的横截面处的拉应力达到了极限值。（）
42、等截面梁的最大剪应力一定位于剪力最大的横截面上。（）
43、T字形截面的铸铁梁，其最大打应力总发生在弯矩绝对值为最大的横截面上。（）
44、T字形截面的铸铁梁，当在全长范围内作用有正弯矩时，其截面应倒放⊥形较为合理些。（）
45、一T字形截面铸铁梁内的正弯矩最大值为M1，负弯矩最大绝对值为
且
>M1此时梁截面应正放成T 形才合理。（）
46、矩形截面梁的纯弯曲段内，甘横截面上各点的剪应力均等于零。
（）
47、矩形截面梁在横力弯曲时，梁内正应力为零的点处，其剪应力一定为零。（）
48、矩形截面梁弯曲时，其最大正应力和最大剪应力的点不一定在同一个横截面上。（）
49、矩形截面梁弯曲时，横截面上任意一眯处的剪应力方向均平行于横截面上剪力的方向。（）
50、矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度变化，但不一定按二次抛物线规律变化。（）
51、等截面梁的最大弯曲剪应力不一定出现在剪力最大的横截面中性轴上。( )
52、对于横力弯曲的梁,若其跨度和截面高度之比不大于5,则用纯弯曲建立的弯曲正应力公式计算所得的正应力,较之梁的真实正应力的误差很小。( )
53、当梁内的最大拉应力和最大压应力的绝对值相等时,该梁的抗拉强度和抗压强度必定相等。 ( )
54、假设对脆性材料如铸铁等制成的T 字形截面梁进行强度校核,无论其受载情况如何,只要校核了危险点的压应力即可。( )
55、弯曲正应力强度条件中的许用正应力与轴向拉伸或压缩强度条件中的许用正应力是相同的。( )
56、弯曲剪应力强度条件中的许用剪应力与扭转强度条件中的许用剪应力是相同的。( )
57、对比用同一材料制成的实心圆截面梁和空心圆截面梁的强度,只要二者的外径相同,则它们承受外载或自重的能力一定都是相同的。( )
58、对于木梁,其顺纹方向的抗剪能力较差,但因最大剪应力发生在横截面中性轴上,故剪切破坏不会沿顺纹中性层发生。( )
59、一全长范围内有均布载荷作用的简支梁,若左、右两端支座各向内移动跨度的1/5,则可使梁的承载能力提高为原来的5倍.由此可知,左、右两端支座继续向内移时,梁的承载能力将不断提高。( )
60、为了提高矩形截面梁的抗弯强度,增大横截面的高度要比增大横截面的宽度有效得多。( )
三、选择题：
1、工程实际中产生弯曲变形的杆件，如火车机车轮轴、房屋建筑的楼板主梁，在得到计算
简图时，需将其支承方式简化为：（）
A、简支梁
B、轮轴为外伸梁，楼板主梁为简支梁；
C、外伸梁
D、轮轴为简支梁，楼板主梁为外伸梁。
2、用一截面将梁截为左、右两段，在同一截面上的剪力、弯矩数值是相等的，按静力学
作用与反作用公理，其符号是相反的，而按变形规定，则剪力、弯矩的符号（）
A、仍是相反的；
B、是剪力相反，弯矩一致；
C、总是一致；
D、是剪力一致，弯矩相反。
3、在梁的集中力作用处，其左、右两侧无限接近的横截面上的弯矩
（）的
A、相同；
B、数值相等，符号相反；
C、不相同；
D、符号一致，数值不相等。
4、在梁的集中力作用处，其左、右两侧无限接近的横截面上的剪力
（）
A、大小相等，符号相反；
B、大小相等，符号相同；
C、符号有时都相同，有时不都相同；
D、有大小改变趋势，但符号不变。
5、指出图示简支梁（如图所示）m-n截面上的弯矩及其符号是（）
A、－Pac/L;
B、Pac/L;
C、-Pbc/L;
D、Pbc/L
6、分析外伸梁ABC（如图所示）的内力时，所得的结果（）是错误的。
A、AB段剪力为负值，BC段剪力为正值；
B、
=2qa；
C、除A、C两端点外，各段的弯矩均为负值；
D、|
|=4q
。
7、列出梁ABCDE（如图所示）各梁段的剪力方程和弯矩方程，其分段要求应是分为（）
A、AC和CE段
B、A
C、CD和DE段
C、AB、BD和DE段
D、AB、BC、CD和DE段
8、悬臂梁（如图所示）在集中力
、
作用下的弯矩表达式为（）。
A、M（x）=—
x （0≤x≥L）；
B、M（x）=—
x （0≤x≥L）；
C、M（x）=—
x （0≤x≥
），
M（x）=
x －
（
＋x）（
≤x≥L；）
D、M（x）=－（
＋
）x （0≤x≥L）。
9、外伸梁在均布载荷q的作用（如图所示）下，指出内力的特点，其中（）是不正确的。
A、图对称于中央截面；
B、中央截面上Q=0；
C、图对称于中央截面；
D、中央截面上M=0。
10、简支梁AB受集中力偶作用（如图所示），通过内力分析，若认为（），则是对的。
A、集中力偶作用在A处或B处，杆内无剪力；
B、集中力偶无论作用于何处，梁内的最大弯矩值|
|必出现在C处截面上；
C、集中力偶作用在A或B处，M图为矩形；
D、集中力偶无论作用于何处，梁内的最大弯矩值|
|=m。
11、由梁上载荷、剪力图和弯矩图三者间的关系，可概括一些规律性结论，如（）。
A、集中力作用处，M图发生转折；集中力偶作用处，Q图连续；
B、集中力作用处，M图连续；集中力偶作用处，M图不连续；
C、集中力偶作用处，Q图会有变化；
D、集中力偶作用处，所对应的M图在此处的左、右斜率将发生突变。
12、一多跨梁AB（如图所示），使所受的集中力P先后作用于C铰的左侧和右侧，并分别作出其内力图，经过比较，得出（）的结论是对的。
A、Q、M图均不同；
B、Q图相同，M图不同；
C、Q图不同，M图相同；
D、Q、M图均相同。
13、向上吊起一钢筋混凝土梁（如图所示），梁长为L，在梁的自重作用下，若要保证梁内不产生正弯矩，则绳索所系位置x的最小值应为（）。
A、
； B、
； C、
； D、
14、将一简支梁上的集中力P分散成三种情况（如图所示），以
、
、
和
分别表示前后四种情况的最大弯矩值，你认为结论中（）是正确的。
A、
﹥
﹥
； B、
﹥
﹥
﹥
；
C、
﹥
﹥
=
D、
﹥
﹥
﹥
。
15、受受力偶作用的外伸梁ABC，将外力偶m从所作用的C处移到D处（如图所示）时，可能引起梁剪力和弯矩的最大值发生变化的情形（）才是正确的。
A、最大剪力相同，最大弯矩不相同；
B、最大剪力相同，最大弯矩相同；
C、最大剪力不相同，最大弯矩不相同；
D、最大剪力不相同，最大弯矩相同。
16、一悬臂梁，左端固定，长为4m，由其弯矩图（如图所示）可知剪力图为（）。
弯曲力 1. 长l的梁用绳向上吊起，如图所示。钢绳绑扎处离梁端部的距 离为x。梁由自重引起的最大弯矩|M|max为最小时的x值为： (A) /2 l；(B) /6 l； (C…) 1)/2 l。 l；(D) 1)/2 2. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中哪个是正确的？ (A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同； (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D….) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。 3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的 (A) 剪力图、弯矩图都相同； (B…) 剪力图相同，弯矩图不同； (C) 剪力图不同，弯矩图相同； (D) 剪力图、弯矩图都不同。 4. 图示梁，当力偶M e的位置改变时，有下列结论： (A) 剪力图、弯矩图都改变； (B…) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。 5. 图示梁C截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e= ；为使全梁不出现正弯矩，则M e≥。 6. 图示梁，已知F、l、a。使梁的最大弯矩为最小时，梁端重量P= 。 7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B端支反力为，弯矩图
为 次曲线，|M |max 发生在 处。 8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值，m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为： S d () ;d F x x = d () d M x x = 。 9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时，需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在图上）。 10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则=e21e /M M 。 1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B 5. 28e 2 M ql -；42 ql ；22 ql 6. ??? ??-a l a F 24 7. m 0/2；二；l /2 8. q (x )；F S (x )+ m (x ) 9. 10. 1/2 11-60题. 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：
4 3 第 7 章 弯曲强度 7－1 直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为 M 的力偶作用，如图所示。若 已知变形后中性层的曲率半径为 ρ ；材料的弹性模量为 E 。根据 d 、 ρ 、E 可以求得梁所承受 的力偶矩 M 。现在有 4 种答案，请判断哪一种是正确的。 (A) M ＝ E π d 习题 7－1 图 (B) 64ρ M ＝ 64 ρ (C) E π d 4 M ＝ E π d (D) 32 ρ M ＝ 32ρ E π d 3 正确答案是 A 。 7－2 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下 4 种答案，请判断哪一种是正确的。 (A) 细长梁、弹性范围内加载； (B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。 正确答案是 C _。 7－3 长度相同、承受同样的均布载荷 q 作用的梁，有图中所示的 4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。 l 5 习题 7－3 图 正确答案是 d 。 7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为 mm 。求：梁的 1－1 截面上 A 、
−⎜ ⎟ A I z B 两点的正应力。 习题 7－4 图 解：1. 计算梁的 1－1 截面上的弯矩： M = ⎛1×103 N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞ = −1300 N ⋅ m ⎝ 2 ⎠ 2. 确定梁的 1－1 截面上 A 、B 两点的正应力： A 点： ⎛150 ×10−3 m ⎞ 1300 N ⋅ m ×⎜ − 20 ×10−3 m ⎟ σ = M z y = ⎝ 2 ⎠＝2.54×106 Pa = 2.54 MPa (拉应力) I z B 点： 100 ×10-3m ×(150 ×10-3m ) 3 12 1300N ⋅ m ×⎜ 0.150m − 0.04m ⎟ ⎛ ⎞ σ = M z y ⎝ 2 ⎠ =1.62 ×106 Pa =1.62MPa(压应力) B () 12 7－5 简支梁如图所示。试求I-I 截面上A 、B 两点处的正应力，并画出该截面上的正应力 分布图。 习题 7－5 图
6 弯曲应力 1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。横截面上正应力公式为 j z M y I σ= 横截面上最大正应力公式为 max z M W σ= 2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为 *2 z QS I b τ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。 3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。 4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为 []max σσ≤ []max ττ≤ 根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。 5、梁的极限弯矩
6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板 部分在与翼板交界处的切应力。 图 6.1 [解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为 max 7575000Q kN N == 利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=?,最大切应力在中性轴上。 由此得 以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。此时* z S 是翼板面积对中性轴的面积 矩，由横截面尺寸可计算得 *34356021 16621( )9395009.401022 z S mm m -=??-==? 由型钢表查得4 65866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为 * max max max max 23 * max 75000 12600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I d d S τ--== ===????a MP 6.12解题范例
《工程力学》课程教学大纲 一、课程性质、目的和内容 工程力学课程是一门机械类的技术基础课。该课程是机电专业的必修课。考虑高职学习的特点和要求，该课程计划课时为90学时，主要讲授理论力学的静力学部分和材料力学基本变形部分。了解质点和刚体的运动和分析，及动力学基本知识。 二、教学的基本要求 通过本课程的学习，使学生熟悉、掌握工程力学的基本概念、掌握物体受力分析的方法，物体平衡的基本原理；掌握杆件的基本变形形式，并对其进行强度和刚度计算；从而为机电专业的学习和形成专业能力打下必要的基础。 三、教学内容及要求 绪论 第一章质点、刚体的基本概念和受力分析 教学要求： 1、明确力、质点、刚体和平衡的概念； 2、掌握力的基本规律； 3、掌握力在坐标轴上投影的计算方法及合力投影定理。 4、掌握力对点及轴的矩的概念，掌握力矩计算方法 5、了解常见约束的类型、及约束反力方向。 6、熟练掌握物体受力分析方法。 教学内容： 力的定义、力的基本性质、力系、刚体和平衡的概念；力的基本规律；力对点及轴的矩的定义及平面问题中力对点的矩的解析表达式；常见约束的类型、及约束反力方向；物体受力分析和受力图。 第二章力系的简化和平衡方程 教学要求： 1、了解平面汇交力系合成的几何法及平衡的几何条件。 2、掌握平面汇交力系合成的解析法及平衡的解析条件。 3、明确力偶的概念及等效。掌握的平面力偶系的合成与平衡条件。 4、掌握力的平移定理 5、熟练掌握平面一般力系平衡条件。 6、了解空间一般力系。 7、了解物体重心的概念及确定物体重心的几种常用方法。 教学内容： 平面汇交力系的合成与平衡、力偶的概念、力矩的平衡、平面力偶系的合成和平衡条件、力的平移定理及其应用、平面一般力系的平衡条件。了解空间一般力系、了解物体重心的概念。 第三章平衡方程的应用 教学要求：
《机械设计基础》问题及解答 一、机器与机构 （一）名词解释 1.机械：机器、机械设备和机械工具的统称。 2.机器：是执行机械运动，变换机械运动方式或传递能量的装置。 3.机构：由若干零件组成，可在机械中转变并传递特定的机械运动。 4.构件：由若干零件组成，能独立完成某种运动的单元 5.零件：构成机械的最小单元，也是制造的最小单元。 6.标准件：是按国家标准(或部标准等) 大批量制造的常用零件。 （二）简答题： 1.机器与机构的主要区别是什么？ 答：机构不能作为传递能量的装置。 2.构件与零件的主要区别是什么？ 答：构件运动的最小单元，而零件是制造的最小单元。 3. 何谓标准件？它最重要的特点是什么？试列举出五种标准件。 答：是按国家标准(或部标准等) 大批量制造的常用零件。最重要的特点是：具有通用性。例如：螺栓、螺母、键、销、链条等。 4.标准化的重要意义是什么？ 答：标准化的重要意义可使零件、部件的种类减少，简化生产管理过程，降低成本，保证产品的质量，缩短生产周期。 二、静力学与材料力学 （一）名词解释 1.强度极限：材料σ-ε曲线最高点对应的应力，也是试件断裂前的最大应力。
2.弹性变形：随着外力被撤消后而完全消失的变形。 3..塑性变形：外力被撤消后不能消失而残留下来的变形。 4..延伸率：δ=(l1-l)/l×100％，l为原标距长度，l1为断裂后标距长度。 5.断面收缩率：Ψ=(Ａ－Ａ1)/ Ａ×100％，Ａ为试件原面积，Ａ1为试件断口处面积。 6.工作应力：杆件在载荷作用下的实际应力。 7.许用应力：各种材料本身所能安全承受的最大应力。 8.安全系数：材料的极限应力与许用应力之比。 9.正应力：沿杆的轴线方向，即轴向应力。 10.剪应力：剪切面上单位面积的内力，方向沿着剪切面。 11.挤压应力：挤压力在局部接触面上引起的压应力。 12.力矩：力与力臂的乘积称为力对点之矩，简称力矩。 13.力偶：大小相等，方向相反，作用线互相平行的一对力，称为力偶 14.内力：杆件受外力后，构件内部所引起的此部分与彼部分之间的相互作用力。 15.轴力：横截面上的内力，其作用线沿杆件轴线。 16.应力：单位面积上的内力。 17..应变：ε=Δl/l，亦称相对变形，Δl为伸长(或缩短) ，l为原长。 18.合力投影定理：合力在坐标轴上的投影，等于平面汇交力系中各力在坐标轴上投影的代数和。 19.强度：构件抵抗破坏的能力。 20.刚度：构件抵抗弹性变形的能力。 21.稳定性：受压细长直杆，在载荷作用下保持其原有直线平衡状态的能力。 22.虎克定律：在轴向拉伸(或压缩) 时，当杆横截面上的应力不超过某一限度时，杆的伸长(或缩短) Δl与轴力N及杆长l成正比，与横截面积Ａ成正比。 22.拉(压)杆的强度条件：拉(压)杆的实际工作应力必须小于或等于材料的许用应力。 23.剪切强度条件：为了保证受剪构件在工作时不被剪断，必须使构件剪切面上的工作应力小于或等于材料的许用剪应力。 24.挤压强度条件：为了保证构件局部受挤压处的安全，挤压应力小于或等于材料的许用挤压应力。
第17讲教学方案 ——弯曲正应力
第七章弯曲应力§7-1纯弯曲正应力 梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横 弯曲。剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横 截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时 存在剪应力τ和正应力σ。实践和理论都证明，其中弯矩是 影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论Q = 0， M = 常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。图6-1所示梁 的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。 与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要 综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。 1．变形关系——平面假设 考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的 横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的 两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图 图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征： （1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转 动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。 （2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长， 另一侧缩短。 根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变 形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只 是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设 也称平面假设。 此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截 面上无正应力作用。 根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变 形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也 不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层 与横截面的交线为截面的中性轴。
横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。 下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。 考察梁上相距为dx 的微段（图6-4a ），其变形如图6-4b 所示。其中x 轴沿梁的轴线，y 轴与横截面的对称轴重合，z 轴为中性轴。则距中性轴为y 处的纵向层a-a 弯曲后的长度为 θρd y )(+，其纵向正应变为 ρ θρθρθρεy d d d y =-+= )( （a ） 式（a ）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。 2．物理关系 根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律 εσE = 于是有 y E ⋅= ρ σ （b ） 式中E 、ρ均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y 成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d 所示。 式（b ）还不能直接用以计算应力，因为中性层的曲率半径 ρ以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。 3．静力关系 弯矩M 作用在x-y 平面内。截面上坐标为y 、z 的微面积dA 上有作用力dA σ。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力N 以及对y 、z 轴的力矩
梁弯曲正应力测定 一、实验目的 1.用电测法测定直梁纯弯曲时的正应力分布，并与理论计算结果进行比较，以验证弯曲正应力公式。 2.了解电阻应变测量的原理，初步掌握静态电阻应变仪的使用方法。 二、实验设备名称及型号 1.WSG-80型纯弯曲正应力试验台。 2.YE2538A 程控静态应变仪。 3.应变片、导线、接线端子等。 三、实验原理 1.试样的制备：用矩形截面钢梁，在其横截面高度上等距离地沿梁的轴线方向粘贴5枚电阻应变片。 2.弯曲正应力的测量原理：梁纯弯曲时，横截面上的正应力σ在理论上沿梁的高度成线性分布，其计算公式为 z I y M ?= σ 式中，σ的单位为MPa ； M 为梁横截面上的弯矩，单位为N ·mm ； y 为应力σ所在的点到中性轴的距离，单位为mm ； I z 为横截面对中性轴z 的面积二次矩，单位为mm 4。 面积二次矩对于矩形截面按下式计算 123 bh I z = 式中，b 为梁横截面的宽度，单位为mm ； h 为梁横截面的高度，单位为mm 。 令使载荷P 对称地加在矩形截面直梁上（如图4-1所示）。这时，梁的中段将产生纯弯曲。若载荷每增加一级p ?（用增量法），则可由电阻应变仪测出梁中段所贴应变片各点的纵向应变增量ε?，根据虎克定律求出各点实测正应力增量εσ?=E 实
图4-1 此值与理论公式计算出的各点正应力的增量即 Z I My ?= 理σ 进行比较，就可验证弯曲正应力公式。这里，弯矩增量2 pa M ?= ?。 梁上各点的应变测量，采用1/4桥接线，各工作应变片共用一个温度补偿块。 四、实验步骤 1.记录实验台参数，设计实验方法。 2.准备应变仪：把梁上各测量点的应变片（工作应变片）按编号逐点接到电阻应变仪A 、B 接线柱上，将温度补偿片接到电阻应变仪接线柱上作公共补偿。 3.进行实验：把砝码托挂在杠杆上、加初载荷、调节应变仪，使各测量点均为零。加载，加一次砝码，各测量点读一次数，记下各点的应变值，直到加完砝码读数完毕为止。然后计算出各点读数差的平均值。 4.结束实验：请教师检查实验记录和数据是否齐全、正确。将实验设备、仪器、工具复原，清理实验场地。最后整理数据，完成实验报告。 五、实验记录数据
第7章直梁弯曲 本章要点 ●理解弯曲的概念和实例 ●掌握截面法求剪力和弯矩 ●掌握剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 ●掌握横力弯曲（剪切弯曲）时正应力和切应力的计算 ●掌握横力弯曲变形的计算 ●掌握提高弯曲强度的措施, 7.1梁的类型及计算简图 7.1.1对称弯曲的概念 承受设备及起吊重量的桥式起重机的大梁（图7-1）、承受转子重量的电机轴（图7-2）等，在工作时最容易发生的变形是弯曲。其受力特点是：杆件都是受到与杆轴线相垂直的外力（横向力）或外力偶的作用。其变形为杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。 图7-1 桥式起重机的大梁图7-2 承受转子重量的电机轴工程中的梁，其横截面通常都有一纵向对称轴。该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面（图7-3）。外力或外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形后的轴线在此平面内弯曲成一平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。 图7-3 对称弯曲
7.1.2梁上的载荷 作用在梁上的载荷可以简化为以下三种类型：(1)集中力；(2)集中力偶；(3)分布载荷，如图7-4a所示。 7.1.3梁的基本形式 1.简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。如图7-4a所示。 2.外伸梁 梁的支座和简支梁相同，只是梁的一端或两端 伸出在支座之外。如图7-4b所示。 3.悬臂梁 梁的一端固定，另一端自由。如图7-4c所示。 在对称弯曲的情况下，梁的主动力与约束反力构成平面力系。上述简支梁、外伸梁和悬臂梁的约束反力，都能由静力平衡方程确定，因此，又称为静定梁。 在工程实际中，有时为了提高梁的强度和刚度，采取增加梁的支承的办法，此时静力平衡方程就不足以确定梁的全部约束反力，这种梁称为静不定梁或超静定梁。 7.2梁弯曲时的内力 7.2.1剪力和弯矩 现以图7-5所示的简支梁为例来研究各 横截面上的内力。P1、P2和P3为作用于梁上 的载荷，R A和R B为两端的支座反力。为了 显示出横截面上的内力，沿截面mm假想地 把梁分成两部分，并以左段为研究对象。由 于原来的梁处于平衡状态，所以梁的左段仍 应处于平衡状态。作用于左段上的力，除外 力R A和P1外，在截面m-m上还有右段对它 作用的内力。把这些内力和外力投影于y轴， 其总和应等于零。一般说，这就要求截面 m-m 图7-4梁的类型 图7-5 截面法求剪力和弯矩
直梁的弯曲 在机械、建筑等工程中存在大量受弯曲的杆件，如起重机大梁，火车轮轴等，我们从广义上把这种一般承受的外力以横向力为主，且杆件变形以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 一、直梁弯曲的概念 （一）直梁平面的概念 杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线（如图1所示）。这种以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。 F 图1 直梁 载荷作用在同一平面，并使梁的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称为平面弯曲。梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合。 工程中常见的直梁弯曲如图2所示。 (a)
(b) (c) 图2 常见的直梁弯曲 二、直梁的分类 梁的支承情况和载荷情况各种各样，通常用一个计算简图代替梁。在分析梁的内力和变形时，以梁的轴线来代替梁。梁的载荷可简化为集中力、集中力偶和分布载荷。梁的支座可简化为固定端、固定铰支座及可动铰支座。按梁的支撑方法来分，梁可简化成以下几种力学模型：
1.简支梁：一端为固定简支铰链，另一端为可活动铰链,如图3（a ）所示。 2.外伸梁：由一个固定铰链和活动铰链支撑，一端或两端梁一端或两端伸出支座外,如图3（b ）所示。 3.悬臂梁：梁一端固定约束，另一端自由,如图（c ）所示。 4.连续梁：一端为固定简支铰链，另一端有多个可活动铰链,如图3（d ）所示。 5.半固定梁：梁一端固定约束，另一端为可活动铰链,如图3（e ）所示。 6.固定梁：梁的两端均为固定约束，如图3（c ）所示。 图3 直梁的简化力学模型 其中简支梁、外伸梁、悬臂梁是静定梁的三种基本形式。 三、直梁横截面上的内力——剪力和弯矩 简支梁 外伸梁 悬臂梁 （a ） （b ） （c ） 连续梁 半固定梁 固定梁 （d ） （e ） （f ）
梁的内力分析方法 沈阳市装备制造工程学校侯敏 摘要本文归纳总结了计算梁的内力方法以及梁的内力与载荷及结构之间的规律，并以汽车起重机底架大梁为例，对梁的内力求解方法作了分析。 关键词梁内力约束扭转载荷简化 前言工程上把以弯曲变形为主的结构件称为梁。计算梁的内力是进行梁的强度设计的基础性工作。梁在垂直于其轴线的横向外力或纵向面内的外力偶作用下，内部横截面上必然产生与外力抗衡两个内力分量，即剪力和弯矩。用截面法求内力，建立剪力、弯矩方程，根据方程绘剪力、弯矩图是一种基本方法。而用剪力、弯矩图的规律直接绘制内力图更是一种“事半功倍”的快捷方法。对结构及受载荷复杂的梁，要分析清楚其受力，简化为合理的模型，再求出其内力的大小。 正文一、截面法 用截面法求内力，建立剪力、弯矩方程，根据方程绘剪力、弯矩图是一种基本方法。 二、剪力图和弯矩图 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图的基本方法有二种： 1.剪力、弯矩方程法 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即 Q=Q(x) M=M(x) 上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。 画剪力图和弯矩图时，首先要建立Q-x和M-x坐标。然后根据截荷情况分段列出方程。由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面。求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负号），并将这些数值标在Q-x、M-x坐标中相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明最大的数值位置。 2.微分关系法 考察承受任意载荷的梁。从梁上受分布载荷的段内截取微段，观察其受力，作用在微段上的分布载荷可以认为是均布的，并设向上为正。微段两侧截面上的内力均设为正方向。若x截面上的内力为Q(x)、M(x)，则x+dx截面上的内力为Q(x)+d Q(x)、M(x)+d M(x)。因为梁整体是平衡的，dx微段也应处于平衡。根据平衡条件∑y=0和∑mo=0，得到 去其中的高阶微量后得到 (1) (2) 利用式（1）和（2）可进一步得出
弯曲的内力与强度计算 一、判断题 1.如图1示截面上，弯矩M和剪力Q的符号是：M为正，Q为负。（） 图1 2.取不同的坐标系时，弯曲内力的符号情况是M不同，Q相同。（） 3、在集中力作用的截面处，Q图有突变，M连续但不光滑。（） 4、梁在集中力偶作用截面处，M图有突变，Q图无变化。（） 5.梁在某截面处，若剪力Q=0，则该截面的M值一定为零值。（） 6.在梁的某一段上，若无荷载作用，则该梁段上的剪力为常数。（） 7.梁的内力图通常与横截面面积有关。（） 8.应用理论力学中的外力定理，将梁的横向集中力左右平移时，梁的Q图，M图都不变。（） 9.将梁上集中力偶左右平移时，梁的Q图不变，M图变化。（） 10.图2所示简支梁跨中截面上的内力为M≠0，Q=0。（） 图 2 图 3 11.梁的剪力图如图3所示，则梁的BC段有均布荷载，AB段没有。（） 12.上题中，作用于B处的集中力大小为6KN，方向向上。（） 13.右端固定的悬臂梁，长为4m，M图如图示，则在x=2m处，既有集中力又有集中力偶。（）
图 4 图 5 14.上题中，作用在x=2m处的集中力偶大小为6KN·m，转向为顺时针。（） 15.图5所示梁中，AB跨间剪力为零。（） 16.中性轴是中性层与横截面的交线。（） 17.梁任意截面上的剪力，在数值上等于截面一侧所有外力的代数和。（） 18.弯矩图表示梁的各横截面上弯矩沿轴线变化的情况，是分析梁的危险截面的依据之一。（） 19.梁上某段无荷载作用，即q=0，此段剪力图为平行x的直线；弯矩图也为平行x轴的直线。 （） 20.梁上某段有均布荷载作用，即q=常数，故剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。（） 21.极值弯矩一定是梁上最大的弯矩。（） 22.最大弯矩Mmax只可能发生在集中力F作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的强度条件。（） 23.截面积相等，抗弯截面模量必相等，截面积不等，抗弯截面模量必不相等。（） 24.大多数梁都只进行弯曲正应力强度核算，而不作弯曲剪应力核算，这是因为它们横截面上只有正应力存在。（） 25.对弯曲变形梁，最大挠度发生处必定是最大转角发生处。（） 26.两根不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么对此两根梁弯曲变形有关量值，有如下判断： （1）最大正应力相同；（） （2）最大挠度值相同；（） （3）最大转角值不同；（） （4）最大剪应力值不同；（） （5）强度相同。（） 27.两根材料、截面形状及尺寸均不同的等跨简支梁，受相同的荷载作用，则两梁的反力与内力相同。（）
第六章 弯曲应力 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。应熟练理解和掌握这些基本概念。 1.2 平面弯曲 工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。 外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。 1.3 弯曲正应力 梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。弯曲正应力公式 z I My = σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。 1.4 弯曲切应力 弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式 * z z F S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的 宽度；* z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。 1.5 弯曲强度条件 1 正应力强度条件
目录 引言 (2) 一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2) 1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2) 1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5) 1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7) 1.4 圣维南原理 (9) 1.5 工程结构实例分析 (11) 二圆轴扭转 (15) 2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15) 2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15) 2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15) (1) 横截面上的切应力 (15) (2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15) 三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20) 3.1 梁的弯曲内力、变形 (20) 3.2 弯曲应力 (27) 3.3 工程实例： (31) 四、压杆稳定 (35) 4.1、压杆稳定的概念 (35) 4.2、临界压力 (35) 4.3、三类压杆的临界载荷 (36) 4.4、压杆稳定性计算 (36) 4.5 工程实例4 (38)
引 言 《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。 本研究内容包括三部分： （1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画； （2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。 （3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。 一 杆件受拉压的内力、应力、变形 1.1轴向拉压的内力、轴力图 在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。 在轴向外力作用下，杆件横截面上唯一的内力分量是轴力N F 轴向拉压杆件的受力特点：作用于杆件上的合外力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的延长或缩短。 对如图1-1a 所示的两端受轴向外力p F 作用的杆件，用一假想平面沿任意横截面将杆截为两段，由任一部分的平衡方程0=∑F ,可求得截面上的轴力 N F =p F (如图1-1b)
第七章直梁弯曲时的内力和应力 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______. 13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________ 14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度. 15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。 16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向_________凸的抛物线。 17、弯矩图的凹凸方向可由分布载荷的_________符号确定。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是__________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横截面上。
梁弯曲时的正应力
§7-1 梁弯曲时的正应力 一、纯弯曲时的正应力 如图7-2a 所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图加图7-2b 、c 所示。在梁的AC 和DB 段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪力弯曲或横力弯曲。在CD 段中，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。 b ) c )a ) 图7-2 为了使问题简单，现以矩形截面梁为例，推导梁在纯弯曲时横截面上的正应力。其方法和推导圆轴在扭转时的剪应力公式的方法相同，从几何变形、物理关系和静力学关系等三方面考虑。 1、几何变形 为观察梁纯弯曲时的表面变形情况，在矩形截面梁的表面画上一些纵向直线和横向直线，形成许多小矩形，然后在梁两端对称位置上加集中荷载P ，梁受力后产生对称变形，在两个集中荷载之间的区段产生纯弯曲变形，如图7-3所示。从实验中观察到如下现象： m n n m a ) b ) d )i j i j 图7-3 1）所有纵向直线均变为曲线，靠近顶面（凹边）的纵向线缩短，靠近底面（凸边）的纵向线伸长，如图7-3b 中的i ′—i ′和j ′—j ′。 2）所有横向直线仍为直线，只是各横向线之间作了相对转动，但仍与变形后的纵向线正交, 如图7-3b 中的m ′—m ′。
3）变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长区减小，在纵向线缩短区增大，如图7-3b 右所示。 根据以上观察到的现象，并将表面横向直线看作梁的横截面，可作如下假设： 1）平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕某轴旋转了一个角度，但仍垂直于梁变形后的轴线。 2）单向受力假设：认为梁由无数微纵向纤维组成。各纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，各纵向纤维无挤压现象。 根据平面假设，梁变形后的横截面转动，使得梁的凸边纤维伸长，凹边纤维缩短。由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层，如图7-3d 所示。中性层与横截面的交线称为中性轴（图7-3d ）。它将横截面分为受拉和受压两个区域。在图示平面弯曲情况下的梁，由于外力作用在梁的纵向对称平面内，故梁的变形也对称于此平面，因此，中性轴应垂直于截面的对称轴。 简而言之，在纯弯曲条件下，梁的各横截面仍保持平面并绕中性轴作相对转动，各纵向纤维处于纵向拉伸（压缩）状态。 根据上述假设，由几何关系可推求出横截面上任一点处纵向纤维的线应变，从而找出纵向线应变的变化规律。为此，在梁上截取一微分段dx 进行分析，如图7-4所示。 2 n ' 图7-4 设中性轴为坐标轴z ，截面的对称轴为y ，向下为正。现分析距中性层y 处的纵向纤维ab 的线应变。梁变形后截面m －m 、n －n 之间的相对转角为d θ，纤维ab 由直线变成弧线，O 为中性层的曲线中心，ρ为其曲率半径，则纤维ab 的纵向变形为： 121 2()()dx a b ab a b o o a b o o y d d yd ρθρθθ''''''''∆=-=-=-=+-= 纤维ab 的纵向线应变为： ()dx yd y dx d θερθρ ∆= == （7-1） 对于确定的截面来说，ρ是常量。因此式（7-1）表明，同一横截面上各点处的纵向线应变与该点到中性轴的距离y 成正比。 2、物理关系 由于假设纵向纤维只受单向拉伸或压缩，若正应力未超过材料的比例极限，由胡克定律可得：
第7章弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截
面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 θy ρb'b')d (+= 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 θρO'O'OO bb d === 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)
第8章梁的弯曲应力 梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。并简要介绍一点的应力状态和强度理论。 8.1梁的弯曲正应力 平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯 矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。 而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只 有弯矩，这种情况称为纯弯曲。下面推导梁纯 弯曲时横截面上的正应力公式。应综合考虑变 形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方 面。 8.1.1 弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试 验，观察弯曲变形的现象。取一具有对称截面 的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂 直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间 靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图 8.2(a)所示。然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁 的中段处于纯弯曲状态。从试验中可以观察到图 8 .2(b)情况： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交， 只是横线间作相对转动。 （2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线 缩短，靠近梁底面的纵线伸长。 （3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵 线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压 时的变形相似。 根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假 设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正 交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或 压应力。前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
第六章直梁弯曲 弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。 第一节平面弯曲的概念和力学简图 一、弯曲概念和受力特点 当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内 受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在 外力作用下其轴线变成了一条曲线。这种形式的变形称 为弯曲变形。工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为 梁。 图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。 图6-2 工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。 图 6-3 图6-4 若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。 从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。 二、梁的受力简图
为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。 1、梁的简化 由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。 2、荷载的简化 作用于梁上的荷载可以简化为： （1）集中力如火车车厢对轮轴的作用力及起重机吊重对大梁的作用等，都可简化为集中力（图6-1和图6-2）。 （2）集中力偶若分布在很短的一段梁上的力能够形成力偶时，可以不考虑分布长度的影响，简化为一个集中力偶。 （3）均布分荷将荷载连续均匀分布在梁的全长或部分长度上，若其分布长度与梁长比较不是一个很小的数值时（用q表示），则q称为均布荷载的荷载集度。例如，楼房大梁承受自重和预制板的作用，所受荷载可简化为均布荷载。若荷载分布连续但不均匀，则称为分布荷载，用) q表示，) (x q称为分布荷载的荷载集度。 (x 3.支座的简化 按支座对梁的不同约束特性，静定梁的约束支座可按静力学中对约束简化的力学简图，分别简化为固定铰支座、活动铰支座和固定端支座。 4.静定梁的力学简图 根据梁所受不同的支座约束，梁平面弯曲时的基本力学简图可分为以下三种类型。 （1）简支梁梁的两端分别为固定铰支座和活动铰支座（图6-5a）。 （2）外伸梁梁的两支座分别为固定铰支座和活动铰支座，但梁的一端（或两端）伸出支座以外（图6-5b）。 （3）悬臂梁梁的一端为固定端约束，另一端为自由端（图6-5c）。如外伸阳台等。 图 6-5 以上梁的支座反力均可通过静力学平衡方程求得，因此称为静定梁。若梁的支座反力的个数多于独立平衡方程的个数，支座反力就不能完全由静力学平衡方程式来确定，这样的梁称为超静定梁。 第二节弯曲的内力分析、剪力图和弯矩图概念 当作用在梁上全部的外力（包括荷载和支座反力）确定后，应用截面法可求出任一横截面上的内力。 一、用截面法求剪力和弯矩