第 7章 线性变换
知识点归纳与要点解析
一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义
数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：
σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质
设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈L 。 性质1. ()()00,σσαα==-;
性质2. 若12s ,,,αααL 线性相关，那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,αααL 线性无关，那么()()()12s ,,,σασασαL
也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββL ，12,,,s γγγL 是V 中的两个向量组， 如果：
11111221221122221122s s
s s
m m m ms s
c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L L
L L
L
记：
()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ??
?
?
= ?
???
L L
L L M M M L
于是，若()dim V n =，12,,,n αααL 是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββL 是
V 中任意一组向量，如果：
()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n
b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L L
L
L
L
记：
()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L
那么：
()()
1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα??
? ?
= ?
???
L L L L M M M L
设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ??
?
?
= ?
???
L L
M M M L
，12,,,m ηηηL 是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηηL 是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组，那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就是
()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的
秩等于秩()B 。
4. 线性变换举例
（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。
零变换： ()00,V αα=?∈； 恒等变换：(),V εααα=?∈。
幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使
得σ
=m
0，就称σ为幂零变换。
幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果2
σσ=，就称σ为幂等
变换。
（2）n
V P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ，令：
1112
22n n n n x x x x x x A ,P x x x σ?????? ? ? ? ? ? ?=?∈ ? ? ? ? ? ???????
M M M 。 （3）[]V P x =，()()
()()[]D f x f x ,f x P x '=?∈。 （4）n n
V P
?=，()
ij A a =是V 中一固定矩阵，()n n X AX ,X P τ?=?∈。
二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法
（1） 定义： 设V 是数域P 上的线性空间，,στ是V 的两个线性变换，定义它们的和
στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈
()()()()στασατα+=+，()()()()στασ
τα=
任取k P ∈，定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈
()()()k k σασα=
σ的负变换-σ为：对任意的V α∈
()()()-=-σασα
则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换。
（2）()L V ={σ
σ为V 的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线
性空间。
2. 线性变换的矩阵
（1）定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换，12,,,n αααL 是V 的
一组基，如果：
()()()11111221221122221122n n n n n n n nn n
a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++L L L
L
L
L
那么称矩阵112111222212n n n n nn a a a a a a A a a a ??
? ?
=
?
???
L
L M M M L
为线性变换σ在基12,,,n αααL 下的矩阵。 此时：()()()()()()121
2
1
2
,,,,,,,n n
n
A σααασασασαααα==
L L L
（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：
设12,,,n αααL 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，(),L V στ?∈，设 它们在12,,,n αααL 下的矩阵分别为A,B 。
1）():n n f L V P ?→，A σa 是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ?的同构映射，因此()n n L V P ??。
2）σ可逆?A 可逆
3）①στ+、στ与-σ在基12,,,n αααL 下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈，k σ在基12,,,n αααL 下的矩阵为kA ； ③ 若σ为可逆线性变换，则1
σ-在基12,,,n αααL 下的矩阵为1
A -；
④ 设()1
110m
m m m f x a x a x
a x a --=++++L 为数域P 上的任一多项式，那么
()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++L （ε为V 的恒等变换）在基
12,,,n αααL 下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++L 。
三．特征值、特征向量与对角矩阵
1. 矩阵的特征值与特征向量
（1）矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵，将多项式()λλ=
-A n f E A 称为A 的特征
多项式。
注： 1）若()
ij
nn
A a =，则：
()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-L L n
n n A n nn f E A a a a A
()()()11tr 1λλ-=+-++-L n
n n A A
2) 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵，
0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程。
（2） 定义：n 级方阵A 的特征多项式()λλ=
-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特
征值（根），设0λ∈C 是A 的特征值，齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量。
（3）求法：
1）求()λλ=
-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλL n ,,,（重根按重数计算）
； 2）对()1λ=L k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ，得其一个基础解系
12,,,,ηηηL k
k k k l （=-k l n 秩()λ-k n E A ），则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特
征向量为1122,,ηηη+++L k k k k k k k l k l s s s ，其中12,,,,L k k k k l s s s 为不全为零的任意常
数（复数）。
（4） 重要结论：
1）设0λ∈C 是A 的特征值，0X 是A 的属于其特征值0λ的特征向量，()g x 为一复系数多项式。
① ()0λg 为()g A 的特征值，0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量； ② 如果A 还是可逆矩阵，那么
1
λ与
λA
分别为1-A 和*A 的特征值，0X 为1-A 的属
于特征值
1
λ的特征向量，0X 为*
A 的属于特征值
λA
的特征向量，
③ 若12λλλL n ,,,是矩阵A 的全部特征值，那么()()()12λλλL n g ,g ,,g 就是()g A 的全部特征值，如果A 还是可逆矩阵，则
12
111
λλλL n
,,,为1-A 的全部特征值，
12
λλλL n
A A A
,,,为*A 的全部特征值；
2）若12λλλL n ,,,是矩阵A 的全部特征值，那么()12tr λλλ=+++L n A ，
12λλλ=L n A 。
2. 线性变换的特征值与特征向量
（1）定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，0λ∈P ，若存在0α≠∈V ，使得
()0σαλα=，就称0λ为σ的一个特征值，α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量。 （2）线性变换的特征多项式
设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，任取V 的一组基12,,,n αααL ，设σ 在该基下的矩阵为A ，称矩阵为A 的特征多项式
λ-n E A 为σ的特征多项式，记为
()σλλ=-n f E A ，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。
（3）求法：设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换。
1）取定V 的一组基12,,,n αααL ，求出σ在该基下的矩阵A ； 2）求()σ
λλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλL
m ,,,（0≤≤m n ，重根按重数计算，
且0=m 表示σ无特征值）。
3）若0>m ，对()1λ=L k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ，得其一个基础解系12,,,,ηηηL k k k k l （=-k l n 秩()λ-k n E A ），则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为
()()
121122,,,,,αααηηη+++L L
k k
n k k k k k l k l s s s ，其中
12,,,,L k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数。
3. 矩阵相似
（1）定义：设A,B 是数域P 上的两个n 级方阵，如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ，
使得1-=T AT B ，就称矩阵A 相似于矩阵B ，记为:A B 。 （2）性质：
1）矩阵相似是等价关系，即：设A,B,C 都是n 级方阵，那么：
①:A A ； ② 若:A B ，那么:B A ；③ 若:A B 且:B C ，则:A C 。 2）若:A B ，那么()()λλλλ=
-==-A n B n f E A f E B ，
因此矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值，相同的迹（()()tr tr =A B ），相同的行列式（=A B ）。
3）两个实对称阵相似?它们有相同的特征值。
（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。
（4）若1
-=T AT B ，那么1
-+
=?∈k
k
B T A T ,k Z 。
4. 线性变换与矩阵可对角化 （1）矩阵可对角化
1）设A 是n 级方阵，如果存在n 级可逆矩阵T ，使得1
-T AT 为对角阵，则称A 可对角化。
2）n 级方阵A 可对角化?A 有n 个线性无关特征向量。 3）如果n 级方阵A 有n 个不同的特征值，则A 可对角化。 4）设12λλλL k ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值，
()()()()1212λλλλλλλλ=-=---L k l l l
A n k f E A
称()12=L i l i ,,,k 为λi 的代数重数；
称=-i s n 秩()()12λ-=L i n E A i ,,,k 为λi 的几何重数；
()12≤=L i i s l i ,,,k ；
n 级方阵A 可对角化?对12=L i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数。
注：1. 设齐次线性方程组()0λ-=i n E A X 的解空间为i W ，则()dim =i i s W
2. 称{}λααλα=
∈=i n
i V C
A 为
n 级方阵A 的属于特征值λi 的特征子空间，那么()
dim λ=i i s V
（2）线性变换可对角化
1） 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，如果存在V 的一组基，使得σ 在
该基下的矩阵为对角阵，就称σ可对角化。
2）数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换σ可对角化?σ有n 个线性无关特征向
量。 3）设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，如果σ有n 个不同的特征值，则σ
可对角化。
4）设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，σ在V 的一组基下的矩阵为A ， 设12λλλL k ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值。
① 若12λλλ∈L k ,,,P ，那么：
σ可对角化?对12=L i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数。
② 若12λλλL k ,,,不全在数域P 中，则σ不可对角化。
注：λi 的几何重数 =()
dim λi V ，其中(){}
λασαλα=∈=i i
V V 为σ的属于特征值λi 的特征子空间。
四．线性变换的值域与核
1.定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，将()(){}1
00V σ
ασα-=∈=，
(){}V V σσαα=∈分别称为线性变换σ的核与值域（()10σ-与V σ也分别记为ker σ
与Im σ）。
2.线性变换的秩与零度： V σ与()1
0σ
-都是V 的子空间，将()dim V σ 与()()
1dim 0σ-分别称为σ的秩和零度。
3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核
设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换，12,,,n αααL 为V 的一组基， σ 在该基下的矩阵为A ，=r 秩()A ，1122n n a a a V αααα=+++∈L 。
1）()12
1
0n a a a ασ-?? ? ?∈? ? ???
M 是齐次线性方程组0=AX 的解。
2）若12,,,ηηη-L n r 是0=AX 的一个基础解系，那么12,,,γγγ-L n r （其中
()()12,,,1,2,,γαααη==-L L k n k k n r ）就是()10σ-的一组基，于是：
()()1
dim
0n r σ-=-
()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈L L L
因此σ的秩和零度为n r -。 3）()()()()1
2
n
V L
,,,σσασασα=L
于是()()()12σασασαL n ,,,的一个极大线性无关组就是V σ的一组基，而
()()()12σασασαL n ,,,的秩等于秩()A =r ，所以()dim V r σ=，即σ的秩为
秩()A =r 。 4）()()()1
dim dim 0V n σσ-+=。
3. 求法：
设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换。 1）()1
0σ
-的求法：
① 取定V 的一组基12,,,n αααL ，求出σ在该基下的矩阵A ；
② 解齐次线性方程组0=AX ，得其一个基础解系12,,,ηηη-L n r （=r 秩()A ）； ③ 令()()12,,,1,2,,γαααη==-L L k n k k n r ，得()1
0σ
-的一组基
12,,,γγγ-L n r ，
()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈L L L
2）V σ的求法：
① 取定V 的一组基12,,,n αααL ，求出σ在该基下的矩阵A ；
② 设矩阵A 的列向量组为12,,,n ηηηL ，求出12,,,n ηηηL 的一个极大线性无关组12,,,r i i i ηηηL 就得到
()()()12σασασαL n ,,,的一个极大线性无关组
()()()1
2
σασασαL r
i i i ,,,，()()()1
2
σασασαL r
i i i ,,,就是V σ的一组基。
()()()()12r
i i i V L ,,,σσασασα=L
()
()
()
{}
112212σασασα=+++∈L L r r r i i i i i i i i i l l l l ,l ,,l P
五．不变子空间
1. 定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对α?∈W ，
都有()σα∈W （即()σ?W W ），就称W 是σ的不变子空间，也称σ-子空间。 2. 设V 是数域P 上的线性空间，那么{}0与V 都是V 的任一线性变换的不变子空间。 3. 设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，λ是σ的任意一个特征值，那么σ的特征子空间(){}
λασαλα=∈=V V 都是σ的不变子空间。
4. 线性变换的循环子空间：设σ是数域P 上的0n >维线性空间V 的线性变换，任取
0V α≠∈，必存在正整数m ，使得()()1m ,,,ασασα-L 线性无关，而
()()m ,,,ασασαL 线性相关，令()()()1m W L ,,,ασασα-=L ，则W 是σ的不变子
空间，称W 为σ的循环子空间。
5. 设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换，W 是σ的不变子空间，
()0 230 ?? ??? A A A ，其中1A 为σW 在W 的基12,,,αααL m 下的矩阵。 六．若尔当 (Jordan) 标准形 1.若尔当块与若尔当形矩阵： 1）若尔当块：形式为 ()00001 00 000100001t t J ,t λ λλλλ??? ? ? ?= ? ? ?? ?L L M M M M M L L 的矩阵称为若尔当块，其中λ为复数。 2）若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如： 12 s A A A ?? ? ? ? ?? ? O 其中：1 11 i i i i i i i k k A λλλλ??? ? ? ?= ? ? ?? ?O O ，且12s ,,,λλλL 中有些可以相等。 2. 复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵 1）设σ是复数域C 上的0n >维线性空间V 的任意一个线性变换，那么必存在V 的一组基，使得σ在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。 2）每个n 级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。 3. 设σ是复数域上的0n >维线性空间V 的线性变换，那么σ幂零?σ的特征值都为零。
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