线性变换思想在中学数学中的应用 摘要：本文首先给出了线性变换的定义以及中学数学中涉及到的几种特殊的线性变换，包括其表达式及特征等。然后介绍了这几种线性变换在中学几何中的意义, 它是普通线性变换的一个自然推广,同时研究了线性变换在几何中的应用。最后,给出了具体实例说明了利用线性变换解决中学中平面几何题的方法以及线性变换思想在中学数学中的影响。 关键词：线性变换中学数学几何应用 随着社会的进步和时代的发展，针对我国中学数学课程现状，制定和实施新 的课程标准势在必行。2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下 简称《标准》)。由参考文献[1]、[2]、[3]、[4]可知： 《标准》规定的课程与以往的课程相比，内容上发生很大的变化，尤其在选修系列中，增加了矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、风险与决策、开关电路与布尔代数等内容，矩阵与变换是选修系列的内容。 矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，认真研究怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，最终用矩阵来表示线性变换可以更有效地学习和运用这部分知识。中学数学引入矩阵初步知识，主要是为表达数据提供新的工具。矩阵作为研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。由矩阵建立的线性变换就是 平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用，用二阶矩阵 a b c d ?? ?? ?? 确定的变换, 就是构造映射,使平面上的点(向量) x y ?? ?? ?? 变成(对应)点(向量)1 1 x y ?? ?? ?? = a b c d ?? ?? ?? x y ?? ?? ?? ,这个映射
第２２卷第７期２００３年７月 大学 ＣＯＩ，ＬＥＧＥ 物理 ＰＨＹＳＩＣＳ Ｖ０ｌ２２Ｎｏ７ Ｊｕｌｙ２００３线性常微分方程的保线性变换及其应用 柬仁贵１，束萱２，李珍１ （１．东北师范大学物理系，吉林长春１３００２４；２清华大学经管学院．北京１０００８４） 摘要：研究了线性常微分方程的保线性变换，得到任意两个二阶线性常微分方程等价的条件，并用于求解一类二阶线性变系数齐次常微分方程对数学物理方法教学中怎样通过适当的变换把给定的二阶线性变系数齐次常微分方程化为可解的方程给出了合理解释 关键词：二阶线性常微分方程；保线性变换 中圈分类号：ｏ４１ｌ文献标识码：Ａ文章编号：１０００．０７１２（２００３）０７—００１１—０５ ｌ引言 二阶线性常微分方程在物理学及科学技术中有广泛的应用“。２ｏ根据线性常微分方程的一般理论，求任何线性非齐次常微分方程的解都归结为求相应齐次常微分方程的基本解组”…然而，即使对二阶线性变系数常微分方程，至今也没有求出其基本解组的一般方法在通常的高等数学及数理方法教科书中都给出了二阶线性常系数常微分方程及一些特殊函数方程求解方法，如果能够通过适当的变换把一个给定的二阶线性变系数常微分方程化为这些可解的方程，则很容易得出该二阶线性变系数常微分方程的通解问题在于如何知道这个方程能否化为可解的方程并通过怎样的变换才能化为可解的方程 本文基于线性常微分方程的一般特性”Ｊ，研究了常见的保线性变换．得到联系两个二阶线性常微分方程的等价关系，进而导出一个给定的二阶线性变系数常微分方程可化为已知可解的方程的判别式并确定相应的变换这就扩大了二阶线性变系数常微分方程求解的途径，同时可对数学物理方法教材中一些常见的变换“探本求源”，给出合理的解释 ２常见的保线性变换 在常微分方程的一般理论中，线性性质尤为重要能保持微分方程的线性性质的变换统称为保线性变换下面讨论最常见的两种保线性变换 ２．１变换，（ｚ】．“（ｔ）ｅ“”的保线性性质 为确定起见．在以下讨论中规定一般的二阶线性变系数常微分方程的标准方程为 挈岬（ｚ）塞＋Ｑ（ｍ＝０（１）对方程（１）作变换得 ｙ（ｚ）＝“（ｆ）ｅ“”（２）即同时作未知函数的齐次线性变换和自变量的变换，经过通常的微分运算方程（１）可化为未知函数“关于自变量为￡的二阶线性常微分方程： ；（￡）２＋二［塞＋ｚ二（老）２＋Ｐ害］＋“［；（塞）２＋；（睾＋，盎）＋ｉ２（￡）２＋Ｑ］＝。 （３）可见变换（２）能保持微分方程的线性性质，是保线性变换 ２．２二阶线性齐次常微分方程对自变量求ｎ阶导数的线性不变性 为便于讨论，设一般的二阶线性变系数常微分方程为 ｎｏ（ｚ）ｙ”（ｚ）＋ｎｌ（。）Ｊ７（ｚ）＋口２（ｚ）√（Ｔ）＝０（４） 收稿日期：２００２０７１ｓ 基盒项目：东北师范大学“优师工程”资助项目 作者简介：束仁责（１９４３一），男．江苏镇距人，东北师范大学物理系剐教授，硕士，主要从事教学物理研究与教学，数学物理方法课主讲教师
第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则
cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
三维线性变换 陈祥科 1、线性空间 (2) 1.1、线性空间的代数定义 (2) 1.2 线性空间的基和维度 (2) 2、线性变换 (2) 2.1、变换的定义 (2) 2.2、线性变换的定义 (2) 2.3线性变换的性质 (3) 2.4、线性变换下的坐标变换 (3) 2.5、线性变换的矩阵表示： (3) 3、三维图形的几何变换 (4) 3.1平移变换 (5) 3.2缩放变换 (5) 3.3绕坐标轴的旋转变换 (5) 3.4绕任意轴的旋转变换 (6) 4、三维线性变换的应用实例 (7) 4.1 三维图形变换理论 (7) 4.1.1 三维图形的几何变换 (7) 4.1.2 组合三维几何变换 (8) 4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 (9) 4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 (9) 4.2 叉车稳定性试验的仿真 (10) 4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 (10) 4.2.2 横向稳定性试验的仿真 (11) 4.3 结论 (12)
1、线性空间 1.1、 线性空间的代数定义 一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。 1.2 线性空间的基和维度 对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。显然，三维空间的基有3个元素组成。三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。 2、线性变换 2.1、变换的定义 变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式 β=T(α) 称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。 2.2、线性变换的定义 R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足 ()()()()() a k ka b a b a σσσσσ=+=+ 其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式： )()()(βσασβασl k l k +=+ F l k R ∈∈?,,,βα
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学
姓名： 学号： 线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.
第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线 性变换 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但 （4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-
1. 什么是线性空间？什么是线性变换？线性变换的秩如果小于空间的维数将会怎样？平方的秩？ 2. 描述一下密度矩阵的特征，纯态和混合态的区别（表现在密度矩阵的秩） 3. 什么是U 变换，U 变换对应的矩阵满足什么样的特点。U 矩阵一定是可对角化的吗？对应欧氏空 间的正交变换有什么特点？正交变换对应的矩阵的矩阵元一定是实的吗？ 4. 什么是厄米算符，厄米算符的物理意义？对应的矩阵具有什么样的特点？厄米算符的本征值具有 什么样的特征？厄米算符对应的矩阵的矩阵元是实的吗？厄米算符是否可以表示成实矩阵，特点是什么？互相对易的厄米算符具有共同的本征态，具有共同本征态的算符一定是对易的吗？具有共同本征值的呢？厄米算符的和是厄米算符吗？厄米算符的乘积呢？直积呢？不对易的厄米算符一定不可交换吗？ 5. exp （A ）exp （B ）＝exp （A+B ）？LnA 怎么计算？ 6. 简单介绍一下三种picture 的物理意义，态的特征，算符的特征。为什么采用这三种picture ，只有 这三种picture 吗？你觉得相互作用picture 可以用在什么地方？Heisenberg picture 的波函数不随时间演化，本征态呢？与哈密顿量对易算符的本征态呢？本征值怎么样？ 7. 传播子的物理意义？路径积分与惠更斯原理有什么联系吗？两个光子能够叠加吗？最小作用原 理和路径积分的联系。 8. 什么是态的纠缠？什么是直积态？ 9. 量子力学的五大假设是什么？什么是测量假设？测量假设可以从量子力学的其它假设推导出来 吗？能够从态演化过程推导出来吗？它是一个物理过程吗？ 10. EPR 佯谬讲了一些什么内容？说明了什么物理本质？ 11. Bell 不等式怎么写？它有什么作用？2),(),(),(),(≤-++=''''b a b a b a b a u u E u u E u u E u u E S 12. 在quantum teleportation 中，对于粒子1的初态10βαψ+=，如果根据粒子1和2的Bell 基测 量结果推知粒子3的量子态为10βαψ-=，10αβψ+=以及10αβψ-=，怎么样才能是粒子3的态恢复到粒子1原来的量子态？ 13. 什么是定态？ 第二次作业中的2.2题中的(e)小问, 为什么在上一次测量x μ得到0μ+之后隔一个时间间隔t ?再测量x μ，得到0μ+的几率并不完全等于1？ 1). 若体系的H 不显含时间t ，在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态)()0,(E ψψ=，其中),(),(t r E t r H E E ψψ=，则 ]/exp[)(),( iEt t E -=ψψ
第七章 线性变换 3．在[]P x 中， ()()f x f x '=，()()f x xf x =，证明： - = ． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有 ()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=- (())()()()xf x xf x f x f x ''=-== ， 于是 - = ． 4．设 , 是线性变换，如果 - =，证明： 1 ,1k k k k k -- =>． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明 当2k =时，由于 -=，可得 2 2 ()()2 - = -+-=， 因此结论成立． 假设当k s =时结论成立，即 1 s s s s -- =．那么，当1k s =+时，有 1 1 ()() (1) s s s s s s s s s s ++- =-+-=+ =+， 即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由 =可知，结论对1k =也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果 =αβ， 那么，用1 -作用左右两边，得到1 1 ()()--== =ααββ ，因此是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在
1 V -= ∈αβ，使得1 ( )-==αββ，即 是满射．于是是双射． 『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射是V 到自身的同构． 6．设 12,, ,n εεε是线性空间V 的一组基， 是V 上的线性变换，证明 可逆当且仅当 12,, , n εεε线性无关． 证法1 若 是可逆的线性变换，设112 2n n k k k +++=0εεε，即 1122()n n k k k ++ +=0εεε． 而根据上一题结论可知是单射，故必有1122n n k k k ++ +=0εεε，又由于12,, ,n εεε是线性无关的， 因此120n k k k == ==．从而12,, , n εεε线性无关． 反之，若 12,, , n εεε是线性无关的，那么12, , , n εεε也是V 的一组基．于是，根据 教材中的定理1，存在唯一的线性变换 ，使得 ()i i =εε，1,2,,i n =．显然 ()i i =εε， ()i i = εε，1,2, ,i n =． 再根据教材中的定理1知， == ．所以是可逆的． 证法2 设 在基12,, ,n εεε下的矩阵为A ，即 121212(,, ,)(, , , )(,,,)n n n ==εεεεεεεεεA ． 由教材中的定理2可知， 可逆的充要条件是矩阵A 可逆． 因此，如果是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而 12,, , n εεε也是V 的一组基，即是线性无 关的．反之，如果 12,, , n εεε是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从基12,, ,n εεε到 12,, , n εεε的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以 是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造的逆变换；方法2借助教材中的 定理2，将线性变换 可逆转化成了矩阵A 可逆． 9．设三维线性空间V 上的线性变换 在基123,,εεε下的矩阵为
一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，英国数学家凯莱首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，1855年，他发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》系统地阐述了关于矩阵的理论。1858年，艾米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯讨论了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念。矩阵经过两个多世纪的发展，矩阵及其理论已广泛的应用到现在科技的各个领域。 线性代数是研究线性空间和线性变换的一门学科。线性空间到自身的映射称为空间上的变换，如果此变换保线性运算称为线性变换。线性变换可以通过儿何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换理论化，几何的直观有助于对数学理论、相关内容的理解。 本课题通过研究线性变换所表示的几何形象，探讨具体的线性变换如正交投影变换、反射变换等以及对应矩阵的几何现象，探讨与线性变换相关的如特征值、特征向量等等内容的几何意义。 二、本课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题 基本内容：本课题介绍有关于线性变换的基本概念、基本定理；研究具体的线性变换如投影变换、反射变换、切变变换及其性质；说明线性变换的特征值、特征向量, 线性变换的可对角化等几何意义。 主要问题：线性变换的概念介绍及各种变换的性质和几何意义的研究。 难点问题：各种线性变换的有关的概念的图形表示，线性变换可对角化矩阵的几何意义及其求解过程的研究。 三、研究步骤、方法及措施： 1、根据任务书的要求查阅参考书及参考文献，完成开题报告； 2、深入阅读相关文献,理解线性变换的基本概念、基本定理； 3、理解具体的线性变换如投影变换、反射变换及线性变换的特征值、特征向
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换在某组基下对应的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变， 因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211） =1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就 知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与?在这组基上的作用 相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i Λ= 那么A= B. 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出， 基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个 线性变换 A , 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ=
定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ= 定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)） =A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下 ???+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是 ]练习：7, 8, 9
第六章 线性空间与线性变换 柴中林 (A) 1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： （1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。 （2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。 （3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。a =0 . 2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。 3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间： （1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=, （2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=. 4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知： （1）α1（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， ξ=（1，2，1，1）。 （2）α1（1，1，0，1）， α2=（2，1，3，-1）， α3=（1，1，0，0）， α4=（1，1，-1，-1）， ξ=（0，0，0，1）。 5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。已知： （1）α1=（1，0，0，0）， α2=（0，1，0，0）， α3=（0，0，1，0）， α4=（0，0，0，1）， β1=（2，1，-1，1）， β2=（0，3，1，0）， β3=（5，3，2，1）， β4=（6，6，1，3）。 ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。 （2）α1=（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， β1=（1，1，0，1）， β2=（2，1，3，1）， β3=（1，1，0，0）， β4=（0，1，-1，-1）。 ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。 6. 向量α、β、γ满足0321=++γβαk k k ，且k 1k 2≠0, 求证向量组α、β和向量组β、γ生成相同的向量空间。 7. 判断下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是： （1）在线性空间V 中，T （ξ）=ξ+α，其中α∈V 是一已知向量, （2）在R 3 中， T T x x x x x x x T ),,()),,((233221321+=, （3）在R 3中，T T x x x x x x x x T ),,2()),,((13221321+-=, （4）在P[x]n 中，T(f (x ))=f (x +1). 8. 证明线性变换将一个子空间变为一个子空间。 9. 已知矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明： ???? ??C A 00与???? ??D B 00相似。 10. 设α1，α2，α3，α4是4维线性空间V 的一组基, 线性变换T 在这组基下的矩阵为: ??????? ??--------=7113102/52/92/1323133425T ,
§3 线性变换的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。 空间V 中任一向量ξ可以被基12,, ,n εεε表示出，即有关系式 1122n n x x x ξεεε=++ +， （1） 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的象A ξ与基的象12,,,n A A A εεε之间也必然有相同的关系： )(2211n n x x x A A εεεξ+++= )()()(2211n n A x A x A x εεε+++= （2） 上式表明，如果我们知道了基12,,,n εεε的象，那么线性空间中任意一个向量ξ的象也就知道了，或者说 1．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相 同，即 n i B A i i ,,2,1, ==εε， 那么A =B 。 证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量ξ，等式A B ξξ=成立。而由（2）及假设，即得 ξεεεεεεξB B x B x B x A x A x A x A n n n n =+++=+++= 22112211 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说， 2．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。对于任意一组向量12,,,n ααα一定有一个线性变换A 使 ,1,2, ,i i A i n εα== （3） 证明 我们来作出所要的线性变换。设 ∑==n i i i x 1εξ 是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为 1 n i i i A x ξα ==∑ （4） 下面来证明变换A 是线性的。 在V 中任取两个向量， ∑∑====n i i i n i i i c b 1 1 ,εγεβ。 于是 ∑=+=+n i i i i c b 1 )(ελβ， P k kb k n i i i ∈=∑=,1εβ。 按所定义的A 的表达式（4），有
第四讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 1，定义：T 是到自身的一个映射，满足()n V F x ?∈V 中的任意元，均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足线性性：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y ∈V , k,l F ?∈称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?????????=∈????????????? ，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 θ[证明] 12 2,x R x ξξ?????∈=????12y Tx ηη????==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξ?=+????=?+??θ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ???? ??????? ?=????????????? 2R ∈ 可见T 为变换，下面证明其为线性变换. [例2] 次数不超过-1的全体实多项式[x]构成实数域上的一个n 维的线性空 间，微分算子n n P d dx D =是[x]上的一个线性变换。 n P [证明] Remark: [x]上的积分变换n P 0 (())()x J p x p s ds =∫ 不是[x]上的线性变换，为 C[0,1]上的线性变换。 n P [例3])上对任意固定α为线性变换0=时称零变 (n V F ,()F T λα∈=λ。换； λ
1λ=时称恒等变换。 [例4] 上定义，选定，为上线性变换。 n F (),n n A T X AX A F ×=∈A T n F 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素（T(0)=T(0x)=0(Tx)=0） （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素（T (-x )=(-1)(Tx )=-(Tx )） （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] Remark: 线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。 3, 线性变换相关的空间 ★象空间 {}|(),..()n V F s t T βαβα=?∈=()R T ()N T dimR(T)为线性变换T 的秩 ★零空间 {}|()0T αα== dimN(T)为线性变换T 的零度。 [例] 求线性变换的象空间和零空间。 A T 4. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0 ,0x V T x ?∈=（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有， 则称1T ＝2T . 12T x T x =（4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，2() 121T T x T x Tx +=+（5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()() kT x k Tx =负变换：() (T x Tx ?=?)
第六章保角变换(14) 一、内容摘要 1．单叶函数:复变函数()w f z =在区域D 内解析，且在D 内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。单叶变换单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。 定理设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则在z 平面上必存在一个包含0z 点的区域，而在w 平面上有一个包含()00w f z =的区域，使得解析变换()w f z =给出这两个区域间点与点的一一对应关系。即()w f z =在0z 点附近是单叶解析函数。 2．解析函数的保角性: 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则()w f z =在0z 的邻域与0w 的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。若()w f z =在0z 点解析，且 ()0'0f z ≠，则在0z 的某邻域内，用映射()w f z =把过0z 的任意两条曲线映射成过0w w =的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。这样的变换称作保角变换。 3．最简单的保角变换 1）平移变换=+w z b ． 2）转动变换=i w ze α ． 3）线性伸缩变换=(r>0)w rz ． 4）倒数变换1= w z ．
4．线性变换 复变函数,0az b w ad bc cz d += -≠+确定的变换称为线性变换。该变换除d z c =-外处处解析，且d z c =- 为一阶极点。 线性变换具有如下性质： (1)线性变换az b w cz d += +的逆变换为dw b z cw a -+=-． (2) 线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。 (3)线性变换是一个保角变换。 (4)线性变换具有保圆周性。 (5)线性变换具有保对称点性。 12,z z 关于直线γ对称，是指12,z z 的连线与γ正交，且被γ平分。12,z z 关于圆:z a R γ-=对称，是指12,z z 都在过圆心a 的同一射线上，且 212z a z a R --=。 此外，也规定圆心与无穷远点也是关于圆周对称。 二、习题 1．填空题 （1）复平面上一点1+z i =关于单位圆周21z z -==的对称点为________． （2）已知点101 z =-,,分别变到点0,,3w i i =，试求这个分式线性变换w =_________．