专题十三 推理与证明
第三十八讲 推理与证明
一、选择题
1.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若
11a >,则
A .13a a <,24a a <
B .13a a >,24a a <
C .13a a <,24a a >
D .13a a >,24a a >
2.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则
A .对任意实数a ,(2,1)A ∈
B .对任意实数a ,(2,1)A ?
C .当且仅当0a <时,(2,1)A ?
D .当且仅当3
2
a ≤
时,(2,1)A ? 3.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 A .乙可以知道四人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩
4.(2017浙江)如图,已知正四面体D ABC -(所有棱长均相等的三棱锥),P ,Q ,
R 分别为AB ,BC ,
CA 上的点,AP PB =,2BQ CR
QC RA
==,
分别记二面角D PR Q --,D PQ R --,D QR P --的平面角为α,β,γ,则
R Q
P
A
B
C D
A .γ<α<β
B .α<γ<β
C .α<β<γ
D .β<γ<α
5.(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶
段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则
A .2号学生进入30秒跳绳决赛
B .5号学生进入30秒跳绳决赛
C .8号学生进入30秒跳绳决赛
D .9号学生进入30秒跳绳决赛
6.(2015广东)若集合(){,,,04,04,04Εp q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤,且
,,,}p q r s ∈N ,(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =<<∈N ≤≤≤≤且,
用()card Χ表示集合Χ中的元素个数,则()()card card ΕF += A .200 B .150 C .100 D .50
7.(2014北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不
合格”三种.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”,如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生,那么这组学生最多有 A .2人 B .3人 C .4人 D .5人
8.(2014山东)用反证法证明命题“设,a b 为实数,则方程3
0x ax b ++=至少有一个实根”
时,要做的假设是
A .方程30x ax b ++=没有实根
B .方程3
0x ax b ++=至多有一个实根 C .方程30x ax b ++=至多有两个实根 D .方程3
0x ax b ++=恰好有两个实根
9.(2011江西)观察下列各式: 5
53125=,6
515625=,7
578125=,???,则20115的
末四位数字为
A .3125
B .5625
C .0625
D .8125
10.(2010山东)观察2()2x x '=,4
3
()4x x '=,(cos )sin x x '=-,由归纳推理可得:若
定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= A .()f x B .()f x - C .()g x D .()g x - 二、填空题
11.(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B U 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得
112n n S a +>成立的n 的最小值为 .
12.(2017北京)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点i
A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点i
B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i =1,2,3.
①记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则1Q ,2Q ,3Q 中最大的是_ ___. ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则1p ,2p ,3p 中最大的 是______.
13.(2016新课标Ⅱ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走
一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 14.(2016山东)观察下列等式:
22π2π4
(sin )(sin )12333--+=??;
2222π2π3π4π4
(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=??;
2222π2π3π6π4
(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++???+=??;
2222π2π3π8π4
(sin )(sin )(sin )(sin )4599993
----+++???+=??;
…… 照此规律,
2222
π2π3π2π(sin
)(sin )(sin )(sin )21212121
n n n n n ----+++???+=++++_______. 15.(2015陕西)观察下列等式:
1-1122
= 1-1111123434
+-=+
1-1111111123456456
+-+-=++
……
据此规律,第n 个等式可为______________________. 16.(2015山东)观察下列各式:
0014C =;
01
1334C C +=; 01225554C C C ++= 0123377774C C C C +++=
……
照此规律,当*
N n ∈时,
012121212121n n n n n C C C C -----+++???+= .
17.(2014安徽)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC =A 作BC 的垂
线,垂足为1A ;过点1A 作AC 的垂线,垂足为2A ;过点2A 作1A C 的垂线,垂足为
3A ;…,依此类推,设1BA a =,12AA a =,123A A a =,…,567A A a =,则7a =__.
1
3
18.(2014福建)若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系:①1=a ;②1≠b ;③2=c ;
④4≠d 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是____. 19.(2014北京)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一
位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
则最短交货期为 个工作日. 20.(2014陕西)已知0,1)(≥+=
x x
x
x f ,若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11,则)(2014x f 的表达式为________.
21.(2014陕西)观察分析下表中的数据:
猜想一般凸多面体中,E V F ,,
所满足的等式是_________. 22.(2013陕西)观察下列等式:
211=
22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-
…
照此规律, 第n 个等式可为 .
23.(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为
()2111
222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为 (),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:
三角形数 ()211,322
N n n n =
+ 正方形数 ()2
,4N n n = 五边形数 ()231,522
N n n n =
- 六边形数 ()2
,62N n n n =- ……
可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N = . 24.(2012陕西)观察下列不等式
213
122+
< 231151233++<,
474131211222<+++,
……
照此规律,第五个...
不等式为 . 25.(2012湖南)设2n
N =*
(,2)n N n ∈…,将N 个数12,,,N x x x ???依次放入编号为1,2,…,
N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =???.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数
取出,并按原顺序依次放入对应的前
2N 和后2
N
个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=??????,将此操作称为C 变换,将1
P 分成两段,每段2N
个数,并对每段作C 变换,得到2P ;当22i n -剟时,将i P 分成2i
段,每段2
i N 个数,并对
每段C 变换,得到1i P +,例如,当N =8时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.
(1)当N =16时,7x 位于2P 中的第 个位置;
(2)当2n
N =(8n …)时,173x 位于4P 中的第 个位置. 26.(2011陕西)观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第n 个等式为 .
27.(2010浙江)设112,,(2)(3)23
n n
n n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++???+,将
(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ,则2345335511110,,0,,,2323
T T T T ==
-==-??? ,n T ???其中n T =__________________.
28.(2010福建)观察下列等式:
① cos2α=22cos α-1;
② cos4α=84cos α-82cos α+ 1;
③ cos6α=326cos α-484cos α+ 182cos α-1;
④ cos8α=1288cos α-2566cos α+ 1604cos α-322cos α+ 1;
⑤ cos10α=m 10cos α-12808cos α+ 11206cos α+n 4cos α+p 2cos α-1. 可以推测,m n p -+= . 三、解答题
29.(2018北京)设n 为正整数,集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈=L L .对
于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ,记(,)M αβ=
111122221
[(||)(||)(||)]2
n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--L . (1)当3n =时,若(1,1,0)α=,(0,1,1)β=,求(,)M αα和(,)M αβ的值; (2)当4n =时,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意元素,αβ,当,αβ相同时,
(,)M αβ是奇数;当,αβ不同时,(,)M αβ是偶数.求集合B 中元素个数的最大
值;
(3)给定不小于2的n ,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意两个不同的元素
,αβ,(,)0M αβ=.写出一个集合B ,使其元素个数最多,并说明理由.
30.(2018江苏)设*n ∈N ,对1,2,···,n 的一个排列12n i i i L ,如果当s t <时,有s t i i >,
则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序,排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1,2,···,n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数. (1)求34(2),(2)f f 的值;
(2)求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示).
31.(2017江苏)对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足
11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++???+++???++=
对任意正整数n ()n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”. (1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
(2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列. 32.(2017北京)设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???,
其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数.
(Ⅰ)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时,
n
c M n
>;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列.
33.(2016江苏)记{}1,2,,100U =L .对数列{}n a (*n ∈N )和U 的子集T ,若T =?,定义
0T S =;若{}12,,,k T t t t =L ,定义12k T t t t S a a a =+++L .例如:{}1,3,66T =时,
1366T S a a a =++.现设{}n a (*n ∈N )是公比为3的等比数列,且当{}2,4T =时,30T S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)对任意正整数k (1100k ≤≤),若{}1,2,,T k ?L ,求证:1T k S a +<; (3)设C U ?,D U ?,C D S S ≥,求证:2C C D D S S S +I ≥. 34.(2016浙江)设函数()f x =31
1x x
+
+,[0,1]x ∈.证明: (1)2
()1f x x x -+≥; (2)
33()42
f x <≤. 35.(2015湖北)已知数列{}n a 的各项均为正数,1
(1)()n n n b n a n n
+=+∈N ,e 为自然对数的
底数.
(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1
(1)n n +与e 的大小;
(2)计算
11
b a ,1212b b
a a ,123123
b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a L L 的公式,并给出证明;
(3)令112()n
n n c a a a =L ,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明:e n n T S <.
36.(2015江苏)已知集合*
{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈,设{(,)|n S a b =a 整除
b 或,,}n b a a X b Y ∈∈除,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.
(1)写出(6)f 的值;
(2)当6n ≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.
37.(2014天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q L =-,
集合1
12,,1,2,,{}n n i x q
x M i
n A x x x x q L L -+?==++.
(1)当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ;
(2)设,s t A ?,112n n s a a q a q -=+++L ,11
2n n t b b q b q -=+++L ,其中i a ,
i b M ∈,1,2,,i n =???.证明:若n n a b <,则s t <.
38.(2013江苏)设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列()0d ≠,n S 是其前n 项和. 记
2
n
n nS b n c
=
+,N n *∈,其中c 为实数. (1)若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明:()2N nk k S n S k,n *=∈; (2)若{}n b 是等差数列,证明:0c =.
2012高考真题分类汇编:推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 : 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A .28 B .76 C .123 D .199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项,即 21++=+n n n a a a ,所以可推出12310=a ,选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF = 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断,下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B .d C .d D .d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由,得设选项中常数为则;中代入得, 中代入得,C 中代入得中代入得,由于D 中值最接近的真实值,故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<,
题型一:综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) A.22a b < B.2ab b < C.2b a a b +> D.a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列,则( )。 (A )1845a a a a +<+ (B ) 1845a a a a +=+ (C )1845a a a a +>+ (D )1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题:①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ,满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8;④ 若a 、b ∈R ,则221a b ab a b +++>+。其中正确的是( )。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式:①ca bc ab c b a ++≥++222;②()4 1 1≤ -a a ;③2≥+a b b a ;④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠,则在① ab b a ≥+222;②2≥+b a a b ; 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明
③2 )2 (b a ab +≤;④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中,恒成立的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1,且4log log =?c b c a ,则下列各式中,一定正确的是 ( ) A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值是 ( ) A .2 B .4 C .6 D .8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+,sin sin b αβ=+,则a 、b 之间关系为 ( ) A .a b > B .b a > C .a b = D .不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点,且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?,定义()(,,)f M m n p =, 其中m 、n 、p 分别是MBC ?,MCA ?,MAB ?的面积,若1 ()(,,)2 f P x y =,则14x y + 的最小值是 ( ) A .8 B .9 C .16 D .18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数,则)4 3(-f ,)1(2+-a a f (a ∈R ) 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在(0,2)上是增函数,函数()2y f x =+是偶函数,则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ,向量b a ρρ与的 夹角为0 120,则a b a ρρρ.)2(-=
10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法: 从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是( ) A.a +1b <b 2a <log 2(a +b ) B.b 2a <log 2(a +b )<a +1 b C.a +1b <log 2(a +b )<b 2 a D.log 2(a +b )<a +1b <b 2 a 例2.设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈,则()f n =( ) A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一(特值法):令0n =,则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--,对照选项,只有D 成立。 思路二:f (n )是以2为首项,8为公比的等比数列的前4n +项的和,所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--,选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数,则(2)y f x =的对称轴是( ) A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】:因为若函数(1)y f x =+是偶函数,作一个特殊函数2 (1)y x =-,则(2)y f x =变为2 (21)y x =-,即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ,选C 例4.△ABC 的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,=m(++)OH OA OB OC ,则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ,点O 为斜边的中点,点H 与三角形直角顶点C 重合,这时候有=++OH OA OB OC ,所以m=1
历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题46 推理与证明(学生版) 一.选择题(共9小题) 1.(2019?新课标Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为() A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙2.(2019?新课标Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此 外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - .若某人满足上述两 个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( ) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 3.(2017?新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩4.(2016?新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?,B点表示
四月的平均最低气温约为5C ?,下面叙述不正确的是( ) A .各月的平均最低气温都在0C ?以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5.(2016?北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每 次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A .乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B .乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C .乙盒中红球不多于丙盒中红球 D .乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6.(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不 合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有( ) A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 7.(2013?广东)设整数4n ,集合{1X =,2,3,?,}n .令集合{(S x =,y ,)|z x ,y , z X ∈,且三条件x y z <<,y z x <<,z x y <<恰有一个成立}.若(x ,y ,)z 和(z ,w ,)x 都在S 中,则下列选项正确的是( )
高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1、某人射击一次击中目标的概率为,经过3次射击,此人至少有2次 击中目标的概率为 ( ) 解析:某人每次射中的概率为,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( )
推理与证明 1.(2019全国II 文5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 2.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若 11a >,则 A .13a a <,24a a < B .13a a >,24a a < C .13a a <,24a a > D .13a a >,24a a > 3.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则 A .对任意实数a ,(2,1)A ∈ B .对任意实数a ,(2,1)A ? C .当且仅当0a <时,(2,1)A ? D .当且仅当3 2 a ≤ 时,(2,1)A ? 4.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说, 你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则 A .乙可以知道两人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩 5.(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B U 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得 112n n S a +>成立的n 的最小值为 . 6.(2017北京)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式: ????sin π3-2+????sin 2π3-2=43 ×1×2; ????sin π5-2+????sin 2π5-2+????sin 3π5-2+????sin 4π5-2=43×2×3; ????sin π7-2+????sin 2π7-2+????sin 3π7-2+…+????sin 6π7-2=43×3×4; ????sin π9-2+????sin 2π9-2+????sin 3π9-2+…+????sin 8π9-2=43 ×4×5; … 照此规律,????sin π2n +1-2+????sin 2π2n +1-2+????sin 3π2n +1-2+…+??? ?sin 2n π2n +1- 2=__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n +1) 【解析】观察等式右边的规律:第1个数都是4 3,第2个数对应行数n ,第3个数为n +1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i =1,2,3,…,n ),观察下列不等式: a 1+a 2 2≥a 1a 2; a 1+a 2+a 33≥3 a 1a 2a 3; a 1+a 2+a 3+a 44≥4 a 1a 2a 3a 4; … 照此规律,当n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *,n ≥2). 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式:
高考数学答题中的一些特殊技巧选择题是知识灵活运用,解题要求是只要结果、不要过程。因此,逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题,若能把握得好,容易的一分钟一题,难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性,由此提出解选择题要求“快、准、巧”,忌讳“小题大做”。 选择题应做到准确而且快速,应“多一点想的,少一点算的”,“不算就不会算错”因此,在解答时应该突出一个"选"字,尽量减少书写解题过程,在对照选择支的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定,重要的是这种解答的思想方式。 一、按部就班的解题方法。 二、解题技巧。 选择题只管结果,不管中间过程,因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程,但简化毕竟是简化,数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学,没有充分的依据,所有的条件反射都是错误的,只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证,答案才可确定,“做题不可以凭印象来,凡‘差不多就是’的都是错误的,无十足把握的都是错误的”。 选择题毕竟是简单的甚至可以口算的,思路也是简单的,如果没思路、做不下去或觉得复杂,或者发现做的时候需要大
量计算的时候,可以明确的告诉自己,你的方向错了,可以换一种思路了。 1.直接法 当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时,可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做,确定答案之后,从选项里找即可。 2.筛选法(排除法) 去伪存真,筛除一些较易判定的的、不合题意的结论,以缩小选择的范围,再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后,结论只有一个,则为应选项。 3.特殊值法 根据答案中所提供的信息,选择某些特殊情况进行分析,或某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,或将比例数看成具体数带人,总之,把一般形式变为特殊形式,再进行判断往往十分简单。 4.验证法(代入法) 将各选项逐个代入题干中,进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段,以判断选择支正误的方法。 5.图象法 可先根椐题意,作出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论。 6.试探法
第36讲 合情推理与演绎推理 1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理,或者由个别的事实概括出一般结论的推理. ②特点:是由__部分__到__整体__、由__个别 __ 到__ 一般__的推理. (2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有__这些特征__的推理. ②特点:是由__特殊__到__特殊__的推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__. ③结论——根据一般原理,对__特殊情况__做出的判断. 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.(×) (2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(×) (3)“所有3的倍数都是9的倍数,若数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.(√) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(×) 解析(1)错误.归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理. (2)错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适. (3)正确.因为大前提错误,所以结论错误. (4)错误.演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确. 2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(C) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的. 3.数列2,5,11,20,x,47,…中的x=(B) A.28B.32 C.33D.27 解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9. 则x-20=12,因此x=32. 4.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n; ②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中结论正确的个数是(B) A.0B.1 C.2D.3 解析只有③正确. 5.观察下列不等式: 1+1 22<3 2, 1+1 22+1 32< 5 3,
2018高考文科数学推理与证明专项100题(WORD版含答案)1. 下列说法中正确的是() A.当a>1时,函数y=a x是增函数,因为2>1,所以函数y=2x是增函数,这种推理是合情推理 B.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是演绎推理 C.命题的否定是¬P:?x∈R,e x>x D.若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小 2. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”. 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为() A.2017×22015B.2017×22014C.2016×22015D.2016×22014 3. 用反证法证明命题:“若a,b∈R,则函数f(x)=x3+ax﹣b至少有一个零点”时,假设应为() A.函数没有零点B.函数有一个零点 C.函数有两个零点D.函数至多有一个零点 4. 分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b2﹣ac< 3c2,则证明的依据应是() A.c﹣b>0 B.c﹣a>0 C.(c﹣b)(c﹣a)>0 D.(c﹣b)(c﹣a)<0 5. 有一段演绎推理是这样的“所有边长都相等的多边形为凸多边形,菱形是所有边长都相等的凸多边形,所有菱形是正多边形”结论显然是错误的,是因为() A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 6.
我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为() A.B.C.D.a 7. 定义:“回文”是指正读反读都能读通的句子,它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏,如“我为人人,人人为我”等.在数学中也有这样一类数字有这样的特征,称为回文数.设n是一任意自然数.若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等,则称n 为一回文数.例如,若n=1234321,则称n为一回文数;但若n=1234567,则n不是回文数.则下列数中不是回文数的是() A.187×16 B.1112C.45×42 D.2304×21 8. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧,每天一部.受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演;《茶馆》不能在周一和周三上演;《天籁》不能在周三和周四上演;《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是() A.《雷雨》只能在周二上演 B.《茶馆》可能在周二或周四上演 C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D.四部话剧都有可能在周二上演 9. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时, 小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过; 小孙说;小钱去过; 小李说:我没去过. 假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是() A.小赵B.小李C.小孙D.小钱 10. 设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球半径为R,四面体S﹣ABC的体积为V,则R=()
高中数学备考资料:高考数学选择题十大万能解题方法1.特值检验法:对于具有一般性的数学问题,我们在解题过程中,可以将问题特殊化,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到去伪存真的目的。 2.极端性原则:将所要研究的问题向极端状态进行分析,使因果关系变得更加明显,从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面,很多计算步骤繁琐、计算量大的题,一但采用极端性去分析,那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法:利用已知条件和选择支所提供的信息,从四个选项中剔除掉三个错误的答案,从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法,尤其是答案为定值,或者有数值范围时,取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法:由题目条件,作出符合题意的图形或图象,借助图形或图象的直观性,经过简单的推理或计算,从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观,甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法:通过题目条件进行推理,寻找规律,从而归纳出正确答案的方法。
6.顺推破解法:利用数学定理、公式、法则、定义和题意,通过直接演算推理得出结果的方法。 7.逆推验证法(代答案入题干验证法):将选择支代入题干进行验证,从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。 8.正难则反法:从题的正面解决比较难时,可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论,或从反面出发得出结论。 9.特征分析法:对题设和选择支的特点进行分析,发现规律,归纳得出正确判断的方法。 10.估值选择法:有些问题,由于题目条件限制,无法(或没有必要)进行精准的运算和判断,此时只能借助估算,通过观察、分析、比较、推算,从面得出正确判断的方法。