高中数学推理与证明

推理与证明

要点1：合情推理

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：

① cos2a=22cos a -1;

② cos4a=84

cos

a - 82cos a + 1;

③ cos6a=326

cos

a - 484cos a + 182cos a - 1;

④ cos8a=1288

cos

a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;

⑤ cos10a= m 10

cos

a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1.

可以推测，m – n + p = .

【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，

m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162

∴++=，又

9p 10550,m 2512=?===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=． 【答案】962．

要点2：演绎推理

例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设11

2,,(2)(3)23

n n n n N x x ≥∈+

-+2012n n a a x a x a x =+++???+， 将

(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则234533551111

0,,0,,,,2323n T T T T T ==

-==-??????

其中n T =__________________ .

【规范解答】观察n T 表达式的特点可以看出240,0T T ==，……，∴当n 为偶数时，0n T =；3331123T =-，

55511

23T =-，……，

∴当n 为奇数时，11

23n n n T =-．【答案】0

,11,23n n n n T n ??

=?-??当为偶数时当为奇数时．

要点3：直接证明与间接证明

例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已

知

集

合

)

2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n ΛΛ对于

12(,,...,)

n A a a a =，

12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…

A 与

B 之间的距离为∑=-=n

i i

i b a B A d 1

)

,(

（Ⅰ）当n=5时，设

(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ；

（Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 【思路点拨】（I ）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．

【规范解答】（Ⅰ）(01,11,01,00,10)

A B -=-----＝（1,0,1,0,1）

(,)0111010010

d A B =-+-+-+-+-＝3

(

Ⅱ

)

设

121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n

A a a a

B b b b

C c c c S =???=???=???∈因为

11,{0,1}

a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)

a b i n -∈=???,从而

1122(,,)n n n

A B a b a b a b S -=--???-∈,由

题

意知,,{0,1}(1,2,,)

i i i a b c i n ∈=???,

当

i c =时

，

i i i i i i

a c

b

c a b ---=-,

当

1

i c =时

，

(1)(1)i i i i i i i i

a c

b

c a b a b ---=---=- ,所以

1

(,)(,)

n

i i i d A C B C a b d A B =--=-=∑

(Ⅲ)证明：设

121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈,(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h

===

记

0(0,0,0)n

S =???∈由（Ⅱ）可知

(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l

d B C d B A C A h

=--=-==--=-==--=,所以

(1,2,,)

i i b a i n -=???中1的个数

为k,

(1,2,,)

i i c a i n -=???中1的个数为l ,设t 是使

1

i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。则2h l k t =+-

由此可知，

,,k l h 三个数不可能都是奇数，即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数．

注：有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；

要点4：数学归纳法

例4：等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +

∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常

数)的图像上.（1）求r 的值;（11）当b=2时，记

22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈ ，不等式

1212111

·······1n n

b b b n b b b +++>+成立 【解析】因为对任意的n N +

∈,点(,)n n S ，均在函数

(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当

1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,

所以1r

=-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,

1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n

-=+=+=,则

1212n n b n b n ++=,所以1212111

35721·······2462n n b b b n b b b n

++++=??L . 下面用数学归纳法证明不等式

1212111

35721·······12462n n b b b n n b b b n

++++=??>+L . ① 当1n =时,左边=

32,右边2,因为3

22

>所以不等式成立.

② 假设当n k =时不等式成立,即

1212111

35721·······12462k k b b b k k b b b k

++++=??>+L 成立.则当1n k =+时,左边=

11212111113572123

(246222)

k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=?????+L 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)

k k k k k k k k k k k ++++++>+?===+++>++++++

所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.

注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n=k 到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

（2）在本例证明过程中，①考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k 到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k 到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。 【高考真题探究】

1．（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察2'

()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函

数

()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）

（A ）

()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x -

【规范解答】选D ．通过观察所给的结论可知，若

()f x 是偶函数，则导函数()g x 是奇函数，故选D ．

2．（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：3

32123,+=33321236,++=33332123410+++=,……，根据上述规

律，第五个等式为 ____________.

【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：

123,1236,123410,

+=++=+++=即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：

33333322

123456(123456)21.+++++=+++++=

【答案】3

333332

1

2345621.+++++=

3．（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合)2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n ΛΛ

对于

12(,,...,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);

n n A B a b a b a b -=---… A 与

B 之间的距离为∑=-=n

i i

i b a B A d 1

)

,(；（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;

（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设P n S ?

，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d

(P).证明：d （P ）≤

2(1)

mn

m -.

【思路点拨】（I ）直接按定义证明即可；（Ⅱ）“至少”问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把

,(,)A B P

d A B ∈∑表示出来，再利用均值不等式证

明．【规范解答】（I ）设12(,,...,)

n A a a a =，

12(,,...,)

n B b b b =，

12(,,...,)n C c c c =n

S ∈

因为

i

a ，

{}

0,1i b ∈，所以

{}||0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = ,从而1122(||,||,...,||)n n n

A B a b a b a b S -=---∈

又

1

(,)||||||

n

i i i i i d A C B C a c b c =--=---∑,由题意知i

a ，i

b ，i

c {}0,1∈(1,2,...,)

i n =.,当

i c =时，||||||||

i i i i i i a c b c a b ---=-;,当

1

i c =时

，

|||||||(1)(1)|||

i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-,

所

以

1

(,)||(,)

n

i i i d A C B C a b d A B =--=-=∑ ,(II)设

12(,,...,)

n A a a a =，

12(,,...,)

n B b b b =，

12(,,...,)n C c c c =n

S ∈

(,)d A B k

=，

(,)d A C l =，(,)d B C h =. 记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知, (,)(,)d A B d O B A k

=-=， (,)(,)d A C d O C A l =-=,

(,)(,)d B C d B A C A h

=--= ,所以

||(1,2,...,)

i i b a i n -=中1的个数为

k

，

||(1,2,...,)

i i c a i n -=中1的 个数为l ． 设t 是使

||||1

i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-

由此可知，

,,k l h 三个数不可能都是奇数，即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数． （III ）

2,1

()(,)

A B P

m

d P d A B C ∈=

∑

,其中,(,)

A B P

d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和，设P 中所有元素的第i 个位置的数字

中共有

i

t 个1，

i

m t -个0 则

,(,)

A B P

d A B ∈∑＝

1

()

n

i

i

i t m t =-∑,由于

i t ()i m t -2(1,2,...,)4

m i n ≤= 所以

,(,)A B P d A B ∈∑2

4

nm ≤,从而2

2

2

,1

()(,)42(1)A B P

m

m nm mn

d P d A B C C m ∈=≤=-∑ 【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式． 4．（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC 的三边长都是有理数。

（1）求证：cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA ，由三边,,a b c 是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.

【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为,,a b c ，222cos 2b c a A bc +-=，∵,,a b c 是有理数，222

b c a +-是有理数，分母2bc

为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴222

2b c a bc

+-必为有理数，∴cosA 是有理数。

（2）①当1n =时，显然cosA 是有理数；当2n =时，∵2

cos22cos

1A A =-，因为cosA 是有理数， ∴cos2A 也是有理数；

②假设当(2)n k k

≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数。

当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，1

cos(1)cos cos [cos()cos()]2

k

A kA A kA A kA A +=---+，

11

cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22

k A kA A k A k A +=--++，解得：cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--

∵cosA ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数，∴cos(1)k A +是有理数 即当1n k =+时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数。

方法二：（1）由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222

cos 2AB AC BC A AB AC

+-=?是有理数。

（2）用数学归纳法证明cosnA 和sin sin A nA ?都是有理数。 ①当1n =时，由（1）知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A ?=-也是有理数。

②假设当(1)n k k

=≥时，cos kA 和sin sin A kA ?都是有理数。

当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A A kA A kA +=?-?， sin sin(1)sin (sin cos cos sin )(sin sin )cos (sin sin )cos A k A A A kA A kA A A kA A kA A ?+=??+?=??+??，及①和归纳假设，知

cos(1)k A +和sin sin(1)A k A ?+都是有理数。即当1n k =+时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n ，cosnA 是有理

数。

5．（2009江苏高考）设a ≥b ＞0,求证：3

332a

b +≥2232a b ab +.

【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。 证明：3

322222232(32)3()2()(32)().a

b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--

因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2

232a b -＞0，

从而2

2(32)()a b a b --≥0，

即3

332a

b +≥2232a b ab +.

6．（2008安徽高考）设数列{}n a 满足3

*

110,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数 （Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设103

c <<，证明：1*1(3),n n

a c n N --∈…;

（Ⅲ）设103

c <<

，证明：222*1221,13n

a a a n n N c ++>+-∈-L

【解析】（Ⅰ）必要性：∵120,1a a c ==-，又∵2[0,1]a ∈，∴011c

-剟，即[0,1]c ∈.

充分性：设[0,1]c ∈，对任意*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈.当1n =时，10[01]a =∈，. 假设当n k =时，[0,1](1)k a k ∈…

，则3

1111k k a ca c c c +=+-+-=?，且3

1110k k a ca c c +=+--厖，1[0,1]k a +∈.

由数学归纳法知，[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立.(Ⅱ) 设103

c <<，当1n =时，10a =，结论成立；

当2n …时，∵311n n a ca c -=+-，∴32

11111(1)(1)(1)n n n n n a c a c a a a -----=-=-++.∵103

c <<，由（Ⅰ）知1[0,1]n a -∈，

∴2

1113n n a a --++?且10n a -…，∴21112113(1)

(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c --------=L

剟剟，

∴()

1

13,*n n a c n N --∈….(Ⅲ)设103c <<,当1n =时，2120213a c

=>--，结论成立；

当2n …时，由(Ⅱ)知()

1

130n n a c -->…，∴2

1212(1)1[1(3)]12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ---->-=-+>-.

∴2

2

2

2

2

21

12212[(3)(3)(3)

]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++L L L

2[1(3)]

2111313n c n n c c

-=+->+---.

【跟踪模拟训练】

一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知

p 是q 的充分不必要条件，则q ?是p ?的（ ）

（Ａ） 充分不必要条件 （Ｂ） 必要不充分条件（Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 既不充分也不必要条件 2．设a 、b 、c 都是正数，则1a b +

,1b c +,1

c a

+三个数（ ） A 、都大于2 B 、至少有一个大于2 C 、至少有一个不大于2 D 、至少有一个不小于2 3．在△

ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且

cos cos a b

A B

=

，则△ABC 一定是（ ） （Ａ） 等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ）等边三角形 （Ｄ） 等腰直角三角形

4．已知函数

()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()

(

)22

x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ）

（Ａ）

2log y x = （B ） y x

=

（C ）

2y x = （D ）3y x =

5.给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）

(A)251×22 007 (B)2 007×22 006 (C)251×22 008 (D)2 007×22 005

6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a 2 009+a 2 010+a 2 011等于( )

(A)1 003

(B)1 005 (C)1 006 (D)2 011

二、填空题（每小题6分，共18分） 7．对于等差数列

{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有

011=---s t a t a s ）（）（”。类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“________________________”。

8．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1是 三角形，△A 2B 2C 2是 三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空） 9．(2010汉沽模拟)在直角三角形

ABC 中，两直角边分别为a b 、，设h 为斜边上的高，则

222

111

h a b =+，由此类比：三棱锥

S ABC -的三个侧棱SB SC SA 、、两两垂直，且长分别为a b 、、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 .

三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分） 10.观察下表： 1， 2，3 4，5，6，7

8，9，10，11，12，13，14，15， ……

问：（1）此表第n 行的最后一个数是多少？ （2）此表第n 行的各个数之和是多少？ （3）2010是第几行的第几个数?

（4）是否存在n ∈N *，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由. 11．已知数列

{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数）

，与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++L ．

（1）若1231264a a a a ++++=L ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；

（3）已知0r

>，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，L

，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．

12．已知数列

{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121?++∈=-+N n a a a n n n ．记

n n a a a S +++=Λ21．)

1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

ΛΛ．求证：当?

∈N n 时，

（Ⅰ）1+

a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3

参考答案

一、选择题

1．【解析】选Ａ.反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若p q ?则q p ???.

2．【解析】选D. 3．【解析】选A.cos cos a b A B =Q

，sin sin cos cos A B

A B

∴=

，tan tan A B ∴=，又因为(),0,A B π∈，A B ∴=； 4．【解析】选C.可以根据图像直观观察；对于（C ）证明如下：欲证1212()()()22x x f x f x f ++<，即证2

22

121222x x x x ++??

< ???

，

即证

()

2

22

121222x x x x +<+，即证()2

120x x ->，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证；

5．【解析】选C.由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n 行时，最后一行数为(n+1)·2n-2， 所以当n=2 007时，最后一行数为2 008×22 005=251×22 008. 二、填空题

6．【解析】选B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a 4n-3=n,a 4n-1=-n, 又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,∴a 2 009=503,a 2 011=-503,a 2 010=1 005, ∴a 2 009+a 2 010+a 2 011=1 005.

7．【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中÷?-+、、、类比到等比数列经常

是n n

()、

、（）、÷?，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。 ()()

111

11

1

11

1s t s t t t s s

b q b

b b q ------?=

=?Q .答案：若{}n b 是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有

11

1=--t s

s t b b 。

8．答案：锐角 钝角 9．答案：2222

1111h a b c =++

三、解答题

10．【解析】（1）∵第n+1行的第1个数是2n ，∴第n 行的最后一个数是2n -1.

（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n -1）

=3·22n-3-2n-2.

（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，

∴2 010在第11行，该行第1个数是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987个数. （4）设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n .

则a n =3·22n-3-2n-2,a n+1=3·22n-1-2n-1，a n+2=3·22n+1-2n ，…，a n+9=3·22n+15-2n+7,

∴S n =3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)

=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5时，S 5=227-128-213+8=227-213-120. ∴存在n=5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227-213-120. 11．【解析】（1）12

312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++

484.r =+

∵

48464, 4.r r +=∴=

（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +

∈=-时

① 当n=1时，12

13579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立

② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =-

那么当1n k =+时，

()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-

()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ ()4441,k k =--=-+等式也成立.

根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +

∈=-时

（3）()1241.m

T m m =-≥

121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;n n n n n n m m T m n m m T m r n m m T m r n m m T m r n m m T m =++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时， 1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时…

∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. 此时，293294297298,

,,T T T T 为100.

12．【解析】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当1n =时，因为2a 是方程2

10x x +-=的正根，所以12a a <．

②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，

因为2

2

1

k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++，

所以1

2k k a a ++<．即当1n k =+时，12k k a a ++<也成立．

根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．

（Ⅱ）证明：由2

2111k k k a a a +++-=，121k n =-L ，，，（2n ≥）

，得22

231()(1)n n a a a a n a ++++--=L ． 因为1

0a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及22

11121n n n a a a ++=+-<得1n a <， 所以2n S n >-．

（Ⅲ）证明：由2

21

112k k k k a a a a +++=+≥，得

111

(2313)

12k k k

a k n n a a ++=-+L ≤，，，，≥

所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++L ≤≥，

于是

2222

2322

11

(3)(1)(1)(1)2()22

n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++L ≤≥， 故当3n ≥时，211

11322

n n T -<++++

1.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第n 个图案中有白色地面砖的块数是________.

【解析】观察三个图形知：白色地面砖有4n+2块. 答案：4n+2

2.如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2=BD ·BC ，该结论称为射影定理.如图乙，在三棱锥A-BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 这三者之间满足的关系式是__________.

高中数学选修2-2推理与证明 直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法 [学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题. 知识点一综合法 1.定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2.基本模式 综合法的证明过程如下： 已知条件?…?…?结论 即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为： P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q 3.综合法的证明格式 因为…，所以…，所以…，…，所以…成立. 思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答案演绎推理. 知识点二分析法 1.分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式

用Q 表示要证明的结论，P 表示条件，则分析法可用框图表示为： Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件 3.分析法的证明格式 要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？ 答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法. 题型一 综合法的应用 例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1 ab ≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1 b ≥2 1 ab >0， ∴(a ＋b )???? 1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法. 跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.

高中数学专题讲义-直接证明与间接证明

题型一：综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题：①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8；④ 若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4 1 1≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明

③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =?c b c a ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ） A ．a b > B ．b a > C ．a b = D ．不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =， 其中m 、n 、p 分别是MBC ?，MCA ?，MAB ?的面积，若1 ()(,,)2 f P x y =，则14x y + 的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4 3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ） 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0 120，则a b a ρρρ．)2(-=

高二数学 归纳推理演绎推理

3月5日 高二理科数学测试题 1．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ） A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．传递性推理 2．下列正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是由特殊到一般的推理 C ．归纳推理是由个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤 3．下面几种推理中是演绎推理．．．． 的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=； B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ． 4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 ( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5．设 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x)＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 6．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命 题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 7.观察下列等式： 1－ ； 1－ ；1－ ...... 据此规律，第n 个等式可为______________________. 8.观察下列等式：,……，根据上述规律， 第五个等式为 ______________________. 1122=1111123434+-=+1111111123456456+-+-=++332123,+=3332 1236,++=33332123410+++=

浅谈高中数学教学中如何培养学生的逻辑推理能力

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/894520419.html, 浅谈高中数学教学中如何培养学生的逻辑推理能力 作者：郭勇 来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2018年第01期 【摘要】数学是一门逻辑性和抽象性很强的学科，尤其是高中数学难度较大，所以在数 学教学中培养学生的逻辑推理能力是非常必要的。因此，在高中数学教学中，教师要更新以往的教学观念，突出学生的主体性，革新教学方式，发散和拓展学生思维，实现教学过程的与时俱进，促进学生逻辑思维能力的养成。以下对高中数学教学中学生逻辑推理能力的培养进行主要探讨。 【关键词】高中数学学生逻辑推理能力培养 【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）01-175-01 前言 虽然在新课程改革的背景下教师已经改变了教学方法，在教学中不再是过分的注重培养学生的应试能力。但是在目前的数学教学中，教师对学生逻辑推理能力培养的重视性不高，导致学生在理解问题时单一、片面，缺乏整体性。由此可见，培养学生的逻辑推理能力是当前需要解决的重要问题。 一、高中数学教学中学生逻辑推理能力培养的必要性分析 数学是抽象性学科，学科性质要求学生必须要具备一定的推理能力，既能够理解基础知识，又能够在学习过程中提高自身解决数学问题的能力。同时，学生逻辑推理能力的养成是一种重要素养，其对学生的一生发展都是很重要的。 高中数学知识难度大，培养良好的逻辑推理能力，能够使学生的数学学习思维更加清晰，简化数学问题的难度，提高学生的学习效率。因此，在高中数学教学中，教师要引导学生养成善于观察、分析、思考问题的能力，从而形成一种数学学习能力。另外，新课改和素质教育的深化对高中数学教学提出了新的要求，培养学生的逻辑推理能力有利于帮助学生更好地吸收和理解数学知识，提升数学学习的主动性，从而促进高中数学教学更加符合现代教学的思想。 二、高中数学教学中学生逻辑推理能力培养的策略 （一）教师教学行为的严谨性

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

高中数学推理与证明.doc

高中数学推理与证明 高中数学推理知识点 1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。这个推理是由特殊推到一般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮子里确实都是水果，那么你就猜对了;如果篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。所以才会有证明。 2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论显然是不对的，香蕉并没有什么水分。但如果你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。(这个例子中指的都是正常水果)显然，这个推理方式是一个由特殊推特殊的过程，也不一定正确。 3、演绎推理：一般推特殊，一定对。例如，f(x)=1，那么f(1)=1 高中数学证明知识点 1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件一直往下推。 例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。 证明：因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 ____________所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量 ____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。 2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成立。

同样上面的例子的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2*1菠萝重量=2*80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。 因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。 3、反证法：先假设结论相反，然后根据已知推导，最后发现和已知不符，收!这是一个战胜自己的过程! 4、数学归纳法： 解题过程： A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础; B.假设在n=k时命题成立; C.证明n=k+1时命题也成立 高中数学推理与证明 一、公理、定理、推论、逆定理： 1.公认的真命题叫做公理。 2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。 3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。 4.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。 二、类比推理： 一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。

高中数学四大推理方法巧解证明题

高中数学四大推理方法巧解证明题 高中数学四大推理方法巧解证明题 高中数学是数学各种基础知识的总结和归纳，同时也是以前所学到的数学知识的深化和检验。针对高中数学的这一特性，可以通过四大推理方法来进行证明题的解答，不但可以掌握数学知识脉络，也可以把所学到的知识上升到思维层面，使自己可以综合运用数学知识，达到学以致用的目的。 一、合情推理法 在高中数学证明题的解答过程中使用合情推理，有着比较重要的作用以及影响。比较常用的合情推理法就是类比推理法，这是一种从特殊转向特殊的推理方法，两种类似对象间的推理，一个对象有着某个性质，而另一个对象同时也有类似性质。进行类比时，对已知对象性质推理的过程进行充分的考虑，之后类比推导出类比对象性质。高中数学知识的结构很复杂，难度也比其他学科大，而通过合情推理法，并结合多种的思维方法，使学生可以进行思考和分析，也培养了学生对于数学学习的兴趣，提高了学生数学的学习能力。所以，合情推理法是一种很好的解答高中数学证明题的方法。 二、演绎推理法 对于演绎推理法来说，这是一种从一般转向特殊的推理方法，高中数学证明题的证明过程大都是通过演绎推理来证明的，保证演绎推理的前提以及形式正确，就能保证结论是正确的，同时要注意推理的过程具有正确性以及完备性。

三、间接和直接证明法 （一）直接证明法 直接证明法比较常见的就是综合法以及分析法。其中，综合法就是利用已知的条件以及数学定理和公理等，进行推理论证，之后推导出结论成立。综合法也被称作为顺推证法或者由因导果法。而分析法是从结论出发，对结论充分成立的条件进行逐步的寻求，把结论归纳总结成明显成立的一个条件。 （二）间接证明法 间接证明法比较常用的就是反证法，其证明步骤为首先反设，之后归谬，最后存真。首先假设结论不成立，就是把结论反面假设为真，之后的归谬就是在己知条件和反设背景下推理，得出同假设命题相矛盾的结论，最后的存真就是由归谬得出的结果进行反设命题不真的断定，来说明原先结论是成立的。 四、归纳推理法 同上述的推理方法相比较来说，归纳推理法注重对高中数学知识总体的规划，总结和归纳所学到知识。我们都知道，高中数学的知识点比较多，每个知识点之间都有着一定的关系，一道证明题中，可能存在几个知识点，如果同学们不能归纳知识的话，短时间内就不能看出题目中知识点之间的联系，就会严重影响题目的解答。 在高中数学的证明题目中，虽然有限的研究对象比较常见，但是，更为常见的是研究对象众多，一些特定的情况下研究对象可能是无穷的，同学们很难找到突破口。如果同学们把研究对象根据形成的情况

高中数学 数学归纳法

13.4 数学归纳法 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不 等式是________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳

最新数学高考的能力要求

数学高考的能力要求 ——解读数学高考考试大纲 普通高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习的知识的内在联系、学科基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查，即考查考生的一般心理能力和学科能力。从学科角度和命题实践出发，可将高考的数学考试的能力要求归纳为以下几个方面。 1. 思维能力 会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。 2. 运算能力 会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。 3. 空间想象能力 能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 4. 实践能力 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。 5. 创新意识 能从数学的角度发现问题，提出问题，能够应用所学的数学知识和方法进行独立思考，探索、研究和解决问题。 数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。对能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。 对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际。运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是算理和逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主。空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，考查时注意与推理相结合。实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际。让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识。 创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融会的程度越高，展示能力的区域就越宽，显现出的创造意识也就越强。命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目。

高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

高一数学直接证明与间接证明练习题

推理与证明综合测试题 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =， ，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 答案：Ｃ 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 答案：Ｃ 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述

性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 答案：Ｂ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，2221117 12344 +++<，，则可归纳 出式子为（ ） Ａ．22211 111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22 211111(2)2321 n n n + +++ <+≥

高中数学教学学生推理能力培养

高中数学教学学生推理能力培养 摘要：受应试教育的影响，高中数学的课堂教学形式化日趋严重，学生的思维发展具有一定局限性。为了有效解决这一问题，教育改革指出高中数学教学要将培养学生的推理能力、发散学生的思维作为教学的根本目标，促进高中数学教育现代化发展。本文将针对教育改革提出的问题对高中数学现代化教学进行仔细探究，挖掘有效培养学生推理能力的策略和手段。 关键词：高中数学;推理能力;培养策略 众所周知，高中数学这门课程的特点就是难度高、复杂性强、教材内容涉及范围广，学好数学需要学生拥有较严密的逻辑思维、较强的推理能力和空间能力。因此，在高中阶段的数学教学中，教师应当把握学生不断进取的心理为学生提供更多具有探究性的数学题，不断培养学生的推理能力[1]。除此之外，教师还应当引导学生对数学知识进行自主整理和组织，通过知识体系的构建培养学生的推理能力和组织能力，深化学生对数学知识的记忆。 1培养学生独立思考能力，实现被动学习到主动学习的转化，促进学生积极探索数学问题 对于高中生而言，他们的思维处于极度活跃的状态，在数学教学中适当激发他们的思维能够实现学生技能水平的迅速提升。而想要从根本上培养学生的推理能力，教师就要为学生提供思维活动的场所和时机，让学生对问题进行独立思考和探究[2]。例如，在学习《三角函数》这一章节时，教师可以在课堂教学中让学生对三角函数的性质、图像等知识点进行自主理解和分析，然后引导学生独立挖掘其中的联系，进一步增强学生对三角函数知识的理解。在这一自主探究的过程中，学生课堂的被动学习自然而然转化成了主动学习，学生对知识体系的构成也会有更清晰的认识。除了在课堂教学中给予学生独立思考空间之外，教师还可以利用课外作业对学生的推理能力进行培养。例如，教师可以针对课堂学习的知识设计相类似的数学问题，要求学生在课后对这些问题进行分析和解决。这样一来，学生就能够运用学过的知识对类似的问题进行快速解决，举一反三地学习数学。 2循序渐进地培养学生的推理能力，从量的积累促成质变，从而提高学生的

高中数学演绎推理

演绎推理 教学目标： （1）知识与能力：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式 （2）过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系 （3）情感态度价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言 之有理论证有据的习惯。 教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系 教学难点：演绎推理的应用 教具：导学案、课件 教学方法：自学指导法 教学设计 一、导入新课 现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。 被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小。谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢？ 科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。 二、讲授新课（学生阅读课本，找到定义） 1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。 2．演绎推理的一般模式 分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程： 鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提 在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提 喜马拉雅山曾经是海洋……结论 三段论（1）大前提……已知的一般原理 （2）小前提……所研究的特殊情况 （3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断 3．练习把下列推理写成三段论的形式 （1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行； （2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C ，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C 时，水会沸腾； （3）一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除； （4）三角函数都是周期函数，αtan 是三角函数，因此αtan 是周期函数； （6）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A 与∠B 是两条平行 直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°； M A B

苏教版数学高二- 选修2-2试题 《合情推理—归纳推理》(1)

2.1.1 合情推理—归纳推理 同步检测 一、基础过关 1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________ 2．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>7 2， 推测当n≥2时，有________． 3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝3 2. 通过观察上述两等 式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________. 4．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 5．数列－3,7，－11,15，…的通项公式是________． 二、能力提升 6．设x ∈R ，且x≠0，若x ＋x － 1＝3，猜想x2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________． 8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________． 9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题． (1)按照要求填表：

n 1 2 3 4 … S n 1 3 6 … (2)S 10＝________.(3)S n 10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： (1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1 S n ＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4， 并猜想S n 的表达式． 12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？ (2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)． 三、探究与拓展 13．在一容器内装有浓度r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液1 4a 升，搅匀后再倒出溶 液1 4a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．

关于中学生逻辑推理能力现状的调查研究

摘要：数学被公认是最严密的科学，解决数学问题及通过数学解决其它问题是思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及抽象能力等的综合体现。目前，世界上多数国家的各种能力倾向测试和人才测评都把逻辑推理能力判断为重要的考察内容之一，而在我们国家，无论是出国考试GRE 、 公务员考试还是很多IT 行业的面试中都会测验考生对问题的分析或逻辑推理等方面的能力。然而我国的各种选拔性考试中在这方面还没有足够的体现，对这方面的研究尚缺乏深入和系统性。为了了解我们国家中学生逻辑推理能力的现状，不同学科、年龄层次、性别、数学的喜好程 度对逻辑推理能力是否有显著性影响，以及开展中学生数学能力教学研究的必要性，本研究对上海和浙江几所初、高中的300 多名不同年龄层次的中学生进行了限时测试，结果表明我国中学生逻辑推理能力普遍较差，就逻辑推理能力学科和性别不存在显著性差异。逻辑推理能力受年龄影响，且可以通过后天训练加以提高。

ol Students’ Logical Reasoning Ability is recognized as the best rigorous science. Solving math problems or other problems by math are the synthesis materialization of the ideation, logical reasoning ability. Logical reasoning aptitude test is always an important content of aptitude tests such as in GRE of America. In our country, however, it has been deficient in this field. To get knowing of the present condition of the middle school students’ logical reasoning aptitude, the differenc e among subjects, age, sex, the fancy degree of mathematics and the necessity of studying the students’ math teaching aptitude, we hare tested more than 30O middle school students of Zhejiang and Shanghai who’re separately from middle schools of different grades in half an hour. The result shows that the middle school students’ average logical reasoning aptitude is poor. In addition ，the logical reasoning aptitude is not affected by subjects and sex, but the age. Moreover, logical reasoning aptitude can be changed by training. In our daily study, we must pay more attention to the logical aptitude.

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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高中数学四大推理方法巧解证明题.doc

高中数学四大推理方法巧解证明题- 高中数学是数学各种基础知识的总结和归纳，同时也是以前所学到的数学知识的深化和检验。针对高中数学的这一特性，可以通过四大推理方法来进行证明题的解答，不但可以掌握数学知识脉络，也可以把所学到的知识上升到思维层面，使自己可以综合运用数学知识，达到学以致用的目的。 一、合情推理法 在高中数学证明题的解答过程中使用合情推理，有着比较重要的作用以及影响。比较常用的合情推理法就是类比推理法，这是一种从特殊转向特殊的推理方法，两种类似对象间的推理，一个对象有着某个性质，而另一个对象同时也有类似性质。进行类比时，对已知对象性质推理的过程进行充分的考虑，之后类比推导出类比对象性质。高中数学知识的结构很复杂，难度也比其他学科大，而通过合情推理法，并结合多种的思维方法，使学生可以进行思考和分析，也培养了学生对于数学学习的兴趣，提高了学生数学的学习能力。所以，合情推理法是一种很好的解答高中数学证明题的方法。 二、演绎推理法 对于演绎推理法来说，这是一种从一般转向特殊的推理方法，高中数学证明题的证明过程大都是通过演绎推理来证明的，保证演绎推理的前提以及形式正确，就能保证结论是正确的，同时要注意推理的过程具有正确性以及完备性。 三、间接和直接证明法 （一）直接证明法 直接证明法比较常见的就是综合法以及分析法。其中，综

合法就是利用已知的条件以及数学定理和公理等，进行推理论证，之后推导出结论成立。综合法也被称作为顺推证法或者由因导果法。而分析法是从结论出发，对结论充分成立的条件进行逐步的寻求，把结论归纳总结成明显成立的一个条件。 （二）间接证明法 间接证明法比较常用的就是反证法，其证明步骤为首先反设，之后归谬，最后存真。首先假设结论不成立，就是把结论反面假设为真，之后的归谬就是在己知条件和反设背景下推理，得出同假设命题相矛盾的结论，最后的存真就是由归谬得出的结果进行反设命题不真的断定，来说明原先结论是成立的。 四、归纳推理法 同上述的推理方法相比较来说，归纳推理法注重对高中数学知识总体的规划，总结和归纳所学到知识。我们都知道，高中数学的知识点比较多，每个知识点之间都有着一定的关系，一道证明题中，可能存在几个知识点，如果同学们不能归纳知识的话，短时间内就不能看出题目中知识点之间的联系，就会严重影响题目的解答。 在高中数学的证明题目中，虽然有限的研究对象比较常见，但是，更为常见的是研究对象众多，一些特定的情况下研究对象可能是无穷的，同学们很难找到突破口。如果同学们把研究对象根据形成的情况进行分类，之后根据分类在进行证明，假如每种情况都可以得到证明，那么所得到的结论就必然是正确的，这种分类证明、归纳方法，可以使同学们找到突破口，从而使证明题得到解答。 结束语： 在数学证明题的实际解答过程中，要根据题目的具体情景