高考数学压轴小题训练:圆锥曲线的几何性质
2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。中的2-----4类;分门别类按套路求解; 1.高考最重要考:直线与椭圆,抛物线的位置关系。第一问最高频考(总与三个问题有关):(1)———————;(2)——————————;(3)—————————; 2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的“固定3步走”:---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————; 3.圆锥曲线题固定步骤前9步:-------------------;---------------------------------------------;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————; 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;→(1)圆的弦长问题:(2法)首选方法:垂径定理+勾
股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;→(2) 中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法” 椭圆:(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一___________;:“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤:
圆锥曲线小题精选 1.圆()22 :4M x m y -+=与双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的两条渐近线相切于A 、B 两点,若AB =C 的离心率为( ) A .3 B C .2 D .3 2.已知双曲线()22 22:1,0x y C a b a b -=>的左右焦点为12,F F ,过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点,1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥,则 b a 为( ) A .2 B C D .1 3.已知双曲线C :22 221(,0)x y a b a b -=>的左、右焦点为1F ,2F ,直线l :1y x =+与双曲线C 相交于A ,B 两点,12AF F △,12BF F △的重心分别为G ,H ,若以GH 为直径的圆过原点,则 2211a b -=( ) A .2 B .2- C .12 D .12 - 4.已知椭圆C :22 22x y a b +=1(a >b >0),F 1,F 2为椭圆的左右焦点,过F 2的直线交椭圆与A 、B 两点,∠AF 1B =90°,2223AF F B =u u u u r u u u u r ,则椭圆的离心率为( ) A B C D 5.已知直线(),0y kx m k =+<与抛物线2:8C y x =及其准线分别交于A ,B 两点,F 为 抛物线的焦点,若2,FA AB =u u u r u u u r 则m 等于( ) A B .C .D .6.已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,,F F 过F 2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A ,B ,若1ABF ?为等边三角形,则双曲线E 的渐近线方程为( ) A .y = B .y = C .y =± D .,y =±
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0; 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义:点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程: (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2 E ),半径是 2 4F -E D 22+.配方,将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则 |MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内, 其中|MC |=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
回顾复习五:圆锥曲线及其几何性质 ☆考点梳理 1.圆锥曲线的轨迹定义与统一定义. 2.圆锥曲线的标准方程及其推导. 3.圆锥曲线的几何性质:范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线.☆基础演练 1.如图,椭圆中心为O,A、B为左右顶点,F为左焦点, 左准线l交x轴于C,点P、Q在椭圆上,PD⊥l于D, QF⊥OA于F.给出下列比值: 其中为离心率的有_________________. 2.若 12 ,F F为椭圆 22 1 25 x y m +=的焦点,且 12 8 F F=,则m的 值为. 3.过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点,A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、 B1,则 11 A FB ∠=____________. 4.经过两点() 143 ,, ?? - ? ? ?? 的圆锥曲线的标准方程是________________. 5.过双曲线 22 22 1 x y a b -=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点,O为坐标 原点,若OA、AB、OB成等差数列,且BF,FA u u u r u u u r 同向,则离心率e=_________. 6.椭圆 22 1 2516 x y +=的两个焦点为F1、F2,弦AB过F1,若 2 ABF ?的内切圆周长为π, ()() 1122 A x,y, B x,y,则 12 y y -=____________. ☆典型例题 1.椭圆的定义 例1.如图,已知E,F为平面上的两个定点,G为动点, 610 EF,FG, ==点P为线段EG的中垂线与GF的交点. ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程; ⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB 的中垂线与EF(或EF的延长线)相交于一点C,线段EF 的中点为O,证明: 9 5 OC<. 2.中点弦问题 例3.直线l交椭圆 22 1 2016 x y +=于M,N两点,点() 04 B,,若⊿BMN的重心恰为椭圆 右焦点,则直线l的方程是_________________. 3.椭圆的几何性质 例2.已知 1 F、 2 F分别是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左右焦点,右准线l,离心率e. ⑴若P为椭圆上的一点,且 12 F PF ∠=θ,则 12 PF F S ? =_____________. ⑵若椭圆上存在一点P,使得 12 PF PF ⊥,则e的范围是_____________. ⑶若椭圆上存在一点P,使得 12 PF ePF =,则e的范围是_____________. ⑷若在l上存在一点P,使得线段 1 PF的中垂线经过 2 F,则e的范围是___________. ⑸若P为椭圆上的一点,线段 2 PF与圆222 x y b +=相切于中点Q,则e=________. ⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点,且3 AF FB = u u u r u u u r ,若 2 e=,则k=___. 4.最值问题 例4.已知动点P在椭圆 22 1 1612 x y +=上,(,(2,0) A B. ⑴若2 PA PB +取最小值,则点P的坐标为____________; ⑵若动点M满足||1 BM= u u u u r ,且0 PM BM= u u u u r u u u u r g,则| |的最小值是; ⑶PA PB +的取值范围是________________________. 例5.椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为 3 两条准线间的距离为6.椭 圆W的左焦点为F,过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W 交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C. ⑴求椭圆W的方程;⑵求证:CF FB λ = u u u r u u u r ;⑶求MBC ?面积S的最大值. ☆方法提炼 1.椭圆的标准方程有两种形式,有时需要就焦点位置进行讨论. 2.椭圆有两种定义方式,解题时要学会“回到定义去”. 3.椭圆有两个焦点、两条准线,解题时建议联系起来考虑. 4.解解析几何问题,“画个图”是个好建议;中点弦问题利用“点差法”可简化运算. 5.在处理直线与椭圆相结合的问题时,要学会利用韦达定理整体处理. P H E F G 第 1 页