第四十三讲圆锥曲线小题精选
A 组
一、选择题
1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=
>>的左焦点，,A B 分别为C
的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
A ．13
B ．1
2 C ．2
3 D ．34
【答案】A 【解析】 如
图
取
P
与
M
重合，则由
2
(,0),(,)b A a M c a
--?
直线
2
2:()(0,)
b b a AM y x a E
c a a c
=+?-+-同理由
222221
(,0),(,)(0,)33
b b b b B a M
c G a c e a a c a c a c -??=?=?=+-+,故选A.
2．如图，12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与
双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A ．3±．2± C. 6 D ．2±【答案】C 【解析】
由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又
2ABF ?为等边三角形，所以121AF AF BF -=
2a =，所以24BF =.在12AF F ?中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，
1260F AF ∠=?，由余弦定理得22243616264cos60c a a a a =+-????，所以
227c a =，22226b c a a =-=，所以
6b
a
= C. 3．已知命题p ：直线220x y +=与直线220x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2
2
22754x y +=与双曲线2
2
916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．()p q ∧?
B ．()p q ?∧ C. ()()p q ?∧? D ．p q ∧ 【答案】B 【解析】
对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联
立方程组224120x y x y m ?+=?++=?，消去y 得22
2210x mx m ++-=.由0?=得，所以
2m =±，椭圆上的点到直线l 最近距离为直线220x y +=与l 的距离
d =
226210112
-+=>+，所以命题p 为假命题，于是p ?为真命题.对于命题q ，
椭圆2
2
22754x y +=与双曲线2
2
916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.
从而()p q ?∧为真命题，故选B.
3．如图，12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与
双曲线分别交于点,A B ，且()
1,3A ，若2ABF ?为等边三角形，则12BF F ?的面积为（ ）
A ．1
B 2 3．2 【答案】
C 【解析】
由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又
2ABF ?为等边三角形，所以121AF AF BF -=
2a =，所以24BF =.在12AF F ?中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，
1260F AF ∠=?，由余弦定理得22243616264cos60c a a a a =+-????，所以
2
2
7c a =，2
2
2
2
6b c a a =-=，所以双曲线方程为22
2216x y a a
-=，又(3A 在双曲
线上，所以
22
1316a a -=，解得2
12a =，即22a =. 所以1221
24sin1202332
BF F S a a a ?=
????==，故选C. 4．已知点()00,A x y 是抛物线()2
20y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为
,F O 坐标原点，若32
p
AF =
，23AO = ） A ．4x =- B ．3x =- C. 2x =- D ．1x =- 【答案】D 【解析】
因为0322
p p x +=，所以0x p =，02y =.又)
2
2
212p +
=，所以2p =，准
线方程为1x =-，故选D.
5．已知椭圆22
:1169
x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +1
10FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C. 4 D ．2 【答案】B 【解析】
因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ?中，
11416F P FQ PQ a ++==.又11
10F P FQ +=，所以6PQ =，故选B. 6．设1F ，2F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一
点P 使得123PF PF b +=，129
4
PF PF ab ?=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
4
3
B ．53
C ．9
4
D ．3
【答案】B 【解析】
由双曲线的定义可得，a PF PF 2||||||21=-，由b PF PF 3||||21=+，
ab PF PF 4
9
||||21=
?，则有221|)||(|PF PF +2221499||||4a ab b PF PF =-=?-，即有0)3)(43(=+-a b a b ，即有a b 43=，即)(91692
2
2
2
a c a
b -==，则
22259a c =，即有a c 53=，则3
5
e ==
a c ．故选B ． 7．已知双曲线()22
22:10 0x y C a b a b -=>>，的左焦点为() 0F c -，
，点M 、N 在双曲线
C 上，O 是坐标原点，
若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
C.．【答案】D
【解析】
设()00 M x y ，
，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02c
x =-，∵四边形OFMN 的面积
，
∴0y c =，
即0y =，
∴ 2c M ??
- ???，
代入双曲线方程得2214e -=，∵1e >，
∴e =故选D.
8．已知双曲线
)0(1222
2>=-b b
y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则=?21PF （ ）
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4 【答案】C 【解析】
Q 双曲线的一条渐近线为22222,4,4,y x b a c a b =∴===+=双曲线方程为
22
122
x y -=， ()()
122,0,2,0F F -,将
)
,3(0y P 代入得
01
y =±,
当
)(
12,22110
P
PF PF ?=--+?=u u u r u u u u r
;
当
)(
()()121,22110P PF PF -?=-+--=u u u r u u u u r
,故选C.
9．已知,,A B P 是双曲线22
221x y a b
-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直
线,PA PB 的斜率乘积2
3
PA PB k k =
g ，则该双曲线的离心率e =（ ） A
C.
2
D
【答案】B 【解析】
设()()()111122,,,,,A x y B x y P x y --，所以222212222123
PA PB
y y b k k x x a -?===-，
故22
251,3b e e a =+==10．已知双曲线22
221(a 0,b 0)x y a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆
222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，若2|BC ||CF |=，则双曲
线的渐近线方程为（ ）
A.3y x =±
B.y =±
C.1)y x =±
D.1)y x =± 【答案】C 【解析】
因为过1F 作圆2
2
2
x y a +=的切线分别交双曲线的左右两支于点,B C ，且
2BC CF =，所以12BF a =，设切点为,(,)T B x y ，则利用三角形的相似可得
2y c x a
a a c
+==
，所以2222,ab c a x y c c -==，所以2222(,)ab c a B c c -，代入双曲线
的方程，整理可得1)b a =
，所以双曲线的渐近线方程为1)y x =±，故选C.
B 组
一、选择题
1．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F .这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形.若
1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e g 的取值范围是（ ）
A.1(,)9+∞
B.1
(,)5+∞
C.1
(,)3
+∞ D.(0,)+∞
【答案】C 【解析】
设椭圆和双曲线的半焦距为12,,c PF m PF n ==，()m n >，由于
12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||10PF =，即有10,2m n c ==，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得22m n a -=，即由125,5,(5)a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>，可得52c >
，既有5
52
c <<，由离心率公式可得2122122125251c c c e e a a c c =?==--g ，由于2
2514c <<，则由2
11
2531c
>-，则12e e g 的取值范围是1
(,)3
+∞，故选C.
2．过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点
B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若11
32
k <<，则椭圆C 的离心率的取
值范围是（ ）
A ．1(0,)2
B ．2
(,1)3
C ．12(,)23
D ．12(0,)(,1)23
U
【答案】C 【解析】 由题意可知
2
22,b AF a c BF a
=+=，所以直线AB 的斜率为
()22222111,132b a c e k a a c a ac e --??===∈ ?+++??，即22
11
13
11
12
e e e e ?->??+?-?
1
2
x y =
在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于（ ） A ．21 B ．32 C ．42 D ．64 【答案】C 【解析】
抛物线2
1
2
x y =
可化为22y x =，4y x '=在点2(,2)i i a a 处的切线方程为()224i i i y a a x a -=-所以切线与x 轴交点的横坐标为11
2
i i a a +=，所以数列{}2k a 是
以232a =为首项，1
4
为公比的等比数列，所以246328242a a a ++=++=，故选C.
4．设12,F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦，双曲线上存在一点P
使得12129
3,4
PF PF b PF PF ab +==g ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
43 B ．5
3
C ．
9
4
D ．3 【答案】B 【解析】
不妨设右支上点P 的横坐标为x ，由焦半径公式得12,PF ex a PF ex a =+=-，因为
121293,4PF PF b PF PF ab +=?=，所以229
23,()4ex b ex a ab =-=，所以
(34)(3)0b a b a -+=，所以34a b =，所以54c b ==，所以5
3
c e a ==，故
选B ．
5．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线为,l P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的
一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r
，则QF =（ ）
A ．72
B ．5
2 C ．
3 D ．2
【答案】C 【解析】
设Q 到l 的距离为d ，则QF d =，因为4FP FQ =u u u r u u u r ，所以3PQ d =，所以直线PF
的斜率为-，因为(2,0)F ，所以直线PF 的方程为2)y x =--，与抛物线
2:8C y x =的方程联立，可得1x =，所以13QF d =+=，故选D ．
6．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=，双曲线2C 的方程为221
221,x y C a b -=
与2C 离心率之积为
2
，则2C 的渐近线方程为（ ）
A ．0x =
B 0y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±= 【答案】A 【解析】
由椭圆1C 和双曲线2C 12e e =，所以
1212c c
e e a a
=?=
=
=，解得b a =，所以双曲线的渐近线方程为
2
y x =±
，即0x ±=，故选A ．
7．设1F ，2F 是双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的两个焦点，点P 在双曲线上，
若120PF PF ?=u u u r u u u u r ，12||||2PF PF ac ?=u u u r u u u u r （c =，则双曲线的离心率为（ ）
A B C ．2 D ．12
+ 【答案】B 【解析】
不妨设P 在双曲线的右支上，设1||PF t =u u u r ，则由双曲线的定义可得2||2PF t a =-u u u u r
，由题意可得(2)2t t a ac -=，又120PF PF ?=u u u r u u u u r
，由勾股定理可得，
222(2)4t t a c +-=，所以[]2
2
(2)44t t a c ac --=-，即为2
2
0c ac a --=，由c e a
=
，可得2
10e e --=，
解得e =
或e =（舍）．故选B ． 8．已知12 F F ，是双曲线()22
2210 0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，直线y a =与双曲线
两条渐近线的左、右交点分别为 A B ，，若四边形21ABF F 的面积为5ab ，则双曲线的离心率为（ ）
A
【答案】C 【解析】
双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由b
a x a =±，得2a x
b =±，即22 (-,) (,)a a A a B a b b ，，
所
以
2
122,2a AB F F c
b
==，则四边形
21
ABF F 的面积为
2212(2)()52a a S c a c a ab b b
=+=+=，即225a bc b +=，即2225c b bc b -+=，即
2260c bc b +-=，得2c b =或3c b =-（舍），所以2222444c b c a ==-，即2234c a =，所
以双曲线的离心率为
c a ==
.故选C ．
9．已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点记为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为
3
π
的直线，则F 到直线l 的距离为（ ） A ．1 B 3C. 2 D ．23【答案】B 【解析】
由题意，(1,0),(1,0)A F -，则过点A 且倾斜角为
3
π
的直线l 的方程为3(1)y x =+，∴点F 到直线l 23331
=+故选B ．
10．过抛物线y x 42
=的焦点F 作一直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与FQ 的长分别为q p ,，则
q
p 1
1+等于（ ） A ．
2
1
B ．2
C ．1
D ．16 【答案】C 【解析】
由题意可设直线PQ 的方程是1y kx =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2
14y kx x y
=+??
=?，得
2440x kx --=，121244x x k x x ∴+==-，，21212()242y y k x x k ∴+=++=+，212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=，由抛物线的定义得212244p q y y k +=++=+，2121212(1)(1)144pq y y y y y y k =++=+++=+，所
以221144
144
p q k p q pq k +++=
==+．故选C ．
11．抛物线x y 42
=，直线l 过的焦点
115
162
2=+y x 且与抛物线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，321=+x x ，则AB 中点到y 轴的距离为（ ） A ．3 B ．2
3
C ．
2
5
D ．4 【答案】B 【解析】
因为AB 中点坐标为1212
(
,)22
x x y y ++，321=+x x ，所以AB 中点到y 轴的距离为123
22
x x +=.故选B ． C 组
一、选择题
1．过抛物线()240y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线
()2222
10x y b a b -=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2
F B C x x x =-g ，则e =（ ）
A ．6
B C.3 D 【答案】D 【解析】
由题意，知(,0)F a ，则直线l 的方程为y x a =-+．因为双曲线的渐近线为b
y x a
=±
，所以直线l 与渐近线的交点横坐标分为22,a a a b a b
-+，又2
F B C x x x =-g ，即
22
2
a a a a
b a b =-?-+，整理，得2
22b a
=，所以c e a ===D ．
2．过抛物线()2
40y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线
()22
22
10x y b a b -=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2
F B C x x x =-g ，则e =（ ）
A ．6 B
C. 3 D
【答案】D 【解析】
由题意，知(,0)F a ，则直线l 的方程为y x a =-+．因为双曲线的渐近线为b
y x a
=±
，所以直线l 与渐近线的交点横坐标分为22,a a a b a b -+，又2
F B C x x x =-g ，即222
a a a a
b a b =-?-+，整理，得222b a
=
，所以c e a ===D ．
3．已知2F 是双曲线2
2
:12
y E x -=的右焦点，过点2F 的直线交E 的右支于不同两点,A B ，过点2F 且垂直于直线AB 的直线交y 轴于点P ，则
2
PF AB
的取值范围是（ ） A
．? ?? B
．? ??
C
．,14????? D
．4?
????
【答案】B 【解析】
当直线AB 的斜率不存在时，()2,3A ，(
)
2,3-B
，4=AB ，32=PF ，则
4
3
2=
AB
PF ，故排除A ；当2=k 时，直线AB 为()
32-=x y ，直线2PF 为()
321--=x y ，???? ??23,0，P ，设()11,y x A ，()22,y x B 联立得()
?????=---=0
22322
2
y x x y ，化简得07342
=+-x x ，由韦达定理得7,342121=?=+x x x x ，故2
3
52?
=PF ，10=AB ，故
4
2
20152<
=
AB
PF ，故排除C ，D ，故选B ． 4．抛物线()211:02C y x p p =>的焦点与双曲线2
22:13
x C y -=的右焦点的连线交1C 于第
一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ） A
B
C
【答案】C 【解析】
设抛物线的焦点F 与双曲线的右焦点2F 及点M 的坐标分别为
),(),0,2(),2,0(002y x M F p F ,故由题设可得在切点M 处的斜率为01
x p ,则
3
3
10=
x p ,即p x 330=,故)61,33(p p M ,依据),(),0,2(),2,0(002y x M F p F 共线可得3
1
4-=-
p ,所以334=p ,故应选C ．
5．双曲线 ()22
2210,0x y a b a b -=>>的实轴为12A A ，虚轴的一个端点为B ，若三角形
12A A B
2，则双曲线的离心率为（ ）
A
C
D
【答案】B 【解析】
双曲线实轴12A A 的长度为2a ,虚轴的一个端点为B ,坐标为(0,)b (假设在x 轴上方),则121
22
A A
B S a b ab ?=
??=,
而122A A B S ?=,所
以a =,在双曲线中,2
2
2
c a b =+,所以2
2
3c b =,
离心率2c e a =
==
,选B ． 6．已知,,A B P 是双曲线22
221x y a b
-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直
线,PA PB 的斜率乘积2
3
PA PB k k =
g ，则该双曲线的离心率e =（ ） A
．
2 B
．3 C
．
2
D
【答案】B 【解析】
设()()()111122,,,,,A x y B x y P x y --，所以222212222123
PA PB
y y b k k x x a -?===-，故
22
251,3b e e a =+==
7．已知1F 、2F 分别是双曲线C ：22
221x y a b
-=的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称
点恰落在以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆上（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A
．3 C
．2 【答案】D 【解析】
由已知有,12(,0),(,0)F c F c -,设双曲线的一条渐近线方程为:b
l y x a
=,即0bx ay -=,则点2F 到l
b =,设点2F 关于渐近线的对称点为M ,交渐近线于A ,
则2MF l ⊥,11MF OF c ==,因为,O A 分别为12
2,F F F M 的中点,所以1OA MF P ,且112OA MF c ==,在2Rt AOF ?中,0221
90,,,2
OAF OF c OA c ∠===所
以
2AF =
,又2AF b =,
所以1,2b a c ==,离心率2c e a
==,选D. 8．已知双曲线2
2
12
x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．
12 B ．1
2
- C ．2 D ．-2 【答案】A 【解析】
设()()()112200,,,,M x y N x y P x y ，则222
2
121
21,122
x x y y -=-=，根据点差法可得()()()()
121212122
x x x x y y y y -+-+=
，所以直线
l
的斜率为
()0121211212022x y y x x k x x y y y -+=
==-+，直线OP 的斜率为020y k x =，0012001
22
x y k k y x =?=，
故选A.
9．已知双曲线2
2
12
x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，
线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．
12 B ．1
2
- C ．2 D ．-2 【答案】A 【解析】
设()()()112200,,,,M x y N x y P x y ，则222
2
121
21,122
x x y y -=-=，根据点差法可得()()()()
121212122
x x x x y y y y -+-+=
，所以直线
l
的斜率为
()0121211212022x y y x x k x x y y y -+=
==-+，直线OP 的斜率为020y k x =，0012001
22
x y k k y x =?=，
故选A.
10．已知双曲线2
2
1x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若
1260F PF ∠=?，则三角形12F PF 的面积为（ ）
A ．2 B
．
D
．【答案】C 【解析】
1221
tan 30tan
2
F PF b S θ
=
=
=?
,故选C.
11．已知双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使
21
12
sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F u u u u r u u u u r g 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3- D ．2- 【答案】B 【解析】
双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，可得21=24F F c =u u u u r ，在12PF F V 中，由正弦定理得
1
23122
sin 2sin PF PF F e PF F PF ∠===∠，又122,PF PF -=Q 结合这两个条件得
124,2PF PF ==，由余弦定理可得21221211
cos ,42244
F F F P F F F P =?=??=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g ,
故选B ．
12．设A 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点，点A 关于原点的对称点为,B F 为椭圆
的右焦点，且AF BF ⊥，若,124ABF ππ??
∠∈?
???
，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A
．0,
2???? B
．,12?????
C
．0,3???? D
．23???
【答案】D
作图，设左焦点为N ，易知四边形AFNB 是矩形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，
ABF ANF α
∠=∠=，所以
22cos 2sin a c c αα
=+，所
以
2112sin cos 4c e a παα
α=
==+??+ ??
?，因为,124ABF ππ??
∠∈????，所
以sin α?
∈???
，从而该椭圆离心率的取值范围为2??，故选D.
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾
股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：
圆锥曲线小题精选 1．圆()22 :4M x m y -+=与双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的两条渐近线相切于A 、B 两点，若AB =C 的离心率为（ ） A ．3 B C ．2 D ．3 2．已知双曲线()22 22:1,0x y C a b a b -=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于D ．若1AD F B ⊥，则 b a 为（ ） A ．2 B C D ．1 3．已知双曲线C ：22 221(,0)x y a b a b -=>的左、右焦点为1F ，2F ，直线l :1y x =+与双曲线C 相交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ，若以GH 为直径的圆过原点，则 2211a b -=（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12 - 4．已知椭圆C ：22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0），F 1，F 2为椭圆的左右焦点，过F 2的直线交椭圆与A 、B 两点，∠AF 1B ＝90°，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 5．已知直线(),0y kx m k =+<与抛物线2:8C y x =及其准线分别交于A ,B 两点,F 为 抛物线的焦点,若2,FA AB =u u u r u u u r 则m 等于（ ） A B ．C ．D ．6．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,,F F 过F 2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A ，B ，若1ABF ?为等边三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A ．y = B ．y = C ．y =± D ．,y =±
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
圆锥曲线培优讲义 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆 的离心率为，且过点 ．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和 C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ． （1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距 离，并证明 S =1 2∣x 1y 2?x 2y 1∣； （2）设 l 1:y =kx ，C (√33, √3 3)，S =1 3，求 k 的值． （3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变 动，面积 S 保持不变． 3. 已知椭圆()0,01:22 22 >>=+b b y x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -, 椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ?中，满足 .12 7,12 1221π π = ∠= ∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程； （2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ?=?，求 22OC OB +的值. 4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率 之积为1 4 -
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 第四十四讲 以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题 一、选择题 1．已知椭圆 x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)，与双曲线 x 2 m 2? y 2n 2 =1(m >0,n >0)具有相同焦点 F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若∠F 1PF 2＝π 3， 则e 12+e 22的最小值是 A ． 2+√32 B ． 2＋√3 C ． 1+2√32 D ． 2+√3 4 【答案】A 【解析】 根据题意，可知|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|?|PF 2|=2m ， 解得|PF 1|=a +m,|PF 2|=a ?m ， 根据余弦定理，可知(2c)2=(a +m)2+(a ?m)2?2(a +m)(a ?m)cos60°， 整理得c 2= a 2+3m 2 4， 所以e 12+e 22=c 2 a 2+c 2 m 2=a 2+3m 24a 2 + a 2+3m 24m 2 =1+14( 3m 2 a 2 +a 2 m 2)≥1+ √3 2 = 2+√32 ， 故选A. 2．已知点E 是抛物线C:y 2=2px(p >0)的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在ΔEFP 中，若sin∠EFP =μ?sin∠FEP ，则μ的最大值为（ ） A ． √2 2 B ． √3 2 C ． √2 D ． √ 3 【答案】C 【解析】 由题意得，准线l:x =?p 2 ，E (?p 2 ,0)，F (p 2 ,0)，过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则由抛物线 定义可知PH =PF ，于是μ=sin∠EFP sin∠FEP =PE PF =PE PH =1cos∠EPH =1 cos∠PEF ，∵y =cosx 在(0,π)上为减函数，∴当∠PEF 取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而∠PEF =45°，∴μmax = √2 2 =√2,故选C. 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线小题狂练一 1若直线l ：y ＝kx +1与曲线c ：x ＝ 12+y 只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 . 2 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 A ．2 B ．3 C. 115 D. 3716 3、曲线[]214(2,2)y x x =+-∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，k 的取值范 围是（ ） A 、5(0, )12 B 、11(,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)124 4、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么x y 的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 5 若直线x+y ﹣m=0与曲线 有公共点，则m 所的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 6 已知圆和圆的公共弦长为 ，则实数a 的值为 _________ ． 7已知AC ，BD 为圆O ：x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，垂足为 ．则四边形 ABCD 的面积的取值范围是 _________ ． 8不论k 为何实数，直线l ：y=kx+1恒过的定点坐标为 _________ 、若该直线与圆x 2+y 2﹣2ax+a 2﹣2a ﹣4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是 _________ ． 9 若关于x 的方程： 有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围： _________ ． 10已知两点M （﹣2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足 =0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ ） A ． y 2=8x B ． y 2=﹣8x C ． y 2=4x D ． y 2=﹣4x 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高三培优专题 圆锥曲线 一.离心率与焦点三角形 1. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点， 且，则此椭圆的离心率的取值范围为________ 2. 已知是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D,且2BF FD =u u u r u u u r , 则椭圆C 的离心率为 3.直线l 经过.双曲线22 221x y a b -=的右焦点F ，与一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐 近线交于B ，且12AF FB =uu u r uu r ，则双曲线的离心率为 4 .若椭圆22 1x y m +=（1)m > 与 双曲线221(0)x y n n -=>有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共交点，则12PF F D 的面积为 5（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重 合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．9 2 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， A B C D - 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 第八讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【知识梳理】 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系 将直线l 的方程代入曲线C 的方程,消去y 或者消去x ,得到一个关于x （或y ）的方程 02=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法. （1）交点个数 ①当 a =0或a ≠0,⊿=0时,曲线和直线只有一个交点； ②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点； ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点； （2） 弦长公式： 斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ,若A 、B 两点的坐标分别是A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则 21|| AB x x - 一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用. 2.求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法 【考点一：中点弦问题】 【例1】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上,求此椭圆的离心率. 【课堂练习】 （1）椭圆14 162 2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分,求此弦所在直线的方程. 【考点二：中点问题】 【例2】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1， .直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积为－2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若过点?? ? ??1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段C D 的中点,求直线l 的方程. 【课堂练习】 （2）已知椭圆22 221x y a b +=（a >b >0）的离心率e ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ,已知点A 的坐标为（-a ,0）. （i ）若AB 5 ||=,求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB=4.求y 0的值. 【考点三：弦长问题】 【例3】已知椭圆14 :22 =+y x G .过点（m ,0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点. （Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）将AB 表示为m 的函数,并求AB 的最大值. 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2高考数学圆锥曲线综合题题库1 含详解
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