漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
++++=∑∞
=n n n
a a a a
211
称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记
n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞
=1
n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛
散性来定义。显然，级数∑∞=1
n n a 时，有0lim =∞→n n a 。因此，0lim ≠→∞
n n a 时，必有级数∑∞
=1
n n a 发散。但是
0lim =∞
→n n a 未必有∑∞=1
n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞
=1
n n a 才收敛。可以证明：
几何级数∑∞
=1
n n q ，当1|| ∞ =11 n p n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1 时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1 ，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1n n a 发散。可是，马 上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1 ，但是∑∞ =1ln ln ln 1n n n n 仍然发散级 数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺 子”：n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。 由几何级数的∑∞ =-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一 项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达 朗贝尔）判别法和根值（柯西）判别法：若ρ=+∞→n n n a a 1lim （ρ=∞ →n n n lim ），则当1<ρ时，正项级数∑∞ =1n n a 收敛；当1>ρ时，正项级数∑∞ =1 n n a 发散；而当1=ρ时，判别法失效。这两种判别法具有明显的优 势：仅需要级数自身项的性质，不需要比较级数，使用起来较为方便。然而它们是基于几何级数的判别敛散性的“尺子”，其精度远比基于p -级数的“尺子”粗糙的多。事实上，对于∑ ∞ =1 1n n ，∑∞ =11n n ，∑∞ =1 21 n n 可计算1=ρ，因此，比值和根值判别法失效。但是，根据比较判别法和p -级数的敛散性，前两个级数发散，后一个级数收敛。比值和根值判别法的本质是比较判别法，与之相比较的是几何级数∑∞ =-11n n q 。在判定级数收敛时，要求级数的通项受到n q （10< 时，则是根据其一般项不趋于0。由于二者相去甚远。因此判别法在许多情况下都会失效，即便对 p -级数∑ ∞ =1 1 n p n 也无能为力。为了弥补上述比值和根植判别法的局限性，我们有拉阿伯判别法：设r a a n n n n =??? ? ??-+∞→1lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞ =1n n a 发散。虽然拉阿伯判别法有时可以处理比值和根植判别法失效的级数，如p -级数等，但是对于11lim 1=??? ? ??-+∞→n n n a a n 时，阿伯判别法仍然失效。例如，对于∑∞ =1ln 1n p n n 成立11lim 1=??? ? ??-+∞ →n n n a a n ，但是由积分判别法可知，∑∞ =1ln 1n p n n 当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。事实上还可以建立比阿伯判别法更有效的判别法，如，Bertrand 判别法：设 r a a n n n n n =?? ? ???-???? ??-+∞ →11ln lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞=1n n a 发散。但是，当1=r 时，该判别法有失效了。这种逐次建立更有效的判别法的过程是无限的。每次都能得到新的适用范围更广的 判别法。 下面给出两个与级数收敛性及速度有关的有趣例子。 问题1：曾经有同学向我提出这样一个问题：假设汽车速度1v 快于自行车的速度2v ，而汽车在自行车的后方s ，则显然经过时间2 1v v s T -= 后，汽车就会追赶上自行车。但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程s 到达自行车原来所在的位置时，即经过了时间1 1v s t = 时，自行车又前进了路 程s v v t v s 12121= =。当汽车前进路程1s ，即又经过了??? ? ???==121112v v v s v s t 时，自行车又前进了路程 s v v t v s 2 12222???? ??==，这样一直下去，直观上感觉，汽车总是差一点才能追赶上自行车。问题 出在哪里呢？事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。汽车追赶第n 段路程化肥的时间为 1 121-??? ? ???=n n v v v s t ，此时，汽车与自行车相距路程为s v v s n n ??? ? ??=12，汽车追赶自行车花费的时间的总和 是一个无穷级数∑∑∞=-∞ =???? ??==11 1211n n n n v v v s t t ，它是一个公比)1(1 2 <= v v q 的几何级数，因此，和为 T v v s v v v s t =-=-= 21121/1/。所以，经过时间2 1v v s T -=后，汽车就会追赶上自行车。 问题2：爬金箍棒的蚂蚁的故事（选自数学趣题与妙解）：这天，孙悟空闲暇无时，他把他的金箍棒变成了10cm 长的小棒，立在地上。这是一只蚂蚁来到棒的底部，沿着小棒往上爬，孙悟空眼睛一亮，心想“要爬，没那么容易！”只听他叫了一声“变”，地上的棒应声长了起来，眼看越长越高，而那只蚂蚁似乎什么都没有发现，还是慢悠悠地一如既往地往上爬。 如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬，每分钟上升1cm 。 在孙悟空叫变时，已经爬至高1cm 处，此后，棒的各部分每个时刻都是匀速地变长，每经1分钟，棒就增长10cm ，即第一分钟末，高10cm ，第二分钟末，高20cm ，第三分钟末，高30cm ，... 请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗？ 不少人会说，由于蚂蚁爬行的速度不变，而棒的长度不停的变长，蚂蚁永远不会爬到棒的顶端。这样他就忽略了一个事实：由于棒的各部分均匀变长，因而每个时刻，尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的。 第一分钟，蚂蚁爬过了1cm ，为棒高的10 1； 到第二分钟末，棒高伸长为20cm ，而爬过的 1cm ，也变成了2cm ，因而，仍是棒高的10 1 且以后始终保持为棒高的10 1。如果第一分钟 末到第二分钟末这段时间内，新爬过的部分 没有变长，则第二分钟内爬过的部分是棒高 的201，但实际上，新爬过的部分也在变长，因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高的20 1并且这一小段在以后棒变高的过程中，始终要大于棒高的201 。同理，第三分钟内，蚂蚁爬过的高度大于棒 高的 30 1 ，... 。若棒高为L ，则在第n 分钟末，蚂蚁爬过的高度将大于)131211(10n L ++++ 。于 是，问题转化为：是否存在n ，使得101 31211>++++n 。这当然可以做到，因为调和级数∞ =∑∞ =11n n 是发散级数。 A 1 B 1110A 1’B 1’B 2220 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 数项级数及其收敛性 无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数231 111 41 (44443) n 的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。"两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可 穷尽的过程，运动永远不可能开始的。'庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭。''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。'要解决这个悖论，需要引进极限方法。研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用. 一、级数基本概念 定义1设给定一个数列，，，，，n u u u u 321，则表达式 n u u u 21称为无穷级数，简称级数，记作 1n n u ，即n n n u u u u 2 11， 其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数1n n u 称为常数项级数，如果是函数，则级数1n n u 称为函数项级数． 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等 比数列:2,,............(1)n a aq aq aq q ,各项的和 2............1n a a aq aq aq q ；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如：1 0.33 1033.0，2103 03.0，n 103 030.0，所以有 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结 数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型，而且是考试的难点，为了便于同学们解题，文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论，希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路 若有两个收敛，则第三个收敛; 若其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散; 若有两个发散，则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。 1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。 比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析， 找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一：比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤（或者） （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2：比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ（+λ∞为有限数或）则： （i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同. （ii ）：1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时，由收敛可推出收敛. （iii ）：1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明：若级数1 n n a ∞ =∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ （11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则 班级：数学091 姓名：韩海飞 数项级数收敛性的判别 摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路. 关键词：判别方法归纳总结数项级数敛散性解题思路 引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下. 一、定义 定义1：设有数列 表达式 （1） 称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或 一般项。 定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列 称为它的部分和数列。 定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。记 为： 。若 是发散数列，则称级数（1）发散。 余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞ =1 n n u 收敛，则称级数∑∞ =1 n n u 绝对收敛 条件收敛：若∑∞=1 n n u 发散，则称级数∑∞ =1 n n u 条件收敛 二、性质定理 定理12.2 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数 1 1 1 ()n n n n n n n cu dv c u d v ∞ ∞∞ ===+=+∑∑∑也收敛. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收 +++u u u n 21 ,,,:}{21u u u u n n ∑∞ =1 n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞ →lim S u n n =∑∞ =1}{S n S S r n n -= 数项级数的敛散性的练习题及解析 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛 解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛 选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关 解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑ 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。 漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞ →n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但是 0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证明： 几何级数∑∞ =1 n n q ，当1|| 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n 漫谈正项级数的收敛性及收 敛速度(总4页) 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞→n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但 是0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1 n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证 明：几何级数∑∞ =1 n n q ，当1|| 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 定理12.2.1 正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?部分和数列{}n S 有界。 证明：由于对n ?，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有 ∑∞ =1 n n u 收敛?{}n S 收敛?{}n S 有界。 定理12-2-2（比较原则） 设∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使 得对 N n >?都有 n n v u ≤， 则 （1）若级数 ∑∞ =1n n v 收敛，则级数 ∑∞ =1n n u 也收敛； （2）若级数 ∑∞ =1 n n u 发散，则级数 ∑∞ =1 n n v 也发散。 证明：由定义及定理12-2-1即可得。 例1、考察 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的收敛性。 解：由于当2≥n 时，有 2 22)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞ =-22)1(1n n 收敛，故∑∞ =+-1 2 11 n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 是两个正项级数，若 l v u n n n =∞→lim ， 则 （1） 当+∞< 本科毕业论文 题目正项级数收敛性判别法的比较及其应用学生姓名__宋婕 学号120050901008 系别数学系 年级2005 级 专业数学与应用数学 指导教师_ _赵利彬 职称教授 完成日期2009年2月15日 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 宋婕 摘要：级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍. 关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较 Positive series convergence criterion of comparison and its application Song Jie Abstract:Series of mathematical analysis theory is an important part of the positive series is a series of important theoretical component of the progression of convergence is the core issue of series theory, in order to resolve the positive series Summation of the problem must be resolved positive series convergence judge. Positive series convergence solution may be judged more, but still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency, especially some typical problems, using the typical method to a multiplier. Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare 一、引言 数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 （一）正项级数收敛的充要条件 部分和数列有界，即存在某正数M，对，有 引言 数项级数又称无穷级数,简称级数.若数项级数的各项都由正数组成,则称为正项级数.级数理论是数学中一个非常重要的理论,正项级数又是级数中的基础部分,具有很强的实用价值和广泛的应用.作为一种常用的研究工具广泛的应用于其他数学科学和科学技术领域,因此它的收敛判定问题一直被人们所研究. 正项级数的收敛判别法中,常用的且比较典型的判别法有比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法等. 为了比较方便、简单的判别正项级数是否收敛,首先,可以根据其特点选择适当的方法,如：柯西判别法、达朗贝尔判别法或拉贝判别法,使正项级数收敛的判别变得更加简便.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法、对数判别法、次数差审敛法等.一般是,当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较判别法,若比较判别法还是无法判别时,再使用正项级数收敛的充要条件进行判定.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率. 本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,并给出了不同通项特点的正项级数选用的不同的判别法. 1关于正项级数的一些基础知识 定义1.1.1[1] 给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++???++??? （1） 称为数项级数或无穷级数（也简称级数）,其中n u 称为数项级数的通项. 数项级数（1）也常写作：1n n u ∞ =∑或简单写作n u ∑. 数项级数（1）的前n 项之和记为 12...n S u u u =+++ （2） 称它为数项级数（1）的第n 个部分和,也简称部分和. 若数项级数的各项符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数. 定义1.1.2[1] 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S,则称数项级数（1）收敛,称S 为数项级数（1）的和,记作12......n S u u u =++++或1n n S u ∞ ==∑.若{}n S 是 发散数列,则称数项级数（1）发散. 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 三类不常见的正项级数收敛性判别法 赖宝锋 积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。 先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。 引理1 设()f x 为[,]a +∞上的一个单调递增函数，则lim ()x f x →+∞ 存在当且仅当() f x 有界。 证明：先证明必要性。假设lim ()x f x →+∞ 存在，记lim ()x f x A →+∞ =。则存在一个0R >， 当x R >时，有()1f x A -<，于是()()()1f x f x A A f x A A A =-+≤-+<+。又()f x 单调递增，因此，()()f x f a ≥。于是，()f x 有界。 充分性，若()f x 有界，则()f x 为单调有界函数，极限lim ()x f x →+∞ 必存在。得证！ 引理 2 设()f x 为[,]a +∞上的一个单调递增函数，则lim ()x f x →+∞ 存在当且仅当 {}()f n 有界。 证明：必要性显然。充分性：[,)x a ?∈+∞，[][]1x x x ≤<+，[]()(1)f x f x ≤+。再由{}()f n 的有界性就知道了。 引理3 设()f x 为[,)a +∞上的非负可积函数。则()a f x dx +∞? 收敛当且仅当 ()A a f x dx ?有界，当且仅当 {} ()n a f x dx ? 有界。 证明：()a f x dx +∞ ? 收敛当且仅当lim ()A a A f x dx →+∞? 存在。由于()f x 非负，因此， ()A a f x dx ? 是单调递增的。由引理1，()A a f x dx ?收敛当且仅当()A a f x dx ?有界；由 引理2，()A a f x dx ?收敛当且仅当 {} ()n a f x dx ? 有界。这样，结论得证！ 定理1(积分判别法)假设数列{}n u 满足：0n u ≥且{}n u 单调递减。假设存在一个 [1,]+∞上的非负的单调递减的可积函数()f x ，使得()n f n u =。则1n n u +∞ =∑的收敛性 与广义积分1 ()f x dx +∞ ? 是一致的。正项级数敛散性地判别方法
数项级数敛散性判别法。(总结)
数项级数及其收敛性
正项数收敛判别方法
考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结
比较几种判定正项级数收敛性的方法
数项级数收敛性的判别概论
数项级数的敛散性的练习题及解析
正项级数收敛及其应用公式版
，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1 n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1 n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1n n a 发散。可是，马 上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞ =1ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级 数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺 子”：n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。 由几何级数的∑∞ =-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一 项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达
关于数项级数敛散性的判定
数学分析：第章数项级数
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1 时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数 ∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1 ，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1 n n a 发 散。可是，马上又面临新问题：无穷小 n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1 ，但是 ∑∞ =1 ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺子”： n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。
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