极限的求法与技巧
极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。
1.运用极限的定义 例：用极限定义证明:
12
23lim
2
2
=-+-→x x x x
证: 由
2
4412
232
2
-+-=
--+-x x x
x x x
()2
2
22
-=--=
x x x
0>?ε 取ε
δ
= 则当δ
<-<
20x 时,就有
ε
<--+-12
232
x x x
由函数极限δ
ε
-定义有:
12
23lim
2
2
=-+-→x x x x
2.利用单调有界准则求极限
预备知识：若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M
a n
≤.
此方法的解题程序为：
1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列{}n a 单调有界；
2、设{}n a 的极限存在，记为A a n n =∞
→lim
代入给定的表达式中，则该
式变为A 的代数方程，解之即得该数列的极限。
例：若序列{}n a 的项满足)
0(1
>>a a a
且),2,1(,211
=???
?
??+=+n a a a a n n n ,
试证{}n a 有极限并求此极限。
解 由 a
a
>1
a
a a
a a a a a a a a =>???
? ??+=???? ??+=12
112
111222121
用数学归纳法证明 a
a k
> 需注意
a
a a
a a a a a a a a k k k k k k k =>???
? ??+=???? ??+=2
2
22121.
又 02212
1
>-=???? ??-=--n
n n n n n
a a
a a a a a a ∴ {}n a 为单调减函数且有下界。
令其极限为A 由 ???
?
??+=+n n n a a a a 211
有： ???
? ??+=
+∞
→n n n n a a a a 21lim
1 即 ??
? ??+=
A a A A 21 ∴ a A =2
∴ a
A =
)0(>A
从而 a
a n n =
∞
→l i m .
3.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系：
,
~arctan ~arcsin ,
~tan ,
~sin ,0x x x
x x x x x x →
,
~1x e
x
-,
ln ~1a x a x
-,
ln ~
)1(log a
x
x a +,1~
11x n
x n
-+
等价无穷小代换法
设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： '
'
~,~β
βαα，
'
'lim
β
α 存在， 则 β
αl i m
也存在，且有β
αl i m
= '
'lim
β
α
例:求极限2
2
20
sin cos 1lim x
x x x -→
解: ,~sin
2
2
x x
2
)(~
c o
s 12
22
x x -
∴ 2
2
20
sin cos 1lim
x
x x x -→=
212)
(2
22
2=x
x x
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 4．利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：
若 A x f x
x =→)(lim
B
x g x x =→)(lim 0
(I)[]=±→)()(lim 0
x g x f x x )(lim 0
x f x
x →±B
A x g x x ±=→)(lim 0
(II)[]B
A x g x f x g x f x x x x x
x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0
(III)若 B≠0 则： B
A x g x f x g x f x x x x x
x =
=
→→→)
(lim )(lim )
()
(lim
,
~)1ln(x x +,
2
1~
11x x -+,
~1)
1(x x αα
-+
（IV ）cA
x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim
（c 为常数）
上述性质对于时也同样成立
-∞→+∞→
∞→x x x ,,
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例：求 453lim
2
2
+++→x x x x 解: 4
53lim
22
+++→x x x x =
2
54
25
2322
=
++?+
5、利用两个重要的极限。
1sin lim
)(0
=→x
x A x e x
B x
x =+
∞
→)
11(lim )(
但我们经常使用的是它们的变形：
)
)((,)
)
(1
1lim()()
0)((,1)
()
(sin lim
)()
(''
∞→=+
→=x e x B x x x A x ??????
例：求下列函数极限
x
a x
x 1lim
)1(0-→、 b x
a x x c o s ln cos ln lim )2(0
→、
)
1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a u x
a a
u x u a x
x
+=
-+=
=-于是
则）令解：（
a
u a
u
u a u a u x
a u x u
u u u x
x ln )1ln(ln lim
)
1ln(ln lim
)
1ln(ln lim
1lim
00
1
=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当
)]
1(cos 1ln[)]1(cos 1ln[(lim
)2(0
-+-+=→bx ax x 、原式
1cos 1
cos 1cos )]1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim
--?--+--+=→ax bx bx bx ax ax x
1
cos 1
cos lim
--=→ax bx x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)2
()
2(
)
2
(2sin )
2
(
2sin
lim 2
sin
22sin 2lim
a b
x a x b
x b x b x a x
a x
b x x x =?=--=→→α
6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限
此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。
例：求 ()n n
n n
n n 1sin
1lim
1
+∞→+. 解 ()n
n
n n
n n 1s i n
1lim
1
+∞
→+
=n
n
n n n n 11sin 1lim 1
??
?
?
??
++∞
→
=n
n
n n n 11sin 11lim 1
???
? ?
?
+
+∞
→
=n n
n n n
n 11sin 1111lim ???
? ??+???? ?
?
+
∞
→
=11??e =e
例：求极限 a
x a x a x -→??
? ??1
s i n s i n l i m
.
解 a x a x a x -→??? ??1
s i
n s i
n l i m
=a x a x a a x -→??
????
-+1
sin sin sin 1lim
=a
a
a a a x a x a a x a x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cos 21lim ?
?-→?????
???????
-++
=a
a
a x a a
a x a a x a sin
cos )(cos sin sin 2sin cos 21lim ??????
?????
?????
??
?? ??-+-?→
=ctga
a x a a a x a a x a ??????
?
?????????
??
?? ??-+-?→)(cos sin sin 2sin cos 21lim
=ctga e ??
?
?
?--2~
2
sin
a x a x 7、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I ）若：∞
=)(lim
x f 则 0)
(1lim
=x f
(II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞
=)
(1lim
x f
例: 求下列极限 ① 5
1l i m
+∞
→x x ②1
1lim
1
-→x x
解: 由 ∞=+∞
→)5(lim x x 故 05
1lim =+∞
→x x
由 0)1(lim 1
=-→x x 故 1
1lim
1
-→x x =∞
8. 变量替换
例 求极限
.
分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,
注意到
,故可作变量替换.
解 原式
=
=
(令
,引进新的变量,将原来的
关于 的极限转化为 的极限.)
= .
(
型,最高次幂在分母上)
9. 分段函数的极限
例
设
讨论
在点
处的极限是否存
在.
分析 所给函数是分段函数,
是分段点, 要知
是
否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解
因为
所以
不存在.
注1 因为 从
的左边趋于 ,则
,
故 . 注2 因为
从
的右边趋于 ,
则
,
故
.
10、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
)
()](lim [))((lim )()(lim )]([)()
()(lim )()(0
00a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→????处连续，则
在且
是复合函数，又若处连续，则在若
例：求下列函数的极限
)
1ln(15cos lim
)1(20
x x x e x
x -+++→、 （2） x
x x )1l n (l i m
+→
()1
ln ))1(lim ln()1ln(lim )
1ln(lim
)1()1ln()
1ln()2(6
)0()
1ln(15cos lim
)
1ln(15cos )(01
1
1
1
20
2
==+=+=++=+=+==-+++-+++=
=→→→→e x x x
x x x x x
x f x x x e x x x e x f x x x x x x x x
x
x x
故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。
属于初等函数解：由于?
11、洛必达法则（适用于未定式极限） 定理：若
A
x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)()(lim
)
()(lim
()()(lim
)(0
)()()(0
)(lim ,0)(lim )(''
''
'
00
00
），则
或可为实数，也可为内可导，且
的某空心邻域在与
此定理是对0
0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。
注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： 1、 要注意条件，也就是说，在没有化为
∞
∞,00时不可求导。
2、
应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是
求整个分式的导数。 3、
要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍
是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。 4、当)
()(lim
''
x g x f a
x → 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，
此时求极限须用另外方法。 例： 求下列函数的极限 ①)
1ln()21(lim
2
2
10
x x e x
x ++-→ ②
)0,0(ln lim
>>+∞
→x a x
x a
x
解：①令f(x)= 2
1)
21(x e x
+-, g(x)= l )1n(2x +
2
1
'
)
21()(-+-=x e x f x
, 2
'
12)(x
x x g
+=
2
2
2
"
2
3
")
1()1(2)(,)
21()(x x x g x e x f x
+-=
++=-
由于0
)0()0(,0)0()0('
'
====
g g f f
但2)0(,2)0(""==g f
从而运用洛必达法则两次后得到
12
2)1()1(2)
21(lim
12)
21(lim
)
1ln()21(lim
22
2
2
3
2
2
1
2
2
10
==
+-++=++-=++--→-→→x x x e x
x x e x x e x
x x
x x
x
② 由∞
=∞=+∞
→+∞
→a
x x x
x lim ,ln lim 故此例属于
∞
∞型，由洛必达法则
有：
)0,0(01lim
1
lim
ln lim
1
>>===+∞
→-+∞
→+∞
→x a ax
ax
x x
x a
x a x a
x
2
2
2
2
2
sin cos sin lim
x
x x x
x
x +
=→=2
1
注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]:
2
2
20
sin cos 1lim
x
x x x -→=212
22sin sin 12
2sin lim sin 2sin
2lim
2
2
22
2
2
0222
2
=?
??
=→→x x
x
x x
x
x
x x
x x
注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。 [解法三]:
2
1sin 42lim 4sin 2lim
cos 1lim
sin cos 1lim
22
03
2
2
2
2
2
2
20
=
?==?-=-→→→→x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x
注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则
[解法四]:
2
1sin 2)
(lim
sin cos 1lim
sin cos 1lim
2
242
2
2
24
2
2
2
20
=
?
=?
-=-→→→x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x x x
注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 [解法五]:
2
121
lim )()
2(
2lim sin 2sin 2lim
sin cos 1lim
4
4
0222
2
0222
2
2
2
20
=
===-→→→→x
x
x x x
x x x
x
x x x x x x
注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。 [解法六]： 令2
x
u
=
2
1sin cos cos cos lim
cos sin sin lim sin cos 1lim sin cos 1lim
2
2
20
=
-+=+=-=-→→→→u
u u u u
u
u u u u
u u x
x x u u u x
注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。 [解法七]:
2
111lim
sin cos sin lim
sin cos 1lim
2
20
2
2
2
2
2
2
20
=
+
=+=-→→→tgx
x
x
x x x
x
x x x x x
注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。 12、 利用函数极限的存在性定理（夹逼准则）
定理: 设在0x 的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:
A x h x g x x x
x ==→→)(lim )(lim
则极限 )(lim 0
x f x x → 存在, 且有
A x f x x =→)(lim
例: 求 x
n x a
x +∞
→lim
(a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:
k
n
x
n a k a
x )1(+<
及 a
a
k a
k a
x k
n k n
x
n 11
?
=>
+
又 当x +∞
→时,k +∞
→
有
=++∞
→k
n
k a k )1(lim
0)1(lim
1
=?=?+++∞
→a a a k k n
k
及 =
++∞
→1
lim
k n
k a
k 0101lim =?
=?
+∞→a
a
a
k k
n k
∴
x
n x a
x +∞
→lim
=0
13、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。 定理：函数极限)(lim
x f x
x →存在且等于
A 的充分必要条件是左极限
)(lim 0
x f x x -→及右极限)(lim 0
x f x x +→都存在且都等于
A 。即有：
?=→A x f x x )(lim 0
)(lim 0
x f x x -→=)(lim 0
x f x x +→=A
例：设
)(x f =??
?
??
?
?≥<<-≤--1,10,0,212x x x x x
x x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1
x f x → 1
)1(lim )(
lim )(lim 1
)21(lim )(lim 0
-=-=-
=-=-=+++--→→→-→→x x
x
x x f e
x f x x x x
x x 解：
由1
)(lim )(lim
0-==+-
→→x f x f x x
1)(lim 0
-=∴→x f x
不存在
由（又)(lim )01()01(1
lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1
2
1
1
1
11
x f f f x
x f x x
x
x x f x x x x x x →→→→→→∴+≠-===-=-
=++-
-
-
14、约去零因式（此法适用于型
时0
0,
0x x →
）
例: 求12
1672016lim
2
3
2
32+++----→x x x x x x x
解:原式=()
()
)
12102(65)2062(103lim
2
2
3
2
2
32
+++++--+---→x x x x x
x x x x x x
=)
65)(2()103)(2(lim
2
22
+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 2
2
2++---→x x x x x =)
3)(2()2)(5(lim
2
+++--→x x x x x
=2
lim -→x 7
3
5-=+-x x
15、利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形) 比如 求2
1
32lim
2
x x x x →+-+-
此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式 解：2
1
32lim
2
x x x x →+-+-1
(32)(32)lim
(1)(2)(32)
x x x x x x →+-++=-+++=1
1
1lim
12
(2)(32)
x x x →=
+++
通分法（适用于∞-∞型）
16、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：
1、)(!
!212
n
n
x
x o n x
x
x e
++
++
+=
2、)()!12()
1(!5!3sin 21
21
5
3
n
n n x
o n x
x
x
x x +--+++
-
=--
3、)
()!
2()
1(!
4!
21cos
1
224
2
++-+++
-
=n n
n
x
o n x
x
x
x
4、)
()
1(2
)1ln(1
2
n
n
n x o n
x
x
x x +-++-
=+-
5、)
(!
)
1()1(!
2)
1(1)1(2
n
n
x o x n n x x x ++--+
+-+
+=+ααααααα
6、
)(x
x 1 112
n
n
x o x x
+++++=-
上述展开式中的符号)(n x o 都有:
)(lim
=→n n
x x
x o
例:求)
0(2lim
>+-
+→a x
x
a x a x
解:利用泰勒公式，当0→x 有
)(2
11x o x x ++
=+
于是 x
x
a x a x +-
+→2lim
=x
a
x a x a x )
121(lim
+
-+
→
=x
x o a x x o a x a x ?
?
????-?--++→)(211)()2(211lim
=a
x
x o x a
x
x o a x a x x 21)(21lim
)
(2lim
=
+=+?
→→
17、利用拉格朗日中值定理
定理:若函数f 满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点ξ,使得
a
b a f b f f --=
)()()('
ξ
此式变形可为:
)10( ))(()()('
<<-+=--θθa b a f a
b a f b f
例: 求 x
x e
e x
x x s i n l i m
s i n 0
--→
解:令x e x f =)( 对它应用中值定理得
)
1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('
sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e
e x
x
即:
1)
(0 ))sin ((sin sin '
sin <<-+=--θθx x x f x
x e
e x
x
x
e
x f =)('
连续
1)0())sin ((sin lim '
'
==-+∴→f x x x f x θ
从而有: 1sin lim
sin 0
=--→x
x e
e x
x x
18.利用定积分和积分中值定理求极限 比如设n x =(1)(2)()
n n n n n
+++ ，(1,2,)n = ，求lim n n x →∞
解因为1
1
ln ln(1)n
n i i x n
n
==+
∑
所以1
1
lim lim
ln(1)n
n
n n i i
x n n
→∞
→∞
==+∑=1
ln(1)2ln 21x dx +=-?
19、求代数函数的极限方法
(1)有理式的情况，即若:
)0,0(a )
()()(001
10110≠≠++++++==
--b b x
b x b a x
a x
a x Q x P x R n
n n
m m m
(I)当∞→x 时，有
????
?????
?????????>∞<==++++++=--∞
→∞
→n m n m 0 lim
)
()(lim
001
10110n m b a b x
b x b a x
a x
a x Q x P n
n n
m m m x x
(II)当0→x 时有: ①若0)(0≠x Q 则 )
()()
()(lim
000
x Q x P x Q x P x =→
②若0)(0=x Q 而 0)(0≠x P 则∞
=→)
()(lim
x Q x P x
③若0)(0=x Q ,0)(0=x P ,则分别考虑若0x 为0)(=x P 的s 重根,即:)()()(10
x P x
x x P s -= 也为0
)(=x Q 的r 重根,即:
)
()()(10x Q x x x Q r -= 可得结论如下：
??
?
?
??????????<∞=>=-=-→→r s , r s , )()(P r s , 0)()()(lim )()(lim 01011100
0x Q x x Q x P x x x Q x P r
s x x x x 例：求下列函数的极限 ①50
30
20
)
12()
23()
32(lim
++-∞
→x x x x ②3
423lim
4
3
1
+-+-→x x x x x
解: ①分子，分母的最高次方相同，故
50
30
20
)
12()
23()
32(lim ++-∞
→x x x x =
3050
30
20
)2
3(2
3
2
=?
②0)1(,23)(3
=∴+-=P x x x P
0)1(,34)(4
=∴+-=Q x x x Q
)(),(x Q x P ∴必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:
2
13
22lim
)
32()1()2()1(lim
3
423lim
2
1
2
2
2
1
43
1
=+++=++-+-=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x x x
(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。
例：求)(lim x x x x x -
+
++∞
→
解: )(lim x x x x x -
+++∞
→
2
11
11111lim
lim
lim
3
=++
+
+
=++++
=+++
-++=+∞
→+∞
→+∞
→x
x
x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
20. 利用拆项法技巧
例6：
)
)12)(12(1
5.313
.11(
lim +-+
???++
∞
→n n n 分析：由于)
)12)(12(1
+-n n =)
121
12(1
(
21+-
-n n
原式=
21
)1211(21
)]121121()5131()311[(21
lim
lim =+-=+--+???+-+-∞→∞
→n n n n n
21.分段函数的极限
例8 设
讨论
在点
处的极限是否存
在.
分析 所给函数是分段函数,
是分段点, 要知
是
否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解 因为
所以
不存在.
注1 因为 从
的左边趋于 ,则
,
故 . 注2 因为 从
的右边趋于
,
则
,故
.
22.利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限
此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法。
举例说明：
例：若 0,,>c b a ,求n
n
n
n
n c b a ???
?
?
?++
+∞→3
lim .
解 先考虑：
ln 3ln 1
11
x c b a x
x
x x =???
?
?
?
?++????
?
?
?++31
11
x x x c b a 而 ln lim x x +∞→????
?
?
?++31
11
x
x x c b a =x
c b a x x x x 1
3ln ln lim
1
11-???
? ??+++∞→
=2
1
1
11
2
1
2
1
2
1ln 1ln 1ln 1lim x
c b a
c
c x
b b x
a a
x
x
x
x x x x
x -
++??-
??-
?-+∞
→
=x
x x
x x x x c b a
c
c b b a a 1
1
1
1
11ln ln ln lim
++?+?++∞
→
=
abc
ln 31
∴ n
n
n
n
n c b a ???
?
?
?
++
+∞→3
lim
=+∞→n lim n
x
x x c b a ????
?
?
?++31
11
=+∞
→n lim
??
?????
??????? ??++x x x c b a x e
111
ln
=??
?
?
??3
ln abc e
=()3
1
ln abc e
=()31
abc
在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式．选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ
3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】2 2 2 12 1 2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????? ???? ? ?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用 Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change. Keywords:the limit idea，application
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则 求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。 关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中 值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则 有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{ } n y 和 { } n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例[1] 222111 ....... 1 2 n x n n n n = + ++++ 求n x 的极限 解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项
极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
求函数极限的方法和技巧 在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义： 例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质： 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
求函数极限的方法和技巧 1、 运用极限的定义 2、 利用极限的四则运算性质 lim f (x) = A lim g(x) = B ■v ->x (l -v->.v 0 上述性质对于X T T T* YO 时也同样成立 3、约去零因式（此法适用于xf °时,#型） 例： x' — — 16x — 20 求 lim — --- ； -------- 丫+2疋 +7工 +16x + 12 解:原式二 lim 化一弘：-10”+(2￥-6龙_20) Z (/ + 5疋 + 6x)+ (22 +1OX+12) ..(x + 2)(x~ — 3x — 10) =lim ------ ---------- 3-2 (兀 + 2)(人亠 +5x + 6) r (x* — 3x —10) (x — 5)(x + 2) =Inn - -------- = lim ----------- —(屮 + 5x + 6) —2 (x + 2)(x + 3) 二 lim 1 = -7 ?Z x + 3 ⑴ lim|/(x)±^(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = A±B .v->x 0 ?f 切 (II) lim [/(x)? g(x)] = lim /(x)? lim g(x) = A ? B ?f5 (III)若 BHO ?XT" -v->.r o 则： lim /(x) XT.? A g(x) lim g(x) B XT% (IV) lim c ? f(x) = c - lim f(x) = cA (c 为常数) NT 曲 AT %?
4、通分法(适用于oo-oc型)
包头师范学院 本科毕业论文 题目：二重极限的计算方法 学生姓名：王伟 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 班级：应数一班 指导教师：李国明老师 二〇一四年四月
摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性
Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价
求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim
第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性