求函数极限的方法和技巧
1、 运用极限的定义
2、 利用极限的四则运算性质
lim f (x) = A lim g(x) = B
■v ->x (l
-v->.v 0
上述性质对于X T T T* YO 时也同样成立 3、约去零因式（此法适用于xf °时,#型）
例：
x' — — 16x — 20
求 lim — --- ； --------
丫+2疋 +7工 +16x + 12
解:原式二 lim
化一弘：-10”+(2￥-6龙_20)
Z (/ + 5疋 + 6x)+ (22 +1OX+12) ..(x + 2)(x~ — 3x — 10) =lim ------ ---------- 3-2 (兀 + 2)(人亠 +5x + 6)
r
(x* — 3x —10) (x — 5)(x + 2) =Inn - -------- = lim ----------- —(屮 + 5x + 6) —2 (x + 2)(x + 3)
二 lim 1 = -7
?Z x + 3
⑴ lim|/(x)±^(x)] =
lim f(x) ± lim g(x) =
A±B
.v->x 0
?f 切
(II) lim [/(x)? g(x)] = lim /(x)? lim g(x)
= A ? B ?f5
(III)若 BHO ?XT" -v->.r o
则：
lim /(x) XT.?
A g(x) lim g(x) B
XT%
(IV) lim c ? f(x) = c - lim f(x) = cA (c 为常数)
NT 曲 AT %?
4、通分法(适用于oo-oc型)
4 I
例：求陝（匚厂口）
2 + x 4
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界呈之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f （x ）、g （x ）满足：
(I) Um f(x) = 0
?YTX0
（M 为正整数）
则:lim g(x) f(x) = 0 例：求
lim x ? sin — 2() x
解：由
lim x = 0 而 ?1
sin — <1
X
故原式
=lim x ? sin
丄=
：0
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
(I)若：lim /(X)= oo
贝ij lim —!— = 0
fM
解：
原式卿（2 +》（2“）
(2 — x)
= lini
“2 (2 + X )(2-X )
(II)若：lim f (x) = 0 且f(x)H0 贝ij lim—!— = s fM 例：求下列极限
①Um 1
x y x + 5② lim 1 j
x-1
解：由 lim (x + 5) = s
由 lim(x-l) = 0
A —>1
7、等价无穷小代换法
设a 、a 、队卩 都是同一极限过程中的无穷小量，且有:
则Inn - 也存在’且有lim 万二lim 歹
例:求极限陨
T S
注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、 差出现
时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。 (A)lim^- = 1
(3)lim(l + b“ =e
z x
— x
但我们经常使用的是它们的变形： ⑷血弩“,g) T0)
(PM
(B )lim(l + —!—)0门=?(0(X )TS )
0(x)
例：求下列函数极限
故 lim —!— = 0 XR x + 5
故 lim —!—二
lim
存在,
解：sin A 2
~ x 2
, 1 - cos A 2
2
l-COSAT hm — -------- - XTU 牙.sin x ?
￡ 2
D x Din cos 加
解：(1)令宀1訴则x= h】(l + ")于是0 =上匹
ln(l + H) 乂当XT OM，“T O
ln(l +
“)"
⑵、原式=恤b【(l + T-l)l
z ln[l + (cosZ?x-
1)]
恤hi[(l+ (cos?x-l)] cos/?x-l
go COSGX-1 COSGX-1ln[l +
(cos/?x-l)]
cos/u -1 cosbx-l
=Inn ---------
3 cosov-1
?i u
sin* —
x
2
-2sin‘ —x
=lim ------- =—
------- =—=lim ------ -
XT<) b
-2sin2-x
2
9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。
⑴若/(x)在x = x()处连续,则lim /(x) = /(x0)
?Yf°
(”)若/[0(x)]是复合函数，又lim(p(x) = G且
/(“)在u= a处连续,则lim /(0(x)) = /[lim(p(x)] = f(a)
Xf5 Xf丫0
例：求下列函数的极限
⑴血八曲+ 5
“TO 1 + L +ln(l -x)
解：由于x = 0属于初等函"cosW 的定义域之内。 1 +对 + ln(l - x) 故由函数的连续性定义有：
v
e x cosx + 5 Inn ----- -------- H 1 +
f +ln(l-x)
(2)、由 ln(1" A)=ln(l + A-)T
X
丄
令 In f 1 + x) 1 — lim - -- — = liin ln(l + x)x = ln(lim(l + x)x ) = In = 1 x .t —>0 XT O 10、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相冋的极限类型)特别地有: 例：求下列函数极限 ②Em (士3却 —2x + l 解：①令t 二"奴则当x->l 原式二Um 匕匚=lim ……+ '：)=巴 —1 1 一广 (i-/)(i + r + r + .. + r ) n ②由于 lim (兰±2)3 二 lim (1 + 二_严 ―30 2x + l XY 2x + l 人 2x + l 1 nil ,11 2 t t 2 /. lim (21三)川二 lim (1 + )x+1 = liin (1 + /)九 —2x + l f 2x+l 5 m 、n 、k. 1为正整数。 (2) lim 巴也 ?E X =/(O) = 6 [ 丄 = linj(l + /)7 -linj(l + /)2 = e ?l=e 11、 利用函数极限的存在性左理 定理：设在观的某空心邻域内恒有g(x) lim g(x) = lim h(x) = A 丫》0 NT" 则极限lim f(x) 存在，且有 XT% lim f(x) = A Eq 例：求 lim — (a>l, n>0) ttv a x 解： 当X>1时，存在唯一的正整数k,使 k WxWk+1 于是当n>0时有： * 伙 + l)n — <-——亠 a x a k 又???当X —>4-00时,kT+8 有 r 伙+ 1)" r 伙+ 1)” c c lim -- :——=lim --- —— a = 0 ? a = 0 lim — =0 lim k n Inn ^.1 = 0-1 = a a a iTr a x 12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用左义求极限等情形)。 定理：函数极限lim /(兀)存在且等于A 的充分必要条件是左极限lim f(x)及右极限 X —>Xo Xf Xu Um fM 都存在且都等于Ao 即有： r — Jx 例：设/(x)=< -―T =— ,0 < x < 1 求 lim f(x)及 lim f(x) x\x > 1 又??? lini f(x) = lim -——= lim Cyfx -1) = 0 XT 广 XT 广 J x X->P lini f(x) = lim x 2 = 1 .IT 广 由/'(1 - 0)H /(1 + 0) ???lim /(x)不存在 .YT I 13、罗比塔法则(适用于未迫式极限) 定理：若 (/) lim /(x) = 0, lim g(x) = 0 XT*。 (”)/与g 在X 。的某空心邻域几心)内可导，且g ⑴H 0 (Hi) lim J ——1 = A(A 可为实数，也可为±S 或s),则 此左理是对9型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 0 OQ 1、 要注意条件，也就是说，在没有化为X,—时不可求导。 0 O0 2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 If SO 解：??? lim f(x) = lim (1 -2e~x ) = -1 3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未左式，若遇到不是未 泄式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。 4、当lim厶凹不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用 f g M 另外方法。 例：求下列函数的极限 ①lim " n〕匸②亦—(6/ >0,x> 0) —0 ln(l + x2) —才 解：①令f (x)= e，_(l + 2x)%, g(x)=ln(l + x2) f(x) = H-(l + 2x)?％, g'W = —^- 1+JT f' M = 丁+ (1 + 2x)「％, g “ (x) = 2(1~^ (1+对)? 由于/(O) = f (0) = 0, g(0) = g (0) = 0 但/ (0) = 2.g (0) = 2 从而运用罗比塔法则两次后得到 r X—(l + 2x)% r”一(1 + 2对吆r”+(l + 2x)?％ 2 ( go ln(l + x-) 2() 2x .—() 2(1-对) 2 1 + X2(1 + x2)2 ②由lim In x = co, lim x(，=s 故此例属于工型，由罗比塔法则有： x->-K?O0 丄 lim = lim —= lim —= 0(a > 0,x > 0) "X才Xi"/ .—?打 14、利用泰勒公式 对于求某些不立式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式： x X 2 1、e = l + x + ——+ . 2! x 3 x 5 2、sin x = x — 一 + ——+ 3! 5! 2E ……+(-1严；心+。(0) X 2 X 4 3、cosx = 1 -——+ ——+ 2! 4! ……+ (_1)八 +o(严) ⑵M 4、 In(l + x) = x- —4-……+ (-1)心—+ o(x 11 ) 2 n 5、 (\ + x)a =\ + ax + — -- 2 + …+ ----------- ------- * +o(x n ) 2! /?! 6、 一!一 = l + x + x'+ ... + + o(x il ) 1 -x 上述展开式中的符号O(X n )都有： I V J" + 2x — yjci + x 例:求 lim --------------- (a > 0) 解:利用泰勒公式，当XT O 有 厂 开 y/Y+X = 1 + — + O(X) 2 于是Um X 2' XT () v 1 需?一+ o(x) 亍=x + o(x) 二l im—纽——=Um 型 ----------- =丄 5 X XTU X 2yla 15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I)f在闭区间上连续 (II)f在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点g,使得 心世严 b-u 此式变形可为： "山一八⑴=f(G + 如一“))(0 v & v 1) b — a liin ------- 3x-sinx 解:令/(x)=以对它应用中值左理得 e x一八1'X =/(%)- f (sin x) = (x-sin x)f (sin x + 0(x-sin x)) (0 v & v 1)即： x _ sin A -- -- =f (sin x + 0(x一sin x)) (0 v & < 1) x-sinx .?? lim f (sillx + ^(x-sill x)) = / (0) = 1 从而有：lim -- ——=1 K)x-smx 16、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况，即若: P(x) _ a o x m + .... + a m b o x H + b iX n ~l +……+ b n 有 (II)当XT O 时有: 叽円则燃册R ③ 若＜2(x o ) = O , P(x o ) = O ,则分别考虑若心为P(x) = 0的S 重根，即： P(x) = (x- x Q )s P } (x)也为Q(x) = 0 的 r 重根，即: 0(x) = (x-x o )r ft(x)可得结论如下: lnn ￡w = lim u-^r^(y)I f)Q(x) f o Q i (x) 例：求下列函数的极限 解：①分子，分母的最高次方相同, (2X -3)20(3X + 2)30 _ 220-330 3 30 ■ ■歹 Eg) (a o 工°上0工°) 上恥) -V-?X do 0 , s > r pg) S = 1 03)'、 s ,s < r ①讪(2-3严(3“2严 X->X (2x + l)50 lim .r->x (2x + l)50 ②??? P(x) = X 3 -3X + 2,???P ⑴=0 ??? Q(x) = x 4 -4x + 3,???(2(1) = 0 /. P(x\Q(x)必含有(x-1)之因子，即有1的重根 故有: Um = Uni (一心 + 2)= Uni 、"2 =丄 3 x 4 -4.Y + 3 -I (x-l)-(x 2 +2x + 3) 11 厂 +2x + 3 2 (2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式.但求极限方法完全类同，这里就 不再 一一详述?在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 X + yjx + y/x _ X yjx+ yjx+ yfx + y[x =l lm 一 匕+\? j 天 + yf^+ 長 + G 二、多种方法的综合运用 上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在 解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。 j 亠■? 1 -COSX 2 例:求 Inn — ------ —()f sinQ ［解法一］: 例: 解: =lim 求lim X->+0C lim A-> 1-COSX 2 C ? 2 ? 2 lim — ----- v 2xsinx v sinx -OfsinjC =h 叫 --------- 1 ---- ――:一r = h 叫 --------- ；一:一? i （）2x ? X cosx + 2xsin x 宀 x - cos 对 + sin x sin x 2 =lim ------- ----- 3 = sinx* cosx" + ——；— — -- ;—z ?— 2 x 2 2 注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。 ［解法三］: v 1 -cosx 2 1 -cosx 2 .? 2xs\nx 2 2x sin 十 1 lim —； -- = lim ——；———=lim - ——=lim ----- ；—=— xTOjCsinjr 对?对 4x x" 2 注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则 ［解法四］: （X 2）2 1 -cosx 2 1 -cosx 2 x 2 2 / 1 h 巴—r-―r = Inn --------- :―-=叫 ----------- :~~r = T yOQsinf T x smf —>0 A 4 sin 对 2 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。 ［解法二］: 兀2 1-cosx 2 2siir — lim — ---- 】? ? —（）对sin 2二h 巴石.务 戈T （）x"sinx ? =lim — — 7 x X sin — 2_ sinx 2 sin — 2 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 ［解法五］: v 1-COSJT lim — -------- r 3 X sin X" 注:此解法利用 “三角和差化枳法”配合使用无穷小代换法。 ［解法六］: 令” =x 2 1 -cosx 2 v 1 -COSM .. sinn lini —； - = lim ------ = lim ------------ 5 x* sin "宀 u sin u "宀 sin u + u COSH COSM 1 =lim -------------------- =— “TO COS M + cos u 一 u s in u 2 注：此解法利用变疑代换法配合使用罗比塔法则。 ［解法七］: v 1-cosx 2 v sinx 2 「 1 1 lini — --- r = hm - ---- ------ r = lim ----- =— ?r ->° x* sin YTO 牙_ cosx-+sin%? 乂宀 牙- 2 ］+ - - 注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。 2sin 2 il =lim — ---- \ XT （）sinx_ 2_ x 4 高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 高数中求极限的16种方法——好东西 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致 一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种） 二、求极限的方法如下： 1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 注意：罗比达法则分为3种情况 0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！） E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 5.无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6.夹逼定理（主要对付数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用（对付数列极限，q绝对值符号要小于1） 8.各项的拆分相加（来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn 的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限） 11.还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的 求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】2 2 2 12 1 2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????? ???? ? ?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 目录 摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4) 五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6) 内容摘要 引言： 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一．利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义：函数)(x f 在0x 附近有定义，对于任意的x ?， 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在，则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ，然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1：求a x x a a x x a a a a x --→lim 解：原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ，令a x x a y -=， 当a x →时，0→y ，故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： 求函数极限的方法和技巧 1、 运用极限的定义 2、 利用极限的四则运算性质 lim f (x) = A lim g(x) = B ■v ->x (l -v->.v 0 上述性质对于X T T T* YO 时也同样成立 3、约去零因式（此法适用于xf °时,#型） 例： x' — — 16x — 20 求 lim — --- ； -------- 丫+2疋 +7工 +16x + 12 解:原式二 lim 化一弘：-10”+(2￥-6龙_20) Z (/ + 5疋 + 6x)+ (22 +1OX+12) ..(x + 2)(x~ — 3x — 10) =lim ------ ---------- 3-2 (兀 + 2)(人亠 +5x + 6) r (x* — 3x —10) (x — 5)(x + 2) =Inn - -------- = lim ----------- —(屮 + 5x + 6) —2 (x + 2)(x + 3) 二 lim 1 = -7 ?Z x + 3 ⑴ lim|/(x)±^(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = A±B .v->x 0 ?f 切 (II) lim [/(x)? g(x)] = lim /(x)? lim g(x) = A ? B ?f5 (III)若 BHO ?XT" -v->.r o 则： lim /(x) XT.? A g(x) lim g(x) B XT% (IV) lim c ? f(x) = c - lim f(x) = cA (c 为常数) NT 曲 AT %? 4、通分法(适用于oo-oc型) 高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！） 求函数极限的方法与技巧 《数学分析》是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科.极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位. 灵活、快捷、准确地求出所给函数的极限，除了对于函数极限的本质有较清楚地认识外，还要注意归纳总结求函数极限的方法，本文对技巧性强、方法灵活的例题进行研究，进一步完善求函数极限的方法与技巧，有利于微积分以及后继课程的学习. 1基本方法 1.1利用定义法求极限 从定义出发验证极限，是极限问题的一个难点.做这类题目的关键是对任意给定的正数ε，如何找出定义中所说的δ. 一般地，证明0 lim ()x x f x A →=的方法为：0ε?>，放大不等式0()f x A x x αε-<<- 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～ 极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n 函数极限的十种求法 信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使 得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 求函数极限的方法和技巧 在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义： 例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质： 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x 求函数极限的方法和技巧 1、运用极限的定义 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 (III)若 B ≠0 则： （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求 解:原式=() ())12102(65)2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 73 5-=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2()2(4lim 2x x x x -?++-→ 12 1672016lim 23232+++----→x x x x x x x =) 2)(2()2(lim 2x x x x -+-→ =4121lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0 =→x f x x (II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0 =→x f x g x x 例: 求 x x x 1sin lim 0?→ 解: 由 0lim 0 =→x x 而 11sin ≤x 故 原式 =01sin lim 0=?→x x x 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I ）若：∞=)(lim x f 则 0) (1lim =x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)(1lim x f 例: 求下列极限 ① 51lim +∞→x x ②1 1lim 1-→x x 解: 由 ∞=+∞→)5(lim x x 故 051lim =+∞→x x 由 0)1(lim 1 =-→x x 故 11lim 1-→x x =∞ 7、等价无穷小代换法 第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性 函数极限的十种求法 设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1 左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1 f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-2 7.利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-． 解 由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-，而 ()sin ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→，()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x → ，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==， 则得到的式错误的结果． 附 常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→， ()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α α+-?→． 8 利用洛比达法则求极限 洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限．用此种方法求极限要求在 函数的极限的求解方法 摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限． 关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。 引 言 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想. 函数的极限主要表现在两个方面： 一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点 （一）“0x x →”形： 定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时） 注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ， 即),(0δ∧ ∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些. 2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
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