第二章 波函数与薛定谔方程（1）
一、填空题
1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ
，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 连续性 ；
单值性 。根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反
映客体运动的一种统计规律，称为 概率 波，波函数模的平方()2
r ψ 表
示粒子在空间的几率分布，称为 概率密度 。而()2
r d ψτ 表示
在空间体积 dt 中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 归一化 。
2r 点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方（|Ψ|2）
成正比。
3、根据波函数的统计解释，dx t x 2
),(ψ的物理意义为 粒子在
xdx 范
围内的概率 。
4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ
，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 单值性 ；连续的。
5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单
值（3）波函数有限。
6、三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p
ψ= ，
()
()=?
+∞
∞
-*'τψψd r r p p
见书P18 。 7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ，='
∞
?τψψd r r p p )()(* 见书
P18 。
8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w = 见网页收
藏 ，几率流密度= 。
9、设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是 概率波 ，在)
(r
ψ中力学量F
?的平均值为F = 。 10、波函数ψ和ψc 是描写 状态，δψi e 中的δi e 称为 ，δi e 不影响波函数ψ的归一化，因为 。
11、定态是指 的状态，束缚态是指 的状态。 12、定态波函数的形式为 。 13、)i exp()()i
exp()(),(2211t E
x t E x t x
-+-=ψψψ是定态的条件是 ，这时几率密度和 都与时间无关。
14、波函数的统计解释 15．描述微观粒子状态的波函数ψ应满足的三个标准条件 。 16、粒子作自由运动时，能量本征值是 ___ __。
17、已知()r V H +?-=2212?μ
的本征函数为()r ψ，与它相应的本征值为E ，
则()C r V H ++?-= 222
2?μ
（C 为常数）的本征函数为 ，本征值为 。
18、当量子体系处于定态时，体系具有确定的 ，也即体系的 算符代表的力学量有确切值。 二、选择题
1、有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是 A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波. B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包. C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.
D. A, B, C.
2、设粒子归一化波函数为(),,x y z ψ，则在(),x x dx +范围内找到粒子的几率为
（A ）2dxdz dy ψ?????? （B ）2 （C ）2dydz dx ψ????
?? （D ）2
dydz dx ψ?????? 3、设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为
A. c c 112
222
ψψ+ B. c c 112
222
ψψ++2*
121ψψc c
C. c c 112222
ψψ++2*1212ψψc c
D. c c 112
222
ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+ 4、已知波函数
ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp()
ψ21122=-+u x i E t u x i
E t ()exp()()exp()
)exp()()exp()(213Et i
x u Et i x u -+-=ψ
ψ41122=-+-u x i E t u x i
E t ()exp()()exp()
.
其中定态波函数是 A.ψ2 B.ψ1和ψ2 C.ψ3 D.ψ3和ψ4 5、若波函数ψ(,)x t 归一化，则 A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数
B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数
C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数
D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)
6、波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)，
A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.
B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .
C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2
:1c .
D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同
7、两个粒子的薛定谔方程是
A.∑=ψ?=ψ2
1212221),,(2),,(i i t r r t r r t i
μ??),,(),,(2121t r r t r r U ψ+
B.∑=ψ?=ψ2
1212221),,(2),,(i i t r r t r r t
μ??),,(),,(2121t r r t r r U ψ+
C. 22
212121(,,)(,,)2i i i
r r t r r t t ??μ=ψ=-?ψ∑
),,(),,(2121t r r t r r U ψ+
D.22
212121(,,)(,,)2i i i
i r r t r r t t ??μ=ψ=-?ψ∑
),,(),,(2121t r r t r r U ψ+
8、波函数的标准条件为 A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续 B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续 C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程 D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒 9、下列波函数中，定态波函数是 A. t
E i ix t
E
i ix e
x v e
x u t x
+--+=ψ)()(),(1 B. t
E i ix t
E i ix e
x v e x u t x +---+=ψ)()(),(2
C. )()()(),(2132
1
E E e
x u e x u t x t E i
t E i ≠+=ψ--
D. t E i t E i e
x v e
x u t x
--+=ψ)()(),(4
10、关于波函数Ψ的含义，正确的是 A. Ψ代表微观粒子的几率密度；
B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；
C. Ψ一定是实数；
D. Ψ一定不连续。
11、一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则 A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与*ψ 一定等价； D.无任何结论。 12、设波函数()22
x
x Ae α
ψ-=，α为常数，则归一化常数A 为
（A ） 1/2
1/22απ?? ??? （B ） 1/4
1/22απ?? ???
（C ） 1/4
1/42απ?? ??? （D ） 1/2
1/42απ??
???
14、已知做直线运动的粒子处于状态()1C
x ix
ψ=-，则归一化常数C 为 （A ）1 （B ）
1
π
（C （D ）π
15、若n
n n a A ψψ=?，则常数n a 称为算符A ?的 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量 16、波函数应满足的标准条件是
A 、 单值、正交、连续
B 、 归一、正交、完全性
C 、 连续、有限、完全性
D 、 单值、连续、有限 17、完全描述微观粒子运动状态的是__
A 薛定谔方程
B 测不准关系
C 波函数
D 能量 18、定态薛定谔方程实际上是 的本征方程。 A. 动能 B. 势能 C. 角动量 D. 以上都不对
19、关于以下3个波函数，()()()1x x x ψφ?=+，()()()2x x C x ψφ?=+，
()()()3x C x x ψφ?=+????，（其中C 为常数），叙述正确的选项为_____ _
A. ()1x ψ和()2x ψ描述同一状态
B. ()2x ψ和()3x ψ描述同一状态
C. ()3x ψ和()1x ψ描述同一状态
D. 以上都不对 三、简答题
1、何谓定态？它有什么特点？
答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数()()
iEt
e r t r -=ψψ,描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。
2、简述量子力学中态的叠加原理。
答：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那末它们的线性叠加2
211ψ+ψ=ψc c （21,c c 是复数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子处于1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处在态1ψ，又处在态2ψ。
3、简述态叠加原理。
答：当,...,...,21n ψψψ是体系的可能状态，他们的线性迭加：
......2211+ψ++ψ+ψ=ψn n c c c （...,...,21n c c c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。态叠加原理是微观粒子具有波动性的体现。
3、波函数()t r , ψ是应该满足什么样的自然条件？()2
,t r
ψ的物理含义是什
么？
答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之
外，它还应该是单值、有限和连续的。()2
,t r ψ表示在t 时刻r
附近τd 体
积元中粒子出现的几率密度。
4、下列波函数所描写的状态是不是定态？ （1）;)()(),(1t
E i ix t
E
i ix e
x v e
x u t x ---+=ψ
（2）;)()()(),(2122
1E E e
x u e
x u t x t E i
t E i
≠+=--
ψ
（3）.)()(),(3t E i t E i e
x u e
x u t x
+=-ψ
答：由2
),(t x ψ是否与时间t 有关来判定是否是定态
（1）2
1*12
1)()(),(),(),(ix ix e x v e x u t x t x t x -+==ψψψ与t 无关------定态； （2）]2[)(),(),(),(2
11
22
2*
22
2t E E i
t E E i e
e x u t x t x t x
--++?==ψψψ与t 有关----
非定态
（3）]2[)(),(222
2
3t E i
t E i e
e x u t x
-++?=ψ与t 有关------非定态
5、以下说法是否正确：
（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；
（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
6、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知
单粒子（不考虑自旋）波函数)(r
ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r
ψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
7、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布
由222112ψψψc c +=确定，2
ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*
21*21ψψc c ，1c 和2
c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
8、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；
（2）对其中的1c 与2c 是任意与r
无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？
答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 已知1ψ和2ψ是体系的可能态，它们应满足波方程式 11ψψH t i =??
22
ψψH t
i =?? 如果1ψ和2ψ的线性叠加),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=也是体系的可能态，就必须满足波方程式 ψψ
H t
i =??
，然而， ?
??
???+++=??????+??++??=??dt dc dt
dc i H c H c dt dc t c dt dc t
c i t i 221122112222111
1ψψψψψψψψψ
可见，只有当
021==dt dc dt dc 时，才有ψψψψ
H c c H t
i =+=??)(2211 。 因此，),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=中，1c 与2c 应是任意复常数，而不是时间t 的复函数。如上式中ψ态不含时间，则有)()()(2211x c x c x ψψψ+=。
9、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？
（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？21ψψ+；2211ψψc c +；
221121ψψααi i e c e c +。这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。
答：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两
点的相对概率
=
2
221)()(x x ψψ=
2
221)
()(x k x k ψψ2
221)
()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。
（2
）
由
于
任意复数
θ
i e c c =，以及
2*12*
1*21*212
222
112
2211ψψψψψψψψc c c c c c c c +±+=±
显然，只有当复数c c c ==21，即c c c ==21，且αααi i i e e e ==21时，21ψψ+；
)(212211ψψψψ+=+c c c ；αααψψψψi i i e c e c e c )(21221121+=+均描述同一态。
10、（1）任意定态的叠加一定是定态。理由如下：定态的线性叠加
∑-=n t iE n n n
e x c t x /)(),(ψψ，),(t x ψ态中平均值?∑==n
n n E c dx H E 2
*ψψ与t 无
关，所以叠加态),(t x ψ是定态。
（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。以上说法正确吗？
答：（1）能量不同的定态的叠加态∑-=n
t iE n n n e x c t x /)(),(ψψ中，不具有确
定的能量值，尽管E 与t 无关，但位置概率密度
∑-==m n t E E i m n m n m n e x x c c t x t x W ,/)(**2
)()(),(),(ψψψ依赖于时间t ，这表明任意定态的叠
加不再具有定态的特征，是非定态。
（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态
∑-=n
t iE n n n
e x c t x /)(),(ψψ仍是波动方程的解。因此，只能说定态解（H 不显含时
间t ）是体系含时波动方程ψψ
H t
i =??
的解，但不能说该体系的含时波动方程的解都是定态解。由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程ψψE H =中明显出现E ，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。
11、何谓定态? 它有何特征？
答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。若势场恒定
0=??t
V
，则体系可以处于定态。 定态具有以下特征:
（1）定态波函数时空坐标可以分离，
/)(),(iEt e r t r -=ψψ，其中)(r ψ是哈密
顿量H 的本征函数，而E 为相应的本征值；
（2）不显含时间t 的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。
注意，通常用)(r
ψ表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态
的波函数都是含时的。
12、波函数有哪些性质？
答：（1）单值，这是由概率密度的确定性所要求的。
（2）连续，ψ，
x ??ψ，y ??ψ，z ??ψ连续，)(ln '='ψψ
ψ也连续。 （3）有界，概率不可能无穷大
（4）2ψ是平方可积的，C r d r d ==??3*32
ψψψ。
13、写出定态Schrodinger 方程，并写出处于定态的波函数的形式以及处于定态的粒子具有的特征。
解：定态Schrodinger 方程为()()?H
r E r ψψ= ，其中()2
2?2H V r m
=-?+ 定态波函数为()()()/,,iE E E r t r e r ψψψ-=
为能量本征函数。 处于定态的粒子具有的特性：
（1）粒子在空间的几率密度与几率流密度不随时间变化； （2）任何（不显含时间的）力学量的平均值不随时间改变； （3）任何（不显含时间的）力学量的测量几率不随时间改变。 四、证明题
1、证明在定态中，几率流与时间无关。 证明：对于定态，可令
)]()()()([2 ]
)()()()([2 )
(2)()()()(******r r r r m
i e r e r e r e r m
i m
i J e r t f r t r Et i
Et i Et i Et i Et i
ψψψψψψψψψψ?-?=?-?=ψ?ψ-ψ?ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与
无关。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∞==??∞
∞
dx dx ψψ*
∴波函数不能按1)(2
=?
∞
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12
==ψ
ω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2、由Schr ?dinger 方程
证明：几率守恒： 其中几率密度： 几率流密度： 证明：考虑 Schr ?dinger 方程及其共轭式：
2
|
),(|),(),(),(t r t r t r t r
ψ=ψψ=*
ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ
?ψ=-?+ψ?
=??+??
J t ω]
[2ψ?ψ-ψ?ψ=**μ
i J 22[](1)2i V t μ?ψ=-?+ψ? 22[](2)
2i V t μ
**
?-ψ=-?+ψ? (1)(2)*ψ?-ψ?将式得：
]
[2222
****
ψ?ψ-ψ?ψ-=ψ??ψ+ψ??ψμ
t i t i ][22ψ?ψ-ψ?ψ??=ψψ??***
μ
）（t i
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
3、证明粒子处于定态时能量E 为实数。
证: 设波函数()()t iE e
r t r
-
=ψψ,，
概率密度()()()()()()
r e
t r e
r t r t r t r w t iE
t iE 2,,,,ψψψψψ===-*
*
()
t
E
E i e
-*
则由定态性质，概率与时间无关，即：
()0,=dt t r dw E
E E E =?=-?**0 证毕
五、计算题
1、设波函数()22
x
x Ae αψ-=，α为常数，求归一化常数A 。
2、设 )()(222
1
为常数αψαx Ae
x -=，求A = ？
3、如果粒子的状态由波函 ()(-)x Ax a x ψ=，0x a ≤≤，求归一化系数A 。
4、维粒子的状态是()||x x Ae λψ-=，其中λ为实参数，求归一化常数A 。
5、设波函数为0,
,2
2
>∞<<-∞=-
a x e a x ψ，求其归一化常量。
τ
μτττd d dt d i ][22ψ?ψ-ψ
?ψ??=ψψ**
*
?? ）（τ
μ
ττ
τd i d dt d ][2ψ?ψ-ψ?ψ??-=ψψ***?? ）（ττωττd J d t r dt
d
??-=??),(0=??+??
J t
ω
6、波函数为x sin =ψ，π≤≤x 0，求其归一化波函数。
7、已知做直线运动的粒子处于状态()1
1x ix
ψ=
-。（1）将()x ψ归一化；（2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。
8、一维运动的粒子处于 ??
?≤≥=-)
0(0
)
0(,
)(x x Axe x x λψ 的状态，式中
0>λ， 求：（1）归一化常量A ；（2）粒子的概率密度；（3）粒子出现在何
处的概率最大？
9、束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：
()()()02
3cos 22
2
ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-
<<=>
（a ）、求归一化常数A ；（b ）、在x =0及x =L /4之间找到粒子的概率为何？
10、设粒子归一化波函数为(),,x y z ψ，求在(),y y dy +范围内找到粒子的几率。
解：波函数已归一化，故在(),y y dy +范围内找到粒子的几率，应将x ,z 分
量积分掉，即()2
,,P x y z dxdz dy ψ??=??
??。
11、设波函数为 ),,(z y x ψ，求在(dx x x +,）范围找到粒子的几率。
解:()()dx z y x x P 2
,,ψ=
12、粒子处于状态：)cos()(kx A x =ψ，求粒子的平均动量和平均动能。 13、设t=0时，粒子的状态为]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ。求此时粒子的平均动量和平均动能。
14、对于以动量P 沿x 方向运动的自由粒子，按de broglie 假定，用一个平
面波()(,)i kx t x t e ωψ-=描述，计算粒子的流密度x j 。
答：1[()()]2x j i i m x x
ψψψψ**??
=
---?? ＝
k p v m m == 15、由下列定态波函数计算几率流密度（1）ikr e r 11=ψ；（2）ikr e r
-=12ψ。
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21 ，在球坐标中：?
θθ?
θ??
+??+??=?sin 110r e r e r r （1）)(21*
1*111ψψψψ?-?=m
i J r m r k r m r k r r
ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i ikr ikr ikr ikr 3
020
220 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2==+----=??-??=
-- r J
与1同向。表示向外传播的球面波。
（2）)(2*
2*222ψψψψ?-?=m
i J r
mr
k r mr k r r
ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i ikr ikr ikr ikr 3020
220
)]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2-=-=---+-=??-??=-- 可见，r J
与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
16、写出几率守恒的积分和微分形式以及几率密度、几率流密度的表达式；并计算在球坐标系中粒子质量为m 的波函数分布为 （1）(
)()1,,r in ψθ??=
，n 为整数 （2）()()21
,,exp r ikr r
ψθ?=， k 为常数
（3）()()21
,,exp r ikr r
ψθ?=-，k 为常数
时的几率密度和几率流密度，并根据结果说明粒子的运动情况。
解：几率守恒的积分形式：s d d j ds dt τρτ=?? 微分形式：0d j dt
ρ+?= 几率密度：()2
,r t ρψ=
几率流密度：()()***Im 2i j m m
ψψψψψψ=-?-?=?
（1）几率密度：()()()2
*11,exp exp 22r t in in ρψψψ??π
π
===-=
几率流密度： 在球坐标系中11sin r e e e r r r θ?θθ?
????=
++???
(
)(
)
(
)()*11sin 1sin 2sin r in e e e in r r r in in e in e r r θ???
ψψ??θθ???θ?πθ
?????=
-++ ??????=-=???
故()*Im 2sin n j e m mr ?ψψπθ
=?=
由上可知几率密度为常数，而几率流密度沿?方向，与r ，θ有关，因此此粒子绕z 轴作圆周运动，但几率流密度是量子化的
（2）几率密度：()()()2
*2211,exp exp r t ikr ikr r r
ρψψψ===-=
几率流密度：
()()()()*321
111
exp exp sin 111exp exp r r r ikr e e e ikr r
r r r r ik ikr e ikr e r r r r r θ?ψψθθ???????=-++
???????????=-=-+ ? ??????
故()*2Im r k j e m mr
ψψ=?=
由此可知此粒子运动为向外传播的球面波
（3）同理几率密度不变，而几率流密度为()*2Im r k j e m mr
ψψ=?=-
，即粒
子运动为向内传播的球面波。
17、设体系处于),(t x ψ态，试求：（1）几率密度 ?),(=t x ρ；（2）几率流密度 ?),(=t x j ；（3）证明：
x
j t ??-=??ρ。
解：（1）2
),(),(t x t x ?ρ= （2）),(),(),(),([2),(**t x dx
d
t x t x dx d t x m i t x j ????--=
（3）????ρt
t t x t x dt d ??+??=**
),(),( )2(1)2(1***2
*
2*????????V m
p i V m p i x x +-+= （因*V V =） )(2**????x dx d x m i ??-??= x
t x j ??-=)
,( 补充题：
1、已知t =0时自由粒子的波函数为kx A x cos )0,(=ψ，求),(t x ψ，并分析该粒子动量的可能取值及相应的几率。
2、t =0时一维自由粒子波函数为x k x k x 002sin cos )0,(+=ψ，写出任意t 时刻波函数),(t x ψ，并分析该粒子动量p 的可能取值及相应的几率。式中k 0为大于零的常数。
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
量子力学习题集及解答
目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)
第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ??? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ
把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据 eV K k 3101-=?，
量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年
第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。
第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
量子力学习题答案
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中
第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场
???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ= ==α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 22 2222 2222 2222 2 *2x /2 x /2 2 22 x /2 x /2 2 2x /2 2x /22 2 2 2 x 2 x /2 2 2 2 4 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=-μ=--αμ =--α- -αμ = α = μ μ ? ? ? ? ? ? ＝（）＝＝2222 22 4x 22 2 4 x x 2 2 2 2 22 242 1()xd (e )21A (){xe e dx} 221A A ()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞ -∞ α-α =α--- μαππααα--μμ α ?? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 222d 1 H x 2dx 2 =-+μω μ 它的基态能量01 E 2 = ω选择为参量，则: 0dE 1d 2=ω；22 2dH d 2d 2 ()T d dx 2dx =-=-=μμ dH 2 0T d = 由F-H 定理知：0dE dH 21 00T d d 2 ===ω 可得： 1 T 4 =ω
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω
喀兴林高等量子力学习题E X2.算符
EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= #
练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ #