第六章弯曲变形
一、是非判断题
1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。（√）梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为
零。（×）
两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相
同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是
否相同无关。（×）
等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等
于零的截面处。（×）
若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面
的挠度相等，转角不等。（√）
简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨
度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。（×）
当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每
一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。（√）
8．弯矩突变的截面转角也有突变。（×）
二、选择题
1. 梁的挠度是（D）
A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移
B 横截面形心沿梁轴方向的位移
C横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移
2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关
B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关
C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关
D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关
3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。
A 梁的变形属于小变形
B 材料服从胡克定律
C 挠曲线在xoy平面内
D 同时满足A、B、C
4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。
A 挠度最大
B 转角最大
C 剪力最大
D 弯矩最大
5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。
A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B）
A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8
B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2
C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2
D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：
y(x)=Ax 2(4lx - 6l 2-x 2)，则该段梁上（B ） A 无分布载荷作用 B 有均布载荷作用 C 分布载荷是x 的一次函数 D 分布载荷是x 的二次函数 8. 图1所示结构的变形谐条件为：（D ） A f A
=f B
B f A
+△l=f
B
C
f
A +
f
B =△l D
f
A
-
f
B
=△l
三、填空题
1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时， 若积分需分成两段，则会出现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连续 条件来确定。
2. 用积分法求图2所示梁变形法时，边界条件为：0,0,0===D A A Y Y θ；连续条件为：()()()()()()322121,,C C B B A A Y Y Y Y ===θθ 。
3. 如图3所示的外伸梁，已知B 截面转角
B =EI
Fl 162
，则C 截面的挠
度y C =EI
Fl 323
。
4. 如图4所示两梁的横截面大小形状均相同，跨度为l , 则两梁的内力图 相同 ，两梁的变形 不同 。（填“相同”或“不同”）
5. 提高梁的刚度措施有 提高z W 、 降低MAX M 等。
四、计算题
1 用积分法求图5所示梁A 截面的挠度和B 截面的转角。
解 ① 对于OA 段： 弯矩方程为 M(x)=-2
1
Pl-Px
即 EIy ’’=-21Pl-Px
EIy ’=-21Plx-21
P x 2+C 1
EIy=-41Plx 2-6
1
P 3x +C 1x+C 2
边界条件 x=0 y ’=0 x=0 y=0 由此边界条件可解得 C 1
=C
2
=0
将
C 1=C 2=0 及 x=2
1l 分别代入挠度及转角方程得
A 截面转角为 θ
A
=EI
Pl 832- 挠度为 y A =EI
Pl 123
-
② 对于AB 段 弯矩M= EIy ’’=Pl
则 EIy ’=EI θ =Plx+C 3（设x=0处为A 截面）
边界条件 x=0 θ=θ
A =EI
Pl 832
-
得
C 3=8
3-P 2
l
将
C 3=8
3-P 2
l 及 x=2
1l 代入转角方程即得
B 截面转角为θ
B =EI
Pl 82
综上所述：A 截面挠度为 y A =EI
Pl 123
-
B 截面转角为 θ
B
=EI
Pl 82 2 简支梁受三角形分布载荷作用，如图6所示梁。 （1）试导出该梁的挠曲线方程； （2）确定该梁的最大挠度。
解 设梁上某截面到A 截面距离为x 。 首先求支反力，则有
F A =l
1（21ql*31l ）=61ql (↑)
M(x)=-(3
616x l
q x ql -)
EIy ’’=M(x)=3
616x l
q x ql +-
EIy ’=C x l q x ql ++-4
22412
EIy=D Cx x l
q x ql +++
-5
312036 边界条件为 x=0 y=0 x=l y=0
得 D=0 C =360
72
ql
则可得挠曲线方程为EI y=
)7310(360
4422l x x l qx
++- 求 W m ax 令EI 0360
724123
42=++
-=ql x l q x ql θ 即 015
724
422=++-l x x l 得 x=0.519l
所以 W m ax =0.00652EI
ql 4
3 用叠加法求如图7所示各梁截面A 的挠度和转角。EI 为已知常数。
解 A 截面的挠度为P 单独作用与0M 单独作用所产生的挠度之和。 查表得： EI
Pl y AP
243
= y AM 0=EI Pl EI l M 883
20-=-
则 y =A y y AM AP 0+=EI
Pl 123
-
同理，A 截面的转角为P 单独作用与0M 单独作用所产生的转角之和。 查表得 EI
Pl AP
82=θ 对于0
AM θ 可求得该转角满足方程 EI θ=-Plx+C 边界条件 x=0 0=θ 可得 C=0
将 C=0和x=2
l
代入可得 0AM θ=EI Pl 22-
则0AM AP
A θθθ+==EI
Pl 832
-
解 可分为如下三步叠加：
分别查表计算得： EI qa 621-=θ EI
qa y 84
1-=
EI qa EI Ml 3322-=-=θ EI
qa a y 33
22-==θ
EI qa EI Fl 416323==θ EI
qa a y 44
33==θ 则： EI qa 43
321-=++=θθθθ
EI
qa y y y y 2454
321-=++=
解：可分解为如下两图相减后的效果
查表得 EI
qa EI a q 296)3(3
31-=-=θ 显然
EI
qa EI a q y 8818)3(4
41-
=-=
EI
qa a EI qa y 241184
242-
=+-=θ
则 EI
qa 3133
21-
=-=θθθ
EI
qa y y y 3244
21-
=-=
4 图8所示桥式起重机的最大载荷为P=20KN,起重机大梁为32a 工字
钢，E=210Gpa，l=8.76cm。规定[f]=l/500。校核大梁的刚度。
课本408页)
190页）
[]
500
730
10
*
11100
*
10
*
210
*
48
0876
.0
*
10
*
20
488
9
2
3
3
max
l
f
l
l
EI
pl
f=
≤
=
=
=
-
可见符合刚度要求
5 图9所示结构中梁为16号工字钢，其右端用钢丝吊起。钢拉杆截面为圆形，对B点由叠加原理有
查表得 EI l F EI ql w B B 3834+-= ,而=?l EA
l
F BC B 由连续性条件得=B w l ? ，即EI l F EI ql B 3834+-= EA
l
F BC B 得到 KN A
l I l I
ql F BC
AB AB
B 1501.04
15
10113034101130841010382
83
8
433
4
=??-
??????=
-=
--π
所以杆中 Mpa A F B 57401.04
110152
3
max =???==
πσ 由力的平衡得 ql F F B A =+ 得到 A F =25KN
对梁有
所以 梁中 Mpa w M I y M z A Z A 8.14110
14110206
3
max =??===-σ
感谢土木0905班李炎、0906班张放、李朝沛同学！